Analysis of numerical wave tank by arbitrary lagrangian - eulerian finite element method 有限元法建立二维数值波浪水池
A huge wave tank generates waves which move slowly towards a shallow 这里有一个巨大的海涛箱，向你示范波浪缓慢冲向浅水
In the physical experiments , o incident wave heights , fifteen wave periods and four different boundaries on the end of the wave tank are selected for both plain and sinusoidal sandbar topography 物理模型试验中，选取了2个入射波高、 15个波浪周期和四种水槽末端边界条件，分别设置了平底和正弦沙坝地形。
According to the o aspects of ocean wave studies that i have made as a p . h . d candidate , the dissertation is divided into o parts : part i is the development and apppcations of a 2 - d numerical wave tank ( nwt ) and part ii the study of wave - current interaction 根据本人在攻读博士学位期间所作的两项海浪研究工作，将学位论文分为二维数值波浪水槽模式的建立和应用，以及浪流相互作用研究两部分。
In this paper , the physical experiment and numerical simulation based on the volume of fluid ( vof ) method to solve turbulent governing equations in the numerical wave tank are conducted to investigate the interaction beeen surface waves and sandbars on the seabed 本论文通过物理模型试验和基于vof方法求解湍流控制方程所建立的数值波浪水槽模型，对波浪与海底沙坝地形之间的相互作用进行了研究。
In the numerical simulation , the open boundary and 1 : 1 slope on the end of the wave tank are considered with the other conditions same as the physical experiment ; the interaction beeen surface waves and the triangle / trapezium sandbars on the seabed is also studied 数值模拟中，除了对水槽末端为开边界及1 ： 1斜坡、其余条件与物理模型试验相同的情形进行了研究之外，也对波浪与三角形和梯形沙坝地形的相互作用进行了研究。
翟继锋1，2韦成龙1，2曾宪军1，2
（1.广州海洋地质调查局 广州 510760；2.国土资源部海底矿产资源重点实验室 广州 510760）
第一作者简介：翟继锋（1982—），男，本科学历，助理工程师，主要从事海洋地震勘探工作。
摘要 地震观测系统是用来表示激发点、接收点和地下反射点三者之间的位置关系。观测系统决定地震采集资料的质量，其质量直接影响后续的处理解释结果和精度，关系到地震勘探的成败，可见观测系统的重要性。本文基于地震观测系统设计的基本理论，从基本原则、参数选择出发，讨论了如何合理设计海上二维地震观测系统。
