几何图形在生活中的应用
金华四中 初一（9）班 毛以华 指导老师:方云兵
在这个科技高速发展的时代中,几何图形已经成了生活中的”常客”,处处都有几何图形的身影,比如说:三角形的自行车架,圆形的窨井盖和汽车轮子,圆柱型的花盆等等,这种种说明几何图形与我们的生活是息息相关的，是不可分割的。
材料一：窨井盖为什么是圆形的？
1. 小学中我们学到过在周长相等的情况下，圆的面积最大，所以窨井盖也是用了这一原理，所以说，圆形的窨井盖所用的材料是最少。
2. 圆有一个圆心，在圆内，直径都相等，而正方形的对角线与边长是不相等的，所以圆的承受力是最大的。
3. 圆形的窨井盖还有便于运输的优点。
材料二：为什么自行车架是三角形？
1. 三角形有一种特性，就是三角形稳定性。
任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接 。
∵第三条边不可伸缩或弯折 。
∴两端点距离固定 。
∴这两条边的夹角固定 。
∵这两条边是任取的 。
∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定 。
∴三角形有稳定性 。
任取n边形(n≥4)两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接 。
∴两端点距离不固定 。
∴这两边夹角不固定 。
∴n边形(n≥4)每个角都不固定，所以n边形(n≥4)没有稳定性。
材料三：在生活中，还有许多由几何图形构成的商标例如奥迪(图1),雪佛兰(图2),宝马等等。
在生活中几何图形的应用真是无处不在,人们利用几何图形的种种特性来方便我们生活。就如罗丹说的：“生活中不是没有美,而是缺少发现美的眼睛”。所以,生活中不是没有数学，而是看你有没有去发现它了。
（部分内容摘自百度百科）
首先是格式 请您耐心点
论文题目:(下附署名)要求准确,简练,醒目,新颖.
2,目录
目录是论文中主要段落的简表.(短篇论文不必列目录)
3,摘要
是文章主要内容的摘录,要求短,精,完整.字数少可几十字,多不超过三百字为宜.
4,关键词或主题词
关键词是从论文的题名,提要和正文中选取出来的,是对表述论文的中心内容有实质意义的词汇.关键词是用作计算机系统标引论文内容特征的词语,便于信息系统汇集,以供读者检索. 每篇论文一般选取3-8个词汇作为关键词,另起一行,排在"提要"的左下方.
主题词是经过规范化的词,在确定主题词时,要对论文进行主题分析,依照标引和组配规则转换成主题词表中的规范词语.(参见《汉语主题词表》和《世界汉语主题词表》).
学位论文的标准格式二
5,论文正文
(1)引言:引言又称前言,序言和导言,用在论文的开头. 引言一般要概括地写出作者意图,说明选题的目的和意义, 并指出论文写作的范围.引言要短小精悍,紧扣主题.
(2)论文正文:正文是论文的主体,正文应包括论点,论据, 论证过程和结论.主体部分包括以下内容:
a.提出问题-论点;
b.分析问题-论据和论证;
c.解决问题-论证方法与步骤;
d.结论.
6,参考文献
一篇论文的参考文献是将论文在研究和写作中可参考或引证的主要文献资料,列于论文的末尾.参考文献应另起一页,标注方式按《GB7714-87文后参考文献著录规则》进行.
中文:标题--作者--出版物信息(版地,版者,版期)
英文:作者--标题--出版物信息
所列参考文献的要求是:
(1)所列参考文献应是正式出版物,以便读者考证.
(2)所列举的参考文献要标明序号,著作或文章的标题,作者,出版物信息.
如何选题
获取最佳论文选题的途径
1,选择你有浓厚兴趣,而且在某方面较有专长的课题.
2,在不了解和了解不详的领域中寻找课题.
3,要善于独辟蹊径,选择富有新意的课题.
4,选择能够找得到足够参考资料的课题.
5,征询导师和专家的意见.
6,善于利用图书馆; 图书馆的自动化,网络化为读者选题提供了便利条件.
论文的核心
不同的问题,有不同的写法,一般一篇论文论述一个核心问题(综述除外)
论文的核心是作者根据国内外发展和自己工作梳理出来的,可以从多个方面着手
元部件和系统,理论分析和实验,系统特性和测试,方案设计和实现等;
新思想,新概念,新理论,新途径,新方案,新进展,不同看法.
文章结构和长度
结构
题目,摘要和关键词
引言
正文
结论和致谢(结束语)
参考文献,附录等
文章长度并无明确规定,一般科技期刊文章在4000-8000字(含图表),根据杂志和文章类别而定.综述文章多由编辑部门邀请权威撰写,涉及历史的回顾和未来的展望,内容广泛,可以较长.
科技论文的篇名
用简洁恰当的词组反映文章的特定内容,明确无误
篇名简短,不超过20个字
少用研究和空洞应用之类字
避免用不熟悉的简称,缩写和公式等
关键词
4-6个反映文章特征内容,通用性比较强的词组
第一个为本文主要工作或内容,或二级学科
第二个为本文主要成果名称或若干成果类别名称
第三个为本文采用的科学研究方法名称,综述或评论性文章应为"综述"或"评论"
第四个为本文采用的研究对象的事或物质名称
避免使用分析,特性等普通词组
引言
主要回答为什么研究(why)
介绍论文背景,相关领域研究历史与现状,本文目的
一般不要出现图表
正文
论文核心,主要回答怎么研究(how),
一般正文应有下述几个部分组成
本文观点,理论或原理分析
实现方法或方案(根据内容而定)
数值计算,仿真分析或实验结果(根据内容而定)
讨论,主要根据理论分析,仿真或实验结果讨论不同参数产生的变化,理论分析与实验相符的程度以及可能出现的问题等
结论
文章的总结,要回答研究出什么(what)
以正文为依据,简洁指出
由研究结果所揭示的原理及其普遍性
研究中有无例外或本论文尚难以解决的问题
与以前已经发表的论文异同
在理论与实际上的意义
对近一步研究的建议
致谢
对给予本文研究的选题,构思,实验或撰写等方面给以指导,帮助或建议的人员致以谢意;
由于论文作者不能太多,所以部分次要参加者可不列入作者,表示致谢;
一般资助单位应在文章首页下脚加注,一般不再致谢.
