卡方分布（英语：chi-square distribution[2], χ²-distribution，或写作χ²分布）是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。
卡方分布是一种特殊的伽玛分布，是统计推断中应用最为广泛的概率分布之一，例如假设检验和置信区间的计算。
卡方分布在共同使用卡方检验用于拟合优度的观测分布为理论之一，独立的分类的两个标准定性数据，并在用于人口区间估计标准偏差a的来自样本标准差的正态分布。许多其他统计检验也使用这种分布，例如Friedman 的按秩方差分析。
由卡方分布延伸出来皮尔逊卡方检验常用于：
1、样本某性质的比例分布与总体理论分布的拟合优度（例如某行政机关男女比是否符合该机关所在城镇的男女比）；
2、同一总体的两个随机变量是否独立（例如人的身高与交通违规的关联性）；
3、二或多个总体同一属性的同素性检验（意大利面店和寿司店的营业额有没有差距）。（详见皮尔逊卡方检验）
计算方法
p-value = 1- p_CDF.
χ2越大，p-value越小，则可信度越高。通常用p=0.05作为阈值，即95%的可信度。
因此，由于适当自由度(df)的累积分布函数(CDF)给出了获得比该点更不极端的值的概率，因此从 1 中减去 CDF 值给出p值。低于所选显着性水平的低p值表示统计显着性，即有足够的证据拒绝零假设。显着性水平 0.05 通常用作显着和不显着结果之间的分界点。
楼主，你好~
看了你放上的图片，由图片的大致走势来看，该图像函数可能是卡方分布或者是F分布中的一种，该两种分布均属于概率论与数理统计的范畴。由于卡方分布与F分布的概念在电脑上比较难打出来，所以，如果楼主想了解的更深刻的话，建议你可以在网上自己找找~（卡方分布： F分布）
至于您的图片上的标准排出速率函数，该函数的具体表达式是需要通过实验得出相关数据之后，再结合上面提到的两种分布，求出来的，是我们单纯的去运算不出来的。这倒题目的关键，我认为是，在求积分这一块。
不知道有没有帮你解决掉问题？
若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为分布（chi-square distribution），其中参数n称为自由度，正如正态分布中均值或方差不同就是另一个正态分布一样，自由度不同就是另一个分布。记为 或者.卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度n很大时，分布近似为正态分布。对于任意正整数x， 自由度为 k的卡方分布是一个随机变量X的机率分布。
上市公司管理当局在制定股利分配政策时，要遵循一定的原则，并充分考虑影响股利分配政策的相关因素与市场反应，使公司的收益分配规范化。
研究背景
股利分配政策是上市公司对盈利进行分配或留存用于再投资的决策问题，在公司经营中起着至关重要的作用，关系到公司未来的长远发展、股东对投资回报的要求和资本结构的合理性。合理的股利分配政策一方面可以为企业规模扩张提供资金来源，另一方面可以为企业树立良好形象，吸引潜在的投资者和债权人，实现公司价值即股东财富最大化。因此，上市公司非常重视股利分配政策的制定，通常会在综合考虑各种相关因素后，对各种不同的股利分配政策进行比较，最终选择一种符合本公司特点与需要的股利分配政策予以实施。
股利分配政策的发布也会对市场产生重要影响。既然股利分配政策与公司价值有很强的相关性，那么其中必然传递着某些价值信息。“信号传递”理论认为，公司股利分配政策不仅是一种分配方案，同时还是一种有效的信号传递工具。股利分配政策的变化往往是公司经营状况发生变化的信号，这些信号有积极的也有消极的市场影响。资本市场的效率性越强，这种传递方式越有效、成本越低。因为，投资者相信，作为内部人的管理层拥有公司目前最真实全面的经营发展信息，他们会通过发放股利向投资者证明其经营能力 .投资者由于具有不同的股利偏好特性，会选择在适合自己股利偏好的上市公司群落周围积聚。因此，公司可能通过设计和修改股利分配政策、在股利分配政策中包含更丰富的信息来吸引投资者。
国外成熟资本市场上，上市公司股利政策一般可以分为现金股利、股票股利、财产股利、负债股利四种方式，其中现金股利方式运用最普遍。在中国股票市场上，公司常见的股利分配方式一般有三种：派发现金股利、送红股、公积金转增股。再考虑到上述几种方式混合使用，全部股利分配政策可分为八种：不分配、派现、送红、转增、派现加送红、派现加转增、送红加转增、派现加送红加转增。本文希望在国外研究方法与中国证券市场的具体情况相结合的基础上，通过2002年上市公司数据检验中国上市公司制定股利政策相关因素和市场反应。
