电气工程及其自动化毕业论文
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半导体中的电子状态 电子状态指的是电子的运动状态又常简称为电子态，量子态等。半导体之所 以具有异于金属和绝缘体的物理性质是源于半导体内的电子运动规律。 半导体内 的电子运动规律又是由半导体中的电子状态决定的。 晶体是由周期性地排列起来的原子所组成的。 每个原子又包含有原子核和电 子。本章的目的就是研究这些粒子的运动状态。 1.1 周期性势场 晶体中原子的排列是长程有序的，这种现象称为晶体内部结构的周期性。晶体内部 结构的周期性可以用晶格来形象地描绘。 晶格是由无数个相同单元周期性地重复排列组 成的。这种重复排列的单元称为晶胞。晶胞的选取是任意的，其中结构最简单，体积最 小的晶胞叫做原胞。三维晶格的原胞是平行六面体。二维晶格的原胞是平行四边形。一 维晶格的原胞是线段。原胞只含有一个格点，格点位于元胞的顶角上。 （例：二维晶格 和一维晶格的原胞） a r b Rm r′ a2 a1 c d 。。 二维晶格元胞 Rm=3a1+ a2 以任一格点为原点，沿原胞的三个互不平行的边，长度分别等于三个边长的一组矢 量称为原胞的基矢量，简称为基矢。记作 a1 , a2 , a3 。 晶格可以用基矢量来描述。矢量 1 Rm = m1a1 + m2 a2 + m3 a3 = ∑ mi ai i =1 3 ( m1，m2，m3 是任意整数 ) （1-1） 确定了任一格点的位置，称为晶格矢量。 r 和 r = r + Rm 为不同原胞的对应点。二者相 ' 差一个晶格矢量。可以说不同原胞的对应点相差一个晶格矢量。反过来也可以说相差一 个晶格矢量的两点是不同原胞的对应点。通过晶格矢量的平移可以定出所有原胞的位 置，所以 Rm 也叫做晶格平移矢量，晶体内部结构的周期性也叫做晶体的平移对称性。 晶体内部结构的周期性意味着晶体内部不同原胞的对应点处原子的排列情况相同， 晶体的微观物理性质相同。因此，不同原胞的对应点晶体的电子的势能函数相同，即 V (r ) = V (r ' ) = V (r + Rm ) （1-2） 式（1-2）是晶体的周期性势场的数学描述。图 1-1 给出一维周期性势场的示意图。 V1 , V2 , V3 …，分别代表原子 1，2，3，…，的势场，V 代表叠加后的晶体势场。周期性势场中的电子可以有两种运动方式，一是在一个原子的势场中运动，二是 在整个晶体中运动。比如具有能量 E1 或 E2 的电子在可以在原子 1 的势场中运动，根据 量子力学的隧道效应，它还可以通过隧道效应越过势垒 V 到势阱 2，势阱 3，…，中运 动。换言之，周期性势场中，属于某个原子的电子既可以在该原子附近运动，也可以在 其它的原子附近运动， 即可以在整个晶体中运动。 通常把前者称为电子的局域化运动 （相 应的电子波函数称为原子轨道） ，而把后者称为共有化运动（相应的电子波函数称为晶 格轨道） 。局域化运动电子的电子态又称为局域态。共有化运动的电子态又称为扩展态。 晶体中的电子的运动既有局域化的特征又有共有化特征。 如果电子能量较低， 例如图 1-1 中的 E2，在该能态电子受原子核束缚较强，势垒 V－E2 较大。电子从势阱 1 穿过势垒进 入势阱 2 的概率就比较小。对于处在这种能量状态的电子来说，它的共有化运动的程度 就比较小。但对于束缚能较弱的状态 E1，由于势垒 V－E1 的值较小，穿透隧道的概率就 比较大。因此处于状态 E1 的电子共有化的程度比较大。价电子是原子的最外层电子， 受原子的束缚比较弱，因此它们的共有化的特征就比较显著。在研究半导体中的电子状 态时我们最感兴趣的正是价电子的电子状态。 2 V1 V2 V1 V3 V2 V3 V E1 V V V E2 1 2 3 原子 图 1.1a 周期势场示意图 -2 -a 0 a 2 图 1.1b 周期为 a 的一维周期性势场 图 1.1 周期势场示意图 1.2 周期性势场中电子的波函数 布洛赫（Bloch）定理 布洛赫（ ） 布洛赫定理给出了周期性势场中电子的运动状态， 提供了研究晶体中电子运动的理 论基础。 1.2.1 单电子近似（哈崔 福克 Hartree-Fock 近似） 单电子近似（哈崔-福克 近似） 晶 体 是 由 规 则 的 ，周 期 性 排 列 起 来 的 原 子 所 组 成 的 ，每 个 原 子 又 包 含 有 原子核和核外电子。原子核和电子之间、电子和电子之间存在着库仑作用。 因 此 ，它 们 的 运 动 不 是 彼 此 无 关 的 ，应 该 把 它 们 作 为 一 个 体 系 统 一 地 加 以 考 虑 。也 就 是 说 ，晶 体 中 电 子 运 动 的 问 题 是 一 个 复 杂 的 多 体 问 题 。为 使 问 题 简 化 ，可 以 近 似 地 把 每 个 电 子 的 运 动 单 独 地 加 以 考 虑 ，即 在 研 究 一 个 电 子 的 运 动 时 ，把 在 晶 体 中 各 处 的 其 它 电 子 和 原 子 核 对 这 个 电 子 的 库 仑 作 用 ，按 照 它 们 的 几 率 分 布 ，平 均 地 加 以 考 虑 。也 就 是 说 ，其 它 电 子 和 原 子 核 对 这 个 电 子 3 的 作 用 是 为 这 个 电 子 提 供 了 一 个 势 场 。这 种 近 似 称 为 单 电 子 近 似 。单 电 子 近 似 方 法 也 被 称 之 为 哈 崔 -福 克 方 法 。 这 样 ， 一 个 电 子 所 受 的 库 仑 作 用 仅 随 它 自 己 的 位 置 的 变 化 而 变 化 。或 者 说 ，一 个 电 子 的 势 函 数 仅 仅 是 它 自 己 的 坐 标 的 函 数 。