一 反证法的概念 二 反证法的逻辑依据、种类及步骤 （1）反证法逻辑依据 （2）反证法种类 （3）反证法步骤
三 中学数学中宜用反证法的适用范围 （1）否定性命题 （2）限定式命题 （3）无穷性命题 （4）逆命题 （5）某些存在性命题 （6）全称肯定性命题 （7）一些不等量命题的证明 （8）基本命题 四 运用反证法应该注意的问题 （1）必须正确否定结论 （2）必须明确推理特点 （3）了解矛盾种类
浅谈反证法在中学数学中的应用
论文摘要 论文摘要 本文重点阐明反证法的概念，逻辑依据“矛盾律”和“排中律” ， 反证法的种类包括归谬法简单归谬法和穷举归谬法， 反证法证明的一 般步骤（反设、归谬 、结论） ，证题的实践告诉我们：下面几种命题 一般用反证法来证比较方便， 否定性命题、 限定式命题、 无穷性命题、 逆命题、 某些存在性命题、 全称肯定性命题、 一些不等量命题的证明、 基本命题。运用反证法应该注意的问题，必须正确否定结论、必须明 确推理特点、了解矛盾种类。 关键词: 关键词: 反证法 证明 假设 矛盾 结论
有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和 小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知 是苦的，独有王戎没动，王戎说： “假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这 树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。 ”这个故事中王戎用了一种特殊的方 法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要 讨论的反证法。
一 反证法的概念
反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即 肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。 反证法是数学中常用的间接证明方法之一。 反证法的逻辑基础是形式逻辑基 本规律中的排中律。通常反证法是从待证命题的结论的反面入手进行正确推理, 推出矛盾,从而得出原结论的反面不真,由此肯定原结论为真。中学代数中,一些 起始性命题﹑否定性命题﹑唯一性命题﹑必然性命题﹑结论以 “至多……”“至 或 少……”的形式出现的命题﹑“无限性”的命题﹑一些不等式的证明等用反证法 来证明可收到较好的效果。 假设命题判断的反面成立，在已知条件和“否定命题判断”这个新条件下， 通过逻辑推理，得出与公理﹑定理、题设、临时假定相矛盾的结论或自相矛盾， 从而断定命题判断的反面不成立，即证明了命题的结论一定是正确的，当命题由 已知不易直接证明时,改证它的逆命题的证明方法叫反证法。 用框图表示如下： 题断反面 前此定理 本题题设 前此公理 前此定义
第一
用穷举法不能举出所有个体的，例如 证明：素数有无穷多个；无理数的个数不比无理数少等
第二
用已学的知识不能证明出结论的，例如：如果一个三角形的两条边不相等,那么这两条边所对的角也不相等.
因为高中数学内容涉及范围较广，因此这种情况比较多见。
第三
用直接证明步骤繁琐且易出错的，这种情况多出现在解几中的圆锥曲线部分
反证法
定义：证明定理的一种方法，先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理。也叫归谬法。
适用范围:证明一些命题,且正面证明有困难,情况多或复杂,而否定则比较浅显
具体方法(E.G):
命题r=在C下,若A则B
反证:若A则￢B
证明￢B与A的矛盾
举例：欲证“若P则Q”为真命题，从否定其结论即“非Q”出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而“非Q”为假，即原命题为真，这样的证明方法称为反证法,
先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来。
【反证法】 间接论证的一种。先论证与原论题相矛盾的论题即反论题为假，然后根据排中律确定原论题为真。其论证过程可以表示如下：
[求证] A(原论题)
