这两个概念是卡尔曼在20世纪60年代提出的，是现代控制理论中的两个基本概念。
由于能控性只涉及用外部输入来改变系统状态的问题，故只考虑系统的状态方程：
其中， 是 维的状态向量（点）， 是 维控制输入向量（点）， 和 分别是已知的 和 维实常数矩阵。
定义： 对上述系统的一个状态 ，如果存在一个有限时刻 和时间段 上的控制信号 ，使得在这样一个控制信号（control）作用下，系统状态从 时刻的初始状态 ，转移到 时刻的零状态，即 ，则状态 称为是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的，有时也记矩阵对 是能控的。
系统的能控性表明：若状态 是能控的，则一定可以通过设计一个适当的控制律（control law），将系统在有限时间内从 转移到零状态。
在实际的控制系统设计中，我们需要控制的往往是输出量，而不是系统的状态。这种情况下，系统状态能控性对实现输出量的控制既不充分也不必要。
输出能控性定义： 对上述系统，若对任意的初始输出 （状态的一个线性组合），存在有限时刻 和在时间段 上定义的控制信号 ，使得在该控制信号作用下，系统的输出从初始输出 转移到任意给定的最终输出 ，则系统称为是 输出完全能控 的，简称输出能控。
在实际控制系统设计中，我们总希望利用描述系统全部动态行为的状态信息来构造反馈控制器，以使得闭环系统具有尽可能满意的性能。但在一个实际的系统中，并不是所有的状态信息都是直接可测量得到的，能够测量的只是系统的输出，因此如何解决这个矛盾？
状态空间模型中的输出方程建立起了系统的状态变量和输出量之间的关系，从而系统的输出信号中或多或少总包含有系统的状态的信息 。那么，是否可以通过观测一段时间内的测量输出信号，或者再结合外加的输入信号（因为输出方程中输出有时也依赖输入信号）来确定出之前某个时刻系统的状态呢？这就是系统状态能否从外部观测或估计的问题，简称系统状态能观性问题。
在讨论能观性条件时，只需要考虑零输入系统：
其中， 是 维的系统状态向量， 是 维的测量输出， 和 分别是已知的 维和 维常数矩阵， 是 时刻的初始状态向量。
之所以只考虑零输入系统，是因为能观性问题考虑的是用外部的已知信号（如输出信号，控制信号）来估计内部的未知状态。由系统运动分析结论可知，从系统状态空间模型可得系统的状态关于时间的响应在给定初始条件 下：
从而，可得系统输出响应：
由于矩阵 均已知， 也已知（控制信号由我们设计），所以上式右端的积分项为已知，将它们移到等式的左边：
上式左边都是已知信号，而右边是带估计的状态 的线性组合。这和上述的零输入系统状态空间模型得到的输出 没有本质区别，即通过左边已知信号来估计右边的未知状态 。因此研究系统的状态估计或观测问题只需考虑零输入状态空间模型即可。
定义： 对上述系统，若以非零初始状态 产生的输出响应恒为零，即对所有的时间 ：
则称状态 是不能观的。 若系统中没有不能观的状态（换句话说所有状态都能观），则称系统是完全能观的，简称是能观的， 有时也称矩阵对 是能观的。
系统的输出恒为零表明自治系统在 非零初始状态 的激励下仍然是静止的 ，初始状态对系统输出响应没有任何影响， 即在系统输出中不能反映状态 的任何信息 ，根据定义这样的状态 是不能观的。
在控制工程中，所设计的系统在受到扰动后，尽管系统会偏离原平衡工作点（稳定点），但在扰动消失后，设计者往往希望系统有能力自动回到并保持在原工作点附近，这就是系统稳定的基本含义。
稳定是一个控制系统能正常工作的基本要求，系统只有在稳定的前提下才能进一步探讨其他性能。因此，稳定性问题一直是控制理论中的一个最基本和最重要的问题，控制系统的稳定性分析是系统分析的首要任务。