参考文献
文章中引用他人成果或文章内容应注明参考文献
参考文献规格应按国标或出版社编辑部格式
作者,文献题名,刊名,年,卷(期),起止页码
附录
附录不是文章的必要组成部分,但可为深入了解本文人员提供参考
主要提供论文有关公式推导,演算以及不宜列入正文的数据和图表等
注意事项-缩写词,外文字母
摘要和正文中的缩写词第一次出现都必须写出全称
外文字母必须分清大小写,正斜体和上,下角
正体:计量单位(cm, kg)
斜体:物理量,坐标,函数符号 R,L,C
注意事项-量和单位
使用国际标准和国家法定计量单位
一篇文章不要用一个符号表示两个或多个物理量,如用C同时表示常数和电容
首次出现(公式)的符号应在其后说明物理意义
量的符号一般为单个字母,如阈值电压
(Threshold Voltage) 不能用TV ,应当用 Vt
组合单位的斜线不能多于1个,W/m2/k应为
W/( m2· k)或W·m-2·k -1
注意事项-图,表
图表内容及含义,坐标名称量纲清楚
图和表内容不应重复,一种数据用图或表一个表示
应按顺序连续编号 Fig. 1, Fig. 2, Table 1…
图框宜细,曲线应粗
表格应用三线表
基本入手途径(一)
1.选题最关键
一定要选择具有一定理论深度的题目,可拓展性强的领域
要尽可能选择研究学科交叉点
不要盲目追随研究热点,强调独立选择.
2.创新之路
提出自然的,很简单的,具有直觉性的解决方法,做深下去
考虑自己感兴趣的,具有实际意义的点做下去
要广泛粗看,少量精看
基本入手途径(二)
3.提高论文写作能力
背诵科技英文段落及常用句式
由浅入深,勤于动笔
向国外投稿,得到反馈
科技论文的摘要
简明扼要, 200字左右,无废话;
用第三人称写,说明文章目的,方法,结果和结论,不应出现"本文","我们","作者"字眼,也不要有"首先" , "最后" , "简单" , "主要"和"次要"等修饰词;
文摘可单独发表,应有独立性和自明性,不得使用文章中的章节号,图号和表号等;
第一句不要重复文章篇名或已表述过的信息;
不能写常识性内容,过去情况和未来的计划,只写最新进展.
三,关于英文文摘
英文摘要(Abstract)
SCI,ISTP和EI等索引主要是根据英文题名和文摘选录
文摘长度一般为100-200 words.
内容要求与中文大体相同,主要讲目的,过程,方法和结果.内容要精练,不要将结论译成英文作摘要.
文章题目第一词切不可用冠词The,A,An和And(单位名称也不用The Institute …)
四,怎样读文章
怎样读文章(一)
在读文章前,确信它是值得的.
先看题目,然后是摘要,如果没有完全失望,继续看介绍和结论(title->abstract->introduction->conclusions)在掌握所有细节之前,浏览整个文章,尽量找到那些关键点(the most implortant points).如果还觉得它是有关和值得的,就回去继续看(当然如果是老板要你看的重要文章,跳过前面的内容,直接读就行了).
高的效率
从结论开始,浏览图示和表,看看他的引用.
只在你觉得相关或者你觉得能给你不同的观点的时候才读其他部分.
跳过你已经知道的部分(比如背景和动机).
怎样读文章(二)
积极主动的思考
作者怎么想出这个念头的
这件工作到底完成了什么
它和这个领域的其他工作有什么关系 其中重要的引用文献是哪些
在这个工作的基础上合理的下一步工作是什么
相关领域的什么想法和这个主题相关 有什么不同
这些想法怎样帮助解决自己的研究问题
怎样读文章(三)
总结所读的每个主题
关键问题key problems
所描述问题的不同表达形式
不同方法之间的关系
替代的方法
读完以后,看一下表述的问题
什么使得这篇文章易读
文章解决了哪个级别的细节问题
什么例子用来阐述重要的概念
什么问题没有解决
结果能够一般化(推广)吗
怎样读文章(四)
良好的组织习惯
一个有用的方法是,用笔记录自己读过和听过的东西.写下自己的想法(speculations),感兴趣的难题,可能的解决方法,要查看的参考数目,笔记,文章的概要,有趣的印证.阶段性的复习可以发现这些思想是不是开始走在一起(fit together).即使那些笔记没有用,也会帮助我们集中精力,找到重点和进行总结.
(You may find yourself spending over half of your time reading, especially at the beginning. This is normal.)
怎样读文章(五)
发展自己的IDEA
确认所描述的思想真的有用(而不是仅仅理论上成立,或者是一些不重要的例子上面成立)
真正理解文章,就要懂得问题的动机,解决方法的可能选择,解决方法基于的假设.这些假设是不是现实,它们是不是可以在使方法有效的情况下移除,进一步的研究方向,实际完成或者实现的工作,理论判定或者实验验证的有效性,扩充和延伸算法的潜力.
