你书上的方法咋那么奇怪...
不应该设 X= a/2 + acos@ , Y= asin@ , 0<=@<=PAI 吗...
∮√(x^2+y^2)ds
= ∮{√[(a/2 + acos@)^2 + (asin@)^2]} × [(-asin@)^2 + (acos@)^2]d@
````````````(再利用对称性, @的区间可缩小到 0<@<PAI/2 ,积分号前添个2)
= 2 ∮√[(a^2)/4 + (a^2)cos@ + (a^2)(cos@)^2 + (a^2)(sin@)^2]*(a^2)d@
= 自己算
说实话,上面的第一类曲线积分真考验耐心和细心...
新的那道题是第二类嘛,用格林公式会很简单的(学过就往下看):
先补有向线段 L1 : y=0, x从4到0,
这样就和上半圆组成了正向封闭曲线嘛, 区域 D 就是上半圆...
∫(y+2xy)dx+(x^2+2x+y^2)dy (路径L)
=``∫(y+2xy)dx+(x^2+2x+y^2)dy (路径L+L1)
```-∫(y+2xy)dx+(x^2+2x+y^2)dy (路径L1)
=``∫∫[(2x+2)-(1+2x)]dxdy(区域D)
```-∫(y+2xy)dx+(x^2+2x+y^2)dy(路径L1)
= ∫∫dxdy(区域D) - ∫(0+0)dx (y=0,则dy=0,知道吧...)
= 4 PAI
应该是这样...大学学得快...有些东西记不牢了...
曲线积分curve integral，曲面积分surface integral。
这是一道第二类曲线积分的题目，此题的计算量难点在于dz方向上的函数，又是指数函数，又是反正切函数，单独这么个复合函数暴力求积分都会让人崩溃，更别说求三维曲线积分了。所以必须想办法把这个纸老虎给干掉。首先Z方向完全由x y方向导出，所以先代入降维，把z坐标干掉。那么二维的曲线积分，能想到的就是"格林公式"了，如下图
把三段直线的积分化为一个正方形的积分＋一段的直线积分。好像没怎么简化计算量嘛，其实不然，如下图
最后发现这两部分积分都刚好把纸老虎约掉了。神奇吧(其实这是出题者的套路)。注意！如果你不用格林公式，去硬算，只有MN线段部分的纸老虎可以约掉，剩下的AM部分和NB部分必须想办法互相约了。由于此题计算量较大，所以如果结果有误，请提出。
在xoy面上的积分域对称性，一是关于y轴对称，一是关于x轴对称，还有关于y = x的轮换对称
取L：x² + y² = 2，积分域符合以上三个对称性质，之后就看被积函数的奇偶性
∮L (2x + 1)(y⁷ + 1) ds
= ∮L [2x(y⁷ + 1) + (y⁷ + 1)] ds
2x(y⁷ + 1)对于x是奇函数，关于y轴旋转对称，所以∮L 2x(y⁷ + 1) ds = 0
y⁷对于y是奇函数，关于x轴旋转对称，所以∮L y⁷ ds = 0
∮L [2x(y⁷ + 1) + (y⁷ + 1)] ds
= ∮L ds
= L的长度
= 2 * π * √2
= 2√2π
