三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.
●难点磁场
已知对于x的所有实数值，二次函数f(x)=x2－4ax+2a+12(a∈R)的值都是非负的，求关于x的方程 =|a－1|+2的根的取值范围.
●案例探究
〔例1〕已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R).
(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；
(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.
命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.属于★★★★★题目.
知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合.
错解分析：由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”.
技巧与方法：利用方程思想巧妙转化.
(1)证明：由 消去y得ax2+2bx+c=0
Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4〔(a+ c2〕
∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0
∴ c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点.
(2)解：设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－ ,x1x2= .
|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2
∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0
∴a>－a－c>c,解得 ∈(－2,－ )
∵ 的对称轴方程是 .
∈(－2,－ )时，为减函数
∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈( ).
〔例2〕已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.
命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题，属★★★★级题目.
知识依托：解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.
错解分析：用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点.
技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.
解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得
∴ .
(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组
(这里0<－m<1是因为对称轴x=－m应在区间(0，1)内通过)
●锦囊妙计
1.二次函数的基本性质
(1)二次函数的三种表示法：
y=ax2+bx+c;y=a(x－x1)(x－x2);y=a(x－x0)2+n.
(2)当a>0,f(x)在区间〔p,q〕上的最大值M，最小值m,令x0= (p+q).
若－ <p,则f(p)=m,f(q)=M;
若p≤－ <x0,则f(－ )=m,f(q)=M;
若x0≤－ <q,则f(p)=M,f(－ )=m;
若－ ≥q,则f(p)=M,f(q)=m.
2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件.
(1)方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小 a·f(r)<0;
(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r
(3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根
(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根 f(p)·f(q)<0,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立.
(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(p<q) .
3.二次不等式转化策略
(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是：(－∞,α )∪〔β,+∞ a<0且f(α)=f(β)=0;
(2)当a>0时，f(α)<f(β) |α+ |<|β+ |,当a<0时，f(α)<f(β) |α+ |>
|β+ |;
(3)当a>0时，二次不等式f(x)>0在〔p,q〕恒成立 或
(4)f(x)>0恒成立
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)若不等式(a－2)x2+2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是( )
A.(－∞,2 B. －2,2 C.(－2,2 D.(－∞,－2)
2.(★★★★)设二次函数f(x)=x2－x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m－1)的值为( )
A.正数 B.负数
C.非负数 D.正数、负数和零都有可能
二、填空题
3.(★★★★★)已知二次函数f(x)=4x2－2(p－2)x－2p2－p+1,若在区间〔－1，1〕内至少存在一个实数c,使f(c)>0,则实数p的取值范围是_________.
4.(★★★★★)二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f(2+x)=f(2－x),若f(1－2x2)<f(1+2x－x2),则x的取值范围是_________.
三、解答题
5.(★★★★★)已知实数t满足关系式 (a>0且a≠1)
(1)令t=ax,求y=f(x)的表达式；
(2)若x∈(0,2 时，y有最小值8，求a和x的值.
6.(★★★★)如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.
7.(★★★★★)二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足 =0,其中m>0,求证：
(1)pf( )<0;
(2)方程f(x)=0在(0，1)内恒有解.
8.(★★★★)一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160－2x,生产x件的成本R=500+30x元.
(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？
(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？
参考答案
难点磁场
解：由条件知Δ≤0,即(－4a）2－4(2a+12)≤0,∴－ ≤a≤2
(1)当－ ≤a＜1时，原方程化为：x=－a2+a+6,∵－a2+a+6=－(a－ )2+ .
∴a=－ 时，xmin= ,a= 时，xmax= .
∴ ≤x≤ .
(2)当1≤a≤2时，x=a2+3a+2=(a+ )2－
∴当a=1时，xmin=6,当a=2时，xmax=12,∴6≤x≤12.
综上所述, ≤x≤12.
歼灭难点训练
一、1.解析：当a－2=0即a=2时,不等式为－4＜0,恒成立.∴a=2,当a－2≠0时，则a满足 ,解得－2＜a＜2,所以a的范围是－2＜a≤2.
