电声小提琴是通过电来发声的，而传统的小提琴是通过共振箱的共振发声的 电声小提琴是近代的产物,它比起传统的声学提琴来有几个优点，一个是公共场合的演奏声音更饱满音色更亮，而传统的小提琴的话,不是用很优秀的琴就可能无法得到完美的演奏效果，因为室外的很多东西可以吸音.其次是电声小提琴的音色可以调节，并且有时候琴身的特殊设计可以让演奏家在拉小提琴的高把位的时候更加舒适. 所以,电声小提琴琴适用于大型的露天的场合,如果使用得当,可以获得很好的演出效果. 当然,它也有不及传统的小提琴的地方,那就是它的音色被认为无法与传统的声学小提琴相媲美,这点很难让传统的演奏家们喜欢上这种新型的乐器.
小提琴（violin）是一种超擦奏管弦得鸣提乐器。它广泛流传于世界各国，是现代管弦乐队弦乐组中最主要的乐器。它在器乐中占有极重要的位置，是现代交响乐队的支柱，也是具有高难度演奏技巧的独奏乐器。
现代小提琴的出现已有300多年的历史，其制作本身是一门极 小提琴
为精致的乐器。小提琴音色优美，接近人声，音域宽广，表现力强，从它诞生那天起，就一直在乐器中占有显著的地位，为人们所宠爱。如果说钢琴是“乐器之王”，那么小提琴就是乐器的“王后”了。 几个世纪以来，世界各国的著名作曲家写作了大量的小提琴经典作品，小提琴演奏家在这种乐器上发展了精湛的演奏艺术。小提琴既可以合奏，又可以进行独奏。 小提琴是一种四条弦的弓弦乐器，是提琴家族中的主要成员（该族系中的其它成员是：中提琴，大提琴和低音提琴）。现代小提琴起源于意大利的克瑞莫纳，在1600-1750年间成为最大的小提琴制作中心。著名的制琴大师有：Nicola Amati(尼古拉·阿马蒂)，Antonio Stradivari(安东尼奥·斯特拉底瓦里)，及Giuseppe Guarneri (吉塞浦·瓜奈里)；他们制造的乐器至今都是无价之宝。小提琴的五度定弦为：g, d1, a1, e2, 音域超过3 个半组，是所有管弦乐团必不可少的乐器，也是乐器之后。
编辑本段形状构造
小提琴由30多个零件组成。其主要构件有琴头、琴身、琴颈、弦轴、琴弦、琴马、腮托、琴弓、面板、侧板、音柱等。 小提琴共有四根弦，分为：A弦，E弦，D弦和G弦。 小提琴主要构件
小提琴琴身（共鸣箱）长约35.5厘米，由具有弧度的面板、背板和侧板粘合而成。面板常用云杉制作，质地较软；背板和侧板用枫木，质地较硬。琴头、琴颈用整条枫木，指板用乌木。小提琴的音质基本上取决于它的木质和相应的结构，取决于木材的振动频率和它对弦振动的反应。优质琴能把发出的每个声音的基音和泛音都同样灵敏地传播出去。 小提琴有琴弦4根。原均为羊肠制的裸弦，约从18世纪起，低音G弦常包以银丝,使其反应灵敏。现代则将G、D、A3根弦用缠金属丝的羊肠弦或钢丝缠弦，晚近也用尼龙弦。E弦改用钢丝弦，使其在高音区的音色更佳。 小提琴制作成现代这种样式，并非完全从形态美观出发，而是有其音响上和演奏上的需要。小提琴面板和背板有弧度，使其共鸣良好，发音洪亮；琴的腰身狭窄，便于演奏高把位和低音弦；面板和背板加嵌条，除防止木板开裂外，对琴的音质也起一定作用。面板与背板中间有音柱支撑，其位置变化对小提琴音色影响明显。面板左下面粘低音梁，既起加固作用，又具音响作用。小提琴表面的油漆如太硬、太软，或 小提琴琴弓
漆得不匀，都会有损于音质。当琴弓与琴弦摩擦使琴弦振动时，通过琴马引起面板振动，又通过音柱使背板振动，E弦振动较少,而G弦振动较大，从而使低音梁有更大振动，并造成共鸣箱的振动。能否使琴声得以充分发挥，取决于琴弦及其张力、琴马质量、运弓的压力和速度。要想把琴的各种音质都表达出来，还要加上演奏者的弓法、指法和揉弦等演奏技巧。 尺寸适用对照表 规格 尺寸 适合年龄 备注 1/8 255mm 4-5岁 1/4 280mm 6-8岁 1/2 310mm 9-11岁 3/4 335mm 12-14岁 身高稍小的成年人，或身高1.60米左右的人 4/4 356mm 15岁以上 身高1.65以上 1/16 基本上作为模型或者摆设的居多
编辑本段发展简史
目前对小提琴最早的明确记载是 Jambe de Fer 于1556年出版于里昂的《音乐摘要》（Epitome musical）。此时小提琴已经传遍欧洲。但关于小提琴的起源，史学家有许多不同说法，有一说是起源于“乌龟壳琴”，有个年轻人在沙滩上散步，忽然听到一种悦耳的声音，他仔细一找，原来是踢到空龟壳，龟壳震动发出的声音。他回家一琢磨，发明了一种类似空龟壳的乐器。这就是小提琴的开山鼻祖。后来，人们把它演变成现在的样子，可“万变不离其宗”，小提琴的琴孔还是龟背壳演变的样子。有说是起源于北非，有说是起源于印度，也有说是起源于西欧等等。有这么一个传说：5千年前斯里兰卡有一位君主名叫瑞凡那，他把圆柱形的木头掏空制成了与我国二胡极为相似的乐器称瑞凡那 高档小提琴