于 是 它 的 运 动 便 由 下 面 仅 包 含 这 个 电 子 的 坐 标 的 波 动 方 程 式 所 决 定 2 2 + V (r )ψ (r ) = E ψ (r ) 2m 式中 2 2 — 电子的动能算符 2m （ 1-3） V (r ) — 电子的势能算符，它具有晶格的周期性 — 电子的能量 — 电子的波函数 E ψ (r ) = h ， 2π h 为普朗克常数， 称为约化普朗克常数 1.2.2 布 洛 定 理 布 洛 定 理 指 出 ： 如 果 势 函 数 V (r ) 有 晶 格 的 周 期 性 ， 即 V (r ) = V (r + Rm ) 〔 公 式 （ 1-2） 〕则 方 程 式 （ 1-3） 的 解 ψ (r ) 具 有 如 下 形 式 ψ k (r ) = eik r uk (r ) 式 中 函 数 u k (r ) 具 有 晶 格 的 周 期 性 ， 即 （ 1-4） uk (r + Rm ) = uk (r ) 以上陈述即为布洛定理。 （ 1-5） 布 洛 定 理 中 出 现 的 矢 量 Rm 为 式 （ 1-1） 所 定 义 的 晶 格 平 移 矢 量 。 矢 量 k 4 称 为 波 矢 量 ，是 任 意 实 数 矢 量 。 k = 2π λ 称为波数， λ 为电子波长。 k 是标志 电 子 运 动 状 态 的 量 。 由 式 （ 1-4） 所 确 定 的 波 函 数 称 为 布 洛 赫 函 数 或 布 洛 赫 波。 由于 ψ k (r + Rm ) = eik (r +R )uk (r + Rm ) m = = 即 eik Rm eik r uk (r ) eik Rmψ k (r ) ψ k (r + Rm ) = eik R ψ k (r ) m （ 1-6） 式 （ 1-6） 是 布 洛 赫 定 理 的 另 一 种 表 述 。 式 （ 1-6） 说 明 ， 晶 体 中 不 同 原 胞 对 应点处的电子波函数只差一个模量为 1 的因子 e ik Rm 也就是说，在晶体中各 个 原 胞 对 应 点 处 电 子 出 现 的 概 率 相 同 ，即 电 子 可 以 在 整 个 晶 体 中 运 动 — 共 有 化运动。 我 们 现 在 考 察 波 矢 量 k 和 波 矢 量 k = k + Kn 标 志 的 两 个 状 态 。 ' 式中 K n = n1b1 + n2b2 + n3b3 = ∑ ni bi i =1 3 (1-7) 叫 做 倒 格 矢 （ reciprocal lattice vector） b1 ， b2 ， b3 叫 做 与 基 矢 a1 ， a 2 ， 。 a3 相 应 的 倒 基 矢 。 n1 ， n2 ， n3 为 任 意 整 数 。由 b1 ， b2 ， b3 所 构 成 的 空 间 称 为倒 空 间 (reciprocal space)或 倒 格 子 （ reciprocal lattice） b1 ， b2 ， b3 与 。 a1 ， a 2 ， a3 之 间 具 有 如 下 的 正 交 关 系 2π , i = j bi a j = 2πδ ij = 0, i ≠ j 且 （ i, j = 1， 2， 3） b1 = 2π (a 2 × a3 ) 5 b2 = b3 = 式中 2π (a3 × a1 ) 2π (a1 × a 2 ) = a1 ( a 2 × a 3 ) 为晶格原胞的体积。 （举例：晶格常数为 a 的一维晶格和它的倒格子： b = 2π / a 。 a ≈ 0.5nm, b ≈ 108 cm 1 ）晶 格 平 移 矢 量 Rm 和 倒 格 矢 K n 之 间 满 足 如 下 关 系 eiKn Rm = 1 利用上式，有 i k + K n Rm e ( ) = eiKn Rm eik Rm = eik Rm 由 于 波 矢 量 k 是 标 志 电 子 状 态 的 量 ，可 见 ，相 差 倒 格 矢 K n 的 两 个 k 代 表 的 是 同 一 个 状 态 。 举 例 ：倒 空 间 一 维 波 矢 量 ） （ 。因 此 ，为 了 表 示 晶 体 中 不 同 的 电 子态只需要把 k 限制在以下范围 0 ≤ k1 < 0 ≤ k2 < 0 ≤ k3 < 2π a1 2π a2 2π a3 即可。为对称起见，把 k 值限制在 6 或写作 π a1 ≤ k1 < ≤ k2 < ≤ k3 < π a1 π a2 π a2 π a3 π a3 π ≤ k i ai < π （ 1-8） 公 式 （ 1-8） 所 定 义 的 区 域 称 为 k 空 间 的 第 一 布 里 渊 （ 1st Brillouin Zone） 区。 布里渊区是把倒空间划分成的一些区域。布里渊区是这样划分的：在 倒 空 间 ，作 原 点 与 所 有 倒 格 点 之 间 连 线 的 中 垂 面 ，这 些 平 面 便 把 倒 空 间 划 分 成 一 些 区 域 ，其 中 ，距 原 点 最 近 的 一 个 区 域 为 第 一 布 里 渊 区（ 1stBZ）,距 原 点 次 近 的 若 干 个 区 域 组 成 第 二 布 里 渊 区 ，以 此 类 推 。这 些 中 垂 面 就 是 布 里 渊 区的分界面。 在 布 里 渊 区 边 界 上 的 k 的 代 表 点 ， 都 位 于 到 格 矢 Kn 的 中 垂 面 上 ， 它 们 满足下面的平面方程： k (Kn / Kn ) = 即 1 Kn 2 k Kn = 1 2 Kn 2 （ 1-9） k 取遍 k 空间除原点以外的所有所有 k 的代表点。可以证明，这样划分的布里渊区，具有以下特性： 1.每 个 布 里 渊 区 的 体 积 都 相 等 ， 而 且 就 等 于 一 个 倒 原 胞 的 体 积 。 7 2. 每 个 布 里 渊 区 的 各 个 部 分 经 过 平 移 适 当 的 倒 格 矢 K n 之 后 ，可 使 一 个 布 里 渊区与另一个布里渊区相重合。 3. 每 个 布 里 渊 区 都 是 以 原 点 为 中 心 而 对 称 地 分 布 着 而 且 具 有 正 格 子 和 倒 格 子的点群对称性。布里渊区可以组成倒空间的周期性的重复单元。 根 据 以 上 分 析 ，对 于 周 期 为 a 的 一 维 晶 格 ，第 一 布 里 渊 区 为 [ 第二布里渊区为[ π π 2π π π 2π , ）和[ , ） 余此类推。 