论文写作，先不说内容，首先格式要正确，一篇完整的毕业论文，题目，摘要（中英文），目录，正文（引言，正文，结语），致谢，参考文献。学校规定的格式，字体，段落，页眉页脚，开始写之前，都得清楚的，你的论文算是写好了五分之一。
然后，选题，你的题目时间宽裕，那就好好考虑，选一个你思考最成熟的，可以比较多的阅读相关的参考文献，从里面获得思路，确定一个模板性质的东西，照着来，写出自己的东西。如果时间紧急，那就随便找一个参考文献，然后用和这个参考文献相关的文献，拼出一篇，再改改。
正文，语言必须是学术的语言。一定先列好提纲，这就是框定每一部分些什么，保证内容不乱，将内容放进去，写好了就。
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寻找数学的基础：集合论的创立（1）
集合论的创立者格奥尔格·康托尔，1845年3月3日出生于俄国圣彼得堡（前苏联列宁格勒）一个商人家庭。他在中学时期就对数学感兴趣。1862年，他到苏黎世上大学，1863年转入柏林大学。
当时柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心，他在1867年的博土论文中就已经反映出“离经叛道”的观点，他认为在数学中提问的艺术比起解法来更为重要。的确，他原来的成就并不总是在于解决间题，他对数学的独特贡献在于他以特殊提问的方式开辟了广阔的研究领域。他所提出的问题一部分被他自己解决，一部分被他的后继者解决，一些没有解决的问题则始终支配着某一个方向的发展，例如著名的连续统假设。
1869年康托尔取得在哈勒大学任教的资格，不久就升为副教授，并在1879年升为教授，他一直到去世都在哈勒大学工作。哈勒是一个小地方，而且薪金微薄。康托尔原来希望在柏林找到一个薪金较高、声望更大的教授职位，但是在柏林，那位很有势力而且又专横跋扈的克洛耐克处处跟他为难，阻塞了他所有的道路。原因是克洛耐克对于他的集合论，特别是他的“超穷数”观点持根本否定的态度。由于用脑过度和精神紧张，从1884年起，他不时犯深度精神抑郁症，常常住在疗养院里。1918年1月6日他在哈勒大学附近的精神病院中去世。
集合论的诞生可以说是在1873年年底。1873年11月，康托尔在和戴德金的通信中提出了一个问题，这个问题使他从以前关于数学分析的研究转到一个新方向。他认为，有理数的集合是可以“数”的，也就是可以和自然数的集合成一对一的对应。但是他不知道，对于实数集合这种一对一的对应是否能办到。他相信不能有一对一的对应，但是他“讲不出什么理由”。
不久之后，他承认他“没有认真地考虑这个问题，因为它似乎没有什么价值”。接着他又补充一句，“要是你认为它因此不值得再花费力气，那我就会完全赞同”。可是，康托尔又考虑起集合的映射问题来。很快，他在1873年12月7日又写信给戴德金，说他已能成功地证明实数的“集体”是不可数的了，这一天可以看成是集合论的诞生日。
戴德金热烈的祝贺了康托尔取得的成功。其间，证明的意义也越来越清楚。因为康托尔还成功地证明代数数的集合也是可数的。所谓代数数就是整系数代数方程的根，而象π与e这样的不能成为任何整系数代数方程的根的数，则称为超越数。
早在1847年，刘维尔就通过构造的方法（当时大家认为是唯一可接受的方法）证明了超越数的存在，也就是具体造出超越数来。可是，康托尔1874年发表的有关集合论的头一篇论文《论所有实代数集合的一个性质》断言，所有实代数数的集合是可数的，所有实数的集合是不可数的。因此，非代数数的超越数是存在的，并且其总数要比我们熟知的实代数数多得多，也就是说超越数的集合也是不可数的。