关键词 观测系统 原则 参数
1 引言
地震资料采集的中心问题是通过各种手段和方法来增强有效波，压制干扰波，提高信噪比，获得高质量的地震记录。观测系统的设计取决于地震勘探任务、工区地震地质条件和勘探方法，总的原则是尽可能使记录到的地下界面得到连续追踪，避免发生有效波彼此干涉的现象，野外施工简单等。地震勘探野外施工中主要使用纵测线观测系统，即激发点和接收点布置在同一条测线上，该系统能得到测线正下方界面的反射信息，所获得的资料易于解释，野外施工方案简单直观，在实际工作中被广泛应用。
2 观测系统的各种参数
图1是“探宝号”船240道seal电缆常用的观测系统。对海上地震调查来说，所使用的震源、接收电缆、记录仪器的部分有着固定的参数，我们主要分析以下十个可以变化的参数。
2.1 最大炮检距
最大炮检距是炮点的中心到最远一道的中心的距离，图2中用X表示，设计时要以下几个因素为依据：
1）时距曲线，力求其近似为双曲线。比较合适的炮检距，可以使正常时差足够大，足以区分一次反射波、多次波以及其他相干噪音；比较大的炮检距，就会使远道的时距曲线近似为高次曲线，从而使记录得到的同相轴不满足双曲线的假设。水平层状介质的地震地质模型地震反射波的时距曲线为：
图1 探宝号船240道常用观测系统
Fig.1 The common observation system of 240 seismic channels of“TanBao”
图2 距离参数示意图
Fig.2 The sketch map of distance parameter
南海地质研究（2014）
如果在炮点的附近接收地震波，就可以把水平层状介质的波速简化为均方根速度，则反射波的时距曲线方程可简化为：
南海地质研究（2014）
由这两个方程可知，当最大炮检距的取值为勘探目标深度的0.7～1.0倍时，反射波的时距曲线近似为双曲线。
2）速度分析，力求能获得较高的精度。在水平层状介质中，一般认为射线速度是一种准确的速度，它随着炮检距的增大而增大，当炮检距一定时，射线速度等于均方根速度，也就是说这时的均方根速度可以认为是准确的，此时的炮检距就是所要选用的最大炮检距。由射线速度公式和炮检距公式式，可算出最大炮检距约为勘探目标的埋深。
南海地质研究（2014）
3）动校正拉伸畸变，力求使其小。动校正拉伸的程度，随反射界面深度和炮检距之比的减小而增大，即炮检距小，拉伸程度就小，炮检距大，拉伸程度就大。
百分比动校正拉伸量=（动校正量/双程反射时间）×100%
若在计算动校正量采用近似公式 ，则当最大炮检距为目的层埋深的0.7倍时，动校正拉伸为6.12%；当最大炮检距为目的层埋深的1.0倍时，动校正拉伸为12.5%。动校正拉伸使信号频率降低，从而影响分辨率。
4）反射系数，力求其变化尽可能小。反射系数随着炮检距的变化而变化，如果炮检距在小于某个数值时，反射系数几乎不随炮检距变化，则炮检距应当选取这个数值。反射系数可以通过佐普里兹方程来求取。
5）高频衰减，力求远道的高频衰减尽可能小。地震波的吸收和衰减随着传播距离的增大而增大，从而使高频信息能量变弱，降低分辨率。
通过以上的论述，合适的最大炮检距应选取勘探目标深度的0.7～1.0倍。最大炮检距过大，会使远道的反射时距曲线近似为高次曲线，不符合地震勘探中把时距曲线视为双曲线的假设；炮检距过大会使远道的反射系数有较大变化；炮检距过大会产生转换横波；炮检距过大会使动校正拉伸较严重，使远道地震信号中的高频信息衰减较厉害。最大炮检距偏小，则会使整个排列偏短，不利于接收中深层的地震反射信息，并且会由此造成时距曲线太短，反映不出双曲线的形态，得不到准确速度，而在资料处理叠加的过程中，最关键的是速度参数。因此在选择最大炮检距时，重点应考虑目标层的速度分析精度。
