第
25卷 第
2期
自然辩证法研究
Vol. 25, No.2
2009年
2月
Studies in Dialectics of Nature
Feb. , 2009
文章编号
:1000 -8934 (2009) 02 -0025 -05
穆勒的算术哲学
宋 伟
(湖北大学哲学学院
,武汉
430062)
摘要
:穆勒的算术哲学包含两个方面的内容
:一方面是对先天论几何观和唯名论算术观的批判
;另一方面是对
数的性质和数的形成方式的阐明。尽管这种算术哲学通常被认为具有一种“极端的”或“狭隘的”经验主义特征而受
到弗雷格和胡塞尔等人的严厉批判
,但这些批判本身也都面临着各自的困难
,而这使得穆勒的算术哲学至今都不能
被彻底抛弃。
关键词:穆勒;算术哲学;数
中图分类号:B5504 文献标志码:A
收稿日期:2008 -10 -27
哥德尔( Kurt Gêdel)在《数学是语言的语法
吗?》一文中指出:“经验主义数学观的信条显然是
说,归根结底一切知识都是基于(外在的或内在的)
感观知觉,我们并不具有一种对某个抽象数学对象
领域的直观,而且既然由于数学的先天确定性,这样
一个抽象对象领域并不能由经验上得知,所以必须
假定它根本不存在”〔1〕335n。穆勒(Jo hn S. Mill)的数
学观就具有哥德尔所指出的这种经验主义信条的典
型特征,而且由于穆勒坚持认为归纳是一切科学的
基础,因而他还进一步否认了数学具有任何的“先天
确定性”。这种通常被称为“极端或狭隘的经验主
义”的特征在穆勒的数的观念中得到了充分的体现,
为了表明这一点让我们首先看看他是如何针对“先
天论”的观点对两种先天论几何观进行批判的。
1 对先天论几何观的批判
先天论的几何观通常存在着两种反对经验论观
点的论证。
第一种论证:如果有人认为“两条直线不能围成
一个空间”这一命题可由感观知觉得到,那么他就必
须要实际观察到或感觉到两条直线无论延伸到多远
都不会相交这一事实,但他怎么能跟随两条直线到
无限远的地方呢?因此,除非人们对这一命题有不
同于感观知觉的证明方式,否则就根本没有相信这
一命题的理由。
第二种论证:几何公理都是普遍必然真的命题,
因为人们无法想象它们的反面,对它们的否定不仅
是假的而且是不可能的。经验不可能使任何几何命
题具有普遍必然真的特征,因为一方面,经验总是有
限范围内的经验,并不适用于普遍的情况;另一方
面,经验只是观察并记录所发生的什么,并不保证必
然要发生什么。因而,对普遍必然真的命题的证明
必须依赖于一种与经验无关的更高层次的方式。
针对第一种论证,穆勒认为,人们关于几何形式
的观念与引起它们的感觉完全相似,几何形式可以
与实在一样被描绘在人们的想像中,只要这些几何
图像足够精确,它们就可以显示出与实在同样的特
征,因而,只要思考直线的观念而不用实际观察到或
感觉到它们,人们就能够认识到“两条直线不能围成
一个空间”〔2〕154。按照这种看法,似乎可以想像当两
条直线在彼此分离又再次接近时,不管这发生在多
么远的地方,人们一定会在感观知觉上产生出一种
“曲线”而不再是“直线”的印象。只是这里要注意,
穆勒并不是说人们可以通过想像的直观(imaginary
int uition)来认识“两条直线不能围成一个空间”这
一命题,而是说想像的直线与真实的直线相似,人们
可以从想像的直线得出有关真实的直线的结论,这
一命题仍是一个来自观察的归纳结果。
对于第二种论证,穆勒主要针对普遍必然真的
命题的否定或反面的不可想像(inco nceivableness)
进行了批判。穆勒认为,并不存在什么人类天性所
普遍承认的事实,不可想像只是人们很难想像与长
期形成的熟悉的经验以及古老的思维习惯相矛盾的
东西,如当人们常常看到和想到两个东西在一起而
从没有分别看到和想到它们时,由心理的联想律就
作者简介
:宋伟
(1973 —),安徽临泉人
,湖北大学哲学学院讲师
,主要研究方向为科学哲学。
自然辩证法研究 第
25卷 第
2期
产生了一种可能永远无法超越的分别想像两个东西
的困难〔2〕157。显然
,在穆勒看来
,将普遍必然性归之
于某些几何命题仅仅是人们心理联想律的作用
,这
种普遍必然性并不是什么先天的东西
,而是一种来
源于经验归纳的现象。
在对先天论几何观进行了上述批判后
,穆勒认
为有必要将这种批判带向另一个领域
,因为
“我们现
在所断定的并不能被认为对于演绎或证明科学普遍
成立
,除非将它们运用于所有科学中最卓越的数的
科学以及运算理论、算术和代数而得到证实”〔2〕166。
所以
,接下来我们就来看看穆勒如何将其经验论的
认识运用于数的科学。
2 对唯名论算术观的批判
在对数的认识中,存在着一种唯名论的或符号
论的观点,这种观点认为:数的科学的命题仅仅是言
语(verbal)表达式,数的运算过程仅仅是一个表达
式代入另一个表达式的简单语言转换。根据这种观
点,“2加1等于3”这一命题并不是一个真理,也不
是对一种实际存在的事实的断定,而是“3”这个符号
的一个定义,是一个人们同意用“3”这个符号来作为
“2加1”的记号的命题,以便用后者这一较长的短语
称呼的东西也能用前者来称呼。同样,在这一观点
看来,代数中最长的运算过程只是用等值表达式一
个代入另一个的一系列术语变化过程,或者说是同
一个事实从一种语言到另一种语言的翻译过程。
针对这种观点,穆勒指出:仅仅通过语言的人为
操作来发现事实和探究自然的隐秘过程是与常识相
悖的,而当用代数证明一个新的几何定理时如何解
释事实本身的变化正是这种观点的致命困难〔2〕166。
不过,唯名论者或符号论者可能会认为,人们在使用
算术或代数符号进行运算时并不带有任何观念(i2
deas) ,因为符号a、b等并不表示某个确定的线、角
或量,所以在人们的思想中就只有符号而没有观念。
对此,穆勒指出:这种情况只是反映了算术或代数运
算高度综合的本质及其语言的极端概括性,事物和
