函数的导数表示函数在一点处（瞬时）随自变量变化快慢的程度。利用它，可以直接研究函数及其图像在一点处的变化性质（例如瞬时速度、切线斜率等）。为了应用导数研究函数在区间上的变化性质，先要熟悉微分学的中值定理。
1． 中值定理
微分学中有费马引理、罗尔定理和拉格朗日中值定理。
拉格朗日定理 如果函数 满足：
（ⅰ）在闭区间 ， 上连续；
（ⅱ）在开区间 ， 内可导，
则在 ， 内至少存在一点 ，使
或
由图3容易理解，当函数 满足（ⅰ）、（ⅱ），即 是条连续曲线并且在 ， 内的每点处有切线时，那么在曲线上（只要把弦AB平行移动）至少有一点P（在图中是 ），使得曲线在该点处的切线与弦AB平行，也就是说，P点处的切线斜率 和弦AB的斜率 相等。
需要注意的是，拉格朗日定理并没有给出求 值的具体方法，它只是肯定了 值的存在，并且至少有一个。如图3中的函数 ，在 ， 有 与 两个。拉格朗日定理的意义是：建立了函数 在区间 ， 上的改变量 与函数在区间 ， 内某一点 处的导数之间的关系，从而为用导数去研究函数在区间上的性质提供了理论基础。
2． 用导数研究函数的性质
为了使论述方便，我们将使用记号 和 ，它们分别表示开区间 ， 和闭区间 ， 。
现在我们利用导数来研究函数的单调性。设函数 在 上连续，在 上可导。如果函数 在 上单调增加，那么，它的图形是一条沿 轴正向上升的曲线，如图（a）所示，这时曲线上各点的切线斜率大于等于零（ ）；如果函数 在 上单调减少，那么，它的图形是一条沿 轴正向下降的曲线，如图（b）所示，这时曲线上各点的切线斜率小于等于零（ ）。由此可见，函数的单调性与其导数的符号有着密切的联系。
反过来，我们是否可以有导数的符号来判定函数的单调性呢？
一阶导数的符号
在 上任取两点 、 ，其中 < ，在区间[ ， ]上应用微分中值定理，得到
（ < < ）
有上式可见，若 ， ，就有 ，于是 ， ， 在区间 上单调递增。同理可以说明 在区间 上单调递减。
由此我们可以归纳出函数单调性的判别法。
设 在区间 上连续且在区间 上可导，则
（1） 如果函数 在区间 上满足 ，则函数 在区间 为递增函数；
（2） 如果函数 在区间 上满足 ，则函数 在区间 为递减函数。
（3） 如果函数 在区间 上满足 ，则函数 在区间 为常数。
此外，导数的绝对值告诉我们变化率的大小。当 绝对值较大时，函数曲线就陡峭一些； 绝对值较小时，函数曲线就平坦一些。记住这些，你就可以从一个函数的导数情况判断出函数的一些性态。
曲线的上下凹性
设 在某一区间内可微，一阶导数告诉我们，如果在某一区间内 ，那么 在该区间式递增的；
如果在某一区间内 ，那么 在该区间式递减的。
如果 在某一区间内递增，则它的函数曲线向上弯曲或称为上凹，如果 在某一区间内递减，则它的函数曲线向下弯曲或称为下凹。当 向上弯曲时，曲线切线的斜率随着 增加而增加，如图所示；当 向下弯曲时，曲线切线的斜率随着 增加而减少，
点 为函数 的拐点，即函数曲线在区域内点 的左边向上凹，在点 的右边向下凹，它是曲线由向上凹变为向下凹的分界点。
二阶导数的符号
函数曲线的向上凹或向下凹、曲线的拐点可以用函数的二阶导数来确定。
设 在区间 上连续且在区间 上可导，则
（1） 如果函数 在区间 上满足 ，则函数 在区间 为递增函数，函数曲线上凹；
（2） 如果函数 在区间 上满足 ，则函数 在区间 为递减函数，函数曲线下凹。
局部极值性
我们说 在点 达到极大值，指的是在 的领域内 为最大，如图所示。 在点 处达到极大值，虽然 = 在整个图像中不是最大，它只是在点 领域内为最大，另一个最大值是B= ，它只是函数在区间[ ， ]端点 的函数值，而 = 则是整个图像的最大值。
同样， 在点 达到极小值，指的是在 的领域内 为最小，如图所示。 在点 处达到极小值，虽然 = 在整个图像中不是最小，它只是在点 领域内为最小，另一个最小值是A= ，它只是函数在区间[ ， ]端点 的函数值，而 = 则是整个图像的最小值。
函数的极大值和极小值概念是局部性的。如果 是函数 的一个极大值（或极小值），那只是就点 附近一个局部范围来说， 是函数 的一个极大值（或极小值），如果就函数 整个定义域来说， 不见得是函数 极大值（或极小值）。