2.2 最小炮检距
最小炮检距是炮点的中心到电缆第一道（近道）的中心的距离，图2中用Y表示，应该小于最浅目标层的深度。最小炮检距大一些，确实可以有效地避免震源和作业船产生的部分噪音信号干扰，但却会损失有用的浅层有效信号。
最小炮检距的选取应从以下几方面考虑：
1）考虑炮检距与叠加特性的关系，选择较小的最小炮检距。
2）根据作业船噪音情况及地震地质条件，选择能够较好地避免震源和作业船产生的部分噪音信号干扰的最小炮检距。较大的偏移距有利于避开面波、船噪音等干扰。
3）为满足大炮检距的初至折射静校正或层析成像反演静校正处理的需要，宜采用较小的最小炮检距。
4）为提高分辨率，宜采用较小的最小炮检距。
随着偏移道数的增加，迭加特性曲线通放带宽度变窄，压制带范围向左移，同时压制范围内，特性曲线的三次极大值幅度变小。说明偏移道数的增加，能更好压制与反射波速度相近的多次波，即可以提高分辨率。但是，偏移道数增大，导致压制带宽度变窄，特性曲线二次极大值的幅度增大。因而，与反射波速度相差较大的多次反射波，就有可能进入二次极值带，得不到好的压制效果，所以不能认为偏移道数越大越好。
从以往的施工结果看，250m的最小炮检距可以有效地避免震源和作业船产生的噪音信号干扰，但是在研究区部分测线水深小于100m，最小炮检距过大的话就会损失有用的浅层有效信号，而且会使海底难以追踪。因为这时直达波和海底一次反射波几乎同时到达，给去除直达波，追踪海底造成困难，在以往的地震资料中也出现过海底辨认不准确的情况。这主要和水深太浅，最小炮检距偏大有关。因此在以后的野外作业中，对最小炮检距也应做试验。综合考虑准确追踪海底和减小近道噪音，通过现场处理结果，确定出一个合适的最小炮检距。
2.3 炮间距
炮间距（图2中的Z表示）是炮点移动的距离： ；d为炮点移动的距离，M为排列长度，n为覆盖次数，Δx为道间距。令 ；υ是炮点移动的道数。则： ；单边放炮S为1，双边放炮S为2。
因炮点移动的道数与覆盖次数成反比关系，在排列长度及道间距一定时，炮点移动的距离越短，覆盖次数越高。缩短炮点移动的距离，增加覆盖次数，以提高对多次波的压制效果，增强有效反射波的能量，提高资料信噪比。
2.4 检波器组合参数
检波器的排列组合要兼顾压制干扰波和突出有效波这两方面，利用干扰波的视速度、主周期、道间时差、随机干扰的半径以及有几组干扰波，出现的地段，强度的变化特点与激发条件的关系等资料，设计出合理的排列组合参数。检波器组合参数的因素包括：组内距、组合基距、组合内的检波器个数以及组合的形式等。视速度和炮检距为反比关系，也即组合内的各检波器的时差随着炮检距的增大而增大。一般认为排列中最近道处的视速度最大，最远道处的视速度最小，因此组合中首尾检波器点的时差最大，其低频响应更加严重，组合排列越长，基距越大，这种现象就越明显。在中深层地震勘探中，利用检波器组合法提高信噪比的同时，要避免低频响应。
“探宝号”船目前所用的seal 24位电缆采用12个检波器线性组合作为一道。由于新技术的应用，使得检波器在线性度、灵敏度高，分辨力、迟滞、重复性、漂移、稳定性等性能也极大地提高。
2.5 道间距
道间距是指相邻两个接收点之间的距离。道间距的选择，应保证道与道之间的反射波都能对比。反射波到达相邻两个接收点的时差Δt，应满足下列关系：Δt≤T*/2，式中，T*为反射波的视周期。因反射波的视速度V*是道间距Δχ和时间差Δt之比值，即：V*= 。则 ，为了能够同时并且可靠地追踪来自深层和浅层的反射波，道间距的最大适合值Δχ应当以浅层反射波的视波长λ*来计算。
道间距的大小会直接影响地震资料的解释工作，影响横向分辨率：道间距偏大，将导致同一层的有效波追踪和辨认的可靠性将受到影响，会产生比较严重的空间假频，而且是道间距越大，低频响应也越严重；道间距偏小，将会使野外数据量、工作量及成本大大增加。选取道间距应当以在地震记录上能够可靠辨认同一有效波的相同相位为准则，这主要取决于：相邻的道记录形态的重复性；地震有效波、干扰波和随机振动背景的振动关系；地震波到达相邻道所用时的时差；地震波的视周期以及横向分辨率等。