保存读过的文章,建立在线的参考书目.增加关键字的的域,文章的位置和感兴趣的文章的总结.这对以后写文章以及给其他的研究生很有用.
怎样读文章(六)
阅读,思考,再阅读,再思考
每周留一定的时间看看是不是可以想出研究想法
每周至少到图书馆看一下相关领域前面杂志的摘要.选择一两篇仔细阅读并且批判.
每周进行一次调查,利用电子资源或者图书馆寻找领域相关的技术报告,选择性批判性的阅读.
参加一个研讨会或者讨论组,批判性的听取.
了解研究的进展
要注意你清楚这个领域的所有文献,如果你不经常复习一个月以前的文献,你可能发现自己对别人的思想不清楚了.另外一方面,也不要让别人的想法限制了你的创造力.
要注意避免的方面
主动(活跃)的听和读需要被当作贯穿你整个事业的"不间断教育".不要愚蠢的认为在你开始研究前应当读完所有的文献,而应该选择性的阅读.一开始从经典的文章(询问你的老师或者同学从而得到一些最有用的杂志和会议)和最近几年的杂志和会议开始.
五,开始写作
开始写作(一)
读一些最新的论文,尤其是那些发表了的.学习它们的内容和表达,注意它们里面的-进一步工作.(future work)
仔细的记笔记.记下每一个新的结果,即使没有重要的和有帮助的东西.
写出一个纲要,它以后会经常改变,经常在头脑中保持一个新的构想对以后平滑的过渡很有好处.
开始写作(二)
第一章:导言
问题是什么
为什么重要
别人做了什么工作
自己方法的主要思想是什么
文章的其他部分是怎样组织的
第二章:问题
问题定义
术语介绍
基本属性讨论
第三章:主要想法1
……
第k+2章:主要想法k
第k+3章:结论
重述完成的工作
讨论进一步的工作
开始写作(三)
不要总认为文章必须从第一页写.直接写主要想法big idea,记录怎样和其他部分组织在一起.
一个组织各章的方法是展现给你的实验室同学(fellow students),如果你能够将它们组织成连贯的"一小时报告",那就表明你可以写你的文章了.
开始写作(四)
无休止的修改格式而不是内容也是常犯的错误.要避免这种情况
清楚自己想说什么.
这是写清楚要的最难最重要的因素.如果你写出笨拙的东西,不断的修补,就表明不清楚自己想说什么.确信你的文章真的有思想(ideas).要说清楚为什么,不仅仅是怎么样.
从每一段到整个文章都应该把最引人入胜的东西放在前面.
让读者容易看到你写的东西(Make it easy for the reader to find out what you've done).注意处理摘要(carefully craft the abstract).确定(be sure)说出了你的好思想是什么.确定你自己知道这个思想是什么,然后想想怎么用几句话写出来.
开始写作(五)
不要大肆夸耀你自己做的事情.
得到反馈
如果你加入讨论组,会收到很多别人的文章,他们请你评论.知道别人对论文的意见很重要.你给别人帮助,别人会在你需要的时候帮助你.而且,自己也能提高.为文章写有用的评论是一门艺术.你应当读上两遍,第一遍了解其思想(IDEAS),第二遍看表达.
如何减少写论文的痛苦
写下自己的想法是完善它的好方法.你可能发现自己的想法在纸上会变成一团糟. 慢慢 地你也发觉它清晰起来.
记住你写得草稿很可能要全部推翻.
着重于内容而不是格式
不要追求完美
记住:写作是一个不断完善的过程.当你发现所写的不是你开始想写的,写下粗稿,以后再修补.写粗稿可以理出自己的思想,渐渐进入状态.如果写不出全部内容,就写纲要,在容易写具体的内容时再补充.如果写不出来,就把想到的东西全部写出来,即使你觉得是垃圾.当你写出足够的内容,再编辑它们,转化成有意义的东西.另一个原因是想把所有的东西都有序的写出来(in order).次序是不一定的.你可能要从正文写起,最后在你知道你写的到底是什么的时候再写简介.写作是很痛苦的事情,有时候一天只能写上一页.追求完美也可能导致对已经完美的文章无休止的修改润饰.这不过是浪费时间罢了.把写作当作和人说话就行了.
积极的动力
积极的反馈
定下每天,每周,每月的目标是一个很好的主意
尽可能让自己获得成就感
及时的交流
要与人分享你的想法或者给别人以建议
分而治之
在写论文时,不是写整个的文章,而是一节,一段,一章的写.一次实现一个部分,找出那些一个小时里可以解决的问题,如果不确信,不要让它们阻止你完成一些东西——一天一次.记住:你完成的每一步工作都使你接近完成.
六,论文写作辅助工具
1.Word-论文模板
2.Origin绘图工具的使用
3.MathType公式编辑器
4.Linux实验
七,一个例子及常见问题
学士论文例子
基于对等网络的即时消息系统
在写之前把目录做好
终点就是起点.以终为始,以始为终.
学士论文常见问题
1.论文格式不合要求或字数不够
2.第一章改为: "绪论"或"概述"或许要好一些,这一单应分为几个小节.概述最好写到4页以上.,概述写清背景,动机以及本文的工作安排.也可以把本文的贡献放上去,
3.对于论文的实验结果,应给出实验结果的详细分析,而不应是仅仅罗列一些结果.