斯特隆(Ravanastron)，在漫长的历史长河中，瑞凡那斯特隆随着贸易往来而流传四方，这便是小提琴的鼻祖了。不过从有史料记载起，最早的小提琴是由一位住在意大利北部城镇布里细亚(Brescia)名叫达萨洛制成的(Gaspa ro da salo 1542-1609)。但在同一个时期，格里蒙那(Cremona)城中的A．阿玛蒂(AndreaAmatil520-1580)，也制作了与现代小提琴更为相近似的小提琴。从16世纪到18世纪，意大利的小提琴制造业随着音乐艺术的空前繁荣而得到了迅速的发展，出现了G．P玛基尼、N．阿玛蒂、A．斯特拉第瓦利和C．爪内利四位杰出名匠。18世纪以后，世界各国的小提琴制造业都是仿照意大利这些小提琴制作者的琴型和尺寸来制作小提琴的。近百年来，小提琴的结构也没什么大的改变，从这个意义上讲，意大利是小提琴的故乡。而玛基尼、阿玛蒂、斯特拉第瓦利、瓜内利当年所制作的小提琴，现今已成了稀世珍宝、旷世杰作。 最早的现代意义上的小提琴大约产生于十六世纪中叶，那时的许多珍品现在还保存在欧洲一些博物馆内。小提琴的起源可以追溯到2000多年前的埃及乐器“里拉”（Lyre），十五世纪，意大利人对其进行了改革，并用马尾制成弓子拉奏，定名为Violin，即小提琴。后又经过多年演变，小提琴的形成与制作才基本固定下来。 现存最早的小提琴是一把“查理九世”（Charles IX），由安德里亚·阿玛蒂在1560年制作于意大利北部城市克雷莫纳（Cremoa）。而至今为止最有名的小提琴，应该是安东尼奥·斯特拉底瓦里（Antonio Stradivari）1716年制作的“弥赛亚”（Le Messie），也作“Salabue”，这把琴现藏于英国牛津的Ashmolean博物馆。 现藏柏林的一把斯特拉迪瓦里琴
近代小提琴约在1550年就已为人们所熟悉，系由当时流行的乐器雷贝克和臂提利拉琴演变而来。通常所说小提琴前身维奥尔,在构造、调弦、演奏技巧等方面,对现代小提琴的形成都无决定性影响。人们曾普遍认为意大利北部的米兰、威尼斯、布雷西亚和克雷莫纳一带是小提琴的诞生地。16世纪后期，意大利的小提琴制作业出现了两个著名的小提琴制作流派，一派是以阿马蒂父子为代表的克雷莫纳制琴派;另一派是以萨洛的加斯帕罗(1540～1609)和他的学生G.P.马吉尼为代表的布雷西亚制琴派。这两派制作的小提琴各有特长，经历了几百年，至今仍属上等珍品。 1650～1750年，是小提琴制作的黄金时代，出现了许多著名小提琴制作家，如N.阿马蒂、J.斯坦纳，以及被人们认为最杰出的制作家A.斯特拉迪瓦里和G.瓜尔内里等人。阿马蒂所制小提琴的面板和背板弧度较大，音质好,用来演奏室内乐,有如明亮的女高音。18世纪后期，G.B.维奥蒂赞扬了斯特拉迪瓦里琴，维奥蒂的老师G.普尼亚尼与N.帕格尼尼喜爱瓜尔内里琴之后，这两位制琴大师的作品才被人们所欣赏，并取得了巨大名望。斯特拉迪瓦里和瓜尔内里琴具有在大厅中演奏协奏曲时所需要的音响传送力。 18世纪后，小提琴制作业的领先地位从意大利转至法国。这个时期小提琴的造型不断改进，已取得更大音量和更好的音质。法国制琴家N.吕波(1758～1824)以斯特拉迪瓦里为典范，把法国的制琴技术和意大利的制琴技术结合在一起。与此同时，法国的F.图尔特（1747～1835）约在1785年对琴弓的长度、重量、形状、装置等方面又进行了重大改革。小提琴在这个时期的发展，反映了J.海顿、W.A.莫扎特和 L.van贝多芬作品中具有的歌唱性，以及运弓方面的更大变化等对小提琴性能上的要求。 1789～1799年，法国大革命之后，随着贵族与皇室的衰落，音乐也从宫廷走向民间，出现了为公众服务的交响乐队和音乐厅。为适应环境的变革，小提琴需要增大音量。18世纪末～19世纪初,小提琴琴颈加长变细,并向后倾斜：指板变长；琴马变高,并具更大的弧度；G弦早已包有银丝。这些变革的目的是为适应更大的张力。琴弦的增长使琴面上的压力增大，于是低音梁变长变厚，音柱也加粗，以此获得更大更有力的声音。1820年前后L.施波尔发明了腮托，使左手从完全承担持琴的作用中解放出来。腮托的设置，使左手在换把、揉弦、按弦更加自如。 小提琴