寻找数学的基础：集合论的创立（2）
有限和无穷的这个特点可以从下面的小故事反映出来，这个故事据说是希尔伯特说的。
某一个市镇只有一家旅馆，这个旅馆与通常旅馆没有不同，只是房间数不是有限而是无穷多间，房间号码为1，2，3，4，……我们不妨管它叫希尔伯特旅馆。这个旅馆的房间可排成一列的无穷集合（1，2，3，4，…），称为可数无穷集。
有一天开大会，所有房间都住满了。后来来了一位客人，坚持要住房间。旅馆老板于是引用“旅馆公理”说：“满了就是满了，非常对不起！”。正好这时候，聪明的旅馆老板的女儿来了，她看见客人和她爸爸都很着急，就说：“这好办，请每位顾客都搬一下，从这间房搬到下一间”。于是1号房间的客人搬到2号房间，2号房间的客人搬到3号房间……依此类推。最后1号房间空出来，请这位迟到的客人住下了。
第二天，希尔伯特旅馆又来了一个庞大的代表团要求住旅馆，他们声称有可数无穷多位代表一定要住，这又把旅馆经理难住了。老板的女儿再一次来解围，她说：“您让1号房间客人搬到2号，2号房间客人搬到4号……，k号房间客人搬到2k号，这样，1号，3号，5号，……房间就都空出来了，代表团的代表都能住下了。”
过一天，这个代表团每位代表又出新花招，他们想每个人占可数无穷多间房来安排他们的亲戚朋友，这回不仅把老板难住了，连女儿也被难住了。聪明的女儿想了很久，终于也想出了办法。（因为比较繁琐，这里不详细介绍了）
希尔伯特旅馆越来越繁荣，来多少客人都难不倒聪明的老板女儿。后来女儿进了大学数学系。有一天，康托尔教授来上课，他问：“要是区间[0，1]上每一点都占一个房间，是不是还能安排？”她绞尽脑汁，要想安排下，终于失败了。康托尔教授告诉她，用对角线方法证明一切想安排下的方案都是行不通的。
由康托尔的定理，可知无穷集合除了可数集台之外还有不可数集合，可以证明：不可数集合的元素数目要比可数集合元素数目多得多。为了表示元素数目的多少，我们引进“基数”也称“势”的概念，这个概念是自然数的自然推广。可以与自然数集合N一一对应的所有集合的共同性质是它们都具有相同的数目，这是最小的无穷基数记做ω。（ω是希伯来文字母第一个，读做阿列夫）。同样，连续统（所有实数或[0，1]区间内的所有实数集合）的基数是C.康托尔还进一步证明，C＝2ω。，问题是C是否紧跟着ω。的第二个无穷基数呢？这就是所谓连续统假设。
1. 生活中处处有数学
2、解数学竞赛题的整体策略 3、谈数学解题中发掘隐含条件的若干途径
4、论数学教育中性别差异的影响 5、逆向思维在数学论证中的作用及培养
6、谈小学、初中数学的衔接 7、容斥原理及其应用
8、从高中课程改革看大学课程改革 9、信息化教育问题
10、数学素质教育中的教师素质问题 11. 浅析课堂教学的师生互动
12、谈设疑法在课堂教学中的应用 13、计算机辅助小学数学教学的探索
14、谈一类重要的数学方法--分类讨论法15、小学数学竞赛题的教育价值
16、在解题中培养学生的数学直觉思维 17. 反思教学中的一题多解
18. 初探影响解决数学问题的心理因素 19、在数学教学中培养学生的反思意识
20、关于探索性命题的若干问题 21、数学实验教学模式探究
22、论小学数学竞赛题的解题方法 23、奥林匹克数学的解题策略
24、三角形面积在竞赛中的应用 25. 数学教育中的科学人文精神
26. 数学几种课型的问题设计 27. 在探索中发展学生的创新思维
28. 把握发现式教学实质,优化课堂教学 29. 如何评价小学学生的数学素质
30. 阅读材料在数学教学中的作用 31. 数学中的判断之我见
32. 关于学生数学能力培养的几点设想 33. 反例在数学中的作用
34. 谈谈类比法 35. 数学教学设计随笔