[证明] (1)设非A真(非A为反论题)
(2)如果非A，则B(B为由非A推出的论断)
(3)非B(已知)
(4)所以，并非非A(根据充分条件假言推理的否定后件式)
(5)所以，A(非非A=A)。
例如，语言学工作者论证“语言的声音和它所表示的事物之间没有必然联系”这一论题时运用反证法论证如下：“声音和词所表示的事物之间并没有什么必然的联系，并非
某一个声音必然表示某一个对象。声音和事物的结合假如有什么必然联系，世界上所有的语言中表示同一事物的词的声音就应当是相同的。既然世界上表示同一事物的词的声音各有不同，可见语言的声音和所表示的事物之间是没有必然联
系的。”这一段论述的反证过程分析如下：
论题：语言的声音和所表示的事物之间没有必 然的联系(在开头提出，最后又做归结)
反论题：声音和事物的结合有必然联系。
设反论题为真，然后进行推导：“声音和事物的结合假如有什么必然联系，世界上所有的语言中表示同
一事物的词的声音就应是相同的。”后件显然不能成立：“世界上表示同一事物的词的声音各有不同”。根据充分条件假言推理的否定式，否定后件就必然否定前件，从而证明反论题“声音和事物的结合有必然
联系”是假的。然后根据排中律，证明原论题是真的。需要注意的是，反证法是通过先论证反论题假，然后由假推真，确定原论题真。因此反论题与原论题必须是矛盾关系，不能是反对关系。因为反对关系的判断可以同假，即从一个判断的假不能必然推出另一判断的真。
反证法在数学中经常运用。当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法
驳论方法编辑
驳论的方法，最基本的仍然是摆事实、讲道理，立论的各种方法都可以在驳论中使用。
驳论的一般方法包括驳论点，驳论据和驳论证。
驳论点是就文章的论点中的根本性错误，与相关基本原则冲突的部分进行反驳。
驳论据是对文章的支撑——论据进行反驳，既可以直接反驳，也可以通过归纳论据中的谬误的办法反驳。
驳论证是对文章的论证方式进行反驳，针对举例论证可以是找出例子与事实，情理不符的部分，针对排比论证，可以指出
排比中不合理的部分，针对道理论证（马克思主义原理）可以采用哲学知识指出其错误的方法进行反驳。
常用的驳论方法有直接反驳、反证法、归谬法等。 （与立论都属于论证方式）
(1)直接反驳，即是运用论据或推理，直接证明敌论点是错误的方法。
(2)反证法，为了证明对方的论点是错误的，可以先证明与其相矛盾的另一论点是正确的，这就是所谓反证法。例如：鲁迅的《中国人失掉自信力了吗》一文，为了驳斥“中国人失掉自信力了”这一错误论点，就提出“我们有并不失掉自信力的中国人在”这个正面论点，然后运用古往今来的事实，证明这一论点的正确性，从而驳倒了反面论点。
(3)归谬法，先假定对方的论点是对的，然后以它为前提，推导出一个明显荒谬的结论，从而证明对方论点是错误的。例如：如果按那些政治“精英”们所述的理论来分析，只会产生这样一个现实：即凡是走上资本主义私有化道路的国家，全部或至少大部都比社会主义经济发展得快。但可惜的是，这种现实还不存在，这种材料在现实的世界上还没有。
归谬法──首先假设对方的论点是正确的，然后从这一论点中加以引申、推论，从而得出极其荒谬可笑的结论来，以驳倒对方论点的一种论证方法。
归谬法主要用于驳论文章中。这种论证方法常和泼辣、犀利的语言相配合，产生辛辣、有力而富有于幽默感的表达效果。同时，归谬法引申、推导出的谬误表现在前提中后件的虚假或荒谬上，而引申矛盾法推导出的谬误则表现在结论的自相矛盾上
实例：一切命题都是假的。
反证法-----是通过否定反面观点(非p)来达到对正面观点(p)的肯定的一种间接证明方法。
实例：管仲、公叔文子、何曾、石崇、寇准等人“以侈自败”的反例对生活奢侈作出否定
1、举例论证法：简称例证法，通过列举确凿、充分、有代表性的事例证明论点。其作用“事实胜于雄辩”说服力强。（使用这种方法，一般是先分论后结论，即开门见山提出论题，然后围绕论题逐层运用材料证明论点，最后归纳出结论。这种结构的方法，比较符合人们的思维认识规律。运用事实论证进行论证时列
举的事实可以有两种形式，即概括总体性事实和枚举个别事实。概括总体性事实的说服力在于事实所体现的普遍性，它是对事实的总体或全局的全面性统计或概括。采用枚举个别事例的论证方式，不要求全面周到，只需枚举几个事例即可。枚举事例要求有一定的典型性，同时也要考虑到经济原则，尽可能不要同类重复。）