18世纪末，音乐学院在欧洲相继出现，它使小提琴的需求量大大增加，从而促进了机器制琴业的发展。法国的米尔库、德国的米滕瓦尔德都是大量生产小提琴的地方。法国的J.-B.维约姆是 19世纪制琴业的著名人物。 维约姆雇用一些工人,在他的指导下制造小提琴,并以其名为牌号出售。他从世界各地搜集到许多散失在私人手中的优质琴，把它们送到演奏家、收藏家的手中，或者是博物馆。 巴洛克时期的德国伟大作曲家巴哈曾于1720年为小提琴创作了六首无伴奏作品：三首奏鸣曲，三首古组曲，是小提琴独奏曲的精华。今天请朋友们欣赏的是：巴哈的《 E大调前奏曲》，选自其第三首无伴奏组曲，由20世纪杰出小提琴家Itzhak Perlman 于1988年录制。它使用的是Guarneri – Gesu 小提琴，制作于1740年。 西洋小提琴传入中国是在清朝末年（约1920年代）。民国初，学堂音乐教育兴起，人们对外国音乐发生兴趣。从1920年代开始，世界著名小提琴大师先后到中国演出，鼓舞了许多热爱音乐的青年学习小提琴，并随之在北京，上海，广州，福建等地创立了音乐专科；许多高水平的小提琴家来华工作，同时也培养了众多中国自己的教师和演奏家，如：马思聪，刘天华，冼星海和黎国荃等。从这一时期开始，也陆续出版和翻译了不少《小提琴演奏法》，并有作曲家创作出许多经典的中国小提琴曲，像是《梁祝》和《苗岭的早晨》等，都是由上海音乐学院教授陈刚先生所作。 中档小提琴
从1980年代开始，一批中国自己培养的青年小提琴家分别在众多的国际大赛中获奖，胡坤既是其中第一位。他曾在北京中央音乐学院师从林耀基教授，并获得芬兰西贝柳斯国际小提琴比赛的第五名好成绩。请欣赏他1999年演奏的《苗岭的早晨》，由陈刚根据苗族口笛独奏编曲。胡坤现在任教于英国梅纽因音乐学校和皇家音乐学院，他使用的是一把制作于1734年的小提琴。 中国在小提琴制造上，近年享有国际声誉。广州乐器厂陈锦农所制红棉牌小提琴,1980年获美国第4届国际提琴制作比赛“音质金奖”；北京提琴厂戴宏祥所制小提琴，获1983年于联邦德国卡塞尔市举行的斯波尔国际提琴制作比赛的“音质金奖”。
编辑本段演奏艺术
演奏 高档独奏小提琴
艺术的发展 16世纪，小提琴开始在意大利出现时,一般用来伴舞、伴唱,或直接演奏歌曲。17世纪初，随着小提琴奏鸣曲的出现，演奏技术也相应发展。C.法里纳（约1600～约1640）在1627年的创作中，就采了用双音、震音、颤音及高把位，并模拟猫叫、狗吠、笛、鼓、吉他等声音。一些演奏家与作曲家也竞相仿效； 于是模拟杜鹃、夜莺、公鸡等声音的作品，充斥于当时的乐坛。直到17世纪后半叶，意大利作曲家和小提琴家A.科雷利才把小提琴艺术引上了正途。
编辑本段演奏要点
小提琴属于歌唱性的旋律乐器。因此，如何在小提琴上发出歌唱般的丰满、动听的声音，是小提琴演奏中最为重要的问题。就小提琴的演奏技术来说，有以下各种主要基本功。
运弓
优秀的演奏家能在小提琴上发出千变万化的声音，就运弓而言，取决于运弓的速度、弓在弦上的压力以及弓和弦的接触点这3种因素的不同结合。小提琴的弓法繁多，就其主要的有以下几种：①分弓：一弓演奏一个音，音要拉的干净，清楚；②连弓：一弓演奏许多音，在很多乐曲中都会用到，是最常用的弓法之一；③顿弓：音与音之间断开；④跳弓:弓毛离开琴弦。这4类弓法是最基本的，在20世纪中期，连顿弓，即在一弓中连续快速演奏许多音与音之间是断开的音，被人视为绝技，随后又出现了“自然跳弓”，即弓毛在琴弦上，而听起来或看起来像跳弓一样。所以人们把小提琴演奏艺术称之为“运弓的艺术”。
音准
歌唱和乐器演奏中所发的音高，能与一定律制的音高相符，称为音准。有些乐器在制造或调音时就有音准要求。歌唱和乐器演奏过程中，随时都要通过演唱者和演奏者的控制来解决音准。音准的取得，有赖于敏锐的听觉、优良的乐器、精湛的技巧与适宜的演出环境。乐器的形体结构、音孔位置、张力变化以及空气湿度，都与音准有关。就弦乐器讲，长时间演奏及气温上升，均使弦松弛，因此弦乐器音准的突出问题是如何矫正偏低。就管乐器讲,虽然气温上升使管体略微伸长,但同时气压降低,声速提高,频率也随之增高（据实测，气温每升10℃可使管乐器发音升高3音分）,因此管乐器音准的突出问题是如何矫正偏高。歌唱及弦乐器、管乐器的音准,当有钢琴伴奏时,都以平均律为准则；但由于平均律的许多音程听起来并不严格协和，所以在独唱、独奏、重唱、重奏时，常常需要偏离平均律而趋近纯律或五度相生律，才算达到音准要求。
揉弦