36. 数学CAI应遵循的原则 37. 我国数学教育改革的若干问题
38. 当代数学教学模式的发展趋势 39. “问题解决教学”的实践与认识
40. 数学教学中的“理论联系实际” 41. 小学数学课堂教学探究性学习案例简析
42. 数学训练，贵在科学 43. 教学媒体在数学教学中的作用
44. 培养数学能力的重要性和基本途径 45. 初探在数学教学中开展研究性学习
46. 浅谈数学学习兴趣的培养 47. 如何使计算机辅助教学变得更方便
48. 精心设计习题，提高教学质量 49. 我对概念教学的的再认识
50. 数学教学中的情境创设 51. 结合数学教学实际开展教研教改
52. 为学生展开想象的翅膀创造环境 53. 利用习题变换，培养思维能力
54. 课堂教学中培养学生创造能力的尝试 55. 观察法及其在数学教育研究中的应用
56. 直觉思维在解题中的运用 57. 数学方法论与数学教学—案例三则
58. 概念课是思维训练的重要环节 59. 对概念导入和问题设计的思考
60. 把握概念本质注重思维能力的培养 61. 将研究性学习引入数学课堂教学
62. 数学教学的现代研究 63. 数学探究性活动的内容、形式及教学设计
64. 注重创新性试题的设计
以上为参考论文选题，学生写论文时可选用，也可按选题提供的范围和方向，根据自己教学过程中体会最深的某方面自定论文选题
1．关于数学教学目的问题；
2．关于数学思维问题；
3．关于数学教学方法问题；
4．关于学习的迁移问题；
5．关于数学教学的评价问题；
6．关于熟练技能与深刻理解的关系问题；
7．数学的实用功能与数学的文化教育功能相关关系的研究；
8．数学教学的德育功能研究；
9．班级授课制中集体教学、小组教学和个别教学在数学教学中的地位和作用；
10．数学发现法(探究式)教学可实施的基本内容、对象和范围；
11．对数学教学中“可接受性原则”的认识及其具体做法的实验研究；
12．中学生数学学习习惯与学习方法的调查分析；
13．诊断和鉴别数学学习困难学生的方法探析；
14．数学智力因素与数学非智力因素的界定及其对学生学习成绩交互作用的研究；
15．数学教学中激发学生学习兴趣的内在机制和外部因素的研究；
16．教法与学法的双向作用研究；
17．学生“用数学”意识和能力的形成机制以及培养途径的实验研究；
18．数学新课程实施中转变学生学习方式的途径；
19．学生数学观念或数学意识的形成机制和培养途径的实验研究；
20．创设良好的数学教学心理氛围与提高数学教学质量相关关系 的研究。
21．中学数学教育的地位与作用。
22．形象思维与数学教学。
23．直观思维与数学教学。
24．非智力因素与数学学习。
25．数学美与数学教学。
26．在数学教学中怎样培养学生的数学能力。
27．数学作图及图形的教学。
28．数学解题错误的探讨。
29．怎样配备数学习题。
30．数学解题常用的一些思维方法。
31．怎样提高学生的自学能力。
32．怎样培养学生学习数学的兴趣。
二、《概率论与数理统计》参考题
1．有关概率论发展的历史。
2．随机性与必然的数学基础与认识。
3．随机变量的直观认识与数学描述。
4．古典概率型的计算技巧。
5．几何概率型的分析处理。
6．有关概率论之介绍。
7．概率论中数学期望概念。
8．利用期望概率统一引人矩阵概率。
9．期望概率在概率论中的地位和作用。
10．特征函数与因数在概率论中的作用及其含义。
11．关于独立性。
12．大数定律与中心定律之含义。
13．大数定律与概率的统计定义。
14．有关概率不等式。
15．条件概率与条件期望。
16．Bayes公式的扩展。
