例谈椭圆与三角形相关问题
解析几何与三角是高中数学的重要内容，两者结合能体现两主干知识的内在联
系和知识之间的综合应用，而在知识网络交汇处设计的试题历来受命题者的青睐，
在各级各类考试中频频出现，各省和全国高考卷对此也情有独钟.本文就以椭圆和三
角形相关问题作一归例谈解析.
粗;一、三角形边长问题
例1设只、抓为椭圆兰十丝=1的两个焦点.p为椭圆上一点.已知尸、抓、几是一个直
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角三角形的三个顶点，且}PF，l>IP不飞I，求里旦的值.IP不’2l
分析:利用定义，求出两焦半径即可将问题解决.但根据直角的位置，分两种情
解:(l)若乙尸凡式为直角，则}PFl}2二}PFz}2+l名FzI，，…}PF，}2=(6一IPF，l)’+20，得}PF，l=
14.。。.4}尸F，}7
—，廿?21=一，…二二丁，=一33}件铆2
(2)若乙FIPFz为直角，则IFIFzlz=IPFzlz+IPFI尸，…20:lPF.}2+(6一}PF，l)’，得IPFI}=4，
IPFI.二2，故塑二2.!丹U
本题还可以根据椭圆的对称性，求出P点的坐标:略解如下
(l)若乙PFzFI为直角，P(二，力满足方程组
。V了
兰+竺=l’’“
94
拭吓，{)，..·器
7一2
一一
扩扩=
(2)若乙乙PFz为直角尹(:，力满足方程组x2
—十9丝=l4
n13V污es
1--1
—
终可亏!
5/
四l二2.
}PFzl
说明:本题的直角三角形直角的位置没有确定，要分类讨论，这点不注意就可能
导致解题不全，其二是解题利用方程的思想.
髻撇鑫全、离心率问题
例2已知脆椭圆兰+止=1(a>。>0)上一点.只、兀是左右两焦点在△抓PF，中.若
矿乙2
乙凡外飞二90“，求椭圆离心率的取值范围.
解法一:设P(x。，y0)，由椭圆的第二定义可得}PFll=a+ex0，}PFzl=a一:。，丫乙凡PFz=
900，
:.}PF，lz+IPFz臼几月，，即az+e、;二2c，，则了鉴2c，，.，.
:.。·
{粤，‘}·
二〕卫二又因为0<e<1
a2
解法二:以口为圆心，以。为半径作圆，此圆必须与椭圆有交点，因为在交点处的
尸，显然满足乙FIPFz=900，所以。应满足占蕊。<a，由。<a知0<e<l，由乙毛。得了一，城。，，即
了成2cz，二)交互:.。。「竺二，1….
2LZJ
说明:题中△凡PFz称为椭圆的“焦点三角形”，根据焦点三角形的特征，解题的主
要途径是:椭圆的两个定义(或焦半径公式)和正余弦定理(或勾股定理)，以及数形结
合的思想.
若将Fl、凡变式为长轴的两个端点，角度再作=点变化即可变为下面题目
(上海市高考题)已知椭圆尸+尹=l(a>b>0)上一点
了bz
A、B是长轴的两个端点，如
果椭圆上存在一点Q使得乙AQB=1200.求椭圆的离心率。的取值范围.
翼纂l戴弃角形面积何题
以椭圆为载体考查三角形面积问题，或以三角形面积为载体考查椭圆的问题是
考试卷中经常出现的一类问题.
例32oo7浙江卷)如图，直线:二k:+b与椭圆吐十4
户l交于A，B两点，记△AoB的面积为s.
(I)求在k=O，0<b<l的条件下，s的最大值;
(11)略
分析:本题利用椭圆和直线的位置关系，结合不
等式性质不难解决.
‘
(I)解:设点A的坐标为(二;，b)，点B的坐标为(x2，的，由兰十。任1，解得为=士Vl二石万，
所以s=生b.
2
Ix，一zl=Zb.、月二歹城bZ+l一梦月.当且仅当b=V2
2
时.5取到最大值1.
本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几
何的基本思想方法和综合解题能力一直高考的热点问题.
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在用瓷砖铺成的地面或墙面上，相邻的地砖或瓷砖平整地贴合在一起，整个地面或墙面没有一点空隙。
例如，三角形。三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形。通过实验和研究，我们知道，三角形的内角和是180度，外角和是360度。用6个正三角形就可以铺满地面。
再来看正四边形，它可以分成2个三角形，内角和是360度，一个内角的度数是90度，外角和是360度。用4个正四边形就可以铺满地面。
正五边形呢？它可以分成3个三角形，内角和是540度，一个内角的度数是108度，外角和是360度。它不能铺满地面。
六边形，它可以分成4个三角形，内角和是720度，一个内角的度数是120度，外角和是360度。用3个正四边形就可以铺满地面。
七边形，它可以分成5个三角形，内角和是900度，一个内角的度数是900/7度，外角和是360度。它不能铺满地面。
由此，我们得出了。n边形，可以分成（n-2）个三角形，内角和是（n-2）*180度，一个内角的度数是（n-2）*180÷2度，外角和是360度。若（n-2）*180÷2能整除360，那么就能用它来铺满地面，若不能，则不能用其铺满地面。
我们不但可以用一种正多边形铺满地面，我们还可以用两种、三种等更多的图形组合起来铺满地面。
例如：正三角形和正方形、正三角形和六方形、正方形和正八边形、正五边形和正八边形、正三角形和正方形和正六边形……
现实生活中，我们已经看到了用正多边形拼成的各种图案，实际上，有许多图案往往是用不规则的基本图形拼成的。
‘ 什么样的图形是三角形？就是三条边，而且是一个封闭图形。而且三角形有一个特点。不管三角形画成什么样，最少也会有两个锐角。三角形有三种，一种是锐角三角形，一种是直角三角形，一种是钝角三角形。这三个三角形最少也会有两个锐角。这个就是三角形的样子了。
如果三角形不封口还是三角形吗？
肯定不是啊，如果三角形不封口的话，那就是角，
如果是钝角三角形，那也有可能是钝角，也可能是锐角。如果是直角三角形可能是锐角，也可能是直角。如果是锐角三角形，只有可能是锐角。
三角形肯定有面积和周长啊，要不然的话他怎么能是封闭图形呢？
如果要把它分成锐角钝角直角那些角肯定先要角分呐。
还有三角形也有高，我们去拿直角三角形举例来说一说， 如果我们把直角三角形的一条边当做底，那它的高肯定是底向上延伸，到最高的地方。
如果我们把一个直角三角形的两个角，分别捏住向外延伸，他肯定会变成一个钝角三角形，因为它是越拉越大，不是越来越小。锐角三角形就不一样了，如果捏住他的角向外延伸，可能会变成一个直角三角形，有可能会变成一个钝角三角形。
而且三角形的角，可以这样代表:
（钝角直角锐角三角形都可以。）画一个小小的角，然后在旁边写角几就可以了，而且如果你要这样写，你旁边的是那个三角形每个角的边上也要写上去角几，这样才行。