。 a a a a , ） 。 a a 值得注意的是布里渊区边界上的两点相差一个倒格矢，因此代表同一个 状态。 常见金刚石结构和闪锌矿结构具有面心立方晶格，其第一布里渊区如图 1-2 所 示 。布 里 渊 区 中 心 用 Γ 表 示 。六 个 对 称 的 <100>轴 用 表 示 。八 个 对 称 的 <111>轴 用 ∧ 表 示 。 十 二 个 对 称 的 <110>轴 用 ∑ 表 示 。 符 号 X、 L、 K 分 别 表 示 <100>、 <111>、 <110>轴 与 布 里 渊 区 边 界 的 交 点 。 其 坐 标 分 别 为 X: 2π 2π 1 1 1 (1, 0, 0) , L: ( , , ) a a 2 2 2 K: 2π 3 3 ( , , 0) a 4 4 在六个对称的 X 点中，每一个点都与另一个相对于原点同它对称的点相 距 一 个 倒 格 矢 ，它 们 是 彼 此 等 价 的 。不 等 价 的 X 点 只 有 三 个 。同 理 ，在 八 个 对称的 L 点中不等价的只有四个。 L Γ Χ ky K kx 8 图 1-2 面 心 立 方 格 子 的 第 一 布 里 渊 区 图 下面我们来证明布洛赫定理。 引入电子的哈蜜顿算符 H=- 2 2 + V (r) 2m 则 波 动 方 程 （ 1-3） 可 以 简 写 成 Hψ (r) = Eψ (r) （ 1-10） 引 入 平 移 算 符 T （ Rm ， 其 定 义 为 ， 当 它 作 用 在 任 意 函 数 f（ r ） 上 后 ， 将 函 Rm） 数 中 的 变 量 r 换 成 （ r +Rm ,得 到 r 的 另 一 函 数 f（ r +Rm ,即 Rm） Rm） Rm Rm Rm)f(r )=f（ r +Rm Rm） T (Rm Rm r Rm (1-11) 平 移 算 符 彼 此 之 间 可 以 交 换 。 对 于 任 意 两 个 平 移 算 符 T (Rm Rm)和 T (Rn Rn)， Rm Rn 有 =T(Rm+Rn) T(Rm)T(Rn) =T(Rn)T(Rm) =T(Rm Rn) 证明如下： T(Rm)T(Rn)f(r)=T(Rm)f(r T(Rm)T(Rn)f(r)=T(Rm) (r＋ Rn) (r =f(r +Rn Rm r Rn Rm) Rn+Rm =T (r +Rn Rm T r Rn Rm)f（ r ） Rn+Rm (1-12) 9 =T (r +Rm Rn T r Rm Rn)f（ r ） Rm+Rn =T (Rn T Rn Rn)f(r ＋ Rm r Rm) ＝ T （ Rn T （ Rm f(r ) Rn） Rm） r 这 说 明 两 个 平 移 操 作 接 连 进 行 的 结 果 ，不 依 赖 于 它 们 的 先 后 次 序 ，即 平 移 算 符彼此之间是可以交换的。 在 周 期 性 势 场 中 运 动 的 电 子 的 势 函 数 V(r ) 具 有 晶 格 的 周 期 性 [ 公 式 r （ 1-2） ]因 而 有 2 2 T(R m )Hψ (r) = (∑ ) + V (r + R m ) ψ (r + R m ) 2 2m j ( x j + m j a j ) 2 2 = + V (r) ψ (r + R m ) 2m = HT(R m )ψ (r) 上 式 表 明 ， 任 意 一 个 晶 格 平 移 算 符 T (Rm Rm)和 电 子 的 哈 密 顿 算 符 H 彼 此 间 两 两 Rm 可交换，即 Rm)H HT Rm) HT(Rm T (Rm H =HT Rm Rm (1-13) 根据量子力学的一个普遍定理，这些线性算符可以有共同的本征函数。 或者说，存在这样的表象，在此表象中，这些算符的矩阵元素同时对角化。 容易说明，为了选择 H 的本征函数，使得它们同时也是所有平移算符的 本 征 函 数 ， 只 需 要 它 们 是 三 个 基 本 平 移 算 符 T (a 1 ) ,T （ a 2 ), T (a 3 )的 本 征 a T a 函 数 就 够 了 。 也 就 是 说 ， 如 果 ψ ( r ) 是 基 本 平 移 算 符 T （ a j ） ,T （ a 2 ), T (a 3 ) T a 的 本 征 函 数 ， 则 它 也 是 平 移 算 符 T (Rm Rm)的 本 征 函 数 。 证 明 如 下 ： 选 择 （ 1-3） Rm 10 的 解 ψ (r ) 是 基 本 平 移 算 符 的 本 证 函 数 ， 即 T(a1 )ψ (r) = ψ (r + a1 ) = C (a1 )ψ (r) T (a2 )ψ (r ) = ψ (r + a2 ) = C (a2 )ψ (r ) T (a3 )ψ (r ) = ψ (r + a3 ) = C (a3 )ψ (r ) 或 T (a j )ψ (r ) = ψ (r + a j ) = C (a j )ψ (r ), ( j = 1, 2,3) 其 中 C ( a1 ), C ( a2 ), C ( a3 ) 分 别 是 三 个 基 本 平 移 算 符 的 本 征 值 。 T ( Rm )ψ (r ) = m1a1 + m2 a2 + m3 a3 )ψ (r ) T( ＝ ψ ( r + Rm ) ＝ T ( a1 ) 1 T ( a2 ) 2 T ( a3 ) 3 ψ (r ) m m m ＝ C ( a1 ) 1 C ( a2 ) 2 C ( a3 ) 3ψ ( r ) m m m =λ ψ ( r ) （ 1-14） 可 见 ， 若 C ( a1 ), C ( a2 ), C ( a3 ) 分 别 是 三 个 基 本 平 移 算 符 的 本 征 值 。 则 λ = C ( a1 ) 1 C ( a2 ) 2 C ( a3 ) 3 就 是 平 移 算 符 T (Rm Rm)的 本 征 值 。 