摘 要 FIR数字滤波器是数字信号处理的经典方法，其设计方法有多种，用DSP芯片对FIR滤波器进行设计时可以先在MATLAB上对FIR数字滤波器进行仿真，所产生的滤波器系数可以直接倒入到DSP中进行编程，在编程时可以采用DSP独特的循环缓冲算法对FIR数字滤波器进行设计，这样可以大大减少设计的复杂度，使滤波器的设计快捷、简单。
关键词 FIR;DSP;循环缓冲算法
1 引言
在信号处理中，滤波占有十分重要的地位。数字滤波是数字信号处理的基本方法。数字滤波与模拟滤波相比有很多优点，它除了可避免模拟滤波器固有的电压漂移、温度漂移和噪声等问题外，还能满足滤波器对幅度和相位的严格要求。低通有限冲激响应滤波器(低通FIR滤波器)有其独特的优点，因为FIR系统只有零点，因此，系统总是稳定的，而且容易实现线性相位和允许实现多通道滤波器。
2 FIR滤波器的基本结构及设计方法
2.1 FIR滤波器的基本结构
设a i(i=0，1，2，…，N一1)为滤波器的冲激响应，输入信号为 x(n)，则FIR滤波器的输入输出关系为：
FIR滤波器的结构如图1所示：
图1
2.2 FIR滤波器的设计方法
(1) 窗函数设计法
从时域出发,把理想的无限长的hd(n)用一定形状的窗函数截取成有限长的h(n),以此h(n)来逼近hd(n),从而使所得到的频率响应H(ejω)与所要求的理想频率响应Hd(ejω) 相接近。优点是简单、实用,缺点是截止频率不易控制。
(2) 频率抽样设计法从频域出发, 把给定的理想频率响应Hd(ejω)以等间隔抽样,所得到的H(k)作逆离散傅氏变换,从而求得h(k),并用与之相对应的频率响应H(ejω)去逼近理想频率响应Hd(ejω)。优点是直接在频域进行设计,便于优化,缺点是截止频率不能自由取值。
(3) 等波纹逼近计算机辅助设计法前面两种方法虽然在频率取样点上的误差非常小,但在非取样点处的误差沿频率轴不是均匀分布的,而且截止频率的选择还受到了不必要的限制。因此又由切比雪夫理论提出了等波纹逼近计算机辅助设计法。它不但能准确地指定通带和阻带的边缘,而且还在一定意义上实现对所期望的频率响应实行最佳逼近。
3 循环缓冲算法
对于N级的FIR滤波器，在数据存储器中开辟一个称之为滑窗的N个单元的缓冲区，滑窗中存放最新的N个输入样本。每次输入新的样本时，一新样本改写滑窗中的最老的数据，而滑窗中的其他数据不需要移动。利用片内BK（循环缓冲区长度）寄存器对滑窗进行间接寻址，环缓冲区地址首位相邻。下面，以N=5的FIR滤波器循环缓冲区为例，说明循环缓冲区中数据是如何寻址的。5级循环缓冲区的结构如图所示，顶部为低地址。
……
由上可见，虽然循环缓冲区中新老数据不很直接明了，但是利用循环缓冲区实现Z-1的优点还是很明显的：它不需要数据移动，不存在一个极其周期中要求能进行一次读和一次写的数据存储器，因而可以将循环缓冲区定位在数据存储器的任何位置（线性缓冲区要求定位在DARAM中）。
实现循环缓冲区间接寻址的关键问题是：如何使N个循环缓冲区单元首位相邻？要做到这一点，必须利用BK（循环缓冲器长度）器存器实现按模间接寻址。可用的指令有：
… *ARx+% ;增量、按模修正ARx:addr=ARx,ARx=circ(ARx+1)
… *ARx-% ;减量、按模修正ARx:addr=ARx,ARx=circ(ARx-1)
… *ARx+0% ;增AR0、按模修正ARx:addr=ARx,ARx=circ(ARx+AR0)
… *ARx-0% ;减AR0、按模修正ARx:addr=ARx,ARx=circ(ARx-AR0)
… *+ARx(lk)% ;加（lk）、按模修正ARx:addr=circ(ARx+lk),ARx=circ(ARx+AR0)
其中符号“circ”就是按照BK（循环缓冲器长度）器存器中的值（如FIR滤波其中的N值），对（ARx+1）、(ARx-1)、(ARx+AR0)、(ARx-AR0)或(ARx+lk)值取模。这样就能保证循环缓冲区的指针ARx始终指向循环缓冲区，实现循环缓冲区顶部和底部单元相邻。
循环寻址的算法可归纳为：
if 0 index + step < BK: index = index + step
else if index + step BK: index = index + step – BK
else if index + step < BK: index = index + step + BK
上述算法中，index是存放在辅助寄存器中的地址指针，step为步长（亦即变址值。步长可正可负，其绝对值晓予或等于循环缓冲区长度BK）。依据以上循环寻址算法，就可以实现循环缓冲区首位单元相邻了。
为了使循环缓冲区正常进行，除了用循环缓冲区长度寄存器（BK）来规定循环缓冲区的大小外，循环缓冲区的起始地址的k个最低有效位必须为0。K值满足2k>N,N微循环缓冲区的长度。
4 FIR滤波器在DSP上的实现