4.有的论文描述算法时给出了算法的代码,最好不要大段地拷贝代码,而尽量用流程图或伪代码.并对代码给出分析.
5.论文尽量少用或不用"我,我们"之类的词,尤其尽量不要用"我"这一字眼
6.你的情况，借本课本多从课本上找依据，再搞几个数学名著的理论用名著撑面子~
然后是范文
浅谈多媒体技术在教学中的作用
一个有经验的教师在编写教案时，都要明确教学目的、重点、难点、课时安排和教学过程等，甚至对自己的语言、表情、和板书等都有所考虑，对于教具、实物、模型和实验都要事先做好准备。其目的在于让学生明确和接受所要讲解的知识。有了多媒体技术，这一切都变得更容易实现了。因为用多媒体来辅助教学，以逼真、生动的画面，动听悦耳的音响来创造教学的文体化情景，使抽象的教学内容具体化、清晰化，使学生的思维活跃，兴趣盎然地参与教学活动，有助于学生发挥学习的主动性，从而优化教学过程。具体的说，在现在各科的课堂教学中，多媒体技术有如下几点作用：
一、调整学生情绪，激发学习兴趣
兴趣是由外界事物的刺激而引起的一种情绪状态，它是学生学习的主要动力。然而许多的教学内容通常本身较为枯燥无味，这就需要每位教师善于采用不同的教学手段，以激发学生的兴趣。根据心理学规律和小学生学习特点，有意注意持续的时间很短，加之课堂思维活动比较紧张，时间一长，学生极易感到疲倦，就很容易出现注意力不集中，学习效率下降等，这时适当地选用合适的多媒体方式来刺激学生，吸引学生，创设新的兴奋点，激发学生思维动力，以使学生继续保持最佳学习状态。
如在教学“长方形的面积”时，老是运用公式计算面积，学生感觉比较厌倦，为了吸引学生注意力，活跃课堂气氛，拓宽学生思路，运用多媒体出示了一道“智慧爷爷”出的思考题：把一个正方形裁成两个完全相同的长方形，裁成的两个长方形周长之和与正方形周长有何变化？把两个完全相同的长方形拼成一个正方形，它们的周长又有何变化？先让学生根据题意想象，然后再电脑演示。演示过程中，画面不断闪烁，使学生清楚地感受到了周长的变化。同学们一看，兴趣来了。最后让学生互相讨论，就这样让学生在开放自由的情况下解决了该题，同时培养了学生的想像力。
二、形象导入新课，创设学习情景
导入新课，是课堂教学的重要一环。“好的开始是成功的一半”，在课的起始阶段，迅速集中学生的注意力，把他们思绪带进特定的学习情境中，激发起学生浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲，对一堂课教学的成败与否起着至关重要的作用。运用电教媒体导入新课，可有效地开启学生思维的闸门，激发联想，激励探究，使学生的学习状态由被动变为主动，使学生在轻松愉悦的氛围中学到知识。
如低年级学生，他们的定向能力尚处在较低的层次，他们的注意状态仍然取决于教学的直观性和形象性，很容易被新异的刺激活动而兴奋起来。针对这些情况，运用多媒体，激起学生的学习兴趣。教《锄禾》这课，在导入新课时，可以用一组“动画”：“太阳火辣辣地炙烤着大地，辛勤的农民手拿锄头用力地耕种，大颗大颗的汗珠从额头滚落下来，滴入稻田里。”此情此景，学生已有深刻的感性认识，随后，我又在图画上方出示古诗，诗句和图相对照，激起学生思维的层层涟漪。对于刚才“明于心而不明于口”的心理状态，立刻解决带点字锄、汗、粒等的解释已是一触即发了。
三、突出学习重点，突破学习难点
传统的教学往往在突出教学重点，突破教学难点问题上花费大量的时间和精力，即使如此，学生仍然感触不深，易产生疲劳感甚至厌烦情绪。突出重点，突破难点的有效方法是变革教学手段。由于多媒体形象具体，动静结合，声色兼备，所以恰当地加以运用，可以变抽象为具体，调动学生各种感官协同作用，解决教师难以讲清，学生难以听懂的内容，从而有效地实现精讲，突出重点，突破难点，取得传统教学方法无法比拟的教学效果。
如在教学“圆柱的体积”一课时，为了让学生更好地理解和掌握圆柱体积计算公式推导这一重点，电脑演示把一个圆柱体的底面平均分成若干等份（平均分成16等份、32等份……），然后把圆柱切开，通过动画拼成一个近似的长方体（平均分的份数越多，就越接近于长方体）。反复演示几遍，让学生自己感觉并最后体会到这个近似的长方体的体积与原来的圆柱的体积是完全相等的。再问学生还发现了什么？通过动画演示体会到这个近似的长方体的底面积、高与圆柱的底面积、高的关系，从而推导出求圆柱的体积公式，使得这课的重难点轻易地突破，大大提高了教学效率，培养了学生的空间想象能力。
四、增强训练密度，提高教学效果
在练习巩固中，由于运用多媒体教学，省去了板书和擦拭的时间，能在较短的时间内向学生提供大量的习题，练习容量大大增加。这时可以预先拟好题目运用电脑设置多种题型全方位，多角度、循序渐进的突出重难点。当学生出错后（电脑录音）耐心地劝他不要灰心，好好想想再来一次，这符合小学生争强好胜的性格，生动有趣地复习巩固了新识。
总之，恰当地选准多媒体的运用与课堂教学的最佳结合点，要考虑各层次学生的接受能力和反馈情况，适时适量的运用多媒体，适当增强课件的智能化。就能较好地激发学生的兴趣，使学生独立地、创造性地完成学习任务，这样的教学才可以说是得多媒体教学之精髓了。
论文整体格式模板如下：
1、题目：题目应简洁、明确、有概括性，字数不宜超过20个字（不同院校可能要求不同）。本专科毕业论文一般无需单独的题目页，硕博士毕业论文一般需要单独的题目页，展示院校、指导教师、答辩时间等信息。英文部分一般需要使用Times New Roman字体。
2、版权声明：一般而言，硕士与博士研究生毕业论文内均需在正文前附版权声明，独立成页。个别本科毕业论文也有此项。