符号在其中相互转换的归纳过程在人们的思想中仅
仅是被隐藏起来了〔2〕167。
针对另外一种认为算术和代数命题仅仅是言语
符号的观点,即认为“2加1等于3”这类命题只是断
定了两个名称之间的指示( signification)相同,穆勒
反驳说,尽管“2加1”和“3”这两个名称指谓( de2
note)相同的东西,但它们的涵谓(co nnotation)却可
以不同,3个石子分成两堆和3个石子放在一堆在
人们的感官上会留下不同的印象,所以“2加1等于
西”〔9〕167。在穆勒看来,数都是对象或事物的名称,
“10”意味着10个东西或10种声音或10次心跳等
等,并没有脱离对象或事物的抽象的“10”存在。不
62
3”这一命题仍是人们根据以往的经验归纳出的一个
关于数的真理〔2〕168。当然
,穆勒进一步认为
,要是人
们愿意
,人们可以称命题
“3是
2加
1”为数
3的定义
并且象断定几何那样断定算术是一门建立在定义上
的科学
,只是这些定义是几何意义上的而不是逻辑
“
意义上的定义
,其所断定的不只是一个项的意指
(meaning) ,而且还有与这个项一起的一个被注意
到的事实”〔2〕168。
3 数的性质
基于以上这些认识
,穆勒得出结论说
:
“所有的
数都必须是某种东西的数
,没有抽象的数这样的东
过
,由于一切东西都有量
(quantity) ,都由可以被计
数的部分构成
,因而都具有一种可以被称作数的性
质
,所以
,数虽然必须是某种东西的数
,但却可以是
任意东西的数
,人们只需要想像一个被分成了
10等
份的东西就可以用
“10”这个数的性质来谓述它。对
此
,穆勒认为代数作了进一步的概括
,即“每个数都
表示事物的一种无区分的特殊性质
,而每个代数符
号则表示一切无区分的数”〔2〕167。具体来说
,只要人
们想像一个东西被分成了若干等份但并不确定是几
等份的时候
,就可以称这个“几”为
a或
x并且可将
其用于每一个代数公式而不会有犯错误的危险
,如
“2( a + b) =2 a +2 b”就是一个在一切情况下都为真
的命题
,只是这一命题的真并不是由于其中言语符
号自身性质的缘故
,而是由于其与事物的性质相符
合从而可由事物的性质来谓述的缘故。在求解一个
代数方程时
,其中连续进行的推论也是关于事物而
不是关于符号的推论
,因为像
“等量加上等量其和相
等”和“等量减去等量其差相等”以及其他以这两个
命题为基础的命题虽然运用于
a、b、x、y等符号上
,
但它们所说的是事物的性质而不是那些符号的性
质
,其中的每一步只有在与事物而不是与符号相关
时有关的证据才不会失效。
通过以上的论述可以看出
,穆勒坚决反对对数
作符号的和逻辑的这些抽象意义上的解释
,坚持认
为数有经验的根源
,这种认识显然与其几何观相一
致。也正因为如此
,穆勒试图进一步表明数的科学
在更多的情况下类似于几何学
,即算术中同样不存
在普遍必然真的命题
,归之于算术命题的必然性和
确定性同样是虚构的和假定的
,它们仅仅是在那些
命题从假设为真的前提合法推出的意义上来说的。
穆勒的算术哲学
在穆勒看来,算术中的归纳命题可以分成两类:一类
是“1加1等于2”、“2加1等于3”等等这类可以从
几何学的意义上被看做定义的命题;另一类是“等量
加上等量其和相等”和“等量减去等量其差相等”这
两个算术公理。这两类命题似乎对一切对象都成
立,而从中推出的其他命题似乎也都具有绝对的确
定性。不过,穆勒认为,“只要再作进一步的思考就
会发现,在所有这些关于数的命题中都隐藏着这样
一个假设,即所有的数都是相同或相等单位的数,也
即是说1 = 1。但因为实际上的1磅①重与另1磅重
并不完全相等,1英里②与另1英里也不完全相等,
所以,包含无条件真和绝对精确性这两重概念的数
学确定性并不是所有数学真理的性质,而只是在不
假设数是实际量的准确标记(index)的情况下在更
广泛的意义上与量相区别的纯粹数(p ure Number)
的真理的性质”〔2〕169。正是基于这一认识,穆勒得出
结论说:“一切演绎科学的方法都是假设的方
法”〔2〕169。这一结论的得出显然是穆勒坚持其经验
主义几何观和算术观的一个必然结果。
4 数的形成方式
在论述了数的性质之后,穆勒认为:“在所有已
知的现象中,在最严格的意义上,惟独数的性质是所
有一切东西的性质。并不是所有的东西都有颜色、
重量和广延,但所有的东西都有数( numera2
ble) ”〔2〕146。在穆勒看来,数的定义与别的定义一样
由名称的说明与事实的断定两部分构成,在2、3、4
等数中每个数都各自指谓一组对象或一种物理现象
并涵谓那组对象或那种物理现象的一种物理性质。
对于这种物理性质,穆勒认为:“它是一种我们用数
的名称所称呼的对象的聚合(t he agglomeration of
t hings)的性质,这种性质是对象的聚合构成和分解
的特有方式”〔2〕400。具体来说,当一组对象被人们称
为2、3或4时,它们所涵谓的是单个对象为了产生
特殊的聚合( aggregate)而必须放在一起的方式。
以石子为例,如果人们称一堆石子的聚合为2 ,那么
这就意味着一个石子必须与另一个石子放在一起;
而如果称它为3 ,则意味着必须把一个石子加一个
石子再加一个石子放在一起,或者把一个石子与已
经存在的某个被称为2的石子聚合放在一起;对于
人们称为4的一堆石子聚合则有更多的形成方式,
可以把石子一个加一个地放在一起,也可以将两个
被称为2的石子聚合放在一起,或者将一个石子与
一个被称为3的石子聚合放在一起。依此类推,每
一个上升序列中的后继数都可以通过不断增多的方
式与较小的数相结合而形成。除此之外,还可以不
通过较小聚合的结合而是通过较大聚合的分解来得
到一个新的聚合,如3个石子可以从一个4的聚合
中去掉一个石子来形成;2个石子可以由一个4的
聚合的平分来形成,如此等等。由此可见,一个数的