文献综述
在国外类似研究中，经过验证的会对上市公司管理当局制定股利分配政策产生影响的因素有很多。Julie Ann Elston在一项关于美国上市公司股利分配政策影响因素的研究——“Dividend Policy and Investment：Theory and Evidence from US Panel Data”中，检验了股利分配政策与流动性约束、公司投资机会之间的关系。结果证实这种联系在不完善的资本市场上是很有可能的，当公司现金状况不佳或者投资机会较多时，通常会考虑停止或削减股利分配。Michael与Anjan研究发展了股利政策选择与投资者偏好理论。尽管资本利得具有税收优惠，但是实证结果表明大多数个人投资者还是希望少发放现金股利，保留未来潜在的增长机会，或者通过资本市场回购实现大额回报。Sudipto在研究中作出外部投资者关于公司盈利状况具有不充分信息、现金股利税负高于资本利得的假设，检验了股利函数的若干相关因素，结论显示股利函数受到预期现金流量的显著影响。
股利分配政策作为上市公司期末分配收益的政策，在二级市场上也通常引起股票价格的波动。国外对股利分配政策与股价关系的研究较多。Miller 和Modigliani于1961年提出的MM定理认为，在完全资本市场条件下，公司股利增减引起股票股价的变动，原因在于股利分配政策所包含的有关企业未来运作的信息。Lintner1956年对其进行实证研究，结论支持MM定理；而且证实公司管理当局不愿意因为利润的短期波动而改变每年的股利支付水平，而努力在未来相当长的时期内保持一个稳定增长的股利支付水平。Aigbe与Stephen针对保险公司样本的研究表明，保险公司通过调整股利分配政策来创造独特的信号机制。这项研究使用事件研究方法和对照样本组，检验了股利增加后股票价格相应的变动，结果表明价格显著正向变动，横断面分析表明股价变动与公司特性和主营业务无关。
国内对这方面的研究较少，主要包括赵小华《不完全市场与我国上市公司的股利政策》（1997），廖志刚、华荣晖《我国上市公司的股利政策研究》 （1997） ，陈晓、陈小悦《我国上市公司首次股利信号传递效应的实证研究》（1998）等，分别从证券市场成熟性、股权治理结构、盈利性等方面探讨了股利政策相关因素与市场反应。
本文在借鉴西方股利政策理论中相关因素模式的基础上，使用2002年的数据定量研究中国上市公司股利分配政策的相关因素与市场反应。
研究设计
一、股利分配政策相关因素分析
1.公司规模。公司规模是实力的象征，代表公司的资产金额、历年积累盈利和可供支配的资源，因此会影响到股利分配政策的类型。可选指标为净资产金额。
2.公司盈利能力。盈利能力是某个特定期间内公司利用拥有资源创造利润的能力，直接影响当期利润分配。可选指标为每股收益和净资产收益率。
3.现金状况。上市公司股利分配政策与其现金状况有密切关系，当利润增长、现金流充沛时，公司派现的意愿通常比较强烈。可选指标为货币资金、经营活动产生的现金流入。
4.企业资产的流动性。资产的流动性是指公司资产转化为现金的难易程度。公司资产整体流动性越好，支付现金股利的能力就强。如果公司将大部分资金投放在固定资产和永久性营运资金上，流动性会大大降低，不会优先选择支付现金股利而是倾向于股票股利。可选指标为流动比率和速动比率。
5.公司的成长性。每个公司应依据自身所处的发展阶段和财务状况制定相应的分红方案。一般来说，那些正处于成长阶段、资金需求较大的企业，其股利分配政策倾向于保留利润；而已进入成熟阶段、业绩稳定、成长缓慢的公司完全可以给股东以稳定的现金股利。可选指标为“主营业务利润增长率”
6.公司的再投资能力。股利分配政策在很大程度上受公司再投资能力所左右。如果公司有较多的有利可图的投资机会，往往采用低股利、高留存利润的政策；反之，如果投资机会较少，就可能采用高股利分配政策。当然，在采用低股利分配政策时，公司管理层必须向股东充分披露以留存利润投资于盈利高的项目，以取得股东的信任和支持。选取指标时，由于一个企业要扩大生产规模，长期资产必须增加，反映在资产负债表中的长期投资与现金流量表中的投资活动中的现金流出量就会大幅度提高。同时，通过查阅当年公司披露的投资活动公告，可以计算每家公司披露的全年投资项目总金额，与行业平均水平相比较后，可以设定一个虚拟变量为“投资机会”。如果高于行业平均水平，取值为1，否则取值为0.