因 此 ， 若 ψ ( r ) 是 三 个 Rm m m m 基 本 平 移 算 符 T (a 1 ) ,T （ a 2 ), T (a 3 )的 本 征 函 数 ， 则 它 也 是 平 移 算 符 T (Rm Rm) a T a Rm 的 本 征 函 数 。 我 们 就 这 样 来 选 择 波 动 方 程 （ 1-3） 的 解 ， 使 它 们 同 时 也 是 所 有 平 移 算 符 的 本 征 函 数 。或 者 说 通 过 寻 找 平 移 算 符 的 本 征 函 数 去 找 到 波 动 方 程 （ 1-3） 的 解 。 11 由 于 平 移 算 符 T (Rm Rm)和 H 可 以 交 换 ，所 以 若 ψ ( r ) 是 H 的 本 征 函 数 ，则 经 Rm 过 平 移 后 的 函 数 ψ ( r + Rm ) 一 定 也 都 是 H 的 本 征 函 数 。 求 这 些 函 数 都 要 满 足 要 归 一 化 条 件 ， 因 而 它 们 之 间 的 比 例 系 数 的 绝 对 值 必 须 等 于 1， 即 C (a1 ) m1 C (a2 ) m2 C (a3 ) m3 该式成立的充分必要条件是 =1 （ m1 , m2 , m3 是任意整数） C (a1 ) = 1, C (a2 ) = 1, C (a3 ) = 1 。 即要求这三个常数只可能是模量为 1 的复数。它们一般可以写成 C (a1 ) = ei 2πβ1 ， C (a2 ) = ei 2πβ2 ， C (a3 ) = ei 2πβ3 或者 C (a j ) = e 这里 i 2πβ j （ j=1， 2， 3） （ 1-15） β1 , β 2 , β3 为 三 个 任 意 实 数 。 以 这 三 个 实 数 为 系 数 ， 把 三 个 倒 基 矢 线 性 组 合 起 来 ， 得 到 一 个 实 数 矢 量 K: k = β1b1 + β 2b2 + β 3b3 根据正基矢与倒基矢之间的正交关系 3 (1-16) k a j = ∑ βi bi a j = 2πβ j i =1 可 以 把 式 （ 1-15） 改 写 成 C (a1 ) = eik a1 ， C (a2 ) = eik a2 ， C (a3 ) = eik a3 或者 12 C (a j ) = e 代替 ik a j （ 1-17） β1 , β 2 , β3 ， 引 入 了 矢 量 K 。 在 量 子 力 学 中 ，如 果 算 符 代 表 一 定 的 物 理 量 ，其 本 征 值 是 实 数 ，相 应 的 算 符 为 厄 米 算 符 。平 移 算 符 只 是 一 种 对 称 操 作 ，不 代 表 物 理 量 ，不 具 有 厄 米 算 符的性质，因此其本征值可以是复数。 将 （ 1-17） 代 入 （ 1-14） 得 到 ， ψ (r + Rm ) = eik R ψ (r ) m （ 1-18） 式 （ 1-18） 即 为 式 （ 1-6） 是 布 洛 赫 定 理 的 另 一 种 形 式 。 ， 利 用 波 函 数 ψ ( r ) ， 可 以 定 义 一 个 新 的 函 数 u (r ) ， u (r ) = e ik rψ (r ) （ 1-19） 根 据 波 函 数 的 性 质 式 （ 1-18） 容 易 看 出 ， 函 数 u (r ) 具 有 晶 格 的 周 期 性 ： ， u (r + Rm ) = e ik ( r + Rm )ψ (r + Rm ) = e ik rψ ( r ) = u (r ) （ 1-20） 于 是 ， 由 式 （ 1-19） 可 以 将 周 期 性 势 场 中 电 子 的 波 函 数 表 示 为 ， ψ (r ) = eik r u (r ) 其 中 u (r ) 具 有 晶 格 的 周 期 性 。 根 据 以 上 分 析 ，周 期 性 势 场 中 电 子 的 波 函 数 可 以 表 示 成 一 个 平 面 波 和 一 13 个 周 期 性 因 子 的 乘 积 。 平 面 波 的 波 矢 量 为 实 数 矢 量 k， 它 可 以 用 来 标 志 电 子 的 运 动 状 态 。不 同 的 k 代 表 不 同 的 电 子 态 ，因 此 k 也 同 时 起 着 一 个 量 子 数 的 作 用 。 为 明 确 起 见 ， 在 波 函 数 上 附 加 一 个 指 标 k ,写 作 ψ k (r ) = eik r uk (r ) 至此，布洛赫定理得证。 相 应 的 本 征 值 — 能 量 谱 值 为 E=E（ k ） 。 根 据 公 式 （ 1-21） 可 以 看 出 : （ 1-21） 1. 波 矢 量 k 只 能 取 实 数 值 ,若 k 取 为 复 数 ,则 在 波 函 数 中 将 出 现 衰 减 因 子 , 这样的解不能代表电子在完整晶体中的稳定状态。 2.平 面 波 因 子 e ik r 与自由电子的波函数相同， 描述电子在各原胞之间的 它 运动—共有化运动。 3.因 子 uk ( r ) 则 描 述 电 子 在 原 胞 中 的 运 动 — 局 域 化 运 动 。它 在 各 原 胞 之 间 周期性地重复着。 4.根 据 式 (1-18), ψ k (r + Rm ) 2 = ψ k (r ) 2 (1-22) 这说明电子在各原胞的对应点上出现的概率相等. 需 要 指 出 的 是 , 由 于 晶 体 中 电 子 的 波 函 数 不 是 单 纯 的 平 面 波 ,而 是 还 乘 以一个周期性函数。 以它们的动量算符 所 与哈密顿算符 H 是不可交换的。 i 因 此 , 晶 体 中 电 子 的 动 量 不 取 确 定 值 。由 于 波 矢 量 k 与 约 化 普 朗 克 常 数 的 乘 积 是 一 个 具 有 动 量 量 纲 的 量 ， 对 于 在 周 期 性 势 场 中 运 动 的 电 子 ,通 常 把 14 p = k (1-23) 称 为 晶 体 动 量 crystal momentum） 或 电 子 的 准 动 量 (quasimomentum)” “ （ ” “ . 