3、摘要：要有高度的概括力，语言精练、明确，中文摘要约100—200字（不同院校可能要求不同）。
4、关键词：从论文标题或正文中挑选3～5个（不同院校可能要求不同）最能表达主要内容的词作为关键词。关键词之间需要用分号或逗号分开。
5、目录：写出目录，标明页码。正文各一级二级标题（根据实际情况，也可以标注更低级标题）、参考文献、附录、致谢等。
6、正文：专科毕业论文正文字数一般应在5000字以上，本科文学学士毕业论文通常要求8000字以上，硕士论文可能要求在3万字以上（不同院校可能要求不同）。
毕业论文正文：包括前言、本论、结论三个部分。
①前言（引言）是论文的开头部分，主要说明论文写作的目的、现实意义、对所研究问题的认识，并提出论文的中心论点等。前言要写得简明扼要，篇幅不要太长。
②本论是毕业论文的主体，包括研究内容与方法、实验材料、实验结果与分析（讨论）等。在本部分要运用各方面的研究方法和实验结果，分析问题，论证观点，尽量反映出自己的科研能力和学术水平。
③结论是毕业论文的收尾部分，是围绕本论所作的结束语。其基本的要点就是总结全文，加深题意。
7、致谢：简述自己通过做毕业论文的体会，并应对指导教师和协助完成论文的有关人员表示谢意。
8、参考文献：在毕业论文末尾要列出在论文中参考过的所有专著、论文及其他资料，所列参考文献可以按文中参考或引证的先后顺序排列，也可以按照音序排列（正文中则采用相应的哈佛式参考文献标注而不出现序号）。
9、注释：在论文写作过程中，有些问题需要在正文之外加以阐述和说明。
10、附录：对于一些不宜放在正文中，但有参考价值的内容，可编入附录中。有时也常将个人简介附于文后。
平面：方形，三角形，圆形，线段。
空间：方体，圆锥体，圆柱。
楼上说的似乎都太小儿科了，楼主想必是要发表的那种,当然要正式一点.
这里的一篇是偏向交作业的
下面一个是正式发表的双语版本
张彧典人工证明四色猜想 山西盂县党校数学高级讲师
用25年业余时间研究四色猜想的人工证明。在借鉴肯普链法和郝伍德范例正反两方面做法的基础上，独创了郝——张染色程序和色链的数量组合、位置（相交）组合理论，确立了仅包含九大构形的不可免集合，从而弥补了肯普证明中的漏洞。现贴出全文（中——英文对照）及参考文献的英译汉全文。欢迎各位同仁批评指正。
最后特别感谢英国兰开斯特大学A.lehoyd、兰州交大张忠辅、清华大学林翠琴、上海师大吴望名四位教授的无私帮助。
附:论文
用“H·Z—CP“求解赫伍德构形
张彧典 （山西省盂县县委党校 045100）
摘要：本文根据色链的数量和位置组合理论，用赫伍德染色程序（简称H—CP）和张彧典染色程序（简称Z—CP）找到一个赫伍德构形的不可避免集。
关键词：H—CP Z—CP H·Z—CP
《已知的赫伍德范例》〔1〕对求解赫伍德构形有两大贡献。其一，提供了H—CP，使我们用它找到了赫伍德染色非周期转化的赫伍德构形组合；其二，范例2提供了赫伍德染色周期转化的赫伍德构形，使我们发现了Z—CP，解决了这种构形的正确染色。
为下面讨论方便，先给出〔1〕文中赫伍德构形的最简单模型。
如图1所示：
四色用A、B、C、D表示,待染色区V用小圆表示,其五个邻点染色用A1、B1、B2、C1、D1表示，形成的五边形区域叫双B夹A型中心区。中心区外有A1—C1链、A1—D1链（因它们的首尾分别被V连成环，故叫环，以便与开放链区分），其中还有B1—D2链、B2—C2链，A1、A2被C2—D2链隔开。其余赫伍德构形类同。
在我们所设的模型中，再添加一些不同的色链后就构成许多不同的标准三角剖分图（记为G′）。当借助H—CP对它们求解时发现，其中色链的不同数量组合和相交组合直接影响解法上的差异。
现在具体确立赫伍德构形的不可避免集。
在后面图解中，画小横线者表示环，画粗线者表示两点以上染色互换的链，B（D）等表示一个点的染色互换。
如图2： 设图1中有B1－A2链、D1－C2链（也可以是B2－A2链）存在时。
其解法是：在A1—C1环内作B、D互换，生成新的A—D环（生不成情形归于下一种构形），再作A—D环外的C、B互换，可给V染C色。
如图3：设图1中有C1－D2链、D1－C2链存在时。
其解法是：在A1—C1环内作B、D互换，生成B—C环；作B—C环外的D、A互换，生成新的A—C环（生不成情形归于下一种构形）；再作A—C环内的B、D互换，可给V染B色。
如图4：设图1中有C1－D2链、B2－A2链存在时。
其解法是：在A1—C1环内作B、D互换，生成B—C环；作B—C环外的D、A互换，生成B—D环；作B—D环内的A、C互换，生成新的B—C环（生不成情形归于下一种构形）；再作B—C环内的D、A互换，可给V染D色。
如图5：设图4中B1－D2链与A1－D1环相交，这时有B1－A3、C1－A3生成。
其解法是：在A1—C1环内作B、D互换，生成B—C环；作B—C环外的D、A互换，生成B—D环；作B—D环内的A、C互换，生成A—D环；作A—D环外的C、B互换，生成新的B—D环（生不成情形归于下一种构形）；再作B—D环外的A、C互换，可给V染A色。
如图6：设图5中C1－D2链与A1－C1环相交，为简单起见，将C1－D2链在A1－C1环外的D色点均改染B色，见图中B(带圈子的)。
其解法是：在A1—C1环内作B、D互换，生成B—C环；作B—C环外的D、A互换，生成B—D环；作B—D环内的A、C互换，生成A—D环；作A—D环外的C、B互换，生成A—C环；作A—C环外的B、D互换，生成新的A—D环（生不成情形归于下一种构形）；再作A—D环内的C、B互换，可给V染C色。