答案：C
2.解析：∵f(x)=x2－x+a的对称轴为x= ,且f(1)>0,则f(0)>0,而f(m)＜0,∴m∈(0,1),
∴m－1＜0,∴f(m－1)>0.
答案：A
二、3.解析：只需f(1)=－2p2－3p+9>0或f(－1)=－2p2+p+1>0即－3＜p＜ 或－ ＜p＜1.∴p∈(－3, ).
答案：(－3， ）
4.解析：由f(2+x)=f(2－x)知x=2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，
∴|1－2x2－2|＜|1+2x－x2－2|,∴－2＜x＜0.
答案：－2＜x＜0
三、5.解：(1）由loga 得logat－3=logty－3logta
由t=ax知x=logat，代入上式得x－3= ,�
∴logay=x2－3x+3，即y=a (x≠0).
(2)令u=x2－3x+3=(x－ )2+ (x≠0),则y=au
①若0＜a＜1,要使y=au有最小值8，
则u=(x－ )2+ 在(0，2 上应有最大值，但u在(0，2 上不存在最大值.
②若a>1,要使y=au有最小值8，则u=(x－ )2+ ,x∈(0,2 应有最小值
∴当x= 时，umin= ,ymin=
由 =8得a=16.∴所求a=16,x= .
6.解：∵f(0)=1>0
(1)当m＜0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.
(2）当m>0时，则 解得0＜m≤1
综上所述，m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}.
7.证明：(1)
,由于f(x)是二次函数，故p≠0,又m>0,所以，pf( )＜0.
(2)由题意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r
①当p＜0时，由(1）知f( )＜0
若r>0,则f(0)>0,又f( )＜0,所以f(x)=0在(0， )内有解;
若r≤0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－ )+r= >0,
又f( )＜0,所以f(x)=0在( ,1)内有解.
②当p＜0时同理可证.
8.解：(1）设该厂的月获利为y,依题意得�
y=(160－2x)x－(500+30x)=－2x2+130x－500
由y≥1300知－2x2+130x－500≥1300
∴x2－65x+900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45
∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元.
(2）由(1）知y=－2x2+130x－500=－2(x－ )2+1612.5
∵x为正整数，∴x=32或33时，y取得最大值为1612元，
∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.
研究生论文答辩经验
导语：在听答辩的时候，注意老师们经常会提什么类型的问题，他们提出的建议也要认真记笔记，防止相同的错误出现在自己的论文里。还要注意从师兄师姐的回答中吸取经验教训。下面和我一起来看研究生论文答辩经验，希望有所帮助！
首先，我们论文编辑的经验。
只要熟悉论文就行，但是这种熟悉是按照论文答辩框架有条理的总结熟悉，这个框架按照（研究意义、研究内容、创新点以及论文的不足4个方面阐述）。
其次，下面是我们的答辩范文：
各位老师好！我叫xxx，我的论文题目是《关于考研的机会成本研究》。在这里，请允许我向xxx老师的悉心指导表示深深的谢意，向各位老师不辞劳苦参加我的论文答辩表示衷心的感谢。
首先，论文意义。
本文在对“考研热”解读的同时，选择明瑟收入函数作为计算大学生考研收益率的基本模型，并辅以成本收益分析，对考研的机会成本做出计算；同时综合个体理性选择和环境体制层面进行分析，探讨制度作用对于个体选择的影响，分析考研的决定是如何“被选择”的，个体的理性选择是如何导致集体的非理性选择。