揉弦是小提琴，二胡，吉他等弦乐演奏所掌握的最具表现力的演奏技巧之一。在乐句适当的地方加上适当的揉弦，会比没有揉弦的乐句在声音上要生动的多。 揉弦是一个小提琴演奏很有表现力的技巧，用它可以来表现不同风格和特征的每一个音或每一个乐段。揉弦的要点是怎样找到手的最佳动作，用速度快慢、揉弦宽窄来演奏出每一个乐段独特的风格和特征。 肘臂揉弦和手腕揉弦，两者都要练习。以能够表现出最好的音乐特征，来选择揉弦的速度和宽窄。 有几种方法，初学者可以试试，可能会有利于学习揉弦： 1.一是做指端关节前后屈仰动作。先在桌子上练，分别练习各个手指一关节向后躺下（不是完全贴在桌子上），再立起的动作，再分别作左右晃动。由快到慢，最后五个指头一起练习。 2.首先应学会手腕揉弦。其方法可先将手臂放在大腿上或椅臂上，然后将手腕放松前后摇动，力求平均，待动作习惯自如后，再放到指板上练习。 同时要注意： 在手腕前后揉动时，带动手指的关节，手指的触弦点不能随着手腕的揉动而移位。在练习手腕揉弦时，可先从三指开始。因为用三指揉动可以使动作更为宽松，然后再练习二指和一指。而练习四指时，还可将三指紧靠四指帮助揉动。这样的练习会使颤动的效果更为自如。在手腕揉弦练习的基础上也可逐渐学习和熟悉手臂的揉弦和手指的揉弦。目的是为了更好的丰富演奏上的表现力，适应于各种力度和情绪变化的需要。 3.还有大臂揉弦、手指揉弦。大臂揉弦多用于长的重低音，主要体现出乐曲的浑厚和伤感，手指揉弦多用于半拍的高音，可以表现出乐曲的欢快和优美，而想学好这些，前提是熟练的掌握手臂揉弦。
把位
左手手指在指板上的位置，称之为把位。靠近琴头的把位为低把，靠近琴马的为高把。从一个把位换到另一个把位，称为换把。换把位的方法有多种，例如空弦换把，同指换把，不同指以及泛音换把等。换把时产生非音乐需要的滑音，是技巧训练不足的标志。滑音可以使音与音之间的连接富于变化，增加一个优美的过度。特别是结合换把使用滑音，是一种富于表现力的演奏手段。
双音与和弦
小提琴可以同时演奏两个音甚至是3个音，也可以分奏4个音的和弦,这不仅丰富了它的表现力，并可不依赖其他乐器的伴奏进行单独演奏。小提琴的三度、六度、八度以及十度双音音阶，是演奏双音的基础，也是小提琴家必须终身练习的一项基本功。小提琴演奏中的左手颤音、泛音、拨弦等，都是一些高深的技巧。 双手技巧 小提琴的左手技巧：音阶、双弦、换把、颤指、泛音、拨奏。 右手技巧有：连弓、分弓、顿弓、跳弓、波弓、击弓、碎弓。 等等。小提琴家的魅力不少在于右手神奇的运弓。 小提琴特殊奏发在总谱中的标记： 拨弦：pizz 恢复正常演奏为arco 靠近琴马：sul pont恢复正常演奏为ord 靠近指板：sul tasto恢复正常演奏为ord 弓杆击弦：col legno恢复正常演奏为arco 加弱音器：con sord摘除弱音器为senza sord 另外在管弦乐里分部为div，齐奏为unis
ppp 最弱 pp很弱 p弱 mp中弱 mf中强 f强 ff很强 fz最强 fz或sf加强音 pizz拨奏 arco用弓拉奏（在拨奏之后） solo独奏 tutti全奏（全乐队） 8va高八度 G.B.全弓 O.H.上半弓 U.H.下半弓 M.中弓 Fr弓根 Sp弓尖
一、函数的起源（产生）
十六、十七世纪，欧洲资本主义国家先后兴起，为了争夺霸权，迫切需要发展航海和军火工业。为了发展航海事业，就需要确定船只在大海中的位置，在地球上的经纬度；要打仗，也需知道如何使炮弹打的准确无误等问题， 这就促使了人们对各种“运动”的研究，对各种运动中的数量关系进行研究，这就为函数概念的产生提供了客观实际需要的基础。
十七世纪中叶，笛卡儿（Descartes）引入变数（变量）的概念，制定了解析几何学，从而打破了局限于方程的未知数的理解；后来，牛顿（ Newton）、莱布尼兹（Leibniz）分别独立的建立了微分学说。这期间，随着数学内容的丰富，各种具体的函数已大量出现，但函数还未被给出一个一般的定义。牛顿于 1665年开始研究微积分之后，一直用“流量”（ fluent）一词来表示变量间的关系。 1673年，莱布尼兹在一篇手稿里第一次用“函数”（ fluent）这一名词，他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量。（定义1）这可以说是函数的第一个“定义”。例如，切线，弦，法线等长度和横、纵坐标，后来，又用这个名词表示幂，即表示 x , x2, x3,…。显然，“函数”这个词最初的含义是非常的模糊和不准确的。
人们是不会满足于这样不准确的概念，数学家们纷纷对函数进行进一步讨论。
二、函数概念的发展与完善⒈以“变量”为基础的函数概念 在 1718年，瑞士科学家，莱布尼兹的学生约翰·贝奴里（Bernoulli,Johann）给出了函数的明确定义：变量的函数是由这些变量与常量所组成的一个解析表达式。（定义2）并在此给出了函数的记号φx。这一定义使得函数第一次有了解析意义。
十八世纪中叶，著名的数学家达朗贝尔 （D’Alembert）和欧拉（ Euler）在研究弦振动时，感到有必要给出函数的一般定义。达朗贝尔认为函数是指任意的解析式，在 1748年欧拉的定义是：函数是随意画出的一条曲线。（定义 3）在此之前的 1734年，欧拉也给出了一种函数的符号f(x),这个符号我们一直沿用至今。