如图7：设图6中B1－D2链再与B1－A3链相交，为简单起见，将B1－A3链在B1－D2链内侧的A色点均改染C色，见图中C(带圈子的)。
其解法是：在A1—C1环内作B、D互换，生成B—C环；作B—C环外的D、A互换，生成B—D环；作B—D环内的A、C互换，生成A—D环；作A—D环外的C、B互换，生成A—C环；作A—C环外的B、D互换，生成B—C环；作B—C环内的D、A互换生成新的A—C环（生不成情形归于下一种构形）；再作A—C环内的B、D互换，可给V染B色。
如图8：设图7中有B1－D2链与C1－D2链在A1－C1环内相交。
其解法是：在A1—C1环内作B、D互换，生成B—C环；作B—C环外的D、A互换，生成B—D环；作B—D环内的A、C互换，生成A—D环；作A—D环外的C、B互换，生成A—C环；作A—C环外的B、D互换，生成B—C环；作B—C环内的D、A互换生成B—D环；作B—D环外的A、C互换，生成新的B—C环（生不成情形归于下一种构形）；再作B—C环内的D、A互换，可给V染D色。
图9：设图8中有B2－A2链与A1－D1环相交。
其解法是：在A1—C1环内作B、D互换，生成B—C环；作B—C环外的D、A互换，生成B—D环；作B—D环内的A、C互换，生成A—D环；作A—D环外的C、B互换，生成A—C环；作A—C环外的B、D互换，生成B—C环；作B—C环内的D、A互换生成B—D环；作B—D环外的A、C互换，生成A—D环；作A—D环内的C、B互换，生成新的B—D环；(生不成情形归于下一种构形)再作B—D环内的A、C互换，可给V染A色。
如图10：这是一个十折对称的赫伍德构形。即在图3中，按图6的相交组合方式设C1—D2链与A1—C1环相交，D1—C2链与A1—D1环相交，C1—D2链在A1—C1环外的D色点与D1—C2链在A1—D1环外的C色点均改染B色，见图中B(带圈子的)。；再设改染成的C—B链、D—B链对称相交。这个赫伍德构形就是〔1〕文中范例2的拓扑变换形式。
对于图10如果沿用图2—9的求解方法，就会产生四个周期转化的赫伍德构形，无法得解。但是，四个连续转化的赫伍德构形有一个共同的染色特征，即都包含A—B环，于是产生了如下特殊的Z—CP：
若已知的是第一（或三）图时，先作A—B环外的C，D互换，生成新的A—C，A—D（或B—C、B—D）环，再作B（D）、B（C）[或A（D）、A（C）]互换，使五边形五个顶点染色数减少到3。解如图10（1）和图10(3)。
若已知的是第二（或四）图时，先作A—B环外的C，D互换，生成了新的B—C（或A—D）链，再作B—C（或A—D）链一侧的A（D）[或A（C）〕互换，使五边形五个顶点染色数减少到3。解如图10（2）和10(4)。
下面从理论上证明图2—10组成的不可避免集的完备性。
在已四染色的G’中，由A、B、C、D四色中任意二色组成的不同色链共C42(=6) 种。反映在赫伍德构形中，有始点终点均在中心区且相交的A1－C1环、A1－D1环，还有始点在中心区，终点在A1－C1、A1－D1二环交集区域边缘上的B1－D2、B1－A2（B2－A2）、B2－C2、C1－D2（D1－C2）四种链。这四种链在赫伍德构形中的不同数量组合共四组：
B1－A2、B1－D2、B2－C2、B2－A2
B1－A2、B1－D2、B2－C2、D1－C2
C1－D2、B1－D2、B2－C2、B2－A2
C1－D2、B1－D2、B2－C2、D1－C2
而六种色链中任意两种色链的不同位置组合共C62(=15)组。其中有三组不可相交组合：
A－B与C－D、A－C与B－D、A－D与B－C;
还有12组可相交组合：
A－B与A－C、A－D、B－C、B－D;
A－C与A－D、B－C、C－D ;
A－D与B－D、C－D;
B－C与B－D、C－D;
B－D与C－D。
我们把上述六种色链的不同数量组合（4组）及不同位置组合（12组可相交的）作为两大变量，一共可得到16种不同组合的赫伍德构形；然后在“结构最简”和“解法相同”的约束条件下逐一检验，具体归纳为：图2——4体现四种不同数量组合，其中图2体现前两种组合；图5——9体现依次增多的相交组合，其中图9已包含了12种相交组合；图10体现特殊的数量组合和相交组合。
到此，我们用“H·Z—CP”成功地解决了赫伍德构形的正确染色，从而弥补了肯普证明中的漏洞。
参考文献：
〔1〕、Holroyd，F．C．and Miller，R．G．．The example that heawood shold have given Quart J Math.(1992). 43 (2),67-71
附英文版
Using H·Z-CP Solves Heawood Configuration
Zhang Yu-dian
Yu Xian Party School, Yu Xian 045100, Shanxi, China
Abstract: In this text, One Heawood configuration’s inevitable sets is found by using Heawoods-clouring procedure (abbreviated as H-CP) and Zhang Yu-dian clouring procedure (abbreviated as Z-CP), based on quantity and poison combination theory of coloring chain. And, one new procedure is found, which is named as H·Z-CP.