1892年，俄国数学力学家李雅普诺夫（A.M. Lyapunov）在他的博士论文《运动稳定性的一般问题》中，提出了著名的李雅普诺夫稳定性理论。该理论作为稳定性判别的一般方法，适用于各类动态系统。李雅普诺夫稳定性理论的核心是提出了判别系统稳定性的两种方法，分别被称为李雅普诺夫第一方法和第二方法。
李雅普诺夫第一方法是通过求解系统的动态方程，然后根据解的性质来判断系统的稳定性，其基本思路和分析方法与古典控制理论是一致的。由于需要求出系统动态方程的解后才能判别系统的稳定性，故也称为判别稳定性的李雅普诺夫间接法。
李雅普诺夫第二方法则是一种定性方法，它无需求解复杂的系统微分方程，而是通过 构造一个类似于能量函数的标量李雅普诺夫函数，然后再根据李雅普诺夫函数随时间变化的情况来直接判定系统的稳定性 。因此，它特别适合于那些难以求解的 非线性系统和时变系统 。李雅普诺夫第二方法不仅可以用来分析系统的稳定性，而且还可用于对系统过渡过程特性的评价以及求解参数最优化等问题。李雅普诺夫第二方法最大的优点是它可用于控制系统的设计，从而使得该方法在自动控制的各个分支中都有广泛的应用，是控制理论中最重要的理论和方法之一。
图中小球在没有任何外力作用下，它将保持在B点静止不动（稳态）。若给小球一个外力，使之移动到A点，然后让它做自由运动，则小球做震荡运动由于摩擦力的存在，最后在B点稳定下来并静止。
稳定性指的是系统在平衡状态下收到干扰后，系统自由运动的性质。 上述描述中，小球最终又稳定在了原平衡点，则这样的系统是稳定的。若小球初始静止状态在D点，则当小球受到干扰后，小球不能再回到D点，这样的系统是不稳定的。
在以上小球运动分析中有几个关键的概念。第一个就是 平衡状态 ，图中B点和D点处的状态就是平衡状态，即小球处于静止状态。其次是扰动，小球在受到外部干扰后偏离平衡状态，然后在没有任何外力和扰动作用下做自由运动（自治系统的自由运动）。因此， 小球受到的干扰只是初始干扰，而非持续干扰，这就是李雅普诺夫稳定性所处理干扰的特点，从而诸如持续风力干扰等（持续的输入干扰）就不在李雅普诺夫稳定性分析范围之内。 最后，系统的稳定与否依赖于小球受干扰前所处的平衡位置，如小球在B点是稳定的，在D点是不稳定的。因此，系统的稳定与否和平衡状态相关， 系统稳定性仅仅指的是在某个平衡状态处的稳定性（稳定性都是相对于某个平衡状态而言的）。 但若系统只有唯一的平衡状态，则在该平衡状态处的稳定性就可视为整个系统的稳定性；若具有多个平衡状态的系统，其稳定性必须逐个讨论。
由于稳定性是系统在自由运动下的特性，故只需要考虑自治系统：
对上述系统而言，若存在状态向量 ，使得对所有时间 ，都有
则称 为系统的 平衡状态或平衡点 。事实上，平衡状态指的就是系统的静止状态（稳态）。并不是所有的系统都一定存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯一的。
以下总是假定原点 是系统 的平衡状态，即 对所有时间 成立。为了分析系统在原点处的稳定性，需要确定系统状态 偏离原点的距离 。在一般的 维实数空间中，点 到原点的距离定义为：
其中， 称为向量的2范数。
表示以原点为中心，半径为 的球域 。当 很小时，球域 也称为原点的一个邻域。
考虑系统的状态轨迹 ， 对所有的时间 成立表明系统的这一状态轨迹在原点的一个小邻域中。对应于图1，相当于小球始终在B点附近。
在图1中，若要使小球运动轨迹不超过A点的高度，则只要初值位置的高度不超过A点高度，就可以保证在以后所有时间内，小球运动时的高度都不会超过A点的高度。对应于定义1，给定A点高度就相当于任意给定 ，存在 的和A点高度相等.