由对工区采集资料进行的频谱、速度分析可知，有效反射波视频率主要分布范围（以-6dB计算）是6～60Hz；浅层层速度值约为1800～2400m/s。道间距Δχ1800/（2×60）约为15m。表明采用12.5m道间距已完全满足采集精度要求。
我局拥有海上地震调查设备Seal、MSX、Hydroscience三种24位地震采集记录系统，电缆的道间距均为12.5m。从以往进行地震资料采集结果看，使用12.5m的道间距能够在地震记录上清晰地辨认出同一有效波的相同相位。
2.6 覆盖次数
覆盖次数即地层界面某一点的追踪次数，n=S*N/2*r，其中，S代表一个系数，一般取1；N代表记录道数；r代表炮点移动的道数。若增加覆盖次数，迭加特性曲线通放带的宽度和压制带的左边界都不会有多大变化。说明增加覆盖次数，既不会改善因为动校正速度不准确而引起反射波迭加特性变坏的情况，也不会提高压制与反射波速度相近的多次波的能力。但若增加覆盖次数，则压制带的宽度将会加大，压制带范围内的三次极大值将会变小。叠加次数也即覆盖次数，越大则压制带平均值越小，压制效果就越好，所以增大覆盖次数对于提高信噪比是有利的。就是说，覆盖次数的增加，既有利于对多次波的压制，也有利于对与反射波速度相差较大的多次波的压制。总而言之，增大覆盖次数，可以提高压制的效果，提高信噪比，覆盖次数越大，信噪比的改善程度就越大。假设叠加后的信噪比为1，则各目标层所需要的覆盖次数可由下式计算：
南海地质研究（2014）
式中， 为震源信噪比；TRA（i）表示透反射、球面扩散以及地层吸收导致的地震波能量的损失。
选取较大的覆盖次数，能够充分压制高频环境下的干扰噪音，增大目标层的有效反射能量，就能提高资料的信噪比，确保目标层的成像效果。因此，采集中都需选取较大的覆盖次数。
2.7 震源能量
在相同条件下，震源能量越强，得到的信号其信噪比也相应提高。但大震源大能量作业，在接收到更强的有效反射信号的同时，也会接收到更大的多次波等干扰信号，因而资料的信噪比不一定会提高。中深层地震勘探所关心的是信噪比，而不仅仅是反射信号的强弱。
通过对地震地质模型进行计算机模拟来测算最佳的震源能量，再经过野外震源试验来对比验证，确定合适的震源能量，是目前常规二维地震震源能量较好的确定手段。
2.8 震源电缆组合沉放深度
在海洋地震勘探作业中，我们使用电缆中排列组合的水听器记录压力P，若电缆沉放深度记作，且地震反射信号中的某一谐波波长为λ，其入射角为θ，则其简要关系式为：
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对海洋地震气枪震源来说，激发后所产生的地震波信号，以及由海面反射回来的地震波信号一起向地下传播。由于气枪震源的沉放深度相对于水深和地层厚度而言比较小，可以看做是叠加在一起的两个信号向地下传播。而这两个信号的叠加效果是受气枪震源沉放深度控制的，和地震电缆的情况相同，叠加信号的振幅大小变化也是受气枪震源沉放深度控制。
理论上的分析结果是：震源与电缆沉放的深度相同，并且深度值为按上式算出的使得压力P取最大值的Z的值，其中的λ可以认为是对应于目标层的主频波长。
实际上震源、电缆组合的沉放深度，震源激发信号在海水、地层中传播时的扩散、衰减，各界面的反射、折射和散射，海水、地层吸收所产生的各种组合滤波效应，再加上各种各样的噪音干扰，使得电缆中水听器接收到的信号已经发生了变化，电缆接收到的信号波形态与频谱早已不同于原震源波形态与频谱。
以理论值为依据，通过计算机模拟以及在工区中做震源、电缆组合沉放深度试验，就可以找到一个最佳的震源、电缆组合沉放深度。
2.9 采样率
合适的采样间隔Δt，可避免间隔过大使离散信号失真及谱畸变出现假频现象的缺点，又可避免采样过密使处理工作量加大的缺点。根据采样定理：