实际上，这两种定义（定义 1和定义 2）就是现在通用的函数的两种表示方法：解析法和图像法。后来，由于富里埃级数的出现，沟通了解析式与曲线间的联系，但是用解析式来定义函数，显然是片面的，因为有很多函数是没有解析式的,如狄利克雷函数。
1775年，欧拉在《微分学原理》一书的前言中给出了更广泛的定义：如果某些变量，以这样一种方式依赖与另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，则将前面的变量称为后面变量的函数。（定义 4）这个定义朴素地反映了函数中的辨证因素，体现了“自变”到“因变”的生动过程 ,但未提到两个变量之间的对应关系，因此它并未反映出真正意义上的科学函数概念的特征，只是科学的定义函数概念的“雏形”。
函数是从研究物体运动而引出的一个概念，因此前几种函数概念的定义只是认识到了变量“变化”的关系，如自由落体运动下降的路程，单摆运动的幅角等都可以是看成时间的函数。很明显，只从运动中变量“变化”观点来理解函数，对函数概念的了解就有一定的局限性。如对常值函数 ,不解释
十九世纪初，拉克若斯（ Lacroix）正式提出只要有一个变量依赖另一个变量，前者就是后者的函数。 1834年 ,俄国数学家罗巴契夫斯基（Лобачевский）进一步提出函数的定义： x的函数是这样的一个数，它对于每一个 x都有确定的值，并且随着 x一起变化，函数值可以由解析式给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法，函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。（定义 5）这实际是“列表定义”，好像有一个“表格”，其中一栏是 x值，另一栏是与它相对应的 y值。这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，把函数的“对应”思想表现出来，而“对应”概念正是函数概念的本质与核心。
十九世纪法国数学家柯西（ Cauchy）更明确的给出定义：有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫做自变量，另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变量为自变量的函数。（定义 6）
1829年 ,狄利克雷（ Dirichlet）给出了所谓狄利克雷函数： y=1 当 x为有理数时； y=0 当 x为无理数时。这个函数并不复杂，但不能用解析式来表示，这一思想的提出，正是数学由过去的研究“算”到以后研究“概念、性质、结构”的转变的开端。 1837年他对函数下的定义是：在某个变化过程中，有两个变量 x和 y。如果对于 x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应关系， y都有唯一确定值和它对应，则 y称为 x的函数； x称为自变量。（定义 7）这个定义的优点是直截了当地强调与突出了“对应”关系,抓住了概念的本质属性，只须有一个法则存在，使得这个函数定义域中的每一个值有一个确定的 y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图像或表格或其他形式;其缺点是把生动的函数变化思想省略和简化掉了。
⒉以“集合”为基础的函数概念
函数的概念是随着数学的发展而发展的。函数的定义在数学的发展过程中，不断的改进，不断的抽象，不断的完善。十九世纪七十年代，德国数学家康托（ G.Cantor）提出了集合论。进入二十世纪后，伴随着集合论的发展，函数的概念也取得了新的进展，它终于摆脱了数域的束缚向更广阔的研究领域扩大，使概念获得了现代化。
二十世纪初美国数学家维布伦（ Weblan）给出了函数的如下定义：若在变量 y的集合与另一变量 x的集合之间，有这样的关系成立，即对 x的每一个值，有完全确定的 y值与之对应，则称 y是变量 x的函数。（定义 8）从这个定义开始，函数概念已把基础建立在集合上面，而前七个定义则是把基础建立在变量（数）上的。