形成方式可以有许多种,而且当一些数的形成彼此
关联时,人们完全可以根据它们的一种形成方式推
演出它们的其他形成方式,如当人们知道a从b和c
形成、b从c和d形成、c从e和f形成时,从中就可
以推演出a从c和d的形成方式、a从d、e、f的形
成方式以及b从d、e、f的形成方式。
在此认识的基础上,穆勒进一步认为:“每个算
术命题和每个算术运算的结果都是关于某个数的某
种形成方式的陈述”〔2〕400。对此穆勒举例进行了说
明,如当人们说“12的立方是1728”时,其中所断定
的是:如果有足够多的石子或别的什么东西,就可以
把它们放在一起形成一种被称为“12”的特殊的包
(parcel)或聚合,然后把以这种方式得到的多个被
称为“12”的特殊的包或聚合以相同的方式放在一起
形成新的聚合,最后再由12个这样的聚合构成一个
更大的聚合,最后的这个聚合就是一个人们称之为
“1728”的聚合。而相反的命题“1728的立方根是
12”则可以通过相反的方向分解出构成“1728”这一
聚合的被称为“12”的包或聚合。显然,对于包含特
殊的数的命题都可以进行类似的说明。不过,由于
代数学命题对所有的数都成立或者说对一切可以以
任意方式划分的东西都成立,那么对这类命题该如
何进行说明呢?对于这一问题,穆勒认为,考虑到不
同的数可以由相同的方式来形成,如9可以通过3
的“自身相乘”来形成,16可以通过4的“自身相乘”
来形成等等,所以可以通过对形成方式或者说函数
进行分类的方法来说明代数学命题〔2〕403。在穆勒看
来,任何一个由别的某个数形成的数都可以被称为
前者的一个函数,而有多少种形成方式就有多少种
函数,如通常的简单函数有加、减、乘、除、指数函数、
开方函数、对数函数、正弦函数、反正弦函数等,而其
他函数则由这些简单函数组合而成。在对函数问题
进行一般运算时,只要有一种能够用名称表达任意
数的命名法( nomenclat ure) ,就可以在不必指出那
些数具体是什么数的情况下而表明它们是其他数的
72
①
1磅
=014536千克。
②
1英里
=11 6093公里
自然辩证法研究 第
25卷 第
2期
何种函数,或者说表明它们由其他数的形成方式,如
表达式a和2 a + 3 a分别指谓了任意一个数和由这
个数以一种特定方式所形成的另一个数;表达式a、
b、n和( a + b) n分别指谓了任意3个数和由这3个
数以一种特定方式所形成的第4个数。在数的科学
中,不同的形成方式可以得到相同的结果,如( a +
b) n既可以由( a + b)自身相乘n次来形成也可以通
过二项式定理由a、b、n直接形成,而“已知一个函
数,它是某个别的函数的何种函数?”则成了代数运
算的一般问题和目标。
5 弗雷格和胡塞尔的异议
对于穆勒的数的观念,弗雷格一方面认为穆勒
有一种合理的想法,即不是从分析的或综合的、后天
的或先天的角度来看待数的定律和数的公式,而是
象莱布尼兹( Gottf ried W. Leibniz)一样对单个的
数进行定义并进而希望将数的科学建立在定义的基
础上;但另一方面,弗雷格认为由于穆勒坚持一种先
入之见即所有知识都是经验的而使得上述那种合理
的想法遭到了破坏〔3〕9。通过对“数的公式是可证的
吗?”、“算术定律是归纳真理吗?”、“算术定律是先天
综合的还是分析的?”以及“数是外在事物的性质
吗?”这些问题的讨论,弗雷格在其《算术基础》一书
中对穆勒算术观中的一切经验因素进行了全面、深
入的批判并讥笑这种算术观为“小姜饼或小石子的
算术”〔3〕xix。在从集合的角度通过对“概念”(con2
cept)、“等同”(identity)、“一一对应”的讨论定义出
从0到∞的全部自然数并满怀信心地认为有理数、
复数也都可以还原为纯粹逻辑之后,弗雷格得出结
论说:“..数既不是一堆东西也不是这堆东西的一
种性质,同时也不是心理过程的一种主观产物,我们
的结论是:数的命题断定了概念所具有的某种客观
的东西。..很清楚,算术所研究的数绝不能被认
为是一种依附的性质,而是实体性的。这样,数作为
对象才能被反复认识到,尽管这不是作为物理的甚
或仅仅空间的对象,也不是作为我们通过想象而形
成的图像的对象”〔3〕115 -116。显然,弗雷格表明了一
种与穆勒完全相反的数的观念:穆勒认为数必须是
某种东西的数,是对象或事物的一种物理性质,没有
独立、客观的存在;而弗雷格则认为数是“概念”的数
(如属于“等于0又不等于0”这一概念的数是0) ,有
独立的存在。正是由于弗雷格和穆勒数的观念的这
种基本差异,导致两人对数的定律的认识也全然不
同。穆勒坚持认为数的定律是自然定律,象其他科
学定律一样是归纳的结果,因而可应用于外界事物;
而弗雷格则认为:“数的定律并不应用于外界事物,
它们不是自然定律。它们只应用于对外界事物有效
的判断:它们是自然定律的定律。它们并不断定现
象之间的联系,而是断定判断之间的联系,自然定律
就包含在判断之中”〔3〕99。
总的来看,弗雷格的算术观是与其所坚持的“把
心理的和逻辑的东西、主观的和客观的东西区别开
来”、“把概念和对象区别开来”以及“只在命题的语
境中而不是孤立地探讨语词的意指”这三条基本原
则相一致的,也完全表明了弗雷格希望在算术中彻
底摆脱一切心理的和经验的因素而仅仅由合乎逻辑
的纯粹理性来建立起整个数的科学的一种努力。只
是遗憾的是,在罗素悖论被发现之后,弗雷格不得不
承认他的这种努力彻底失败了。在其后期的一篇文
章《算术基础的新尝试》中,尽管弗雷格仍然坚持算
术证明中不需要求助于感观知觉并且坚持数的命题
包含对概念的断定,但却放弃了认为算术证明中不
需要求助于直观(int uition)的观点,同时希望能为
算术重新找到一种先天的几何学基础〔4〕278。只是这
样一来,弗雷格就不得不重新面对穆勒对先天论几
何观的批判了。
胡塞尔( Edmund Husserl)在其《算术哲学》一