17．概率在其它学科中的应用。
18．其它数学分支在概率论中的应用。
19．概率题目计算的多解性。
20．数理统计概念。
21．数理统计的过去与现在。
22．数理统计在客观现实中的作用。
23．假设检验的实质与作用。
24．参数估计的作用与处理方法。
25．数理统计在你自己工作实践中的应用(实例)。
26．学习概率统计的实践与体会。
27．概率统计中的错题分析。
28．如果我讲概率统计的话，我将这样讲(要求具体详细，资料充实，结构新颖)。
29．利用回归分析方法处理问题。
30．回归分析理论中存在的问题与解决的设想。
三、《微分几何》参考题
1．空间曲线的基本公式及其在曲线论中的作用。
2．渐近线与渐缩线。
3．空间曲线弯曲性的研究。
4．曲率与挠率。
5．曲面的第一基本形式在曲面论中的作用。
6．等矩映象与曲面的内在几何。
7．曲面的第二基本形式在曲面论中的作用。
8．曲面上的曲率线，渐近曲线，测地线。
9．曲面的内在几何与外在几何的相依性。
10．曲面内的基本定理与曲线论的基本定理的比较(相仿之处与不同之处)。
11．高斯曲率的意义与作用。
12．等矩映射与等角映射及等积映射的关系。
13．高斯与波涅公式的意义与作用。
14．伪球面与罗氏几何。
四、《复变函数》参考题
1．复变函数在一点解析的等价定义。
2．幅角多值性所导出的问题汇集。
3．小结复变函数的积分。
4．解析与调和函数的关系。
5．漫谈复数∞。
6．0，∞与函数
7．多值函数单值分支的表达与计算。
8．分式线性函数全体对乘法——函数复合——构成群。
9．∞和∞邻域的引进使扩充复平面的为紧空间。
lo．等比级数 ，在函数的泰勒展开式和罗朗展开式中的作用。
11．谈复数的比较大小问题。
五、《实变函数》参考题，
1．关于积分号下取极限(积分与极限交换次序问题)。
①在什么条件下可以积分号下取极限，是积分的一个重要性质，例 如关系到微积分基本定理成立的条件，函数项级数和的性质等等。
②列举勒贝格积分和黎曼积分在几个问题上的基本结论，分析其 中最基本的要求和相互关系(书上P146第6题可供参考)，可以发现勒贝格积分在这方面比黎曼积分好得多，而且是用勒贝格积分的主要好处之一。
③给出上述基本结论的简单推论，新的证明方法应用例题，并说明它们的意义。
2．关于微积分基本定理(牛顿一菜布尼兹公式)
①什么是微积分基本定理，它的重要意义在哪里?
②黎曼积分情形，相应定理的条件是什么?有什么不足之处?
③勒贝格积分情形，相应的定理的结论和条件又是怎样的?条件减弱在哪里?还有什么问题?
④应用例题。
3．关于绝对连续函数。
①绝对连续的定义是什么?有些什么等价说法或充分必要条件，并证明之。绝对连续与连续、一致连续有什么不同，有什么关系。
②证明绝对连续函数列一致收敛的极限，可微函数与绝对连续函 数复合，仍为绝对连续的。
③绝对连续函数几乎处处可微，能否做到处处可微?举例!绝对连续函数与它的导致关系如何，与微积分基本定理有什么关系。
④绝对连续函数全体组成线性空间。
4．关于勒贝格积分。
①试将关于勒贝格积分的定义综合起来，做出一个统一，一般的勒贝格积分定义，并说明勒贝格积分仍然是“分割、求积、取极限”的结果，勒贝格积分的“分割”与黎曼积分又有何根本不同之处?
②说明勒贝格积分在几何上仍是“曲边梯形的面积”。
③证明对于勒贝格积分，也和黎曼积分一样，无界函数的积分(广 义积分)和无界区域上的积分(无穷积分)，都是有界函数在有界域上的积分的极限。
④勒贝格积分有哪些黎曼积分所没有的重要性质。从积分的定义看，是什么原因导致这两类积分有许多重大差别。
⑤勒贝格积分有许多重要性质，带来一些什么好处?