1.3 周 期 性 边 界 条 件 （ 玻 恩 - 卡 曼 边 界 条 件 ） 在 讨 论 电 子 的 运 动 情 况 时 ，我 们 没 有 考 虑 晶 体 边 界 处 的 情 况 ，就 是 说 我 们 把 晶 体 看 作 是 无 限 大 的 。对 于 实 际 晶 体 ，除 了 需 要 求 解 波 动 方 程 之 外 ，还 必 须 考 虑 边 界 条 件 。根 据 布 洛 赫 定 理 ，周 期 场 中 的 电 子 的 波 函 数 可 以 写 成 一 个 平 面 波 与 一 个 周 期 性 因 子 相 乘 积 。平 面 波 的 波 矢 量 k 为 任 意 实 数 矢 量 。当 考虑到边界条件后，k 要受到限制，只能取分立值。本节我们将根据晶体的 周期性边界条件，对 k 作一些更深入的讨论。 实 际 的 晶 体 其 大 小 总 是 有 限 的 。电 子 在 晶 体 表 面 附 近 的 原 胞 中 所 处 的 情 况 与 内 部 原 胞 中 的 相 应 位 置 上 所 处 的 情 况 不 同 ，因 而 ，周 期 性 被 破 坏 ，给 理 论 分 析 带 来 一 定 的 不 便 。 为 了 克 服 这 一 困 难 ， 通 常 都 采 用 玻 恩 -卡 曼 的 周 期 性边界条件。 玻 恩 -卡 曼 的 周 期 性 边 界 条 件 的 基 本 思 想 是 ，设 想 一 个 有 限 大 小 的 晶 体 ， 它 处 于 无 限 大 的 晶 体 中 ，而 无 限 晶 体 又 是 这 一 有 限 晶 体 周 期 性 重 复 堆 积 起 来 的 。由 于 有 限 晶 体 是 处 于 无 限 晶 体 之 中 ，因 而 ，电 子 在 其 界 面 附 近 所 处 的 情 况 与 内 部 相 同 ，电 子 势 场 的 周 期 性 不 致 被 破 坏 。假 想 的 无 限 晶 体 只 是 有 限 晶 体 的 周 期 性 重 复 ，只 需 要 考 虑 这 个 有 限 晶 体 就 够 了 ，并 要 求 在 各 有 限 晶 体 的 相 应 位 置 上 电 子 运 动 情 况 相 同 。或 者 说 ，要 求 电 子 的 运 动 情 况 ，以 有 限 晶 体 为 周 期 而 在 空 间 周 期 性 地 重 复 着 。于 是 ，问 题 便 得 到 了 解 决 。这 就 是 所 谓 周 期性边界条件。 设 想 所 考 虑 的 有 限 晶 体 是 一 个 平 行 六 面 体 ， 沿 a1 方 向 有 N1 个 原 胞 ， 沿 a2 方 向 有 N2 个 原 胞 ， 沿 a3 方 向 有 N3 个 原 胞 ， 总 原 胞 数 N 为 N=N 1 N 2 N 3 . （ 1.24） 15 周 期 性 边 界 条 件 要 求 沿 aj 方 向 上 ， 由 于 以 N ja j 为 周 期 性 ， 所 以 ψ k (r + N j a j ) = ψ k (r ). （ j=1， 2， 3） （ 1.25） 将 晶 体 中 的 电 子 波 函 数 公 式 （ 1.21） 代 入 这 一 条 件 后 ， 则 要 求 e ik ( r + N j a j ) uk (r + N ja j ) = eik r uk (r ). 考 虑 到 函 数 uk ( r ) 是一个具有晶体周期性的函数，因而，要上式成立，只需 ik N j a j e =1 即要求 k N j a j 为 2π的整数倍。 将波矢量 k 的表示式 k = β1b1 + β 2b2 + β 3b3 代入上式， 并利用正交关系 biaj=2πδij ，上面的条件可改写为 k N j a j = β j N j 2π = l j 2π , (l j 为任意整数）或者 β j = l j / N j , ( j = 1, 2, 3) 即 β1 = l1 / N1 , β 2 = l2 / N 2 , β3 = l3 / N 3 ，（ l1 l2 l3 为任意整数） （1.26） 由于 l j 为整数，所以 β j 只能取分立值。将式（1.26）代入式（1.16） ，则发现在周期性 边界条件限制下，波矢量 k 只能取分立值， 3 l l l1 l j b1 + 2 b2 + 3 b3 = ∑ b j N1 N2 N3 j =1 N j k= （1.27） 16 （ l1 l2 l3 为任意整数） 。 而与这些波矢量 k 相应的能量 E （k）也只能取分立值，这给理论分析上带来很大 的方便。 在倒空间中每个倒原
本科毕业论文该如何选题
《毕业论文的选题方法》1、选题的大小一定要适中，难易要适度.（选题的方法。注意两点：一是选题的大小一定要适中，难易要适度。我们从本科生写论文的实践上看，主要有两种情况需要注意：一种是选题比较小。因为自己的资料积累的少，视野比较窄，从某种意义上来说，对自己所学的知识的概括还不够。所以选题呢，比较小。选题小就撑不开。有些学年论文一般3000字，这个训练习惯了，选题一选就选小了。你选题8000字到10000字的，大小要适中，另外难易要适度。就是说你不要选难度特别大的，你自己控制不住。这是一个方面。还有一种情况是选题过大。选题过大的情况，一般是蒐集的材料特别丰富，一下子就觉得什么也要说，就选了个大题目。当然有的同学并不知道什么样的题目叫大，什么样的题目叫小。脑子里有个题目就马上出来了。或者是他脑子里什么题目都没有就盲目的去搜集材料，这就更危险。比如有个学生，他写的一个题目叫《WTO与保密工作》，这个题目太大，完全可以写出一个博士论文了。WTO是个大架势，保密工作没有时间限制，到底从哪里开始呢？如果是当代，那你就应该说当代保密工作或者说近几年的。所以我让他换题目。因为他是个自考学生，他的题目给我的时候就已经连论题、提纲和论文就都出来了。他们以为写了论文稿给老师就可以了。这是一个很大的失误。你们以后选了题目以后，一定要注意先跟老师沟通一下。老师对题目的大小、难易都把握好，通过以后，你们再去列提纲，再去写论文。
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《毕业论文的选题方法》
1、选题的大小一定要适中，难易要适度.