书中对穆勒的数的观念也提出了异议。针对穆勒认
为数的定义中所断定的事实都是物理事实而象2、
3、4等等这样的数都各自指谓不同的可感知的物理
现象并涵谓那些现象的一种物理性质这种观点,胡
塞尔认为:“这种观点显然是错误的,人们肯定疑惑
一个穆勒级水平的思想家怎么会对此感到满意。无
疑,两个苹果与三个苹果可以在物理上区分开来,但
两个判断与三个判断或两种不可能性与三种不可能
性等等肯定不能进行这样的区分。因而,这些情况
下数的差别不可能是一种看得见摸得着的物理差
别。只要一提到完全可以象物理的东西一样被进行
计数的心理的行为或状态,穆勒的理论就被驳倒
了”〔5〕18。显然,胡塞尔在指责穆勒的数的观念只局
限于物理现象而忽视了同样可被计数的人的心理行
为或状态,因为一个明显的事实是,当人们谈论“两
个判断与三个判断”或“两种不可能性与三种不可能
性”时,其中的“判断”和“不可能性”并不是什么物理
现象而“两个”和“三个”也并不涵谓什么物理现象的
物理性质。确实,尽管穆勒认为“数可以是一切东西
的数”、“一切东西都有量”,但这似乎主要是针对物
理现象来说的,而对于心理行为或状态的可计数性
穆勒似乎并没有作出更多的说明。不过,通过上述
对穆勒数的观念的讨论,我们可以看出,穆勒虽然不
承认数有抽象的存在,但他似乎并不反对数有抽象
82
穆勒的算术哲学
的即
“语言的极端概括性”意义上的应用
,只是要求
人们知道归根结底数有归纳的来源就行了。
针对穆勒认为数的命题中隐藏着一种假设即所
有的数都是相同或相等单位的数或者说
1=1这一
观点
,胡塞尔认为
:
“轻而易举就能反驳这种错误的
观点
,要求算术预设
1=1这一命题完全是弄错了算
术的意思。算术作为数的理论与具体的对象无关
,
而是与一般的数有关”〔5〕156。胡塞尔进一步解释说
:
“由我们的心理分析而来的单元的相同显然是一种
绝对的相同。事实上
,只要想到近似就会是荒谬的。
因为这是关于它们有具体内容这一事实的具体内容
的同一问题
,否认这种相同就是否认内在感知的明
证性
(evidence) ”〔5〕158。显然
,胡塞尔反对穆勒认为
们构造这样那样一些并不直接明了的数的特征时的
实际行为说什么。
..相反
,它们只关心具有抽象
纯粹性和理想性的绝对的数和数的组合。
..所有
这些命题没有一个可以还原为具有经验普遍性并且
能够毫无例外地应用于整个实际世界的命题
,即使
是在普遍性最宽泛的意义上也不行”〔6〕110。与弗雷
格相比
,胡塞尔也承认算术是一门先天的科学
,只是
在追求对数进行基于纯粹逻辑的理解上胡塞尔远远
没有弗雷格走得那么远。
较小的数的理解应当基于对
“同一”(identity)、
“某个东西”
( some2
t hing)、“多元”
(multiplicity)等这些更为直观的初始概念的理解
,
但是这些概念不可定义而只能进行心理分析。正是
基于这种认识
,胡塞尔在其《算术哲学》一书中不仅
对穆勒的数的观念进行了批评而且也对弗雷格按照
“一一对应”来定义数的做法进行了批评。不过
,在
接受了弗雷格批评他将概念和表象
(presentation)
混为一谈以及在对数的解释中求助于抽象
(abstrac2
tion)的做法之后
,胡塞尔就彻底转向了致力于消除
其算术观中的心理主义因素的方向
,这一点在其对
心理主义进行大力批判的《逻辑研究》一书中有充分
的体现
:算术命题与那些理想的单元有关
,..它
1=1是一种假设的观点
,而是认为
1=1是可以通”么
?这一问题的争论提供一些更为丰富的历史背
过心理分析而得到的一种无可置疑的结果。在胡塞景
,同时为理解现代各种具有经验主义特征但却不
尔看来
,人们对各种抽象的数的理解尤其是对一些
“单元”( unity)、
同于极端经验主义特征的数学观提供一种可供对比
通过以上对穆勒算术哲学的论述
,我们希望能
够详尽地展现一种极为朴素的数的观念或一种归纳
的数的解释理论或者说一种极端经验主义的算术观
以及这种观念或理论所面临的挑战,从而为
“数是什
“
们并不告诉我们任何实际的东西
,既不对被计数的
实际东西说什么
,也不对计数那些东西时或者为我
的参照。
参考文献
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Routledge , 2001.
Mill’s Philosophy of Arithmetic
SON G Wei
(Faculty of Philosophy , Hubei University , Wuhan 430062 , China )
Abstract :Mill’s philosophy of arithmetic consists of two parts: one is his critique of a priori views of geometry and that of nominalist views of
arithmetic,andtheotherishiselucidationonthenatureofnumberandthewaysofconstructionofnumbers. Itisordinarilybelievedtobepro2
videdwitha’narrow’or’extreme’empiricistcharacteristic. ButalthoughmanywritersincludingFregeandHusserlhavecriticizeditheavily,Mill
’s philosophy of arithmetic cannot yet been thoroughly put away , since the criticisms themselves have respectively encountered some difficulties.