5．关于测度。
①总结定义点集的勒贝格测度的过程，并与数学分析中定义区域的面积的过程(重积分前面部分)作比较，分析其中不同之处，以及为什么因为这些不同，导致黎曼积分和勒贝格积分在性质上有许多重大差别。
②说明勒贝格测度长度、面积、体积概念的推广，当平面区域可求面积时，它的面积和勒贝格测度相等。
③列举勒贝格测度的重要性质，说明它们与勒贝格积分性质的关 系(例如测度的可数可加性与积分的可数可加性有什么关系，单调集列极限的测度(定理3、2、6～3、2、10)与勒维定理(定理5、4、2的关系)。
6．关于可测函数。
①可测函数与连续函数，可积函数从定义上、性质上看有什么关系和差别。
②全体可测函数构成线性空间，构成环。
③试说明鲁金定理的意义，以及它与黎斯定理、叶果洛夫定理的关系。你如何理解“可测函数近于连续函数”及其理由。
7．关于可测函数列的各种收敛概念。
①试述实变函数论中及数学分析中讲过的各种收敛概念的定义和性质、互相之间的关系。以及引进这些概念的意义和用处。
②从黎斯定理和叶果洛夫定理出发说明，你怎么理解“几乎处处收敛，近乎一致收敛”。
8．关于点集上的连续函数。
①定义，性质。
②与数学分析中讲的连续的关系。
9．集合论和点集论的方法在实变函数论中的意义。
从一些具体例子出发说明，为了解决数学分析中一些结果不够完善的问题，如推广它们的结论，有必要用这种方法去研究函数，用它也确实有好的效果。说明集合论是测度论和积分论的基础。
以上问题，除参考．所用教材外，还可参考程其襄等编《实变函数与泛函分析基础》。朱玉楷编《实变函数简编》等有关书籍资料。
康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者。是数学史上最富有想象力，最有争议的人物之一。19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责。然而数学的发展最终证明康托是正确的。他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，集合概念大大扩充了数学的研究领域，给数学结构提供了一个基础，集合论不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑。 1．康托尔的生平 1845年3月3日，乔治·康托生于俄国的一个丹麦—犹太血统的家庭。1856年康托和他的父母一起迁到德国的法兰克福。像许多优秀的数学家一样，他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感，并不时得出令人惊奇的结论。他的父亲力促他学工，因而康托在1863年带着这个目地进入了柏林大学。这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心。康托很早就向往这所由外尔斯托拉斯占据着的世界数学中心之一。所以在柏林大学，康托受了外尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学。他在1869年取得在哈勒大学任教的资格，不久后就升为副教授，并在1879年被升为正教授。1874年康托在克列勒的《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章。数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生。这篇文章的创造性引起人们的注意。在以后的研究中，集合论和超限数成为康托研究的主流，他一直在这方面发表论文直到1897年，过度的思维劳累以及强列的外界刺激曾使康托患了精神分裂症。这一难以消除的病根在他后来30多年间一直断断续续影响着他的生活。