随着时间的推移，函数便被明确的定义为集合之间的对应关系，其定义是： A和 B是两个集合，如果按照某种对应关系，使 A的任何一个元素在 B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应关系成为从集合 A到集合 B的函数。（定义 9）此定义根据映射的概念，用“映射”观点建立函数概念，其又可叙述为：从集合 A到集合 B的映射 f： A→ B称为集合 A到集合 B的函数，简称函数 f 。（定义 10）以上三个定义，已打破数域的束缚，将集合中的元素改为抽象的，可以是数，也可以不是数，而是其它一切有形或无形的东西，如 X是所有三角形的集合， Y是所有圆的集合，则 f 可以是把每一个三角形映射成它的外接圆的映射。
对新函数定义可以这样理解：函数是一个对应（规则），对于某一范围（集合）的元素，按照这个对应（规则）确定另一个元素。这样函数概念从狭义的“变化”观点转化到较广义的“对应”观点,函数即是一个对应（规则）。
对函数概念用“对应”（“规则”）来理解比起最初阶段虽然揭示出了函数概念的实质，但它还不符合我们最低限度地使用未被定义的术语的意图。因为什么叫“对应”和怎样理解“规则”还需要定义，例如规则不同，那么是否函数也不同呢？如f(x)=x与f(x)=(1+x)-1当然是不同的规则但却定义了同一函数。
为了解决这一矛盾，二十世纪初，特别是在六十年代以后，广泛采用只涉及“集合”这一概念的函数定义，而集合作为原始概念是不予定义的，这样的定义是：设 A、 B是任意两个集合， f是笛卡儿集 A× B的一个子集，满足：①对任意的 a ∈ A，存在一个 b∈B，使得 (a,b)∈ f，②若 (a,b)∈ f， (a,c)∈ f则 b=c。则称 f为 A到 B的一个函数。记作 f:A→B。（定义11）这个定义利用“关系”这个概念，便给出了只涉及原始概念“集合”的函数的一般定义，即不需要用到“对应”，又避免了对“规则”的解释，只要集合理论适用一切数学领域，这样给出的函数定义总是适用的。它可称的上是最现代的定义了。
到此，“函数”最完善的定义（定义 11）已给出，作为数学中最基本的概念之一，已把基础直接建立在集合上面，即把函数看作是从一个集合到另一个集合的对应，它和“映射”实际上是一回事。
三、新旧两种定义的比较 比较新定义（把以集合为基础的函数定义称为新的定义方式，而以变量（数）为基础的定义称为旧的定义方式。）和旧定义，它们之间有两个重要的区别： ⑴旧定义是建立在“变量”这个基本概念上的，而新定义则建立在“集合”这个基本概念上。什么是变量呢？通常把它理解为在选定一个单位以后，可加以度量的东西，如长度、质量、时间之类，这种理解一方面太疏于笼统，只能通过举例来说明，而难于加以精确化；另一方面，由于涉及大小关系，嫌过于狭窄，无法体现应用上的普遍性。其次，即使什么是“量”的问题不存在，作为变量，它须在某一范围取值（不一定是数值），这一定范围实际上就是事先得假定的一个集合 A（它构成函数的定义域），所谓“变量取值 a”，实质上就是“ a属于 A”的一种变相迂回的说法。可见，在变量的概念中已蕴含集合的思想。
⑵旧定义中以“因变量”为函数，而新定义中则以“对应关系”为函数。函数概念的实质，主要的并不是因变量要随自便量“变”，而是两集合之间存在某种确定的对应关系。显然，新定义更能直接地揭示出函数的实质。
李政道曾这样评价亥姆霍兹：物理与音乐共鸣，声波与科学交响。亥姆霍兹用科学家的头脑和艺术家的心灵真正把艺术与科学、音乐与物理紧密地、有机地融为一体。他开创了音乐物理学这一领域，并发表了很多这方面的论文，比如《论结合音》（1856）、《论谐和音程和不谐和音程的物理原因》（1858）、《论元音的音质》（1859）、《论开口管的振动》（1859）、《论小提琴的弦振动》（1860）、《论乐音的感觉——音乐理论的生理学基础》（1863）等。
人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月,早在公元前2000年左右,居住在底格里斯河和幼法拉底河的古巴比伦人已经能解一些一元二次方程.而在中国,《九章算术》“勾股”章中就有一题：“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈,问户高、广各几何?.”之后的丢番图（古代希腊数学家）,欧几里德（古代希腊数学家）,赵爽,张遂,杨辉对一元二次方程的贡献更大
贝祖（Bezout Etienne 1730.3.31~1783.9.27）法国数学家.少年时酷爱数学,主要从事方程论研究.他是最先认识到行列式价值的数学家之一.最早证明了齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零.他在其第一篇论文《几种类型的方程》中用消元法将只含一个未知数的n次方程问题与解联立方程组问题联系起来,提供了某些n次方程的解法.他还用消元法解次数高于1的两个二元方程,并证明了关于方程次数的贝祖定理.