7.公司的治理结构。我国大多数上市公司是原国有企业改制过来的，国家股 “一股独大”造成了公司股利分配政策往往只考虑了大股东的利益，其他股东根本不能影响公司的最终决策。目前在我国绝大部分上市公司的股权结构中，非流通的国家股和法人股仍占多数，处于控股地位，而流通股只占很小比例，而且两者的持有成本相差悬殊。如果采取派现政策，非流通股股东分得的现金远高于流通股股东。这些大股东的利益要求无疑是影响企业分配政策的重要因素。
8.公司所属的行业。股利分配政策具有明显的行业特征。一般说来，成熟产业的股利支付的意愿和比例高于新兴产业，比如公用事业公司的股利支付率高于其他行业公司。
二、股利分配政策的市场反应
公司制定了相应的股利分配政策后，在年报中披露，会得到不同的市场反应。股利分配政策制定应当结合上市公司长期发展战略，这样广大公众投资者才能通过股利分配获得合理回报。如果支付过高的股利，将使公司留存利润减少，或者影响公司未来发展，或者因举债、增发新股而增加资本成本，最终影响公司未来收益；如果支付股利过低，虽然公司可以保留较多的发展资金，但与公司股东的愿望相违背，会导致股票价格下降，公司形象受损。
同时需要考虑的一个重要因素是投资者对股利政策的偏好。由于中国股市的不成熟性，长期以来投资者缺乏价值投资意识，最关心的不是公司派发的现金红利，而是公司股本的不断扩张以及二级市场形成的填权效应，因此普通投资者对股票股利的偏好不断强化。细分到八种股利分配政策类型，可以通过实证研究考察不同类型分配政策市场反应的差异。
三、样本选择
深沪两市2002年4月30日前公布年报的上市公司共有1153家。由于新上市公司股价变动因素太大，剔除上市时间一年以内的新上市公司32 家，以及数据不完整公司（资产负债表、利润表、现金流量表数据不全或不一致，投资项目公告披露不完全等） 242家，最终抽样确定样本450家。所有财务指标、公告数据等来源于中国上市公司信息网、全景网络、新股资讯网、中国股票市场交易数据库查询系统V2.0.
四、研究方法
1.股利分配政策八种类型的相关因素分析。
本部分设定的待检因变量是Y1、Y2、Y3、Y4、Y5、Y6、Y7、Y8 “上市公司是否采取不分配、派现、送红、转增、派现加送红、派现加转增、送红加转增、派现加送红加转增的股利分配政策”，回归方程共有8个。自变量则选取规模、盈利能力、现金状况、流动性、成长性、再投资能力、法人治理结构、行业八类共26个指标。对于分类数据的回归问题，由于正态误差不对应于一个“0—1”类别，因而不适合使用正态线性模型，在此情况下，logistic逐步回归是可用的一个重要方法。
Logistic逐步回归的参数检验可选择似然比检验、比分检验和Wald检验。三种方法中，似然比检验最可靠，Wald检验未考虑各因素间的综合作用，在因素间有共线性时结果不如其他两者可靠。对数似然函数形式为：lnL=∑（ln P）=ln P1+ln P2+…+ln Pn.通过比较两个包含不同参数的LnL值，对新加入模型的参数进行无效假设检验。所用统计量为似然比较统计量（G），即G=2（LnLi+1-LnLi），因服从自由度为1的卡方分布，在α=0.05水平上，若G≥3.84则该因素有显著性。将有显著意义的因素选入回归方程，按OR求各影响因素发生概率增加一级的相对危险度。回归分析方法有强迫法、前进法、后退法和逐步法。为研究方便，本文采取前进法。
2.股利分配政策八种类型的市场反应分析。
本部分设定的待检因变量是Z “上市公司公布股利分配政策后第一个交易日股价是否上涨”，上涨取值为1，下降取值为0.自变量则选取八种股利分配政策类型，以及规模、盈利能力、现金状况、流动性、成长性、再投资能力、法人治理结构、行业九类共34个指标。logistic回归方法同上。
卡方分布(chi-square distribution, χ2-distribution)是概率统计里常用的一种概率分布。
我们先来看看卡方分布的定义：
若n个独立的随机变量 , ,⋯, ，且符合标准正态分布N(0,1)，则这n个随机变量的平方和
X=
为服从自由度为n的卡方分布，记为：
X∼χ2(n), 其中n为卡方分布的自由度。
χ2检验:(也称拟合优度检验)
是以χ2分布为基础的一种假设检验方法，主要用于分类变量。其基本思想是根据样本数据推断总体的分布与期望分布是否有显著性差异，或者推断两个分类变量是否相关或者独立。
一般可以设原假设为 H0：观察频数与期望频数没有差异，或者两个变量相互独立不相关。
实际应用中，我们先假设H0成立，计算出χ2的值，χ2表示观察值与理论值之间的偏离程度。根据χ2分布，χ2统计量以及自由度，可以确定在H0成立的情况下获得当前统计量以及更极端情况的概率p。如果p很小，说明观察值与理论值的偏离程度大，应该拒绝原假设。否则不能拒绝原假设。
χ2的计算公式为：
χ2=∑(A−T)2T
其中，A为实际值，T为理论值。
χ2用于衡量实际值与理论值的差异程度，这也是卡方检验的核心思想。χ2包含了以下两个信息：
1.实际值与理论值偏差的绝对大小。
2.差异程度与理论值的相对大小。