我们在微分中值定理一节曾经提到，如果函数 可导，并且点 是它的极值点，那么点 必定是它的驻点，但是函数的驻点未必是它的极值点。如函数 ，点 =0是它的驻点，但是在 内函数 是单调增加的，所以点 =0不是它的极值点，可见，函数的驻点只是可能的极值点。此外，函数在它不可导点处也可能取得极值，如函数 在点 =0处不可导，但是在该点取得极小值。
最大值与最小值
在前面讨论极值的基础上我们进一步讨论函数在一个区间上的最大值与最小值的求法。最大值与最小值的应用很广泛，人们做任何事情，小到日常用具的制作，大至生产科研和各类经营活动，都要讲究效率，考虑怎样以最小的投入得到最大的产出，这类问题在数学上往往可以归纳为求某一函数在某个区间内的最大与最小值的问题。
现在设函数 在闭区间 ， 上连续，在开区间 ， 可导，根据闭区间上连续函数的性质可知，函数 在闭区间 ， 的最大值、最小值必定存在；其次，如果最大值或最小值在开区间 ， 内的某一点 取得，那么这个最大值或最小值 必定是函数 的一个极大值或极小值。于是，点 必定为函数 的驻点；最后，函数 的最大值或最小值也可能是在 或 处取得。我们通过一个例子来看一看最大值或最小值的求法过程。
例5 求函数 在闭区间 ， 上的最大值与最小值。
导数另一个定义：当x=x0时，f‘(x0)是一个确定的数。这样，当x变化时，f'(x)便是x的一个函数，我们称他为f(x)的导函数（derivative function）（简称导数）。
y=f(x)的导数有时也记作y'，即 f'(x)=y'=limΔx→0[f(x+Δx)-f(x)]/Δx
物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。
求导数的方法 （1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：
① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
② 求平均变化率
③ 取极限，得导数。
（2）几种常见函数的导数公式：
① C'=0(C为常数函数)；
② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q)；
③ (sinx)' = cosx；
④ (cosx)' = - sinx；
⑤ (e^x)' = e^x；
⑥ (a^x)' = a^xlna （ln为自然对数）
⑦ (Inx)' = 1/x（ln为自然对数）
⑧ (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1)
补充一下。上面的公式是不可以代常数进去的，只能代函数，新学导数的人往往忽略这一点，造成歧义，要多加注意。
（3）导数的四则运算法则：
①(u±v)'=u'±v'
②(uv)'=u'v+uv'
③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2
（4）复合函数的导数
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。
导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献！导数的应用
1．函数的单调性
(1)利用导数的符号判断函数的增减性
利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想．
一般地，在某个区间(a，b)内，如果＞０，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果＜０，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减．
如果在某个区间内恒有=0，则f(x)是常函数．
注意：在某个区间内，＞０是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在内是增函数，但．
(2)求函数单调区间的步骤
①确定f(x)的定义域；
②求导数；
③由（或）解出相应的x的范围．当f'(x)＞0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)＜0时，f(x)在相应区间上是减函数．
2．函数的极值
(1)函数的极值的判定
①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点；
②如果在附近的左侧，右侧，那么，是极大值或极小值.