从几何上来看，定义1所定义的系统稳定性意味着：对任意选择的一个球域 ，必存在另一个球域 ，使得对所有的时间 ，始于球域 中（初始状态在球域 内，该球域表示了偏离平衡状态 的界）的状态轨迹总不脱离球域 （注意：球域 是任意的）。
在图1中，随着时间 趋向于无穷，在B点附近出发运动的小球在摩擦力作用下慢慢回到平衡状态B点，因此B点处的平衡状态是在李雅普诺夫意义下渐进稳定的。
图3和图4表明了所考虑的二阶系统在原点处的渐进稳定性。从图中可以清楚地看出，当时间 无限增加时，从球域 出发的状态轨迹不仅不会超出球域 ，而且最终收敛到原点。图3反映了状态轨迹 的 有界性和渐进性； 图4对状态轨迹 随时间变化的状况表示得更为清晰，它反映了初始状态在 内的状态轨迹随时间的推移，从球域 范围内被 压缩 到球域 范围内。
本文讨论的稳定性都是李雅普诺夫意义下的稳定性。在实际应用中，渐进稳定性比稳定性更重要，渐进稳定性表明系统能完全消除扰动的影响。同时需要注意的是， 渐进稳定性只是一个局部的概念，它依赖系统的平衡状态。 所以简单地确定了系统的渐进稳定性并不意味着系统能正常工作，通常有必要确定系统渐进稳定性的最大范围，即确定在多大范围内出发的状态轨迹将渐进趋向于所考虑的平衡状态。
由于从状态空间中任意点出发的状态轨迹都要收敛于原点，因此，大范围渐进稳定的系统在整个状态空间中只能有一个平衡状态，这也是系统大范围渐进稳定的必要条件。
图1中的平衡状态D点就复合定义4的条件，因此是不稳定的。在图5中，状态轨迹离开了球域，这说明平衡状态是不稳定的。然而，这种情况未必意味着状态轨迹一定将趋于无穷远处。比如图1中的D点虽然不稳定，但随着时间的推移最后可能趋向于另一个平衡点B。
在稳定、渐进稳定和大范围渐进稳定这些定义中的 一般总是与 和 有关。但很多时候 却与初始时间 是无关的，此时可进一步称系统为一致稳定、一致渐进稳定和一致大范围渐进稳定。
首先分析图1所示小球运动系统B点的稳定性。在一个初始外力的作用下，小球偏离原先的平衡状态到达A点（外力的作用给了小球能量），然后小球做自由运动（不受任何外力）。根据高中物理知识，小球不断做往复运动，能量（动、势能）不断转换。在这个过程中，系统没有从外部吸收能量（无外界输入），故系统总能量从不会增加（单调递减）。其次，在摩擦力的作用下，将消耗系统一定的能量，意味着系统最大的势能在减小，从而小球运动的最高点的高度不断下降。随着时间推移，系统总能量不断减少，最后系统的动能势能都将为零，小球静止在B点。这就是小球在B平衡点处的稳定性。
上面的例子说明系统的能量与系统稳定性之间的密切关系。那么这种能量与系统稳定性之间的关系能不能推广到更一般的系统呢？经过深入分析，李雅普诺夫给出了肯定的答案。然而，一般的系统未必具有那样物理意义清晰的能量函数。为此，李引入了 虚拟能量函数 的概念，并根据该虚拟能量函数沿系统状态轨迹随时间的变化情况，提出了一般系统基于能量函数的李雅普诺夫稳定性分析方法。
定理1： 考虑非线性系统：
原点是该系统的平衡状态，即 。如果 存在 一个具有连续一阶偏导数的标量函数 ，且满足一下条件： （1） 是正定的（标量函数恒大于0）； （2）沿系统任意轨迹， 关于时间 的导数 是负定的； 则系统在原点处的平衡状态是 渐进稳定的 。满足以上条件（1）和（2）的标量函数 称为是系统的一个 李雅普诺夫函数。 进而，若 时，有 （径向无穷大），则在原点处的平衡状态 是大范围渐进稳定的。