对于系数对称的FIR滤波器，由于其具有线性相位特征，因此应用很广，特别实在对相位失真要求很高的场合，如调制解调器（MODEM）。
例如：一个N=8的FIR滤波器，若a(n)=a(N-1-n)，就是对称FIR滤波器，其输出方程为：
y(n)= a0x(n)+ a1x(n-1)+ a 2x(n-2)+ a 3x(n-3)+ a 3x(n-4)+ a 2x(n-5)+ a1x(n-6)+ a0x(n-7)总共有8次乘法和7次加法，
如果改写成： y(n)= a0 [x(n)+ x(n-7)]+ a1 [ x(n-1)+ x(n-6)]+ a 2 [ x(n-2)+ x(n-5)]+ a 3 [ x(n-3)+ x(n-4)]则变成4次乘法和7次加法。可见，乘法运算的次数减少了一半。这是对称FIR的又一个优点。
对称FIR滤波器C54X实现的要点如下：
（1）数据存储器中开辟两个循环缓冲算区：新循环缓冲区中存放新数据，旧循环缓冲区中存放老数据。循环缓冲区的长度为N/2。
（2）设置循环缓冲区指针：AR2指向新循环缓冲区中最新的数据，AR3指向旧循环缓冲区中最老的数据。
（3）在程序存储器中设置系数表。
（4）AR2+ AR3 AH（累加器A的高位），AR2-1AR2，AR3-1 AR3
（5）将累加器B清零，重复执行4次（i=0，1，2，3）：AH*系数ai+B B,系数指针（PAR）加1。AR2+ AR3AH，AR2和AR3减1。
（6）保存和输出结果。
（7）修正数据指针，让AR2和AR3分别指向新循环缓冲区中最老的数据和旧循环缓冲区中最老的数据。
（8）用新循环缓冲区中最老的数据替代旧循环缓冲区中最老的数据，旧循环缓冲区指针减1。
（9）输入一个新的数据替代新循环缓冲区中最老的数据。
重复执行第（4）至（9）步。
在编程中要用到FIRS（系数对称有限冲击响应滤波器）指令，其操作步骤如下：
FIR Xmem,Ymem,Pmem
执行 Pmad PAR
当(RC)≠0
(B)+(A(32-16))×（由PAR寻址Pmem）B
((Xmem)+(Ymem))<<16A
(PAR)+1PAR
(RC)-1RC
FIRS指令在同一个及其周期内，通过C和D总线读2次数据存储器，同时通过P总线读一个系数
本文对FIR滤波器在DSP上的实现借助了MATLAB，其设计思路为：
（1）MATLAB环境下产生滤波器系数和输入的数据，并仿真滤波器的滤波过程，可视化得到滤波器对动态输入数据的实时滤波效果；
（2）将所得滤波器系数直接导入CCStudio中，再把滤波器的输入数据作为CCStudio设计的滤波起的输入测试数据存储在C54x数据空间中；
（3）在CCStudio环境下结合FIR滤波的公式适用汇编语言设计FIR滤波程序，使用MATLAB产生的滤波器系数和输入测试数据进行计算，把输入数据和滤波结果借助CCStudio菜单中的View/Graph/Time/Frequency子菜单用图形方式显示出来（结果如图2）；
图2 （a）输入数据（Input）
图2（b）滤波后的数据（Output）
将FIR滤波的入口数据地址改为外部I/O空间或McBSP口的读写数据地址，或数据空间内建缓冲地址；将FIR滤波的结果数据地址改为外部I/O空间或McBSP口的输出数据地址，或数据空间内建缓冲地址，则完成了基于C54xDSP的实时数据FIR滤波程序。
参考文献：
[1] 程佩青.数字信号处理教程[M].北京:清华大学出版社 1999年
[2] 孙宗瀛,谢鸿林.TMS320C5xDSP原理设计与应用[M].北京:清华大学出版社.2002年
[3] 陈亚勇等 编著.MATLAB信号处理详解[M].北京:人民邮电出版社.2001年
[4] Texas Instruments.TMS320C54x Assembly Language Tools User’s Guide
[5] Texas Instruments.TMS320C54x DSP Programmer’s Guide
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低通巴特沃斯模拟滤波器设计。
通带截至频率3400 Hz，通带最大衰减3dB
阻带截至频率4000 Hz，阻带最小衰减40dB
Iir2：
模拟低通滤波器转换为数字低通滤波器
，脉冲响应不变法和双线性变换法。
Iir3：
切比雪夫二型低通数字滤波器设计
通带边界频率0.2π，通带最大衰减1dB
阻带截至频率0.4π，阻带最小衰减80dB
Iir4：
椭圆带通数字滤波器设计
Iir5：
高通和带通巴特沃思数字滤波器设计
双线性变换
%低通巴特沃斯模拟滤波器设计
clear; close all
fp=3400; fs=4000; Rp=3; As=40;
[N,fc]=buttord(fp,fs,Rp,As,'s')
[B,A]=butter(N,fc,'s');