Key words: H-CP Z-CP H·Z-CP
Introduce
Thesis [1] made two main contributions to solving Heawood configuration. One is H-CP, by using it Heawood-coloring aperiodic transform’s Heawood configuration sets was found. The other one, in example II[1], provided Heawood-coloring periodic transform’s Heawood configuration. With it, Z-CP was found, and solved correct coloring for this configuration.
For the convenience of discuss, the simplest Heawood configuration model is given in [1] as follows.
As shown in Fig. 1, A, B,C ,D denote four colors, one roundlet denotes section V to be dyed, A1, B1, B2,C1 ,D1, denote five adjacent points border upon V, the pentagon area that forms is defined as pairs of B & A embedded area. Outside of V is A1-C1 chain and A1-D1 chain (because the head and trail is looped by V separately, so called loop, in order to distinguish with others). And there are B1-D2 chain and B 2-C2 chain also. A1, A2 is separated by C2-D2 chain. The other Heawood configuration is similar.
In this model, if add another coloring chain, many distinct normal triangle section map is formed(is G′). When to find the solution of map, it is found that distinct quantity combination and intersectant combination have effect on solution’s difference.
As follows, the detailed Heawood configuration’s inevitable sets is given.
Result
It is defined in latter figure as: a small transverse thread denotes a loop, a thick thread denotes a chain in which two or more coloring changed. B(D) etc. denotes that one point’s coloring is changed.
As shown in Fig. 2, if there are B1-A2 chain and D1-C2 chain in Fig. 1(can also be B2-A2 chain):
Its solution is: in A1-C1 loop, B and D is interchanged, a new A-D loop is formed (if it can’t be formed, belongs to another configuration). Then, C and B outside A-D loop is interchanged, and then V can be dyed with C color.
As shown in Fig. 3, if there are C1-D2 chain and D1-C2 chain in Fig. 1:
Its solution is: in A1-C1 loop, B and D is interchanged, a new B-C loop is formed, D and A outside B-C loop is interchanged, a new A-C loop is formed (if it can’t be formed, belongs to another configuration). Then, in A-C loop, B and D is interchanged, and then V can be dyed with B color.
As shown in Fig.4, if there are C1-D2 chain and B2-A2 chain in Fig. 1:
Its solution is: in A1-C1 loop, B and D is interchanged, a new B-C loop is formed, D and A outside B-C loop is interchanged, a new B-D loop is formed , in B-D loop, A and C is interchanged, a new B-C loop is formed, (if it can't be formed, belongs to another configuration). Then, in B-C loop, D and A is interchanged, and then V can be dyed with D color.
As shown in Fig.5, if B1-D2 chain and A1-D1 loop is intersectant in Fig. 4, new B1-A 3 loop and C1-A 3 loop are formed.
Its solution is:in A1-C1 loop, B and D is interchanged, a new B-C loop is formed, D and A outside B-C loop is interchanged, a new B-D loop is formed, in B-D loop, A and C is interchanged, a new A-D loop is formed, C and B outside A-D loop is interchanged, a new B-D loop is formed, (if it can't be formed, belongs to another configuration). Then, A and C outside B-D loop is interchanged, and then V can be dyed with A color.
As shown in Fig.6, if C1-D2 chain and A1-C1 loop is intersectant in Fig. 5, for simplicity, D can be dyed with B color in C1-D2 chain outside A1-C1 loop. See ○B in Fig.6.
Its solution is: in A1-C1 loop, B and D is interchanged, a new B-C loop is formed, D and A outside B-C loop is interchanged, a new B-D loop is formed, in B-D loop, A and C is interchanged, a new A-D loop is formed, C and B outside A-D loop is interchanged, a new A-C loop is formed, B and D outside A-C loop is interchanged, a new A-D loop is formed, (if it can't be formed, belongs to another configuration). Then, in A-D loop, C and B is interchanged, and then V can be dyed with C color.
As shown in Fig.7, if B1-D2 chain and B1-A3 loop is intersectant in Fig. 6, for simplicity, A can be dyed with C color in B1-A3 chain inside B1-D2 chain. See ○C in Fig. 7.
Its solution is: in A1-C1 loop, B and D is interchanged, a new B-C loop is formed, D and A outside B-C loop is interchanged, a new B-D loop is formed, in B-D loop, A and C is interchanged, a new A-D loop is formed, C and B outside A-D loop is interchanged, a new A-C loop is formed, B and D outside A-C loop is interchanged, a new B-C loop is formed, in B-C loop, D and A is interchanged, a new A-C loop is formed, (if it can't be formed, belongs to another configuration). Then, in A-C loop, B and D is interchanged, and then V can be dyed with B color.