1918年1月6日，康托在哈勒大学的精神病院中去世。 2．集合论的背景 为了较清楚地了解康托在集合论上的工作，先介绍一下集合论产生的背景。 集合论在19世纪诞生的基本原因，来自数学分析基础的批判运动。数学分析的发展必然涉及到无穷过程，无穷小和无穷大这些无穷概念。在18世纪，由于无穷概念没有精确的定义，使微积分理论不仅遇到严重的逻辑困难，而且还使实无穷概念在数学中信誉扫地。19世纪上半叶，柯西给出了极限概念的精确描述。在这基础上建立起连续、导数、微分、积分以及无穷级数的理论。正是这19世纪发展起来的极限理论相当完美的解决了微积分理论所遇到的逻辑困难。但是，柯西并没有彻底完成微积分的严密化。柯西思想有一定的模糊性，甚至产生逻辑矛盾。19世纪后期的数学家们发现使柯西产生逻辑矛盾的问题的原因在奠定微积分基础的极限概念上。严格地说柯西的极限概念并没有真正地摆脱几何直观，确实地建立在纯粹严密的算术的基础上。于是，许多受分析基础危机影响的数学家致力与分析的严格化。在这一过程中，都涉及到对微积分的基本研究对象─连续函数的描述。在数与连续性的定义中，有涉及关于无限的理论。因此，无限集合在数学上的存在问题又被提出来了。这自然也就导致寻求无限集合的理论基础的工作。总之，为寻求微积分彻底严密的算术化倾向，成了集合论产生的一个重要原因。 3．集合论的建立 康托在柏林大学的导师是外尔斯托拉斯，库曼和克罗内克。库曼教授是数论专家，他以引进理想数并大大推动费马大定理的研究而举世闻名是。克罗内克是一位大数学家，当时许多人都以得到他的赞许为荣。外尔斯托拉斯是一位优秀教师也是一位大数学家。他的演讲给数学分析奠定了一个精确而稳定的基础。例如，微积分中著名的观念就是他首先引进的。正是由于这些人的影响，康托对数论较早产生兴趣，并集中精力对高斯所留下的问题作了深入的研究。他的毕业论文就是关于++=0的素数问题的。这是高斯在《算术研究》中提出而未解决的问题。这片论文写得相当出色，它足以证明作者具有深刻的洞察力和对优秀思想的继承能力。然而，他的超穷集合论的创立，并没有受惠于早期对数论的研究。相反，他很快接受了数学家海涅的建议转向了其他领域。海涅鼓励康托研究一个十分有趣，也是较困难的问题：任意函数的三角级数的表达式是否唯一？对康托来说这个问题是促使他建立集合论的最直接原因。函数可用三角级数表示，最早是1822年傅立叶提出来的。此后对于间断点的研究，越来越成为分析领域中引人注目的问题，从19世纪30年代起，不少杰出的数学家从事着对不连续函数的研究，并且都在一定程度上与集合这一概念挂起了钩。这就为康托最终建立集合论创造了条件。1870年，海涅证明，如果表示一个函数的三角级数在区间[-π,π]中去掉函数间断点的任意小邻域后剩下的部分上是一致收敛的，那么级数是唯一的。至于间断点的函数情况如何，海涅没有解决。康托开始着手解决这个以如此简洁的方式表达的唯一性问题。于，他跨出了集合论的第一步。 康托一下子就表现出比海涅更强的研究能力。他决定尽可能多地取消限制，当然这会使问题本身增加难度。为了给出最有普遍性的解，康托引进了一些新的概念。在其后的三年中，康托先后发表了五篇有关这一题目的文章。1872年当康托将海涅提出的一致收敛的条件减弱为函数具有无穷个间断点的情况时，他已经将唯一性结果推广到允许例外值是无穷集的情况。康托1872年的论文是从间断点问题过度到点集论的极为重要的环节，使无穷点集成为明确的研究对象。 集合论里的中心，难点是无穷集合这个概念本身。从希腊时代以来，无穷集合很自然地引起数学家们和哲学家们的注意。而这种集合的本质以及看来是矛盾的性质，很难象有穷集合那样来把握它。所以对这种集合的理解没有任何进展。