Key words : Mill; philosophyof arithmetic; number
(本文责任编辑 费多益
)
论文中相对数指标变量要取对数的原因：平时在一些数据处理中，经常会把原始数据取对数后进一步处理。之所以这样做是基于对数函数在其定义域内是单调增函数，取对数后不会改变数据的相对关系。
缩小数据的绝对数值，方便计算。例如，每个数据项的值都很大，许多这样的值进行计算可能对超过常用数据类型的取值范围，这时取对数，就把数值缩小了，例如TF-IDF计算时，由于在大规模语料库中，很多词的频率是非常大的数字。
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是乘积形式、商的形式、根式、幂的形式、指数形式或幂指函数形式的情况，求导时比较适用对数求导法，这是因为：取对数可将乘法运算或除法运算降格为加法或减法运算，取对数的运算可将根式、幂函数、指数函数及幂指函数运算降格成为乘除运算。
微积分是高等数学的一部分知识，关于微积分的论文有哪些？接下来我为你整理了数学微积分论文的 范文 ，一起来看看吧。
摘要：初等微积分作为高等数学的一部分，属于大学数学内容。在新课程背景下，几进几出中学课本。可见初等微积分进入中学是利是弊已见分晓，其重要性不言而喻。但对很多在岗教师而言，还很陌生，或是理解不透彻。这样不利于这方面的教学。我将对初等微积分进入中学数学背景，作用及教学作简单研究.
关键词：微积分;背景;作用;函数
一、微积分进入高中课本的背景及必要性
在数学发展史上，自从牛顿和莱布尼茨创建微积分以来，数学中的很多问题都得以解决。微积分已成为我们学习数学不可或缺的知识。其在经济、物理等领域的大量运用也使之成为解决生活实际问题的重要工具。但牛顿和莱布尼茨创建的微积分为“说不清”的微积分，也就是连他们自己也说不清微积分的理论依据，只是会应用。这使得很多人学不懂微积分，更不用说让中学生来学习微积分。
柯西和维尔斯特拉斯等建立了严谨的极限理论，巩固了微积分基础，这是第二代微积分，但概念和推理繁琐迂回，对高中生更是听不明白。近十年来，在大量的数学家如：张景中，陈文立，林群等的不懈努力下，第三代微积分出现了相比前两代说得清楚，对高中生而言，也更容易理解。这为其完全进入高中课本奠定了基础。从内容来看，新一轮的课改数学教材在微积分部分增加了定积分的 概念及应用(求曲边梯形面积，旋转体体积，以及在物理中的应用)，可能考虑到中学生的认知能力，人教版新教材与北师大版在这方面有所不同。即利用定积分求简单旋转体体积在北师大版教材中出现了，但人教版没有。
从课标和考试大纲(参考2011年高考考试大纲)上看，初等微积分所占比重也是越来越重。回顾历届高考，微积分相关题型分值越来越高。但就我个人观点，初等微积分在中学数学中的作用还没有真正全面发挥。我认为，它是学生中学数学和教师教学的一条线索，它是我们研究中学函数问题的统一 方法 ，也是联系中学与大学数学知识的纽带!
二、微积分在中学数学中的作用
1.衔接性与后继作用。微积分本是大学高等数学范畴，是大学开设的课程。让现在中学生提前学习部分微积分知识，这便为其以后升入大学学习微积分打下良好的基础，这也使数学知识从小学到大学从内容上衔接得更加紧密。也不会再出现很多大学生认为的大学数学知识在高中数学教学中没有任何作用的观点.
2.解决数学相关知识的作用。高中数学函数在整个中学数学内容中，不论从高考所占比重还是自身难度来说都应该排在首位。对学生来说永远是最难学的，得分率也相对比较低。很多学生讨厌数学就是讨厌函数，提到数学中的函数就头晕。由于应试 教育 的关系，学生又不得不学习函数，而函数思想本身也是高中数学学习的一条线索。微积分的进入对学生学习函数问题找到了统一的方法。高中阶段我们所研究的函数问题一般是以一些基本初等函数为媒介研究函数的定义，图像和性质，当然也有应用。但随着课改的深入，函数应用问题逐渐在淡化。而初等微积分知识即研究函数的重要工具，如：微积分可以求函数的单调性，最值。最重要的是它可以画出函数的图像，其实，当函数图像画好后，几乎函数所有性质都可以解决。学生只要学好微积分便掌握了研究函数的统一方法，那么高中阶段的二次函数，指数函数，对数函数，三角函数等所有初等函数的学习就可以统一，既节约了教学时间又学习了先进的数学思想。对提高学生的数学修养打下坚实的基础。我相信还可以激发其学习数学的兴趣。另外，在高中阶段，初等微积分还可以解决不等式问题，求二次曲线的切线问题，求曲边梯形的面积等很多数学问题。利用微积分不仅可以使问题简化，并能使问题的研究更为深入、全面。
3.提高数学在其他学科的应用能力。作为自然学科的数学本身已应用于社会经济、技术等各个领域。而作为中学数学，它对中学 其它 学科的推动作用也是毋庸置疑的。如物理，化学，地理等学科也离不开数学。在高中阶段往往会因为数学的教学进度而影响其它学科的进度。如地理中要学习地球的经度，纬度等知识就需要先学习数学中球体相关知识和解三角形相关知识。当微积分进入中学数学后，数学这个学科的作用就更加重要了。特别像物理中匀加速直线运动位移，瞬时速度，加速度等问题利用微积分的导数求解起来更加简单，容易理解。新课程人教版数学教材选修2-2中专门加入了利用定积分求变速直线运动的路程一节。另外，微积分解决生活中的优化问题也进入中学课本。可见，微积分进入中学教材，对促进学科间知识的整合起到了至关重要的作用。
三、国际上一些教材对微积分知识的处理
以苏联中学为例，苏联中小学为十年制，从九年级(1)(相当于我国高中一年级)中讲了数学归纳法和排列组合以后，就介绍无穷数列和极限。然后介绍函数极限和导数，所有这些都在讲解三角函数，幂函数，指数、对数函数之前。随即介绍导数在近似计算，几何(求切线)和在物理中的应用(研究速度，加速度)以及导数在研究函数问题中得应用(求函数极值，最值，单调性等)。到九年级末及十年级(2)再讲三角函数， 利用导数可以研究三角函数的性质。然后介绍不定积分和定积分。接着在指数函数，对数函数和幂函数一章介绍指数函数的导函数，再利用反函数求得对数函数的导函数。在十年级(3)中利用微积分知识研究几何问题，用积分推导锥体，球体等的体积公式。还把球的表面积定义为球的体积V(R)对R的导数，从而立即求得球的表面积公式。可见，苏联课本中及早分散引入导数及积分的概念和计算，而不是到最后整块讲解。这样处理，可以使微积分知识结合研究函数问题，几何问题以及研究物理问题中都得到应用。
当然，还有比如台湾中学教材对微积分处理和我过现行教材区别不大，就不再介绍。而上诉对微积分的处理情况是一种在欧洲中学教材中较普遍的处理方式。其优点主要就是充分发挥了微积分在中学数学教学中的作用。使中学数学知识更加连贯，更加易懂!