（
选题的方法。注意两点：一是选题的大小一定要适中，难易要适度。我们从本科生写论文的实践上看，主要有两种情况需要注意：一种是选题比较小。因为自己的资料积累的少，视野比较窄，从某种意义上来说，对自己所学的知识的概括还不够。所以选题呢，比较小。选题小就撑不开。有些学年论文一般3000字，这个训练习惯了，选题一选就选小了。你选题8000字到10000字的，大小要适中，另外难易要适度。就是说你不要选难度特别大的，你自己控制不住。这是一个方面。还有一种情况是选题过大。选题过大的情况，一般是蒐集的材料特别丰富，一下子就觉得什么也要说，就选了个大题目。当然有的同学并不知道什么样的题目叫大，什么样的题目叫小。脑子里有个题目就马上出来了。或者是他脑子里什么题目都没有就盲目的去搜集材料，这就更危险。
比如有个学生，他写的一个题目叫《WTO与保密工作》，这个题目太大，完全可以写出一个博士论文了。WTO是个大架势，保密工作没有时间限制，到底从哪里开始呢？如果是当代，那你就应该说当代保密工作或者说近几年的。所以我让他换题目。因为他是个自考学生，他的题目给我的时候就已经连论题、提纲和论文就都出来了。他们以为写了论文稿给老师就可以了。这是一个很大的失误。你们以后选了题目以后，一定要注意先跟老师沟通一下。老师对题目的大小、难易都把握好，通过以后，你们再去列提纲，再去写论文。
如何帮助本科生更好地完成毕业论文的几点建议
这个应该算是毕业论文的写作技巧了吧，下面分享一篇硕士学位论文的写作技巧，希望能帮到您。对于第一次写作硕士论文的同学们来说，往往存在这样一个疑问，硕士论文应该怎么写呢?上学 吧论文写作给大家整理了一份如何写好硕士论文的文章，提供一些论文写作方面的参考，欢迎查看。
一、确定论文的选题
从广义上说，选任何本专业范围内的题目都能够写出东西来，只要你有新观点、新发现、新角度、 新研究方法、新材料等等。但是这后面的“五新” 大大限制了硕士论文的选题。这是由于作者多数是第一次写这么长的学术论文，缺乏经验，也缺乏深厚的知 识积累，难以把握;同时，二三万字这个条件也对选题有很大的制约，如果题目过大，无法在这个相对狭小的 范围内展开。所以，选题是否得当，对于论文的成功，影响很大，甚至有人说，一个好的选题等于成功了一 半。
二、“文献检索”
这一步的工作是较为艰苦的，需要有思想准备。在我国，多数中文学术资料目前没有上网，需要手 工查找，因而这个步骤中查找中文资料花费的时间和精力可能很大;拉丁文资料，特别是英文资料由于网络传 播的方便条件，相对好查询。但是不少资料即使找到了目录，真正能够阅读到，仍需要作者不懈的努力。比 如可以通过知网查询
三、选题的依据
提出你关于论文选题的理论假设，或要研究的具体问题。选题是指准备写的论文的大体方向和范围 ，真要动手写作，就会遇到两类具体的问题。第一类属于观点方面的：我的具体观点是什么?你可以设想出一 个或几个观点，但它们仅仅是一种假设，通过许多证据、材料，通过严密的论证和适当的论证框架结构，证 明你的假设是成立的，这才能形成论文的主体。第二类属于实用方面的：我要具体论证什么问题?你可以提出 许多原因、各种环境条件的影响，它们是不是与所论证的问题相关到什么程度，这需要通过科学的调查和分 析。
四、研究的方法
决定采用哪些研究方法。人文-社会科学的研究方法，大体可以归为两大范畴，思辨研究和实证研究 ，后者又可分为定性研究、定量研究两种具体的研究方法。人们为探究社会事实或社会现象，而采用不同的 研究取向，不同的研究取向又有不同的研究方法，不同的研究假设、收集资料的方式和对结果的判断标准。 但是各种研究方法在现在的论文写作中，已经越来越多地呈现相容和内在的连接。一般地说，根据自己的选 题和讨论的具体问题，可以以一种研究方法为主，辅以其他的方法。例如研究“人”作为大众媒体信息的接 受者其接受信息时的状况，这种研究取向就决定了研究本身要以定量分析为主，但同时也需要一些历史的、 文化的、政治经济学的思辨研究。
五、设计论文的框架结构
一般文章的写作也需要有这一步，但对硕士论文来说，更为必要，其要求也更细一些。一般情况下 ，一篇硕士论文要有绪章、入题的第一章、主体章节，以及结束语。章节的设置在写前要有个大体的布局逻 辑，使之结构合理;章和章之间有一种逻辑联系，防止盲目写下去，淹没主题，不知所云。这一步很少有一次 完成的，往往会根据收集材料的情况、调查访问中遇到的新情况，经常变动。但是就像建筑师在盖房子前必 须有图纸一样，到了写硕士论文这个层次上，大体的文章框架不能仅仅存于脑子中，一般要形成文字，相对 细致一些，具体到“节”更好(但“节”的层次开始时不要固定化)，便于写作时心中有数。大概框架为引言 →相关理论概述→研究对象的现状→研究对象存在的问题→对策。
六、文献资料
对已经取得的文献资料、调查材料和各种论据进行分析、归类，分别充实到各章节中，再进行解释 、论证。这实际就是论文写作......