早在中世纪，人们已经注意到这样的事实：如果从两个同心圆出发画射线，那么射线就在这两个圆的点与点之间建立了一一对应，然而两圆的周长是不一样的。16世纪，伽俐略还举例说，可以在两个不同长的线段ab与cd之间建立一一对应，从而想象出它们具有同样的点。 他又注意到正整数可以和它们的平方构成一一对应，只要使每个正整数同它们的平方对应起来就行了: 1 2 3 4 …… n …… 2 3 4 …… n …… 但这导致无穷大的不同的“数量级”，伽俐略以为这是不可能的.因为所有无穷大都一样大。 不仅是伽俐略，在康托之前的数学家大多不赞成在无穷集之间使用一一对应的比较手段，因为它将出现部分等于全体的矛盾.高斯明确表态：“我反对把一个无穷量当作实体，这在数学中是从来不允许的。无穷只是一种说话的方式… …”柯西也不承认无穷集合的存在。他不能允许部分同整体构成一一对应这件事。当然，潜无穷在一定条件下是便于使用的，但若把它作为无穷观则是片面的。数学的发展表明，只承认潜无穷，否认实无穷是不行的。康托把时间用到对研究对象的深沉思考中。他要用事实来说明问题，说服大家。康托认为，一个无穷集合能够和它的部分构成一一对应不是什么坏事，它恰恰反应了无穷集合的一个本质特征。对康托来说，如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。它定义了基数,可数集合等概念。并且证明了实数集是不可数的代数数是可数的.康托最初的证明发表在1874年的一篇题为《关于全体实代数数的特征》的文章中,它标志着集合论的诞生。 随着实数不可数性质的确立，康托又提出一个新的，更大胆的问题。1874年，他考虑了能否建立平面上的点和直线上的点之间的一一对应。从直观上说，平面上的点显然要比线上的点要多得多。康托自己起初也是这样认识的。但三年后，康托宣布：不仅平面和直线之间可以建立一一对应，而且一般的n维连续空间也可以建立一一对应！这一结果是出人意外的。就连康托本人也觉得“简直不能相信”。然而这又是明摆着的事实，它说明直观是靠不住的，只有靠理性才能发现真理，避免谬误。 既然n维连续空间与一维连续统具有相同的基数，于是，康托在1879到1884年间集中于线性连续统的研究，相继发表了六篇系列文章，汇集成《关于无穷的线性点集》。前四篇直接建立了集合论的一些重要结果，包括集合论在函数论等方面的应用。其中第五篇发表于1883年，它的篇幅最长，内容也最丰富。它不仅超出了线性点集的研究范围，而且给出了超穷数的一个完全一般的理论，其中借助良序集的序型引进了超穷序数的整个谱系。同时还专门讨论了由集合论产生的哲学问题，包括回答反对者们对康托所采取的实无穷立场的非难。这篇文章对康托是极为重要的。1883年，康托将它以《集合论基础》为题作为专著单独出版。 《集合论基础》的出版，是康托数学研究的里程碑。其主要成果是引进了作为自然数系的独立和系统扩充的超穷数。康托清醒地认识到，他这样做是一种大胆的冒进。“我很了解这样做将使我自己处于某种与数学中关于无穷和自然数性质的传统观念相对立的地位，但我深信，超穷数终将被承认是对数概念最简单、最适当和最自然的扩充。”《集合论基础》是康托关于早期集合理论的系统阐述，也是他将做出具有深远影响的特殊贡献的开端。 康托于1895年和1897年先后发表了两篇对超限数理论具有决定意义的论文。在该文中,他改变了早期用公理定义(序)数的方法，采用集合作为基本概念。他给出了超限基数和超限序数的定义，引进了它们的符号；依势的大小把它们排成一个“序列”；规定了它们的加法，乘法和乘方… …。到此为止，康托所能做的关于超限基数和超限序数理论已臻于完成。但是集合论的内在矛盾开始暴露出来。康托自己首先发现了集合论的内在矛盾。他在1895年的文章中遗留下两个悬而未决的问题：一个是连续统假说；另一个是所有超穷基数的可比较性。