摘 要：微积分是高等院校管理类专业的重要数学基础课，第一堂课是上好微积分的关键。通过三个方面就如何上好微积分绪论课做些探讨。
关键词：微积分;起源;内容;方法
微积分是门基础课，这门课的学习直接影响到今后专业课的学习，而绪论课对这门课的学习有着引导的作用，在整门课中有特殊的地位和作用。绪论课应包含下面几个部分的内容：
一、微积分起源的介绍
微积分包括两方面的内容：微分与积分。微积分的创立源于处理17世纪的科学问题。先引入微积分学的创始人之一费马研究的一个问题：假设一个小球正向地面落去，求下落后第5秒时小球的速度?若是匀速运动，则速度等于路程除以时间，然而这里的速度是非均匀的，那能不能把非均匀速度近似看成均匀速度?用什么方法?这就是微分学问题，再引入古希腊人研究的面积问题：计算抛物线y=x2与坐标轴x轴在0≤x≤1间所围成的面积。能不能将面积切割成n个小面积，再将小面积用小矩形来代替，由n个小矩形的面积得到所求面积?这里所用的方法就是积分问题。很早以前就有人研究过微分与积分，而微积分的系统发展是在17世纪开始的，从此逐渐形成了一门系统完整且逻辑严密的学科。微积分通常认为是牛顿和莱布尼茨创立的。这一系统发展关键在于认识到微分和积分这两个过程实际上是彼此互逆地联系着。
介绍提及的人物牛顿和莱布尼茨的相关轶事，例如创建微积分优先权的争论。牛顿于1665～1687年把研究出的微积分相关结果告诉了他的朋友，并将短文《分析学》送给了巴罗，但期间没有正式公开发表过微积分方面的工作。莱布尼茨于1672年访问巴黎，1673年访问伦敦时，和一些知道牛顿工作的人通信。1684年莱布尼茨正式公开发表关于微积分的著作。于是有人怀疑莱布尼茨知道牛顿具体的工作内容，莱布尼茨被指责为剽窃者。在两个人死了很久后，调查证明：牛顿很多工作是在莱布尼茨前做的，但是莱布尼茨是微积分思想的独立发明者。
二、介绍微积分内容及方法
微积分学研究的对象是函数，极限是最主要的推理方法，它是微积分学的基础。微积分内容有四类：一是已知物体移动的距离是时间的函数，怎样由距离得到物体在任意时刻的速度和加速度;反过来，已知物体的加速度是时间的函数，怎样求速度和距离。二是求曲线的切线。三是求函数的最大最小值问题。四是求曲线的长度、平面曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心。
三、为什么要学习高等数学
微积分在自然科学、经济管理、工程技术、生命科学等方面都有应用，是各门学科强有力的数学工具。学好微积分，可以增加语言的严密性、精确性，可以从中锻炼人的 理性思维 ，并感受到美的艺术。例如黄金分割，无理数的■与π的表达式：
微积分的绪论课是整个教学的第一课，绪论教学能使学生对这门课有个快速大致的认识与了解，好的绪论课可以引导学生主动、积极地学习。
前 言
21世纪，科学、技术和社会都发生了巨大的变化。高等数学作为高等院校的基础课程之一，在其他各个领域及学科中发挥出越来越大的作用。尤其是微积分教学，是目前数学教育的一大课题。
一、我国微积分教学改革的现状
目前的数学实验中，微积分教学改革的现状中仍然存在一些主要问题。
首先，优秀人才的培养重视不够。在微积分教学中，重视的是教育大众化的人才，而一些顶尖的、优秀的人才的培养却重视不够。
其次，过度应试化。过度重视应试教育在微积分教学中越来越明显，轻能力重考试已成为一种倾向。
再次，学生差异大，素质下降。学生人数的激增带来学生差异的强化，面对这一情况，如何规划班级，如何区别对待学生是微积分教学面临的问题。
二、微积分课改的必要性
随着高等数学改革的不断深入，微积分教学的改革成为其中的重要部分。微积分教学的改革并不是空穴来风，而是一种必然。
(1)社会高度发展提出的要求
微积分作为高等数学的一部分，对技术文明的推动有重要作用，许多数学细想和数学的建树都离不开微积分。可以说，微积分在推进数学思想，推进社会进步，推进科学发展上有举足轻重的作用，是不可或缺的，它是人类思维的伟大成果，不仅是高等数学。而且是其他行业，其他专业，在不同范围和不同程度上对微积分的认识都是必要的。设想一下，如果取消对微积分的学习，那么技能的进步只是一句空谈，社会不会发展，智慧不会被充分开掘。所以，微积分教学的改革是十分必要的。
(2)科技的发展提出的需要
当今世界，是一个科学技术突飞猛进的时代，军事、贸易等激烈的竞争和市场经济，如果没有科技的推进，则会落后于他人。如何促进科学的发展呢?微积分起着重要的作用，它不仅为科学提供了精密的数学思想，也为科学的提供了理论支撑，它不但改变了数学面貌，还是其他学科的工具和方法，微积分在自然学科的各个方面都有运用。随着科技发展的时代，提高微积分教学的质量是势在必行的。
(3)人类思维发展的需要
微积分中蕴藏着很多重要思想，比如辩证的思想，常量与变量，孤立与发展，静止变化，有限与无限等，还有“直”与“曲”，“局部”与“整体”的辩证关系，其实。哲学最处就是与数学密切相关的，所以，数学，尤其是微积分思想充满了逻辑与辩证，微积分的学习。不仅是知识、理论的学习，更是一种思维的训练。因此，微积分教学的完善有利于培养人类思维，使人类思维获得一个飞跃，更有效地解决问题。
三、微积分课改的内容