（1）定理1给出的系统稳定性条件仅仅是充分的，即如果找到一个李雅普诺夫函数 ，则系统一定是渐进稳定的。但若找不到这样的李雅普诺夫函数，并不能说明系统是不稳定的。 （2）对于非线性系统，通过构造具体的李雅普诺夫函数，可以证明系统在某个稳定域内是渐进稳定的，但这并不意味着稳定域外的运动就是不稳定的。然后，可以证明：对于线性系统，如果存在渐进稳定的平衡点，则它必定是大范围渐进稳定的。 （3）若定理1条件（2）中的 是半负定的，则系统在平衡状态是稳定的。 （4）定理1既适用于线性系统、非线性系统，也适用于定常系统、时变系统。
注意：定理1中关于 必须是负定的条件还是比较苛刻的，因为它要求对所有非零的 ， 都小于零。而事实上， 只需要在系统的状态轨迹上 是减少的，即在系统的状态轨迹上 小于零就可以了。
定理2： 考虑非线性系统：
原点是系统的平衡状态。若存在具有连续一阶偏导数的标量函数 ，满足以下条件： （1） 是正定的； （2）沿系统的任意轨迹， 关于时间的导数 是半负定的； （3）在系统的任意轨迹上， 不恒等于零； （4）当 时，有 ，则在原点处的平衡状态 是大范围渐进稳定的。
定理3 ：考虑非线性系统：
原点是系统的平衡状态。若存在具有连续一阶偏导数的标量函数 ，满足以下条件： （1） 在原点附件的某一领域内是正定的； （2） 在同样的领域内也是正定的。 则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
显然，当 正定时，表示系统的能量在不断增大（不可能保持在原点的小邻域内），故系统的状态必将发散，远离原点。所以，系统是不稳定的。
李雅普诺夫稳定性方法在控制系统分析和设计中有着广泛的应用。它不仅可以用来判别一个系统（可以是非线性、时变）的稳定性，或者确定系统中某些参数的取值范围，使得系统保持稳定，还可以用于设计使得闭环系统稳定的控制器，即稳定化控制器的设计；线性系统时间常数的估计；确定系统的最优参数等。
考虑线性系统：
其中， 是系统的 维状态向量，系统矩阵中含有可调参数 。一般的，参数 不仅可以影响系统的稳定性，而且还可以影响系统的动态特性。因此，希望选取最优参数 ，使得系统不仅是渐近稳定的，同时还使得系统的性能指标：
最小化，其中 是对称正定加权矩阵，可以根据任务设计。这样一个问题称为参数优化问题，其目的在于保证系统稳定的前提下，使得系统具有较好的过渡特性（动态过程）。性能指标 越小，系统状态衰减到零的速度就越快，调节时间越短，震荡幅度也越小，故动态性能就越好。
我们可以用李雅普诺夫稳定性分析方法有效地解决这个问题，这种方法不仅能保证所求得的参数使系统渐近稳定，而且可以避免求解系统状态的微分方程和性能指标积分。
由于选择的参数 要保证系统是渐近稳定的，则必须对 任意给定的对称正定矩阵 ，李雅普诺夫方程：
存在唯一对称正定矩阵 （该矩阵需要我们去找）。此时， 是系统的一个李雅普诺夫函数，且沿着系统任意轨迹，李雅普诺夫函数的导数 ：
两边分别对时间 积分，并利用系统的渐近稳定性：
因此，
由于矩阵 为任意对称正定阵，我们选 ，则可得：
其中矩阵 满足李雅普诺夫方程：
因此，我们得到了系统的性能指标可以通过求解以上一个 静态的李雅普诺夫矩阵方程 来计算，显然这比求解一个微分方程和积分要简单得多。从李雅普诺夫方程可以看出，李雅普诺夫矩阵 依赖参数 。因此，