1086～1093年,中国宋朝的沈括在《梦溪笔谈》中提出“隙积术”和“会圆术”,开始高阶等差级数的研究.
十一世纪,阿拉伯的阿尔·卡尔希第一次解出了二次方程的根.
十一世纪,阿拉伯的卡牙姆完成了一部系统研究三次方程的书《代数学》.
十一世纪,埃及的阿尔·海赛姆解决了“海赛姆”问题,即要在圆的平面上两点作两条线相交于圆周上一点,并与在该点的法线成等角.
十一世纪中叶,中国宋朝的贾宪在《黄帝九章算术细草》中,创造了开任意高次幂的“增乘开方法”,并列出了二项式定理系数表,这是现代“组合数学”的早期发现.后人所称的“杨辉三角”即指此法.
十二世纪,印度的拜斯迦罗著《立刺瓦提》一书,这是东方算术和计算方面的重要著作.
1202年,意大利的裴波那契发表《计算之书》,把印度—阿拉伯记数法介绍到西方.
1220年,意大利的裴波那契发表《几何学实习》一书,介绍了许多阿拉伯资料中没有的示例.
1247年,中国宋朝的秦九韶著《数书九章》共十八卷,推广了“增乘开方法”.书中提出的联立一次同余式的解法,比西方早五百七十余年.
1248年,中国宋朝的李治著《测圆海镜》十二卷,这是第一部系统论述“天元术”的著作.
1261年,中国宋朝的杨辉著《详解九章算法》,用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和.
1274年,中国宋朝的杨辉发表《乘除通变本末》,叙述“九归”捷法,介绍了筹算乘除的各种运算法.
1280年,元朝《授时历》用招差法编制日月的方位表(中国 王恂、郭守敬等).
十四世纪中叶前,中国开始应用珠算盘.
1303年,中国元朝的朱世杰著《四元玉鉴》三卷,把“天元术”推广为“四元术”.
1464年,德国的约·米勒在《论各种三角形》(1533年出版)中,系统地总结了三角学.
1494年,意大利的帕奇欧里发表《算术集成》,反映了当时所知道的关于算术、代数和三角学的知识.
1545年,意大利的卡尔达诺、费尔诺在《大法》中发表了求三次方程一般代数解的公式.
1550～1572年,意大利的邦别利出版《代数学》,其中引入了虚数,完全解决了三次方程的代数解问题.
1591年左右,德国的韦达在《美妙的代数》中首次使用字母表示数字系数的一般符号,推进了代数问题的一般讨论.
1596～1613年,德国的奥脱、皮提斯库斯完成了六个三角函数的每间隔10秒的十五位小数表.
1614年,英国的耐普尔制定了对数.
1615年,德国的开卜勒发表《酒桶的立体几何学》,研究了圆锥曲线旋转体的体积.
1635年,意大利的卡瓦列利发表《不可分连续量的几何学》,书中避免无穷小量,用不可分量制定了一种简单形式的微积分.
1637年,法国的笛卡尔出版《几何学》,提出了解析几何,把变量引进数学,成为“数学中的转折点”.
1638年,法国的费尔玛开始用微分法求极大、极小问题.
1638年,意大利的伽里略发表《关于两种新科学的数学证明的论说》,研究距离、速度和加速度之间的关系,提出了无穷集合的概念,这本书被认为是伽里略重要的科学成就.
1639年,法国的迪沙格发表了《企图研究圆锥和平面的相交所发生的事的草案》,这是近世射影几何学的早期工作.
1641年,法国的帕斯卡发现关于圆锥内接六边形的“帕斯卡定理”.
1649年,法国的帕斯卡制成帕斯卡计算器,它是近代计算机的先驱.
1654年,法国的帕斯卡、费尔玛研究了概率论的基础.
1655年,英国的瓦里斯出版《无穷算术》一书,第一次把代数学扩展到分析学.
1657年,荷兰的惠更斯发表了关于概率论的早期论文《论机会游戏的演算》.
1658年,法国的帕斯卡出版《摆线通论》,对“摆线”进行了充分的研究.
1665～1676年,牛顿(1665～1666年)先于莱布尼茨(1673～1676年)制定了微积分,莱布尼茨(1684～1686年)早于牛顿(1704～1736年)发表了微积分.
1669年,英国的牛顿、雷夫逊发明解非线性方程的牛顿—雷夫逊方法.