根据新的教学大纲的修改，微积分教学重新设计了课程内容、教学理念、 教学方法 等，以学生为主体，更直观形象，而且在教学方法上也进行了革新。全面促进了微积分教学的改革。
1、课程基本理念的改革
微积分教学的改革能否成功关键在于观念的转变，过去是偏重理论，现在则要注重应用激发初学者的学习兴趣，尽早把握微积分的基础知识，把抽象难懂的微积分理论转变为学生容易接受、容易理解的微积分教学方式，比如说，极限是微积分知识中的难点，极限概念、运动、辩证思想等对于学生来说是十分抽象，不容易理解，从而没有激发学生的学习兴趣，课堂变得枯燥无味，理论严谨，逻辑性很强，学生上手难。微积分教学大纲的修订也体现出教学理念的更新，新的微积分教学中，适当降低了难点知识。重视对微积分本质的认识，以直观、实例来提高学生的微积分学习兴趣和学习效率，使学生学习的主动性回归到自身，体现以人为本的思想，重视学生的情感态度、生活价值的培养，根据学生自身的特点因材施教，为学生提供更好的学习条件和基础。
2、课程内容的改革
根据《标准》大纲的修订，微积分教学首先是对课程内容和教学大纲的精简、增加、删改。修订后的教学内容比原来的教学大纲更精练，更科学。比如，原来12学时的“极限”在修订大纲中被大面积的删减。并在修订大纲中，引入导数这一很有判断意义的概念，因为导数是微积分初步了解的第一个概念，对导数概念的理解起到基础性的作用。而且，修订的课本内容中，对导数的讲解时直观形象的，应用性很强，又有许多实例来帮助学生加深理解。因此，微积分教学的新课改减轻了学生的学习负担，降低了概念的理解难度。
3、课程设计的改革
原来的课程是从极限、连续、导数、导数应用，再到不定积分、定积分这样的次序设计的，并在“导数和微分”的前面一章给“极限”设计了许多定义，以及对“极限”的求法和运算做了讲解。修订后的大纲对课程设计做了调整，尤其是微积分讲解的路线，发生了变化，从瞬间速度，变化率，导数、导数应用再到定积分。对人文社科方面的高校微积分课程的设置，则多数是作为选修课来处理的，并与生活十分贴近，应用性很强，使非数学专业也对数学有一定的基础了解和学习兴趣。
4、教学方法的革新
(1)数学思想方法的渗透与运用。数学思想方法是多种多样的，在生活中也取得有效地运用。微积分耶是高等数学的一个方面，因此，在微积分教学中引入数学思想方法是科学的。其中，数学分析，也叫微积分，是17世纪出现的十分重要的数学思想，不仅在17世纪有非常重要的地位，即使是在今天，这种思想方法在成功解决无限过程的运算方面，即极限运算有很大的帮助。数学思想的运用已成为各国比较重视一项革新项目。
(3)加强实例分析和应用性。数学是一种逻辑推理。但也是来源于生活的，也最终给应用于生活，因此，数学的教学不能和现实相脱离。修订后的微积分教学大纲明显注重了实际应用性。即使是书上一个很简单的概念，也时刻穿插一些实用性的图片，在习题的练习中，也是紧密结合生活实际，不是空中楼阁。比如说，用指数函数来看银行存款和人口问题，还有对数函数中涉及放射性、分贝、地震级的问题。微积分数学应用于生活中实际问题的解决。
5、教学工具的革新。
现代教育技术，尤其是多媒体技术在微积分教学中的应用，对很好的实现教学理念，完善教学思想和教学方法很有意义，例如，作为重点和难点的“极限”概念和理论一直是教学中难以攻克的，因为它的抽象，所以老师再怎么讲解也难免有学生不理解，而多媒体教学的应用解决了这一难题，教师可用直观形象的动画来表现比如“无限逼近”的理论，给学生一个直观、感性的认知，还可运用多媒体设计可变参数的动画，让学生积极参与，自己动手设计，加深理解。又如导数概念的理解需要借助曲线来表现其某个点在某个时刻的瞬时速度，可以充分利用多媒体技术，画具有艺术性的示意图，设计动画，让学生在动画中领悟微积分的实质和导数的概念。值得注意的是，在运用多媒体技术时，要遵循学科本身的规律，反复渗透，循序渐进，结合教材，积极引导。
四、小结
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摘 要:在多载波码分多址系统上行链路的频率选择性信道中,本文提出了一种使用多天线分集接收的基于改进人工鱼群算法的多用户检测方案。仿真结果表明,在相同计算复杂度下,基于Pareto优化准则的个体选择机制AFSA-MUD的误码率性能要远远优于基于代价函数线性合并的个体选择机制。
Abstract: A improved artificial fish swarm algorithm (AFSA) assisted multi-user detection (MUD) is proposed for the receive-antenna-diversity-aided multi-carrier code-division multiple-access (MC-CDMA) systems in frequency-selective fading channel. Simulation results showed that: with the same computation complexity, the strategy has much better bit error rate (BER) performance than the convention one.