从而，原来的参数优化问题，转为求解参数 使得 最小。由于 是凸的，我们可以通过求一个无约束的极值问题，得到参数 的解析解，一般情况下参数 的取值与初始状态 有关。
特别地，从LQR的视角我们还可以知道，求得的最优李雅普诺夫矩阵 就是在给定加权矩阵 和初始状态 下系统的 最优值函数 。
有钱，稳定性理论创始人。1901年当选为俄罗斯科学院院士。生于雅罗斯拉夫。1880年毕业于彼得堡大学物理数学系并留校任教。在切比雪夫院士的影响下，从事力学系统稳定性的研究。在流体稳定性、位势理论、概率论、微分方程与稳定性等方面发表一系列论文。1892年在莫斯科大学通过博士论文《论运动稳定性一般问题》，采用数学分析中有关极限的ε–δ语言严格定义稳定、渐近稳定、不稳定等概念，奠定了稳定性理论的基础。20世纪中叶以来，李雅普诺夫稳定性理论得到很大发展，在线性系统、非线性系统、分布参数系统、随机系统、最优控制领域成为研究系统稳定性的最重要的理论方法。因妻子死于肺结核病而自杀
李雅普诺夫特征指数指的是对初值敏感(即对混沌现象)的判断需要一个定量的指标, 这个指标就是李雅普诺夫指数,它表示相邻轨线间的平均发散(分离)率, 是一个统计平均量.
简要给你介绍一下李雅普诺夫
李雅普诺夫是俄国、力学家.1857年6月6日生于雅罗斯拉夫尔；1918年11月3日卒于敖德萨.
李雅普诺夫1876年中学毕业时，因成绩优秀获金质奖章，同年考入圣彼得堡大学系学习，当他听了著名数学家的讲座之后即被其渊博的学识深深吸引，从而转到切比雪夫所在的数学系学习，在切比雪夫、佐洛塔廖夫的影响下，他在大学四年级时就写出具有创见的论文，而获得金质奖章.1880年大学毕业后留校工作，1892年获博士学位并成为教授.1893年起任哈尔科夫大学教授，1900年初当选为圣彼得堡科学院通讯院士，1901年又当选为院士，并兼任应用数学学部主席.1909年当选为国立琴科学院外籍院士，1916年当选为巴黎科学院外籍院士.
李雅普诺夫是切比雪夫创立的彼得堡学派的杰出代表，他的建树涉及到多个领域，尤以、和最有名.
在概率论中，他创立了特征函数法，实现了概率论极限定理在研究方法上的突破，这个方法的特点在于能保留随机变量分布规律的全部信息，提供了特征函数的收敛性质与分布函数的收敛性质之间的一一对应关系，给出了比切比雪夫、马尔可夫关于中心极限定理更简单而严密的证明，他还利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布.他对概率论的建树主要发表在其1900年的《概率论的一个定理》和1901年的《概率论极限定理的新形式》论文中.他的方法已在现代概率论中得到广泛的应用.
李雅普诺夫是常微分方程运动稳定性理论的创始人，他1884年完成了《论一个旋转液体平衡之椭球面形状的稳定性》一文，1888年，他发表了《关于具有有限个自由度的力学系统的稳定性》.特别是他1892年的博士论文《运动稳定性的一般问题》是经典名著，在其中开创性地提出求解非线性常微分方程的李雅普诺夫法，亦称直接法，它把解的稳定性与否同具有特殊性质的函数（现称为李雅普诺夫函数）的存在性联系起来，这个函数沿着轨线关于时间的导数具有某些确定的性质.正是由于这个方法的明显的几何直观和简明的分析技巧，所以易于为实际和理论工作者所掌握，从而在技术的许多领域中得到广泛地应用和发展，并奠定了稳定性理论的基础，也是常微分方程定性理论的重要手段.