南海地质研究（2014）
Δt为采样间隔，fmax为要保护的目的层的最高频率。一个信号周期中至少需要三个样点〔也就是需要两个采样间隔（2Δt）〕的最小量来定义一个周期的信号。
对研究区所采集资料进行频谱分析可知，有效反射波频率分布范围（以-6dB计）为6～60Hz。计算结果表明选用2ms采样完全满足采集精度的要求。并且采样率为2ms，地震仪采集到的信号理论极限频率是206Hz左右。中深部地层信息主要反映在较低频率上，该采样率已经完全满足要求。
2.10 低截滤波
近几年的常规地震勘探中，对低截滤波的确定都倾向于低截频率尽可能地低一些，尽可能多地保留原始采集信号。在海上地震勘探中，涌浪等会产生几到十几赫兹的噪音，水鸟挂上异物会在附近道产生有规律的抖动等，低频干扰影响到资料信噪比。当低频干扰偏大时，在处理时滤波虽然可以将之除掉，但低频有效信号也同时损失，因此在干扰比较大的情况下，降低低截滤波的门槛值是没有益处的。利用现场处理的噪音分析，可以获得低频干扰的频率范围和幅值大小。良好的海况一般采用的低截滤波值为3Hz。当然，震源、电缆深度都加深后，涌浪等环境噪音大大降低，可以不加低截滤波。
3 结论
本文主要讨论了海上二维地震勘探观测系统各个参数的设计原则，详细介绍每个参数的作用及影响。观测系统有效合理的设计是在部分论证参数的约束下选择观测系统的几何形态、最大炮检距、最小炮检距、炮间距和道间距，这些参数的确定又以观测系统的属性分析为指导。在已建立的地球物理模型情况下，设计合理的观测系统，才能在合理的投入下，获得最适合处理与解释的资料。
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Principle of Design Observation System of Marine 2 D Seismic
Zhai Jifeng1，2，Wei Chenglong1，2，Zeng Xianjun1，2
（1.Guangzhou Marine Geological Survey，Guangzhou，510760；
2.Key Laboratory of Marine Mineral Reasources，MLR，Guangzhou，510760）
Abstract：The seismic observation system is used to express the relationship among the shot point，the receiving point，and the reflection point.The quality of acquisition data is decided by the observation system，and which directly affect the quality and accuracy of subsequent processing and interpretation.SO the good or not of observation system is related to the success or failure of the seismic exploration，it is very important.This article based on the basic theories of observation system，we discuss how to design observation system of 2D marine seismic with the basic principles and parameters.
Key word：Observation system；Principle；Parameter