As shown in Fig.8, if B1-D2 chain and C1-D2 chain is intersectant inside A1-C1 loop in Fig. 7.
Its solution is: in A1-C1 loop, B and D is interchanged, a new B-C loop is formed, D and A outside B-C loop is interchanged, a new B-D loop is formed, in B-D loop, A and C is interchanged, a new A-D loop is formed, C and B outside A-D loop is interchanged, a new A-C loop is formed, B and D outside A-C loop is interchanged, a new B-C loop is formed, in B-C loop, D and A is interchanged, a new B-D loop is formed, A and C outside B-D loop is interchanged, a new B-C loop is formed, (if it can't be formed, belongs to another configuration). Then, in B-C loop, D and A is interchanged, and then V can be dyed with D color.
As shown in Fig.8, if B2-A2 chain and A1-D2 loop is intersectant in Fig. 8.
Its solution is: in A1-C1 loop, B and D is interchanged, a new B-C loop is formed, D and A outside B-C loop is interchanged, a new B-D loop is formed, in B-D loop, A and C is interchanged, a new A-D loop is formed, C and B outside A-D loop is interchanged, a new A-C loop is formed, B and D outside A-C loop is interchanged, a new B-C loop is formed, in B-C loop, D and A is interchanged, a new B-D loop is formed, A and C outside B-D loop is interchanged, a new A-D loop is formed, in A-D loop, C and B is interchanged, a new B-D loop is formed, (if it can't be formed, belongs to another configuration). Then, in B-D loop, A and C is interchanged, and then V can be dyed with A color.
In Fig. 10, it is a ten-fold symmetrical Heawood configuration. Namely in Fig. 3, according intersectant combination method in Fig. 6,if C1-D2 chain and A1-C1 loop intersects, D1-C2 chain and A1-D1 loop intersects, D color point at C1-D2 chain outside A1-C1 loop and C color point at D1-C2 chain outside A1-D1 loop are both exchanged with B coloring, see ○B in Fig. 10. And then presume the exchanged C-B chain and D-B chain are symmetrically intersectant. This Heawood configuration is the topology transform form in example II [1].
For Fig. 10, if using the solution way in Fig. 9, 4 periodic transform’s Heawood configurations will come into being, and will be no result. But there is a common coloring character for the 4 sequence transform Heawood configurations, namely, they all contain A-B loop. And then, as follows Z-CP comes into being.
If Fig. 10(1) or 10(3) is known, firstly, C and D outside A-B loop interchanged, the new A-C loop and A-D loop(or B-C loop and B-D loop) come into being.then B(D) & B(C) (or A(D) & A(C)) interchange. The coloring number at the point of the pentagon is reducing to 3. Its conclusion is shown in Fig. 10(1) and Fig. 10(3).
If Fig. 10(2) or 10(4) is known, firstly, C and D outside A-B loop is interchanged, the new B-C (or A-D) chain come into being, then A(D) (or A(C)) at the side of B-C (or A-D) is interchange. The coloring number at the point of the pentagon is reducing to 3. Its conclusion is shown in Fig. 10(2) and Fig. 10(4).
The self-contained inevitable sets composed of Fig 2 to 10 will be proved as follows.
In the 4 color dyed G’, the quantity of distinct coloring chain formed by two colors in A, B,C ,D four colors have C42(=6) kinds totally. It is reflected in Heawood configuration, there are intersectant A1-C1 loop and A1-D1 loop whose start-point and end-point are all in center area. And there are B1-D2, B1-A2(B2-A2), B2-C2, C1-D2(D1-C2) 4 chains , whose start-point is in center area, and end-point is on the verge of the intersection area of A1-C1 loop and A1-D1 loop. There are 4 groups in total for the 4 kinds of chain’s distinct quantity combination in Heawood configuration:
B 1－A2、B 1－A2、B2－C2、B2－A2
B 1－A2、B 1－D2、B2－C2、D1－C2
C 1－D2、B 1－D2、B2－C2、B2－A2
C 1－D2、B 1－D2、B2－C2、D1－C2
There are C62(=15) kinds of two different situation’s combination in 6 kinds of chains, among them ,there are 3 kinds of not intersectant combinations:
A－B and C－D、A－C and B－D、A－D and B－C;
Otherwise there are 12 kinds of intersectant combinations:
A－B and A－C、A－D、B－C、B－D;
A－C and A－D、B－C、C－D ;
A－D and B－D、C－D;
B－C and B－D、C－D;
B－D and C－D。
Above 6 kinds of chain’s different quantity combinations(4 groups) and different situation combinations (intersectant 12 groups ) are two major variables, 16 kinds of Heawood configurations in different combination can be found totally. Then, on the “simplest structure” and “same solution” restrictive condition, verifiyed one by one, detailed conclusion is: Fig. 2 to Fig. 4 indicate 4 kinds of different quantity combinations. Among them, Fig. 2 indicates the former 2 groups. Fig. 5 to Fig. 9 indicate intersectant combination increased in turn. Among them, Fig. 9 contains12 kinds of intersectant combinations. Fig. 10 indicates specific quantity combinations sand intersectant combinations.
By this time, correct coloring for Heawood configuration is solved. The procedure which solve the problem, we name it H·Z-CP. The conclusion renovate the leak of kengpu proof.
Bibliography:
〔1〕、Holroyd，F．C．and Miller，R．G．．The example that heawood shold have given Quart J Math.(1992). 43 (2),67-71