本科毕业论文题目里面不能包含研究两个字吗
可以啊。一般题目都是“关于什么什么问题的研究”。如果是事例总结，就是“关于什么什么的报告“
大学生论文如何选题
首先，选题要“准”，紧紧结合所学专业；其次，选题要“小”，确定的范围要窄，这样有利于发挥；第三，选题要“新”，要有自己独立观念，最好能结合当前热点。
毕业论文的选题意义怎么写？
选题意义和目的一般作为开题报告里面的第一块内容,是阐述你所研究的这个选题有没有研究价值或者说讨论价值的, 写开题报告的目的，其实就是要请导师来评判我们这个选题有没有研究价值、这个研究方法有没有可能奏效、这个论证逻辑有没有明显缺陷. 写意义的时候根据你的选题来决定形式 可以分现实意义和理论意义 也可以不细分,把目的和意义和在一起写,总之突出你观点的新颖和重要性即可 建议可以从这两点来叙述,不过要根据自己的选题,不要生搬硬套: 1. (你的选题)是前人没有研究过的,也就是说研究领域中一个新颖有意义的课题,被前人所忽略的 2. 前人有研究过,或者说阐述过但是没有阐述论证的足够全面,你加以丰满,或者驳斥前人的观点, 总之,意义和目的一定要叙述的清晰并且是有一定新意的 其次注意自己所使用的理论,你是用什么理论证明你的观点 也要叙述清楚,否则难以有说服力 在做文献综述和国内外研究水平的评价等等也要有翔实的根据 这样才能衬托出你的选题的意义所在
会计本科毕业论文写什么题目比较好
提供一些会计专业毕业论文题目，供参考。
一、会计方面（含会计理论、财务会计、成本会计、资产评估）
1．金融衍生工具研究
2．财务报表粉饰行为及其防范
3．试论会计造假的防范与治理
4．会计诚信问题的思考
5．关于会计职业道德的探讨
6．论会计国际化与国家化
7．论稳健原则对中国上市公司的适用性及其实际应用
8．关于实质重于形式原则的运用
9．会计信息相关性与可靠性的协调
10．企业破产的若干财务问题
11．财务会计的公允价值计量研究
12．论财务报告的改进
13．论企业分部的信息披露
14．我国证券市场会计信息披露问题研究
15．上市公司治理结构与会计信息质量研究
16．论上市公司内部控制信息披露问题
17．关于企业合并报表会计问题研究
18．我国中小企业会计信息披露制度初探
19．现金流量表及其分析
20．外币报表折算方法的研究
21．合并报表若干理论的探讨
22．增值表在我国的应用初探
23．上市公司中期报告研究
24．现行财务报告模式面临的挑战及改革对策
25．表外筹资会计问题研究
26．现行财务报告的局限性及其改革
27．关于资产减值会计的探讨
28．盈余管理研究
29．企业债务重组问题研究
30．网络会计若干问题探讨
31．论绿色会计
32．环境会计若干问题研究
33．现代企业制度下的责任会计
34．人本主义的管理学思考――人力资源会计若干问题
35．试论知识经济条件下的人力资源会计
36．全面收益模式若干问题研究
37．企业资产重组中的会计问题研究
38．作业成本法在我国企业的应用
39．战略成本管理若干问题研究
40．内部结算价格的制定和应用
41．跨国公司转让定价问题的探讨
42．我国企业集团会计若干问题研究
43．责任成本会计在企业中的运用与发展
44．试论会计监管
45．会计人员管理体制问题研究
46．高新技术企业的价值评估
47．企业资产重组中的价值评估
48．企业整体评估中若干问题的思考
49．新会计制度对企业的影响
50．《企业会计制度》的创新
51．我国加入WTO后会计面临的挑战
52．XX准则的国际比较（例如：中美无形资产准则的比较）
53．新旧债务重组准则比较及对企业的影响
54．无形资产会计问题研究
55．萨宾纳斯――奥克斯莱法案对中国会计的影响
56．对资产概念的回顾与思考
57．规范会计研究与实证会计研究比较分析
58．试论会计政策及其选择
59．对虚拟企业几个财务会计问题的探讨
60．知识经济下无形资产会计问题探讨
61．两方实证会计理论及其在我国的运用
二、财务管理方面（含财务管理、管理会计）
1．管理层收购问题探讨
2．MBO对财务的影响与信息披露
3．论杠杆收购
4．财务风险的分析与防范
5．投资组合理论与财务风险的防范
6．代理人理论与财务监督
7．金融市场与企业筹资
8．市场经济条件下企业筹资渠道
9．中西方企业融资结构比较
10．论我国的融资租赁
11．企业绩效评价指标的研究
12．企业资本结构优化研究
13．上市公司盈利质量研究
14．负债经营的有关问题研究
15．股利分配政策研究
16．企业并购的财务效应分析
17．独立董事的独立性研究
18．知识经济时代下的企业财务管理
19．现代企业财务目标的选择
20．中小企业财务管理存在的问题及对策
21．中小企业融资问题研究
22．中国民营企业融资模式――上市公司并购
23．债转股问题研究
24．公司财务战略研究
25．财务公司营运策略研究
26．资本经营若干思考
27．风险投资运作与管理
28．论风险投资的运作机制
29．企业资产重组中的财......
如何找到一个比较合适的毕业论文题目 详细??