2、道理论证法：用马列主义经典著作中的精辟见解，古今中外名人的名言警句以及人们公认的定理公式等来证明论点。用做论据的道理应该是经过实践检验的，具有很强的说服力。（一般用于整体运用归纳法的文章中，因此类文章论点一般是从具体的材料中抽象概括出来的，在很多条件下是很难完全的，结论往往
未必可靠因此，常常须用理论加以衡量，就能够保证其可靠性。除了引用普遍性原理和原则外，各门学科的理论也可以作为论据。如物理学理论、文学理论等。理论论证的论据还可以是某些经过时间检验的、广为流传的谚语、格言和成语等。）
3、引用论证法：道理论证的一种就是引用名家名言等作为论据，引经据典地分析问题、说明道理的论证方法。可以充实文章内容，增强文章底蕴；充分证明观点，增强说服力；展示作者的修养和积累（引用的方法有两种：一是明引，交代所引的话是谁说的，或交代其出处，一种是暗引，即不交代所引的话是谁说的或出处。引用方法多变，十分灵活）。
4、对比论证法：拿正反两方面的论点或论据作对比，在对比中证明论点。对比重在揭示事物间的差异性。其作用是增强论证的鲜明性，能给人留下深刻的印象。（在对比论证中，可比的因素很多：一种是纵比，即把历史和现状、过去和现在对比；另一种是横比，即把这种现象和那种现象，这个人和那个人进行对
比；再一种是正反对比，即将不同事物作比较或对照。还有主次对比、轻重对比等。使读者清楚作者赞成什么，反对什么。如高考一则优秀作文题为《四幕剧》，其中的第二幕剧。背景：一个小餐馆中，一张桌子，面对面坐着两个人，他们面前的盘子里各有半个甜面圈。a(一脸的无奈)：唉！ 天哪！只剩下半个甜面
圈。b (一脸快乐状 ) ：上帝！真是太好了，还有半个甜面圈。文章中写的这段话对比鲜明，对待生活的悲观和乐观跃然纸上，正如该文作者说：乐观的人在被玫瑰刺伤后仍会说多美的花，悲观的人在看到刺时就会说多糟啊。我选择玫瑰的美，因此我选择前者。运用对比论证要注意几个问题：第一，比较的双方要具
备可比性。第二，要建立合理的参照系。要进行比较，就必须具有合理的共同参照系，没有共同的参照系，两者就无法进行比较。所谓参照系指的是用来衡量和确定双方优劣长短的标准，这样的标准必须具有客观性，否则比较的结论不一定可靠。）
5、正反论证法：是对比论证的一种，要求先提出论点，先反后正，或先正后反，进行论证。论证鲜明有力。如《怀疑和学问》一文，论述怎样正确对待书本、学问时，讲道理，先正面说“我们不论对于哪一本书……才是自己的学问”，再反面说“否则是盲从，是迷信”。
6、类比论证：是将性质、特点在某些方面相同或相近的不同事物加以比较，根据某些特征上的相似推理出它们在其它特征上也可能相似从而引出结论的方法。类比侧重于展现事物间的共性。其逻辑形式为：A具有a、b、c、d的属性，B具有a、b、c的属性，所以，B可能具有d的属性，属于形式逻辑中的归纳推理。
比如，‘光’和‘声’都是直线传播，有反射、折射、干扰等现象，由于‘声’呈波动状态，推理出‘光’也呈波动状态。类比论证属于或然性推理，是一种从特殊到特殊、从个别到个别的推理方式，其
结论不一定为真，只有一定程度上的可靠性。在某些情况下，有时无法获得更确切的论据。运用类比论证，有时是有效的。 又比如，火星与地球均有水，空气，及泥土等有利生物生存的因素。在某程度上，
支 持火星上也有生物这结论。然而，如果我们其后发现火星与地球在某些方面存在着差异，例如，火星上氧气稀薄 ，气压低，及气候不稳定等，在某程度上不支持火星上有生物这个结论。又例如：《两小儿辩日》中，两个小孩辩论太阳什麽时候离人近，什麽时候离人远：小孩甲观点：早晨太阳离我们远一点。理
由：如果物体离我们近一点，那麽看起来就大一点。太 阳是物体，在早晨看起来大一点。结论：早晨太阳离我们近一点。小孩乙观点：早晨太阳离我们远一点。理由： 发热的物体离我们远一点，我们就会感到凉快一点。太阳是发热的物体，在早晨时，我们会感到凉快一点。结论： 早晨的物体离我们远一点。两个孩
子在申述理由时都用了类比法，都把自己的观点讲得很清楚，都具有说服力，因此谁也没有被对方说服，连孔子也无法判断谁是谁非。当然太阳离我们远近这个物理问题在孔子的时代是没有办 法解决的，我们这里只讨论类比的论证方法。类比法富于启发性，它深入浅出，使读者易于领悟抽象的道理，可使文章简练