3．求函数极值的步骤
①确定函数的定义域；
②求导数；
③在定义域内求出所有的驻点，即求方程及的所有实根；
④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
4．函数的最值
(1)如果f(x)在［a,b］上的最大值（或最小值）是在(a，b)内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是f(x)在(a，b)内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在［a，b］的端点a或b处取得，极值与最值是两个不同的概念．
(2)求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
5．生活中的优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题．解决这些问题具有非常现实的意义．这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题．
浅谈导数
导数是近代数学的重要基础,是联系初、高等数学的纽带,它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野, 是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具。本文拟就导数的应用,谈一点个人的感悟和体会。
1以导数概念为载体处理函数图象问题函数图象直观地反映了两个变量之间的变化规律,由于受作图的局限性,这种规律的揭示有时往往不尽人意. 导数概念的建立拓展了应用图象解题的空间。
例1:(2007浙江卷)设 是函数f(x)的导函数,将y= f(x)+f′(x)和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是(D)
例2:(2005江西卷) 已知函数y= xf′(x)的图象如右图所示(其中f′(x))是函数 f(x)的导函数),下面四个图象中y= f(x)的图象大致是(C)
分析:由图象知,f′(1)=f′(-1) =0,所以x=±1是函数f(x)的极值点,又因为在(-1,0)上,f′(x)<0,在(0,1)上,f′(x)>0,因此在(-1,1)上,f(x)单调递减,故选C。
2以导数知识为工具研究函数单调性对函数单调性的研究,导数作为强有力的工具提供了简单、程序化的方法,具有普遍的可操作方法。
例3:已知f(x)=x3+bx2+cx+d是定义在R上的函数, 其图象交x轴于A、B、C三点, 点B的坐标为(2,0),且 f(x)在[-1,0]和[0,2]有相反的单调性. ①求C的值. ②若函数f(x)在[0,2]和[4,5]也有相反的单调性, f(x)的图象上是否存在一点M, 使得f(x)在点M的切线斜率为3b? 若存在, 求出M点的坐标. 若不存在, 说明理由.
分析:①f′(x)=3x2+2bx+c,
∵f(x)在[-1,0]和[0,2]有相反的单调性.
∴ x=0是f(x)的一个极值点, 故f′(0)=0. ∴c=0.
②令f′(x)=0得3x2+2bx=0,x1=0,x2=
因为f(x)在[0,2]和[4,5] 有相反的单调性,
∴f′(x)在[0,2]和[4,5] 有相反的符号.
故2≤-2b3≤4,-6≤b≤-3.
假设存在点M(x0,y0)使得f(x)在点M的切线斜率为3b,则f′(x0)=3b.
即3x02+2bx0-3b=0.∵△=4b2-4·3·(-3b)=4b(b+9),而f′(x0)=3b.
∴△<0.
故不存在点M(x0,y0)使得f(x)在点M的切线斜率为3b.
3证明不等式彰显导数方法运用的灵活性把要证明的一元不等式通过构造函数转化为f(x)>0(<0)再通过求f(x)的最值,实现对不等式证明,导数应用为解决此类问题开辟了新的路子,使过去不等式的证明方法从特殊技巧变为通法,彰显导数方法运用的灵活性、普适性。
例4:(1)求证:当a≥1时,不等式对于n∈R恒成立.
(2)对于在(0,1)中的任一个常a ,问是否存在x0>0使得ex0-x0-1>a·x022 ex0成立?如果存在,求出符合条件的一个x0;否则说明理由。
分析:(1)证明:(Ⅰ)在x≥0时,要使(ex-x-1)≤ax2e|x|2成立。
只需证: ex≤a2x2ex+x+1即需证:1≤a2x2+x+1ex①
令y(x)=a2x2+x+1ex,求导数y′(x) =ax+1·ex-(x+1)ex(ex)2=ax+-xex
∴y′(x)=x(a-1ex),又a≥1,求x≥0,故y′(x) ≥0
∴f(x)为增函数,故f(x)≥y(0)=1,从而①式得证
(Ⅱ)在时x≤0时,要使ex-x-1≤ax2e|x|2 成立。
只需证:ex≤a2x2ex+x+1,即需证:1≤ax22e-2x+(x+1)e-x②
令m(x)=ax22e-2x+(x+1)e-x,求导数得m′(x)=-xe-2x[ex+a(x-1)]