李雅普诺夫对位势理论的研究为数学物理方法的发展开辟了新的途径.他1898年发表的论文《关于狄利克雷问题的某些研究》也是一篇重要论文.该文首次对单层位势、双层位势的若干基本性质进行了严谨的探讨，指出了给定范围内的本问题有解的若干充要条件.他的研究成果奠定了解边值问题经典方法的基础.
在数学中以他的姓氏命名的有：李雅普诺夫第一方法，李雅普诺夫第二方法，李雅普诺夫定理，李雅普诺夫函数，李雅普诺夫变换，李雅普诺夫曲线，李雅普诺夫曲面，李雅普诺夫球面，李雅普诺夫数，李雅普诺夫随机函数，李雅普诺夫随机算子，李雅普诺夫特征指数，李雅普诺夫维数，李雅普诺夫系统，李雅普诺夫分式，李雅普诺夫稳定性等等，而其中以他的姓氏命名的定理、条件有多种.
李雅普诺夫稳定性
当启始点在区域V内，而轨迹均维持在区域U内（在附近），则系统在处为李雅普诺夫稳定
在数学和自动控制领域中，李雅普诺夫稳定性（英语：Lyapunov stability，或李亚普诺夫稳定性）可用来描述一个动力系统的稳定性。如果此动力系统任何初始条件在附近的轨迹均能维持在附近，那么该系统可以称为在处李雅普诺夫稳定。
若任何初始条件在附近的轨迹最后都趋近，那么该系统可以称为在处渐近稳定。指数稳定可用来保证系统最小的衰减速率，也可以估计轨迹收敛的快慢。
李雅普诺夫稳定性可用在线性及非线性的系统中。不过线性系统的稳定性可由其他方式求得，因此李雅普诺夫稳定性多半用来分析非线性系统的稳定性。李亚普诺夫稳定性的概念可以延伸到无限维的流形，即为结构稳定性，是考虑微分方程中一群不同但“接近”的解的行为。输入-状态稳定性（ISS）则是将李雅普诺夫稳定性应用在有输入的系统。
历史
这一稳定性以俄国数学家亚历山大·李亚普诺夫命名，他在1892年发表了他的博士论文《运动稳定性的一般问题》，文中给出了稳定性的科学概念、研究方法和相关理论。李雅普诺夫第一个考虑到在非线性系统到基于一个稳定点线性化的线性稳定理论的修正是必要的。他的作品，最初以俄文发行，后翻译为法文，但多年来来默默无闻。人们对它的兴趣突然在冷战初期（1953至1962年）开始，因当所谓的“李雅普诺夫第二方法”被认为适用于航空航天制导系统的稳定性，而这系统通常包含很强的非线性，其他方法并不适用。大量的相关出版物自那时起开始出现，并进入控制系统文献中。最近李雅普诺夫指数的概念（与李雅普诺夫稳定性第一种方法）引起了广泛兴趣，并与混沌理论结合了起来。
连续时间系统下的定义
考虑一个自治（autonomous）的非线式动态系统
,
其中是系统的状态向量，是原点的开邻域，且在范围内连续。我们可以不失一般性的假设原点即为一平衡点。
1.上述系统的原点为李雅普诺夫稳定的条件是：对于每个，均存在，使得在的条件下，只要，则。
2.上述系统的原点为渐近稳定的条件是：原点为李雅普诺夫稳定，均存在，使得在的条件下，。
3.上述系统的原点为指数稳定的条件是：原点为渐近稳定，且存在使得在的条件下，只要，则。
以下是上述数学定义的说明：
1.一个平衡点为李雅普诺夫稳定，表示若一个解的初值“够接近”平衡点（距平衡点的距离为），则其解会永远维持在平衡点附近（距平衡点的距离不超过），且此条件需针对所有任意的都要成立。
2.渐近稳定的意思是，初值够接近平衡点的解，不只是维持在平衡点附近，最后会收敛到平衡点。
3.指数稳定的意思是，解不但最后会收敛到平衡点，且收敛速度不慢于一已知的速率。
轨迹x为（区域的）吸引性（attractive），若针对所有够接近的轨迹y，下式均成立
for