理论方面：
本文主要针对大学生在不确定条件下的选择行为提出了一个较新的可供，研究的观点：面对毕业抉择，大学生是否对一于考研的机会成本进行过理性的计算，做出考研的决定是由于个人的“自主选择”还是由于制度或社会环境的“被选择”。虽然考研的机会成本问题作为一种研究的视角，己经逐渐受到人们的'关注，但是关于考研的机会成本研究几乎都是从经济学的角度去进行分析，社会学的视角还很少而且没有进行深入的实证分析。从微观层面来看，每个人做出考研的决定未必都是通过个人的理性选择来确定的；从中观层面来看，学校通过对考研的正面宣传促使了考研热的盛行；从宏观层面来看，国家教育制度的改革和社会环境的影响则使得考研成为一种必然趋势。
现实方面：
随着近年来硕士研究生招生规模的逐步扩大，“考研热”已经成为应届本科生当中的普遍现象。尽管研究生教育在为我国培养高层次人才和促进社会经济发展方面发挥着重要的作用，但是研究生教育中愈演愈烈的报考热却在深层次上隐藏着潜在的风险。考研作为一项教育投资具有投入费用较大、周期较长、报录比低的特点，在投入回报上的不确定性方面存在着许多的风险。
研究生教育作为我国高等教育的最高层次，其设立的初衷是为了培养国家经济建设和社会发展所需要的高层次和高素质的创新性人才，但是随着研究生扩招的开始，很多同学考研的目的偏离了国家招考的目标。很多同学只是将考研当作就业的避风港或者提升自己学历和层次的跳板，而不是出于提高自己的科研和学习的能力，违背了研究生教育的最本质目的。从这个角度去分析考研更多的是一种对稀缺的高等教育资源的争夺，如果不是出于学术深造或者提升科研能力的考研应该算是对稀缺教育资源的巨大浪费。
其次，在研究内容框架上。
第一章绪论主要讨论研究思路与方法以及相关概念与基础理论。
第二章关于就业与调研的调查（现象分析）。
第三章考研的机会成本分析（成本计算）。
第四章“考研热”原因分析。
第五章如何让考研回归理性选择。
然后，本文的创新点。
本文的创新之处在于：
1、研究视角的创新。本论文从“考研热”现象入手，通过对东北财经大学同学就业和考研现状的调查，深入分析了考研的机会成本，并引入教育经济学中对于教育投资收益的计算方法计算了考研的投资收益率，通过直观的数据反映了考研的机会成本的大小及投资收益率的高低。
2、理论视角的综合创新。本文在社会学理性选择理论的基础上，引入社会分层理论及经济学中的机会成本、投资收益进行研究，通过对本科生考研意向的调查，本科生和研究生就业现状的调查，通过计算考研的机会成本来分析考研是否是一种理性选择，是否是制度和社会环境下的一种“被选择”。
3、探析问题原因的综合创新。本文在探析考研热原因时，综合了宏观、中观和微观三个层面，从宏观层面的高等教育制度和社会分层制度层面来探讨造成“考研热”的环境因素，从中观层面的学校就业指导层面分析学校指导偏向的原因，从微观层面的个体行为选择层面分析考研群体自身做出选择的原因，从而对考研的“选择”与“被选择”进行解答。
最后，本文的不足。
经过本次论文写作，本人学到了许多有用的东西，也积累了不少经验，但由于本人才疏学浅，能力不足，加之时间和精力有限，在许多内容表述、论证上存在着不当之处，与老师的期望还相差甚远，许多问题还有待进行一步思考和探究，借此答辩机会，万分肯切的希望各位老师能够提出宝贵的意见，多指出我的错误和不足之处，本人将虚心接受，从而不断进一步深入学习研究，使该论文得到完善和提高。
再一次谢谢各位老师。
上下极限有多种定义方式，其中一种是比较容易理解的，就是集合E的上确界，集合E中的元素是数列An所有子列的收敛点，我说了例子就容易理解了，例如数列1,0,1,0,1,0......显然本身是不收敛的，但其子列1,1,1,1.....和子列0,0,0,0,0......分别收敛到1和0，集合E={0,1}上极限就是1，下极限就是0，（事实上上极限它本身一定也是极限点，所以上极限也可以这么认为就是集合E中最大的元素），希望能帮助到你
不会啦，三角函数目前因该对你们来说是简单的，只要记住那些公式套用jiu可以
论文答辩决议（通用6篇）
论文的答辩决议是决定学生的论文通过的关键点，这也取决于老师的评价。以下是我为大家带来的论文答辩决议，希望大家喜欢。