[hf,f]=freqs(B,A,1024);
plot(f,20*log10(abs(hf)/abs(hf(1))))
grid, xlabel('f/Hz'); ylabel('幅度(dB)')
axis([0,4000,-40,5]);
line([0,4000],[-3,-3]);
line([3400,3400],[-90,5])
%用脉冲响应不变法和双线性变换法将模拟滤波器离散化
clear; close all
b=1000;a=[1,1000];
w=[0:1000*2*pi];
[hf,w]=freqs(b,a,w);
subplot(2,3,1); plot(w/2/pi,abs(hf)); grid;
xlabel('f(Hz)'); ylabel('幅度'); title('模拟滤波器频响特性')
Fs0=[1000,500];
for m=1:2
Fs=Fs0(m)
[d,c]=impinvar(b,a,Fs)
[f,e]=bilinear(b,a,Fs)
wd=[0:512]*pi/512;
hw1=freqz(d,c,wd);
hw2=freqz(f,e,wd);
subplot(2,3,2); plot(wd/pi,abs(hw1)/abs(hw1(1))); grid on; hold on
title('脉冲响应不变法')
subplot(2,3,3); plot(wd/pi,abs(hw2)/abs(hw2(1))); grid on; hold on
title('双线性变换法')
end
%切比雪夫Ⅱ型低通数字滤波器设计
clear; close all
wp=0.2; ws=0.4; Rp=1; Rs=80;
[N,wc]=cheb2ord(wp,ws,Rp,Rs)
[B,A]=cheby2(N,Rs,wc)
freqz(B,A)
%直接设计带通数字椭圆滤波器
clear; close all
Wp=[0.25,0.45]; Ws=[0.15,0.55];
Rp=0.1; Rs=60;
[N,wc]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs)
[b,a]=ellip(N,Rp,Rs,wc)
[hw,w]=freqz(b,a);
subplot(2,1,1); plot(w/pi,20*log10(abs(hw))); grid
axis([0,1,-80,5]); xlabel('w/π'); ylabel('幅度(dB)')
subplot(2,1,2); plot(w/pi,angle(hw)); grid
axis([0,1,-pi,pi]); xlabel('w/π'); ylabel('相位(rad)')
%用双线性变换法设计数字高通和带通滤波器
clear; close all
T=1; wch=pi/2;
wlc=0.35*pi; wuc=0.65*pi;
B=1; A=[1,2.6131,3.4142,2.6131,1];
[h,w]=freqz(B,A,512);
subplot(2,2,1); plot(w,20*log10(abs(h))); grid
%axis([0,10,-90,0]); xlabel('w/π'); title('模拟低通幅度(dB)')
%高通
omegach=2*tan(wch/2)/T;
[Bhs,Ahs]=lp2hp(B,A,omegach);
[Bhz,Ahz]=bilinear(Bhs,Ahs,1/T);
[h,w]=freqz(Bhz,Ahz,512);
subplot(2,2,3); plot(w/pi,20*log10(abs(h))); grid
axis([0,1,-150,0]); xlabel('w/π'); title('数字高通幅度(dB)')
%带通
omegalc=2*tan(wlc/2)/T;
omegauc=2*tan(wuc/2)/T;
wo=sqrt(omegalc*omegauc); Bw=omegauc-omegalc;
[Bbs,Abs]=lp2bp(B,A,wo,Bw);
[Bbz,Abz]=bilinear(Bbs,Abs,1/T);
[h,w]=freqz(Bbz,Abz,512);
subplot(2,2,4); plot(w/pi,20*log10(abs(h))); grid
axis([0,1,-150,0]); xlabel('w/π'); title('数字带通幅度(dB)')
最近看了一篇文章，觉得写的浅显易懂，推荐你看看：
《An Introduction to the Kalman Filter》
作者：Greg Welch and Gary Bishop
网址：
其中，首先介绍了Kalman滤波，接着类比介绍了扩展卡尔曼滤波，个人觉得写的很好。而且本文的引用次数很高。 如果有需要，我也以通过邮箱发给你。