他虽然认为无穷基数有最小数而没有最大数，但没有明显叙述其矛盾之处。一直到1903年罗素发表了他的著名悖论。集合论的内在矛盾才突出出来，成为20世纪集合论和数学基础研究的出发点. 4．对康托集合论的不同评价 康托的集合论是数学上最具有革命性的理论。他处理了数学上最棘手的对象---无穷集合。因此，他的发展道路也自然很不平坦。他抛弃了一切经验和直观，用彻底的理论来论证，因此他所得出的结论既高度地另人吃惊，难以置信，又确确实实，毋庸置疑。数学史上没有比康托更大胆的设想和采取的步骤了。因此，它不可避免地遭到了传统思想的反对。 19世纪被普遍承认的关于存在性的证明是构造性的。你要证明什么东西存在，那就要具体造出来。因此，人只能从具体得数或形出发，一步一步经过有限多步得出结论来。至于“无穷”，许多人更是认为它是一个超乎于人的能力所能认识的世界，不要说去数它，就是它是否存在也难以肯定，而康托竟然“漫无边际地”去数它，去比较它们的大小，去设想没有最大基数的无穷集合的存在……这自然遭到反对和斥责。 集合论最激烈的反对者是克罗内克，他认为只有他研究的数论及代数才最可靠。因为自然数是上帝创造的，其余的是人的工作。他对康托的研究对象和论证手段都表示强烈的反对。由于柏林是当时的数学中心，克罗内克又是柏林学派的领袖人物，所以他对康托及其集合论的发展前途的阻碍作用是非常大的。另一位德国的知觉主义者魏尔认为，康托把无穷分成等级是雾上之雾。法国数学界的权威人物庞加莱曾预言：我们的“后一代将把（康托的）集合论当作一种疾病”等等。由于两千年来无穷概念数学带来的困难，也由于反对派的权威地位,康托的成就不仅没有得到应有的评价，反而受到排斥。1891年，克罗内克去世之后，康托的处境开始好转。 另一方面，许多大数学家支持康托的集合论。除了狄德金以外，瑞典的数学家米大格---列夫勒在自己创办的国际性数学杂志上把康托的集合论的论文用法文转载，从而大大促进了集合论在国际上的传播。1897年在第一次国际数学家大会上，霍尔维次在对解析函数的最新进展进行概括时，就对康托的集合论的贡献进行了阐述。三年后的第二次国际数学大会上，为了捍卫集合论而勇敢战斗的希尔伯特又进一步强调了康托工作的重要性。他把连续统假设列为20世纪初有待解决的23个主要数学问题之首。希尔伯特宣称:“没有人能把我们从康托为我们创造的乐园中驱逐出去。”特别自1901年勒贝格积分产生以及勒贝格的测度理论充实了集合论之后，集合论得到了公认，康托的工作获得崇高的评价。当第三次国际数学大会于1904年召开时，“现代数学不能没有集合论”已成为大家的看法。康托的声望已经得到举世公认。 5．集合论的意义 集合论是现代数学中重要的基础理论。它的概念和方法已经渗透到代数、拓扑和分析等许多数学分支以及物理学和质点力学等一些自然科学部门，为这些学科提供了奠基的方法，改变了这些学科的面貌。几乎可以说，如果没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解。所以集合论的创立不仅对数学基础的研究有重要意义，而且对现代数学的发展也有深远的影响。 康托一生受过磨难。他以及其集合论受到粗暴攻击长达十年。康托虽曾一度对数学失去兴趣，而转向哲学、文学，但始终不能放弃集合论。康托能不顾众多数学家、哲学家甚至神学家的反对，坚定地捍卫超穷集合论，与他的科学家气质和性格是分不开的。康托的个性形成在很大程度上受到他父亲的影响。他的父亲乔治·瓦尔德玛·康托在福音派新教的影响下成长起来。是一位精明的商人，明智且有天份。他的那种深笃的宗教信仰强烈的使命感始终带给他以勇气和信心。正是这种坚定、乐观的信念使康托义无返顾地走向数学家之路并真正取得了成功。 今天集合论已成为整个数学大厦的基础，康托也因此成为世纪之交的最伟大的数学家之一。