1670年,法国的费尔玛提出“费尔玛大定理”.
1673年,荷兰的惠更斯发表了《摆动的时钟》,其中研究了平面曲线的渐屈线和渐伸线.
1684年,德国的莱布尼茨发表了关于微分法的著作《关于极大极小以及切线的新方法》.
1686年,德国的莱布尼茨发表了关于积分法的著作.
1691年,瑞士的约·贝努利出版《微分学初步》,这促进了微积分在物理学和力学上的应用及研究.
1696年,法国的洛比达发明求不定式极限的“洛比达法则”.
1697年,瑞士的约·贝努利解决了一些变分问题,发现最速下降线和测地线.
1704年,英国的牛顿发表《三次曲线枚举》《利用无穷级数求曲线的面积和长度》《流数法》.
1711年,英国的牛顿发表《使用级数、流数等等的分析》.
1713年,瑞士的雅·贝努利出版了概率论的第一本著作《猜度术》.
1715年,英国的布·泰勒发表《增量方法及其他》.
1731年,法国的克雷洛出版《关于双重曲率的曲线的研究》,这是研究空间解析几何和微分几何的最初尝试.
1733年,英国的德·勒哈佛尔发现正态概率曲线.
1734年,英国的贝克莱发表《分析学者》,副标题是《致不信神的数学家》,攻击牛顿的《流数法》,引起所谓第二次数学危机.
1736年,英国的牛顿发表《流数法和无穷级数》.
1736年,瑞士的欧拉出版《力学、或解析地叙述运动的理论》,这是用分析方法发展牛顿的质点动力学的第一本著作.
1742年,英国的麦克劳林引进了函数的幂级数展开法.
1744年,瑞士的欧拉导出了变分法的欧拉方程,发现某些极小曲面.
1747年,法国的达朗贝尔等由弦振动的研究而开创偏微分方程论.
1748年,瑞士的欧拉出版了系统研究分析数学的《无穷分析概要》,这是欧拉的主要著作之一.
1755～1774年,瑞士的欧拉出版了《微分学》和《积分学》三卷.书中包括微分方程论和一些特殊的函数.
1760～1761年,法国的拉格朗日系统地研究了变分法及其在力学上的应用.
1767年,法国的拉格朗日发现分离代数方程实根的方法和求其近似值的方法.
1770～1771年,法国的拉格朗日把置换群用于代数方程式求解,这是群论的开始.
1772年,法国的拉格朗日给出三体问题最初的特解.
1788年,法国的拉格朗日出版了《解析力学》,把新发展的解析法应用于质点、刚体力学.
1794年,法国的勒让德出版流传很广的初等几何学课本《几何学概要》.
1794年,德国的高斯从研究测量误差,提出最小二乘法,于1809年发表.
1797年,法国的拉格朗日发表《解析函数论》,不用极限的概念而用代数方法建立微分学.
1799年,法国的蒙日创立画法几何学,在工程技术中应用颇多.
1799年,德国的高斯证明了代数学的一个基本定理：实系数代数方程必有根.
微分方程:大致与微积分同时产生 .事实上,求y′＝f(x)的原函数问题便是最简单的微分方程.I.牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下,一个单一的行星的运动.他把两个物体都理想化为质点,得到3个未知函数的3个二阶方程组,经简单计算证明,可化为平面问题,即两个未知函数的两个二阶微分方程组.用现在叫做“首次积分”的办法,完全解决了它的求解问题.17世纪就提出了弹性问题,这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等.总之,力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程.在当代,甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程,如人口发展模型、交通流模型…….因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的.当初,数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上,后来证明这一般不可能,于是逐步放弃了这一奢望,而转向定解问题：初值问题、边值问题、混合问题等.但是,即便是一阶常微分方程,初等解(化为积分形式)也被证明不可能,于是转向定量方法（数值计算）、定性方法,而这首先要解决解的存在性、唯一性等理论上的问题.
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程,比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等.这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来,列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式,然后取求方程的解.
但是在实际工作中,常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题.比如：物质在一定条件下的运动变化,要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落,要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行,要寻求它飞行的轨道,等等.
物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的,因此,这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数.也就是说,凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值,而是要求一个或者几个未知的函数.
解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似,也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来,从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式.但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面,都和初等数学中的解方程有许多不同的地方.
在数学上,解这类方程,要用到微分和导数的知识.因此,凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程,就叫做微分方程.
微分方程差不多是和微积分同时先后产生的,苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候,就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时,对简单的微分方程用级数来求解.后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论.
常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学,以及其他科学技术的发展密切相关的.数学的其他分支的新发展,如复变函数、李群、组合拓扑学等,都对常微分方程的发展产生了深刻的影响,当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.
牛顿研究天体力学和机械力学的时候,利用了微分方程这个工具,从理论上得到了行星运动规律.后来,法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置.这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量.
微分方程的理论逐步完善的时候,利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律,只要列出相应的微分方程,有了解方程的方法.微分方程也就成了最有生命力的数学分支.