本文对分级进风燃烧室内的高温气固两相流动与燃烧过程进行了实验研究，对于了解分级燃烧过程的两相流动、燃烧与污染物生成机理，发展分级燃烧技术，具有重要的学术意义和实用价值。
本文取得了以下主要成果：
1)建立了分级进风燃烧室高温气固两相流动热态实验装置系统。
2)应用三维激光粒子动态分析仪对分级进风燃烧室内有气相燃烧的高温气固流动进行了测量，得到了气固两相平均轴向与切向速度和湍流脉动特性以及两相轴向与切向速度的概率密度函数，揭示了燃烧室内高温气固两相流动的特点。
3)对分级进风燃烧室内湍流燃烧的温度场和组分浓度场进行了测量，阐明了二次风率对气体温度场、组分浓度场和NO浓度场的影响规律。
论文表明作者掌握了本学科坚实的基础理论和系统的专门知识，具有独立从事科学研究工作的能力。论文写作规范，图表完备。答辩中叙述清晰，回答问题正确。答辩委员会经表决，5票一致同意通过论文答辩，并建议授予郑晓川工学硕士学位。
随着计算机主频、内存的快速发展，显示清晰度和显示尺寸的限制已经成为计算机系统的瓶颈。如何利用高性能价格比的机群实现超高分辨率的高清晰度大尺寸显示正在成为并行可视化方向一个重要的研究课题。李颖敏同学的硕士论文以设计基于机群的拼贴显示系统提供方便的编程接口和编程环境为目的，其选题具有前瞻性，论文的工作有很好的应用前景。
(第一段：选题的意义)
论文在分析调研国际目前研究动态的基础上应用“分布式共享显示内存”的新概念提出了一种并行程序环境下的拼贴显示接口，并以两种形式实现了该接口，简化了系统应用的编程实现。提供了一些测试用的应用程序，为今后的研究工作提供了有参考价值的研究平台。展示了基于机群作分布式显示的良好前景。同时作者还利用该拼贴显示接口为一个地理图像信息系统实现了多屏显示应用，满足了该应用对高分辨率显示的需求。
(第二段：论文工作取得的成果或新见解)
论文工作表明作者基础理论和专业知识都比较好，掌握了计算机系统结构领域分析问题、解决问题的基本方法和技能。对拼贴显示领域有较深的了解，对机群系统，尤其是有较好的基础知识和技术，具备了一定的独立工作能力和实际动手能力。
(第三段：对科研能力及对论文的评价)
论文组织合理，叙述清晰，文字简洁流畅，理论与实践结合得较好。答辩中表达清楚，思维敏捷，能够正确回答问题。经答辩委员会无记名投票，一致通过该同学的硕士论文答辩，并一致建议授予李颖敏同学工学硕士学位。
(第四段：答辩中的表现及结论性意见)
速生材改性研究是木材科学与应用研究领域十分重要的课题。论文选题紧密结合学科发展和实际应用需要，具有较强的理论意义和较好的应用背景。立题正确。
作者对国内外在木材改性领域的研究情况和发展趋势做了较充分的调研和分析，在此基础上，有针对性地开展了三倍体毛白杨木材化学改性研究。论文采用4种不同的方法对木材进行化学改性处理，通过尺寸稳定性、阻燃性、抗吸水性、硬度等的检测，考察了各种改性木材的物理力学性能，得出以下主要研究结论：
1)用含有纳米SiO2的UF、PF树脂复合处理剂处理木材时，二氧化硅对提高木
材的尺寸稳定性和硬度具有明显的作用，且纳米二氧化硅能够降低处理材的游离甲醛释放量;2)马来酸酐/苯乙烯和马来酸酐/环氧氯丙烷复合处理液均能够在一定程度上提高木材的尺寸稳定性、抗吸水性、抗吸湿性和硬度。研究成果具有一定的理论意义和实际应用价值。
论文实验设计合理，数据完整，撰写认真，文字流畅，图表清晰，工作量饱满。论文答辩中，讲解重点突出，回答问题基本正确，表明该同学具有较好的本学科理论基础及相关的专业知识，具备了较好的综合分析能力和从事科研工作的能力，论文达到了硕士学位水平要求。
全体答辩评委一致同意通过论文答辩，建议授予工学硕士学位。
xxx研究是xxx领域十分重要的前沿课题。论文选题紧密结合学科发展(和实际应用)需要，具有较强的(理论)意义(和较好的应用背景)。
作者对国内外在xxx领域的研究情况和发展趋势做了较充分的调研和分析，在此基础上，有针对性地研究了xxx。其所做主要工作及特色包括以下几个方面：
(1)采用xxx方法，研究分析了xxx，得出了xxx(结论)。
(2)应用方法对xxx 进行了xxx分析和优化，建立xxx(模型)。
(3)......