若上述条件对所有轨迹均成立，则x有全域吸引性（globally attractive）。
因此，若x在稳定流形内，则x为渐近稳定的条件是有吸引性且稳定。（不过有吸引性不表示渐近稳定，利用同宿轨道（homoclinic orbit）就可以产生类似的反例。)
迭代系统下的定义
离散时间系统下稳定性的定义和连续时间系统下的定义几乎相同。以下为其定义，不过使用的是较多数学书籍上使用的定义。
令为度量空间而为一连续函数。点为李雅普诺夫稳定若针对每个皆存在使得针对所有的在以下条件成立时
下式就会成立
其中
称为渐近稳定若在稳定流形的内部。也就是存在使得而且下式成立。
李雅普诺夫稳定性理论
对于微分方程解之稳定性的研究称为稳定性理论。而李雅普诺夫稳定性定理只提供了稳定性的充份条件。
李雅普诺夫稳定性第二定理
考虑一个函数V(x) : Rn→R使得
·只有在处等号成立（正定函数）
·（负定）
则V(x)称为李雅普诺夫候选函数（Lyapunov function candidate），且系统（依李雅普诺夫的观点）为渐近稳定。
上式中是必要的条件。否则，可以用来“证明”有区域性稳定。另一个称为径向无界性（radial unboundedness）的条件则是用来得到全域渐近稳定的结果。
此种分析方式可类比为考虑一物理系统（如弹簧及质量的系统）及其中的能量。若系统能量随时间递减，且减少的能量不会恢复，而此系统最后一定会静止于某个特定的状态。最后的状态称为吸引子。不过针对一个物理系统，找到表达其精确能量的函数不一定容易，而且针对抽象数学系统、经济系统或生物系统，上述能量的概念又不一定适用。
利用李雅普诺夫的分析方式，可在不知道系统实际能量的情形下，证明系统的稳定性。不过前提是可以找到满足上述限制的李雅普诺夫函数。
例如考虑以下的系统
希望用李雅普诺夫函数来确认附近的稳定性。令
本身为正定函数．而V(x)的导函数如下
为负定函数，因此上述系统在附近为渐近稳定。
线性系统状态空间模型的稳定性
一个线性的状态空间模型
为渐近稳定（其实是指数稳定），若
的解存在。
其中且（正定矩阵）。（对应的李雅普诺夫函数为）
有输入值系统的稳定性
一个有输入（或受控制）的系统可以下式表示
其中输入u(t)可视为控制、外部输入、扰动、刺激或外力。这种系统的研究是控制理论研究的主题之一，也应用在控制工程中。
对于有输入的系统，需量化输入对系统稳定性的影响。在线性系统中会用BIBO稳定性来作分析的工具，在非线性系统中则会使用输入-状态稳定性。
李雅普诺夫是俄国著名的数学家、力学家。1857年6月6日生于雅罗斯拉夫尔，1918年11月3日卒于敖德萨。19世纪以前，俄国的数学是相当落后的，直到切比雪夫创立了圣彼得堡数学学派以后，才使得俄罗斯数学摆脱了落后境地而开始走向世界前列。李雅普诺夫与师兄马尔科夫是切比雪夫的两个最著名最有才华的学生，他们都是彼得堡数学学派的重要成员。1876年，里雅普诺夫考入圣彼得堡大学数学系，1880年在圣彼得堡大学毕业后，留校教力学，1885年在该校获硕士学位。1892年，他的博士论文《论运动稳定性的一般问题》在莫斯科大学通过。1892年起任哈尔科夫大学教授。1901年初被选为彼得堡科学院通讯院士，同年底成为院士。1902年起在彼得堡科学院工作。里雅普诺夫在常微分方程定性理论和天体力学方面的工作使他赢得了国际声誉。在概率论方面，李雅普诺夫引入了特征函数这一有力工具，从一个全新的角度去考察中心极限定理，在相当宽的条件下证明了中心极限定理，特征函数的引入实现了数学方法上的革命。