2001级杨渝玲：《经济学、科学与情境: 当代西方经济学方法论论争的哲学审视》（研究方向：科学逻辑与科学方法论）李树军：《复杂性、范式与科技创新系统：科技发展观新探》（研究方向：科学逻辑与科学方法论）2002级顿新国：《归纳悖论研究》（研究方向：现代逻辑与逻辑哲学）李秀敏：《亚相容逻辑的历史考察和哲学审思》（研究方向：逻辑与辩证法）贾丹：《当代西方正义、平等观念的历史考察与方法论反思》（研究方向：社会科学方法论）2003级王习胜：《逻辑悖论与科学理论创新》（研究方向：科学逻辑与科学方法论）夏素敏：《道义悖论研究》（研究方向：现代逻辑与逻辑哲学）2004级贾国恒：《情境语义学及其解悖方案研究》（研究方向：现代逻辑与逻辑哲学）曾庆福：《必然、可能与矛盾：乔恩·爱尔斯特<逻辑与社会>解析》（研究方向：逻辑应用研究）2005级陈晓华：《逻辑全能问题研究》（研究方向：现代逻辑与逻辑哲学）张高荣：《普特南意义与真理理论研究》（研究方向：逻辑哲学）2006级付敏：《“真矛盾论”与悖论：普利斯特亚相容解悖方案研究》（研究方向：现代逻辑与逻辑哲学）李莉：《合理行动悖论研究》（研究方向：现代逻辑与逻辑哲学）2007级雒自新：《认知悖论研究》（研究方向：现代逻辑与逻辑哲学）夏卫国：《非单调司法论证模式研究》（研究方向：法律逻辑）2008级刘张华：《大卫·刘易斯模态哲学思想研究》（研究方向：逻辑哲学）付玉成：《约翰·塞尔意义理论研究》（研究方向：逻辑哲学）2009级冯立荣：《亚里士多德偶然模态理论研究》（研究方向：西方逻辑史）2010级朱敏：《集合论公理的选择与证立研究》（研究方向：现代逻辑与逻辑哲学）陈吉胜：《“金三角”的断裂与重建——查莫斯型二维语义学的批判性考察》（研究方向：逻辑哲学）2011级谢佛荣：《戴维森和达米特关于意义和真理理论之争研究》（研究方向：逻辑哲学）王洪光：《真与悖论：从减缩论与双真论的观点看》（研究方向：现代逻辑与逻辑哲学）2012级张亮：《不动点方法与动态真理论研究》（研究方向：逻辑哲学）
学术论文使学生发现自己的长处和短处，以便在今后的工作中有针对性地克服缺点，下面我给大家分享一些好的学术论文的特点，大家快来跟我一起欣赏吧。
好的学术论文具有的特点
以医学学术论文为例，好的医学论文具有以下特点： 一篇好的医学SCI论文诞生，既要有好的选题，好的设计，又要有具体的实施和认真的总结，作者必须把握好每一个环节，做到严肃、严谨、严密。有的人临时想写一篇论文，平时没有选题、没有设计、没有素材、更谈不上积累，怎么能临时写出论文呢?所以，医学SCI论文写作一定要注意积累!
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每一项实验或者临床观察，均应有严密的计划和步骤。在应用严密的操作和相关的程序当中，更不允许随意更改自己的科研设计和论证。专家经常看到许多作者写文章时，经常使用，可能，大概，估计，或者数据没有经过统计便说有明显的疗效等，这些用词都是不严谨的。
关于医学的学术论文
算法在医学图像三维重建中的应用
摘要：
医学图像三维重建技术最早可以追溯到20 世纪70 年代初。由于集成三维重建平台的医学影像设备价格昂贵等客观原因，国内医学图像三维可视化诊断起步较晚，到90年代某些高校才开始进行各层面上的研究[1]。随着计算机技术的发展，短短几年，三维重建技术已成为人们探索生命奥秘，以及疾病诊断、手术规划的重要手段。
1 常见的医学三维重建素材
电子计算机断层扫描Computed tomography，简称CT，是电子计算机和X线相结合的一项新颖的诊断新技术。其主要特点是具有高密度分辨率，比普通X线照片高10～20倍[2]。CT能准确测出某一平面各种不同组织之间放射衰减特性的微小差异，并以数字图像方式显示，能极其精细地区分出各种软组织的不同密度，从而形成对比。例如，头颅X线平片不能区分脑组织及脑脊液，但CT不仅能显示出脑室系统、还能分辨出脑实质的灰质与白质。CT如再引入造影剂以增强对比度，其分辨率更为提高，可加宽疾病的诊断范畴，提高诊断正确率。