Keywords:antenna-diversity, MC-CDMA, MUD
关键词:天线分集;多载波码分多址;多用户检测
中图分类号:TM645.2+3 文献标识码:B 文章编号:1009-9166(2009)020(c)-0107-01
一、信号模型
考虑工作于同步模式下的MC-CDMA系统上行链路,假设在同一小区同一频率同一时隙同时有K个激活用户。假定基站接收端使用M个接收天线。只有第k个用户被激活,基站接收端第m个接收天线分支接收到等效频域信号可表示为:
(1)
bk(t)为用户k传输的数据,A为用户k发射信号的功率,Ck是用户k归一化的扩频码,Hk,m是用户k到基站第m个接收天线之间的等效的频域信道矩阵。第m个天线,对数似然函数(LLF)定义为:
(2)
因为不同天线信道经历的衰落是相互独立的,所以就存在 。
对于最大似然检测,不同天线的对数似然函数可以通过式(3)进行合并:
(3)
二、基于AFSA算法的多用户检测
选择行为
在迭代中人工鱼个体的选择直接决定了下一代鱼群的质量,从而决定了ASFA-MUD的性能。基于Pareto准则。每条鱼有M+1个相关的适应值,定义为f(bp)=[∧1(bp),k∧M(bp),∧(bp)]。
假如人工鱼个体i和人工鱼个体j满足:
(4)
称个体i被个体j支配。如果一条人工鱼个体在鱼群中按照式(4)没有被任何粒子支配,就认为该个体是一个Pareto最优解。
交叉行为
根据一定的概率从T个个体选择两个父亲个体按照均匀交叉原则两两进行交叉。反复直至形成P个个体的新的鱼群。在进行选择时,第p个人工鱼个体被选中的概率根据均方差缩放原则由其代价函数 决定。
聚群行为
聚群行为是当前人工鱼个体bp探索可见区域内伙伴数目nf以及中心位置bc。dpi定义为人工鱼向量bp和bi的异或,visial是一给定的可见距离。当1≤nf∧(bp),就向该方向前进一步,否者就进行觅食行为。
觅食行为
觅食行为操作就是当前人工鱼状态bp在其可见区域内随机产生一个新的状态bj。假如∧(bj)>∧(bp),就向该方向前进一步,即bj代替bp,反之,选择新的状态。
三、仿真结果
考虑上行同步的MC-CDMA系统,基站接收端使用两个接收天线,采用BPSK调制,使用正交Walsh码作为扩频码。设定信道为两径等增益衰落信道。
图3给出了子载波数目N=32,用户数K=16(半载系统)和种群个体数目P=10,种群进化代数Y=10,觅食行为的试探次数 =2、6时基于改进AFSA-MUD和其它检测方法的误比特率(BER)性能。从图3可以看出,基于Pareto优化准则的个体选择机制的改进AFSA-MUD的BER性能要远远好于其它传统次优检测方法,同时也远远优于基于代价函数线性合并的个体选择机制的方案。当TN增大时,误码率性能有很大的改善,但是这样增大了计算的复杂度。因此设置不同的K、P、Y和TN的取值,可在性能与复杂度之间进行有效配置。
这篇文章可以不？
对数运算法则教学还算顺利，接下来的对数函数学习会比指数函数更困难。于是上课之前我请学生先把昨天对数运算法则的习题写在黑板上，写完共同讲解，再次巩固对数运算。
之后我一改讲指数函数的方式，由我五点法作图，当底数为2的对数，描点连线，呈现函数图像，之后我让学生猜想底数为½的对数函数图像长什么样？并分享你的理由。等学生说出自己猜想之后我再画图。
最后经过把底数分别为2和½的对数图像都画在一个平面直角坐标系里面。学生通过观察函数图像就可以看出对数函数的定义域为（0,正无穷），值域为全体实数，当底数大于1,对数函数为增函数，当底数大于0,小于1,对数函数为减函数。并且无论底数为何，对数函数过定点（1,0）.
对数函数教学难点不是对数性质的总结以及函数图像的绘制，而是对数函数的应用。第一层应用是运用对数函数的应用之一——比较对数式的大小，利用对数增减性来比较同底对数式的大小，当底数和真数有一个不确定就无法比较大小，因此要想比较对数大小就必须要确定真数与底数。
第二个层次的应用是利用对数函数的定义域值域来求值或者范围。但这个应用也是难点，只有学习程度好的学生能听懂相关判断，因此这个应用就不要求全部学生掌握，循序渐进，逐渐掌握，不能操之过急。
在课上学生还提出另一个问题，为什么会出现这种感觉，当前学的学会了，之前学的都忘记了？其实，这在学生群体和成人群体都存在。这个问题提醒我们注意一下两个问题：学过的知识要及时总结复习，并把新学的知识纳入原有的认知体系；第二个问题是在学习过程中要关注知识形成过程，而不仅仅只知道知识运算规律或者结果。因为记忆金字塔告诉我们，当我们记忆一个知识，调动的感官越多，记忆保持的时间就越长。当我们在探究一个数学知识形成过程中，我们会动脑思考，会动笔计算，会动手操作；但是，当我们只记得知识运算结果，我们调动的感觉器官只有大脑。在数学课堂上，作为一个学习者，如果只记得运算结果，不知道来龙去脉，久而久之，就会慢慢淡忘，就会出现学着当前的，忘了之前的。
虽然能提出这种问题的学生本身已经是善于思考的学生，但是仅仅这样还是不够的，因此要改善现状就要尝试改变不善于及时复习以及追求学生体验数学知识形成过程。
课下跟前排学生聊天，发现有部分选择不升学的学生其实是通过私下关系找个某种机构，只交学费，但是不去上学，等三年毕业就可以拿到毕业证，学生打算拿到毕业证就换掉当前的工作，去外地谋求更大的发展。但是这个在升学班的学生也说，自己感觉那样的打算并不太好，未必去外地发展就能找到更好的工作。并且自己一直觉得，优秀的学生，无论是选择就业还是升学，总能发展的更好，从实际学生工作和升学情况来看，优秀的学生就是总能在她呆着的地方闪闪发光，看来学生到校几年，心智发展还是不错的。