生动。如《拿来主义》第三段将中国和尼采类比，04年高考全国卷丁卷《快乐死去》将人喝酒和作家参加社会活动类比（这里又可看做比喻论证）。运用类比论证需注意以下几点：(1)要使用同类对象进行类比。世界上具有某些相同属性或相似属性的事物是无穷多的，有的根本是风马牛不相及的，对它们进行类比，
就缺乏说服力。(2)避免单独运用类比论证一种论证方式。最好是与其他的论证方式结合使用，使之起一种补充和丰富的作用。(3)要注意结论的可靠程度。除非个别很有把握的情况，否则结论一般只是一种可能性。在表述上要把握住分寸，不可绝对化。
7、比喻论证是一种用具体、生动、形象的事物作比喻，来证明较抽象道理的论证方法。就是用打比方的方法来讲道理。其作用把道理讲得更浅显易懂，使人容易接受；且使论述生动形象，有感染力。典型如《拿来主义》第8段。《 说嫉妒》中有这样一段话“：嫉妒不但害人，而且害己。从心理上分析，嫉妒犹如毒
虫，常常会把妒者自己的心灵 啃啮得满目疮痍”，“整天处于一种既不舒畅、极不安宁的境况中难以解脱”。这里把嫉妒比喻成毒虫，有力的论 证了嫉妒害己的观点。生动而形象富有感染力，增强了说服力。此外毛泽东同志写的《批评和自我批评》一文，用经常扫地和洗脸，比喻党内要经常开展批评和自我批
评，去克服缺点、纠正错误。《继续保持艰苦奋斗的作风》一文中，“糖衣裹着的炮弹”，形象地说明了资产阶级的阴险、毒辣；“万里长征走完了第一步”，“万里长征”比喻整个过程，“第一步”比喻新民主主义革命的胜利，但这一胜利，还只是整个革命进程的“第一步”，这就形象地说明夺取全国胜利，不
仅不能骄傲，而且应坚持两个“务必”，才能达到目标的道理。运用比喻论证要注意几个问题：一是用来作为喻体的事物，应当是为大家所熟悉的、具体的、浅显的，这样，才能既通俗又生动地说明另一个事物。二是比喻应当贴切、自然，要能恰到好处地说明被论证事物的特点。可以把老师比喻成蜡烛、春蚕，
说明他们无私地献出自己的一切，却不能将他们比喻成能使别人干净起来，可它们自己却像越来越脏的抹布、扫帚，这样运用比喻法，叫“引喻失义”。三是因为比喻的双方缺乏本质上的内在联系，所以任何比喻都是有缺陷的。要完整、深刻地论述一个问题，不能仅靠几个比喻，应把它和例证法、分析法等结合起来使用。
有的议论文以寓言或者神话作比喻进行论证。因为寓言和神话虽然都属虚构，但它们实质上是人们对社会现象的概括，在一定程度上是反映了生活的真理的。引用这些比喻能增强论证的效果。例如可引愚公移山比喻依靠群众、坚持不懈定能取得成功。
二者的区别在于：类比论证一般为同类相比，推理结论是否正确还有待实践证明；而比喻论证必须是性质不同的事物间有相似点，直白易懂不须再证明。
8、归谬论证是采用“以子之矛攻子之盾”的批驳方法和先假设对方的论点是正确的，然后加以言理引申，，得出荒谬的结论来证明对方论点的谬误的方法。也称‘反证法’。比如有的人爱赶时髦，认为“流
行的都是好的”， “流行感冒也是流行的，那也是好的啰”揭示其论点的荒谬。又如，由于观念的缘故，有人盲目排外，认为外国的都不好，就可以用“外国的东西都不好，可电灯也是外国人发明的，那我们是不是该废除电灯，而继续点油灯呢” 揭示其论点的荒谬。
9、假设论证：是一种事实推论的方法，假设要根据一定的事实提出，对客观事物的假定说明，并经过实践证明就可成为理论。比如，一本书印了十万册，假设每本只有一个读者，就能有十万个读者。
二者的区别在于：归谬论证的结论是采取反证方式来得出；假设论证是按已知事实来客观性的逻辑认定。
10、归纳论证：也就叫“事实论证”。它是用列举具体事例来论证一般结论的方法。这是一种从材料到观点，从个别到一般的论证方法，是从对许多个别事物的分析和研究中归纳出一个共同的结论的推理形式。
11、演绎论证：也叫“理论论证”，它是根据一般原理或结论来论证个别事例的方法。即用普遍性的论据来证明特殊性的论点。
12、因果论证：它通过分析事理，揭示论点和论据之间的因果关系来证明论点。因果论证可以用因证果，或以果证因，还可以因果互证。原因与结果具有时间上的先后关系，但具有时间先后关系的现象并非都是
因果关系；除了时间的先后关系之外，因果关系还必须具备一个条件，即结果是由于原因的作用所引起的。在议论文体中，根据客观事物之间都具有这种普遍的和必然的因果联系的规律性，通过提示原因来论证结果，就是因果论证。