磁共振成像Magnetic Resonance Imaging ，简称MRI。磁共振成像是断层成像的一种，它利用磁共振现象从人体中获得电磁信号，并重建出人体信息。1946年斯坦福大学的Flelix Bloch和哈佛大学的Edward Purcell各自独立发现了核磁共振现象。1972年Paul Lauterbur 发展了一套对核磁共振信号进行空间编码的方法，这种方法可以重建出人体图像。磁共振成像技术与其他断层成像技术有一些共同点，比如它们都可以显示某种物理量(如密度)在空间中的分布。同时磁共振成像也有自身的特色，可以得到任何方向的断层图像、三维体图像、甚至可以得到空间——波谱分布的四维图像。
目前，医学图像三维重建方法主要有面绘制、体绘制以及由物体表面的二维灰度图像重构其三维几何形状法或称明暗恢复形状法等几种。
2 Marching Cubes算法基本原理
移动立方体Marching Cubes[3]算法是Lorensen等人在1987年提出的等值面构造方法，一直沿用至今，是体素单元内等值面抽取技术的代表[4]。所谓等值面，是指在一个网格空间中由采样值等于某一给定值的所有点组成的集合。该算法的本质是将一系列两维的切片数据看做是一个三维的数据场，从中将具
有某种域值的物质抽取出来，以某种拓扑形式连接成三角面片。
等值面是空间中所有具有某个相同值的体素点的集合，体素点的值采用V0~V7八个点在体素区域内三线性插值的结果。可以表示为：c是常数。F(f)为体数据f中的等值面。计算公式可表达为：
⑴
其中α0,α1,……,α7是由V0~V7八个定点的值决定的常数。
在MC算法中，假定原始数据是离散的三维空间规则数据场如图1所示。用于医疗诊断的断层扫描(CT)及核磁共振成像(MRI) 等产生的图像均属于这一类型。
MC算法的基本思想是逐个处理数据场中的体素，如图2所示，分类出与等值面相交的体素，采用插值计算出等值面与体素棱边的交点(V0~V7) 。根据体素中每一顶点与等值面的相对位置，将等值面与立方体边的交点按一定方式连接生成等值面，作为等值面在该立方体内的一个逼近表示。在计算出关于体数据场内等值面的有关参数后，利用常用的图形软件包或硬件提供的面绘制功能绘制出等值面[5]。
等值面的绘制一般采用二值化的方法，即通过与给定阀值的比较来确定该点的值(0或1)，顶点密度值<域值为Outside的为1，顶点密度值≥域值Inside的为0。V0~V7每个顶点有Outside和Inside 2个状态，因此8个顶点共有256种组合状态，根据互补对称性以及旋转对称性，共有15种三角构型。在重建时根据索引进行查找时，每个索引分为索引，旋转，三角模型三部分。Marching Cubes算法主要流程如下：
⑴将三维离散规则数据场分层读入内存。
⑵扫描两层数据，逐个构造体素，每个体素中的8个角点取自相邻的两层;8个定点可定义为(i，j，k)，(i+1，j，k)，(i+1，j+1，k)，(i+1，j，k+1 )，(i+1，j+1，k+1)，(i，j+1，k+ 1)，(i，j+1，k)，(i，j，k+1)(如图3所示)。
⑶将体素每个角点的函数值与给定的等值面值c比较，根据比较结果，构造该体素的状态表。
⑷根据状态表，得出将与等值面有交点的边界体素。
⑸通过线性插值方法计算出体素棱边与等值面的交点。
⑹利用中心差分方法，求出体素各角点处的法向量，再通过线性插值方法，求出三角面片各顶点处的法向。
⑺根据各三角面片上各顶点的坐标及法向量绘制等值面图像。
3 空间等值点的判断及等值面与体素边界的交点计算
任取一离散网格棱边，设棱边上两结点分别为：Mi(xi, yi, zi, qi)和Mj (xj, yj, zj, qj);取量值的等值为C，当满足(q-c)(q-c)≤0(等值点判定条件式)则Mi和Mj两点间取等值点Mo。另设等值点Mo的坐标为(xo，yo，zo)，由Mi和Mj两点根据线性插值可得公式⑵：