而φ(x)=ex+a(x-1)在x≤0时为增函数
故φ(x)≤φ(0)=1-a≤0,从而m(x) ≤0
∴m(x)在x≤0时为减函数,则m(x)≥m(0)=1,从而②式得证
由于①②讨论可知,原不等式ex-x-1≤ax2e|x|2在a≥1时,恒成立
(2)解:ex0-x0-1≤a·x02|x|2ex0将 变形为ax022+x0+1ex0-1<0 ③
要找一个x0>0,使③式成立,只需找到函t(x)=ax22+x+1ex-1 的最小值,
满足t(x)min<0即可,对t(x)求导数t′(x)=x(a-1ex)
令t′(x)=0得ex =1a,则x= -lna,取X0= -lna
在0<x<-lna时,t′(x) <0,在x > -lna时,t′(x) >0
t(x)在x=-lna时,取得最小值t(x0)=a2(lna) 2+a( -lna+1)-1
下面只需证明:a2(lna) 2-alna+a-1<0,在0<a<1时成立即可
又令p(a) =a2(lna) 2-alna+a-1,对p(a)关于a求导数
则p′(a) =12(lna) 2≥0,从而p(a)为增函数
则p(a)<p(1)=0,从而a2(lna) 2-alna+a-1<0得证
于是t(x)的最小值t(-lna)<0
因此可找到一个常数x0=-lna(0<a<1),使得③式成立
最值证明在不等式中的应用,一般转化不等式(转化的思想)构造一个函数,(函数的思想方法)然后求这个函数的极(最)值,应用恒成立关系就可以证明,对于应用导数解决实践问题,关键是建立恰当的数学模型。
4求曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线的斜率,运用导数的几何意义函数在某点的导数,其几何意义是曲线在该点处切线的斜率,利用导数可以十分便捷地分析处理解析几何中的有关切线问题。
例5:已知函数f(x)=ln x,g(x)=12x2-a(a为常数),若直线l与y=f(x)和y=g(x)的图象都相切,且l与y=f(x)的图象相切于定点P(1,f(1)).
(1)求直线l的方程及a 的值;
(2)当k∈R时,讨论关于x的方程f(x2+1)-g(x)=k的实数解的个数.
分析:(1)∵f′(x)=,∴f′(1)=1 ∴k1=1,又切点为P(1,f(1)),即(1,0)
∴l的解析式为y=x-1,
∵l与y=g(x)相切,由y=x-1
y=12x2+a,消去y得x2-2x+2a+2=0
∴△=(-2)2-4(2a+2)=0,得a=- 12
(2)令h(x)= f(x2+1)-g(x)=ln(x2+1)-12x2+12
∵h′(x) =2x1+x2-x=-x(x-1)(x+1)1+x2,则h′(x) >0,h(x) 为增函数,-1<x<0或x>1时,h′(x) <0,h(x) 为减函数。
故x=±1时,h(x)取极大值ln2,x=0时,h(x)取极小值12。
因此当 k∈(ln2,+∞),原方程无解;当k=ln2时,原方程有两解;当12<k<ln2时,原方程有四解;当k=12时,原方程有三解;当k<12时,原方程有两解。
5利用导数求函数极(最)值解答这类问题的方法是:①根据求导法则对函数求出导数。②令导数等于0,解出导函数的零点。③分区间讨论,得出函数的单调区间。④判断极值点,求出极值。⑤求出区间端点值与极值进行比较,求出最值。
例6:设x1、x2是函数f(x)=ax3+bx2-a2x (a>0)的两个极值点.
(1)若x1=-1,x2=2,求函数f(x)的解析式;
(2)若|x1|+|x2|=22,求f(x)的最大值;
分析:(1)∵f(x)=ax3+bx2-a2x (a>0),∴f′(x)=ax3+bx2-a2x (a>0)
依题意有f′(-1)=0
f′(2)=0,∴ 3a-2b-a2=0
12a+4b-a2=0
解得a=6
b=-9,∴f(x)=6x2+9x2-36x.
(2)∵f′(x)=3ax2+2bx-a2(a>0),
依题意,x1,x2是方程f′(x)=0的两个根,且|x1|+|x2|=22,
∴(x1+x2)2-2x1x2+|x1+x2|=8.
∴(-2b3a)2·(-a3)+2|-a3|=8,∴b2=3a2(6-a).
∵b2≥0,∴0<a≤6.
设p(a)=3a2(6-a),则p′(a)=-9a2+36a.
由p′(a) >0得0<a<4,由p′(a) >0得a>4.
即:函数p(a) 在区间(0,4]上是增函数,在区间[4,6]上是减函数,
∴当a=4时,p(a)有极大值为96,∴p(a)在(0,6]上的最大值是96,
∴b的最大值为46.
导数的广泛应用,为我们解决函数问题提供了有力的工具,用导数可以解决函数中的最值问题,不等式问题,还可以解析几何相联系,可以在知识的网络交汇处设计问题。因此,在教学中,要突出导数的应用。
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