定义：设在平面内给定一点O和常数k(k不等于零)，对于平面内任意一点A，确定A′，使A′在直线OA上一点，并且有向线段OA与OA′满足OA·OA′=k，我们称这种变换是以O为的反演中心，以k为反演幂的反演变换，简称反演。称A′为A关于O（r）的互为反演点.当k>0时，有向线段OA与OA′同向，A与A′在反演极同侧，这种反演变换称为正幂反演，亦叫双曲线式反演变换·当k<0时，有向线段OA与OA′反向，A与A′在反演极异侧，这种反演变换称为负幂反演，亦叫椭圆式反演变换。在某一反演变换中相互对应的两个图形互为反演图形或反象。
正幂反演的性质：1、反演中心不存在反演点。不共线的两对反演点共圆，且此圆与反演基圆正交。与反演基圆正交的圆，其反象为原圆。2、反演变换φ把通过反演中心O的任一条直线变成自身。即通过反演中心的任何直线都是该反演变换下的不变图形。（直线→直线）3、反演变换φ把任一条不通过反演中心O的直线变成一个通过反演中心O的一个圆，而且这个圆周在点O的切线平行于该直线。（直线→圆）4、反演变换φ把任一个通过反演中心O的圆周变成一个不通过反演中心O的一条直线，而且这条直线平行于该圆的过点O的切线。（圆→直线）注：性质3和4互为逆命题。5、反演变换φ把任一个不通过反演中心O的圆周变成不能过反演中心O的圆周。（圆→圆）由于可以把直线看成圆周，上述性质2—5可经综合为 反演变换把（广义）圆周变成（广义）圆周。这个定理常称为反演变换的保圆性。6、任何两条直线在它们的交点A的夹角，等于它们的反演图形在相应点A′的夹角，但方向相反。7、两个相交圆周在交点A的夹角等于它们的反演图形在相应点A′的夹角，但方向相反。8、一条直线和一个圆周在交点A的夹角等于它们的反演图形在相应点A′的夹角，但方向相反。上述性质6—8可经综合为 两相交（广义）圆周在交点A的夹角，等于它们的反演象（广义）圆周在相应点A′的夹角，但方向相反。定理二称为反演变换的反向保角性。因反演变换具有保圆性和反向保角性而成为证题和作图中的重要工具。由定理一、二易得：9、正交两圆其反象仍正交。10、相切两圆的反象仍相切，若切点恰是反演中心，则其反象为两平行线。负幂变换可以转化为一次正幂变换和一次关于反演极反射的积来代替。
只要两圆不同心, 这个反演变换一定存在, 具体刻画如下:
对于平面上两个半径不等且圆心不同的圆⊙A, ⊙B.
总存直线AB上的两点M, N, 使得分别存在以M, N为中心的位似变换, 将⊙A变为⊙B.
根据位似比的正负将二者区分为外位似中心M和内位似中心N.
(当相应的公切线存在时, 内, 外位似中心就是两圆内, 外公切线的交点).
由位似的性质可得:
当两圆不内含或内切时, 存在⊙M, 使得关于⊙M的反演交换将⊙A变为⊙B (同时⊙B变为⊙A);
当两圆不外离或外切时, 存在⊙N, 使得关于⊙N的反演交换将⊙A变为⊙B (同时⊙B变为⊙A).
于是根据两圆的位置关系, 可以得到一个或两个圆, 记为轨迹Γ.
结论是: 以轨迹Γ上任意一点O为圆心的反演变换将⊙A和⊙B映为等圆.
其中包括一个极限情形: 两圆相交时轨迹Γ也过两圆交点, 若取O为交点,
则⊙A, ⊙B都反演为直线, 即半径无穷大的"等圆".
如果不接受半径无穷大的概念, 可以从轨迹Γ中去掉交点.
以上结论我是用解析法计算得到的, 虽然计算比较简单, 但是感觉应该有更好的证法.
因此不在这里写证明了, 等想到好方法再说 (需要的话请追问).
这里就附一下图.
说明: 图中的绿色和蓝色大圆分别是⊙A, ⊙B;
紫色虚线圆是轨迹Γ, 也即⊙M, ⊙N;
红色圆⊙O1, ⊙O2是圆心分别在⊙M, ⊙N上的反演圆;
反演得到的圆都以与原来相同的颜色表明.
半径相等这一点至少看上去是对的 (需要怎样的明确表示也请追问).
a) 相交情形:
b) 外离情形:
c) 内含情形:
不论内切外切都只是⊙M与⊙N之一退化为1点的情形, 并没有太大区别.
所以暂时不附了, 需要还请追问.