如何找到一个比较合适的题目 有人说：选对了题目，等于论文完成了一半。这话可能有些极端，但也不无道理，因为选题确实在很大程度上决定着论文的价值，也关系到研究的成败。所谓“选对了题目”包括两层含义：一是指课题有研究的必要性，二是指课题有研究的可行性。关于前者，各位老师的文章中也有较多涉及，这里主要谈谈后者，而且所谈的只是一些比较具体的细节问题。 一个课题无论多么有意义、有价值，如果不具备研究的可行性，也就是说自己不具备研究的条件，也是不能选作毕业论文的题目的。在毕业论文的写作中，考虑一个题目是否合适，是否可以选取，主要应当考虑以下几个方面的条件。 首先，资料条件是最为重要因而也是最值得重视的条件。 资料是进行科学研究的凭借，是学术见解产生的基础。撰写论文，从事研究，不能没有资料，而资料又不是随手可取的，资料条件并不是对于每个人都相同的。科学研究资料的种类很多，而对于汉语言文学专业的学生来说，最常用的资料就是文献资料。每个人都处于特定的生活环境之中，可以经常利用的图书情报机构有限，而任何一个图书情报机构都不能无所不包，为此，选题时就要考虑能否拿到自己所需要的文献资料，经过努力之后，得到的资料是否齐全、够用。 其次，时间条件和导师指导条件也是选题时需要考虑的因素。 论文的写作是一个过程，是否具备充足的时间条件，直接关系到论文能否完成及完成的质量。毕业论文通常要求在有限的时间内完成，这就更要求作者在选题时充分考虑时间条件，根据时间条件，衡量课题的大小是否适中及难易程度是否恰当。 为使论文写作的时间尽可能充裕一些，选题应当尽可能早一些，但是，这也并不是说越早越好。选题过早，对自己所学专业缺乏深入的了解，专业知识的储备没有达到一定的程度，选题就会带有一定的盲目性，也就很难找到一个真正理想的题目。究竟在什么时候选择并确定论文的题目为妥，要视作者的专业课学习情况而定。以大学本科生为例，大多数人应从二、三年级开始考虑论文题目，至少应当先有一个大致的研究方向，然后在学习的过程不断思索、不断积累，待准备工作成熟之后，再用二、三个月时间集中撰写、完成论文。很多高校都把大学生的毕业论文写作安排在最后一个学期，而且仅给十周左右的时间，如果从选题到写作的全部工作都在这段时间内完成，显然是不够现实的。另外，论文题目的选择并不都是一次到位的，有时会有变动或调整，这就更需要在时间上留出余地。 导师指导条件对于青年学生及所有缺乏研究经验的人来说，都是在选题时所应考虑的一项非常重要的条件。如果感到自己缺乏研究经验，没有独立完成课题研究的把握，就必须格外重视导师的条件。任何一个学科的专家都不可能样样皆通，无所不能，在导师所熟悉的专业领域内选题，容易得到更为具体、细致的指导。 毕业论文指导教师的主要任务是引导学生确定论文题目，开列参考文献目录，帮助学生制定写作计划，审阅开题报告及论文提纲，解答疑难问题，评审论文等等。有经验的指导教师总是能够非常到位地指导学生作好每一个阶段的工作，使学生的潜能得到最大限度的发挥。 最后，驾驭问题的能力更是选题时不可忽视的因素。这里所说的驾驭问题的能力主要是从研究题目的大小是否适中的角度着眼的。对不同级别的毕业论文的篇幅，通常有着不同的规定。而从总体上看，毕业论文的篇幅相对较长，为此，如果研究的问题太小，则难有展开的余地，写出的论文常会给人一种繁冗、庞杂，“小题大作”之感。相反，如果题目过大，而作者的研究能力及研究经验不够，则无法把问题研究得非常深入、透彻，写出的论文常会流于肤浅、空泛，给人一种“大题小作”之感。应当说，毕业论文的题目过大过小......
毕业论文题目类型
要搐你具体内容，也就是研究思路、方法。
如果你是以调查研究为研究切入点，是F
如果你是以基本点品牌理论、商标理论为研究基础解决发现的一些问题，是G
土木工程（本科）论文怎么选题和写？
我们当时是好多题目自己选择。你可以选一些你感兴趣的，或者是直接选老师，然后看他名下会有哪些题目之类的。其实本科论文还好了，加油。
要与本专业所学课程相关。毕业论文（设计）题目应符合本专业的培养目标和教学要求，具有综合性和创新性。本科生要根据自己的实际情况和专业特长，选择适当的论文题目，但所写论文要与本专业所学课程有关。
本科生毕业论文撰写要求如下：
1、论文题目：要求准确、简练、醒目、新颖。
2、目录：目录是论文中主要段落的简表。
3、提要：是文章主要内容的摘录，要求短、精、完整。字数少可几十字，多不超过三百字为宜。
4、关键词或主题词：关键词是从论文的题名、提要和正文中选取出来的，是对表述论文的中心内容有实质意义的词汇。
关键词是用作机系统标引论文内容特征的词语，便于信息系统汇集，以供读者检索。 每篇论文一般选取3-8个词汇作为关键词，另起一行，排在“提要”的左下方。
主题词是经过规范化的词，在确定主题词时，要对论文进行主题，依照标引和组配规则转换成主题词表中的规范词语。
5、论文正文。
（1）引言：引言又称前言、序言和导言，用在论文的开头。 引言一般要概括地写出作者意图，说明选题的目的和意义, 并指出论文写作的范围。引言要短小精悍、紧扣主题。
〈2）论文正文：正文是论文的主体，正文应包括论点、论据、 论证过程和结论。主体部分包括以下内容。
a.提出-论点。
b.分析问题-论据和论证。
c.解决问题-论证与步骤。
d.结论。
6、一篇论文的参考文献是将论文在和写作中可参考或引证的主要文献资料，列于论文的末尾。参考文献应另起一页，标注方式按《GB7714-87文后参考文献著录规则》进行。
中文：标题--作者--出版物信息（版地、版者、版期）：作者--标题--出版物信息。
所列参考文献的要求是：
（1）所列参考文献应是正式出版物，以便读者考证。
（2）所列举的参考文献要标明序号、著作或文章的标题、作者、出版物信息。