论文写作规范、层次分明、论述清楚、语言通顺、图表规范、内容翔实，答辩中能正确回答问题，表明该同学具有较好的本学科理论基础及相关的专业知识，具备了较好的综合分析能力和从事(科研)工作的能力，论文达到了硕士学位水平要求。
全体答辩评委一致同意通过论文答辩，建议授予文(工)学硕士学位。
论文 ([此部分事前由答辩秘书准备]简述论文选题及背景意义) ，具有重要的(较重要 / 一定的)理论意义和实践价值。
论文采用xxx方法，研究分析了xxx，得出的主要成果为 ([此部分事前由答辩秘书准备]根据评阅意见汇总2-4条) ，有独到的.新见解，成果突出。(有一定的见解和学术价值 / 有一定的参考价值)。
论文工作表明作者对 (学科范围或课题[此部分事前由答辩秘书准备])领域和相关的研究具有全面深入(较为深入 / 一定的)的了解，并具有很强的(较强的 / 一定的)创新和科研能力。论文概念清晰，层次分明，论证深入，文笔流畅，文字图表规范，学风严谨。(论文概念清晰，结构较完整，论证较为充分，
文字图表基本符合学术规范 / 论文结构较完整，论证较充分，文字图表基本符合学术规范)。答辩阐述清楚，重点突出，很好地回答了答辩委员的问题。(答辩阐述较清楚，能较好地回答答辩委员的问题 / 答辩阐述基本清楚，能正确回答答辩委员的问题)。表明作者具有较好的本学科理论基础及相关的专业知识，具备了较好的综合分析能力和从事科研工作的能力，论文达到了硕士学位水平要求。
全体答辩评委一致同意通过论文答辩，建议授予(工/文学)硕士学位。
为规范博士学位论文答辩工作，现将博士学位论文答辩委员会决议书写内容与体例要求说明如下，请各单位参照执行：
一、应对博士论文选题是否得当，以及选题的理论和现实意义做出确切评价。
二、应对答辩人是否充分掌握其研究领域的国内外相关文献，以及论文对相关前沿学术思想、观点的归纳和梳理工作做出准确的评价。
三、应说明论文的主要创新内容和方法(一般不超过3点)，并且明示其创新观点和结论。
四、应对论文的结构、逻辑、行文，及对数据资料的占有和写作是否规范做出评价，并说明其是否达到博士学位论文应有的学术水平（如果具备参加全国优秀博士学位论文评选的条件，则说明其是一篇优秀的博士学位论文）。
五、必须指出论文的缺陷与不足，或提出继续深入研究的努力方向。
六、结尾部分的体例应统一为：
答辩人对答辩委员会提出的问题做了____回答,答辩委员会表示____满意或基本满意。答辩委员会（共____人），经评议和无记名投票表决，一致(或____票)通过该论文答辩，并建议校学位委员会授予其____学博士学位。
