国内：现如今二重积分基础理论的研究已经相当成熟，在实际应用中的研究还比较少，任何一门学问在历史发展过程中都会与时俱进，所以二重积分的发展趋势会在现有的基础上日益完善，尤其是在物理学、经济学等应用方面的研究会越来越深入，整个微积分体系会越来越完备
开题报告主要是“泛泛而谈”，你的题目要介绍二重积分的起源发展，重要意义，简略的介绍下二重积分的一些算法，不用具体介绍算法，再稍微介绍点应用方面的知识，都只需简略的介绍。
根据xy直角坐标系与极坐标系对应关系判断。 简单点全部四象限就是0到2π，第一象限就是0到π/2，一一对应即可确定上下限。
二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知。
可以用二重积分的几何意义的来计算。二重积分的值是被积函数和积分区域共同确定的。将上述二重积分化成两次定积分的计算。
扩展资料：
在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。
某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积。
平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。
参考资料来源：百度百科-二重积分
楼主的问题很有代表性，但是要全面、细致、正确地回答楼主的问题，
是一篇厚厚的论文，至少也得编写出数以百计的精美课件。
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下面的解答，只能给出大致的规律：
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1、先写出积分区域的极坐标方程，并草绘(graph-sketching)出积分区域。
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2、通常的积分方法，都是先对径向积分，再对角度积分，难度会减小很多。
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3、一些积分的被积函数看似极坐标方便，采用直角坐标，也能得心应手，
请参看第一张图片示例。
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4、一些积分的被积函数明显极坐标方便，就不必迂回曲折，直接了当使用
极坐标，请参看第二张、第四张、第五张、第六张图片示例。
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5、一些积分被积函数，似乎与极坐标无关，好像只能运用直角坐标系积分，
结果却是运用极坐标积分快捷，请参看第三张图片示例。
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6、一些积分被积函数显得积分似乎困难重重，但是利用了对称性、奇偶性
之后，却峰回路转，请参看第七张、第八张图片示例。
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其他情况不一而足，举不胜举，在此只能挂一漏万。
若有疑问，欢迎追问，欢迎讨论，有问必答，有疑必释。
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每张图片，均可点击放大，图片会非常清晰。
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不定积分，是为定积分打基础的。
因为大量的定积分，都是通过不定积分+牛顿莱布尼茨公式来解的。
二重积分的物理意义，
如果z=f(x,y)是个曲面的话，那么∫∫f(x,y)dxdy表示以z为穹顶的曲面圆柱体的体积。
当然如果一个平面放置于xoy面上，他的面密度为f(x,y)的话，那么∫∫f(x,y)dxdy表示的就是这个平面的质量。
还可以，比如在(x,y)∈D的范围内，求f(x,y)的平均值。
设D的面积为S，那么平均值m=(1/S)∫∫f(x,y)dxdy