⑵
式中k=(qi-c)(qj-c)≤0。根据等值面判定条件式⑴，和等值点坐标公式⑵可以按结构离散信息对网格棱边进行搜索判断，从而求出指定域中结构体所有等值点。求出等值点以后，就可以将这些等值点连接成三角形或多边形形成等值面的一部份。
4 等值面的法向量的计算
为了利用图形硬件显示等值面图像，必须给出三角面片等值面的法向，选择适当的光照模型进行渲染，生成真实感图形。对于等值面上的每一点，其沿面的切线方向的梯度分量应该是零，因此沿该点的梯度矢量方向也就代表了等值面在该点的法向。等值面往往是具有不同密度物质的分界面，因而其梯度矢量值不为零，即公式⑶：
⑶
直接计算三角面片的法向是费时的，为了消除各三角面片之间的明暗度的不连续变化，只要给出三角面片各顶点处的法向，并采用Gouraud模型绘制各三角面片。这里我们采用中心插分方法来计算各体素各角点的梯度。在三角形的情况下，计算出每一个三角形面片的法向量，然后用三角面的法向量求得每个顶点的法向量，最后用三角形三个顶点的三个法向量插值求出三角形面上某一点的法向量。对于等值面来说有简单的方法计算顶点的法向量。考虑到等高线的梯度方向与等高线的切线垂直，因此，可以用梯度矢量代替等高线的垂直线。在三维情况下，等值面的梯度方向就是等值面的法向方向。由此，可得到公式⑷：
⑷
5 Marching Cubes的优化--网格模型简化算法
网格模型简化算法已经取得了一系列的成果。目前的简化算法大多考虑以边折叠前后的模型几何位置变化为折叠代价，从而减少多边形的数量，以达到提高运算效率的目的。网格简化算法的目的是在尽可能保证图像精度的前提下提高效率。因此，选取坐标点的原则是尽可能接近原始网格，一般有子集选择法和优化选择法[6]两种子集选择法即简单地在边的两个端点中选择代价较小的那一个，优化选择法则是选取二次误差最小的点v作为折叠点，该点所对应的二次误差测度为，而点v的二次误差是二次方程，求其最小值就是求方程对x，y，z偏导为零的点，解出的x，y，z即为新的顶点坐标。这一过程等价于公式⑸的矩阵方程求解。
⑸
折叠代价的度量
折叠代价的计算分为两步。第一步：计算每个顶点的二次误差侧度时，以Garland的标准二次误差测度为基础，同时考虑周边三角形面积的影响，计算每个顶点的二次误差测度均值;第二步：计算边折叠代价时，以边的长度和边折叠后所引起的三角形形态变化的程度作为加权因子。
具体计算方法为：在三维空间中，平面P可以表示为ax+by+cz+d=0，也可以表示为PTv=0.其中P=[a，b，c]T是平面P的单位法向量，且有，d为常量。模型空间中任一点v=[x，y，z，1]T到该平面的距离的平方为公式⑹：
⑹
网格模型中的任意点v=[x，y，z，1]T的二次误差Δ(v)的定义为该顶点到与该定点相关的平面的平方和，可以表示为公式⑺：
⑺
其中，planes(v)表示所有包含定点v的三角平面构成的一个集合，称为顶点v的相关平面集。初始状态下网格模型中每个点的二次误差为0，上式变形后可以得到公式⑻。
⑻
其中kp为平面P的二次误差测度。
⑼
称为v=[x，y，z，1]T的二次矩阵。
称为点v的二次误差。当进行边折叠时，可使用一个附加规则(Garland et al. ， 1987)获得点v处的二次误差测度，该顶点的二次误差值为，也就是该边的折叠代价。
6 网格简化算法在 医学三维重建上的 应用
网格算法一般应用于加快三维重建的速度，但是单纯的网格算法却缺乏实用价值。相对于其高速的绘制，损失的精度是无法接受的。因此，对网格简化算法又进行了进一步的优化—基于体绘制的网格简化算法。
体绘制是将切片中所有的物质(皮肤、骨骼、肌肉等)集中在一幅图中显示。但在只需要观察骨骼的情况下，很多的三角面绘制都是没有意义的。忽略那些不必要的三角面可在保证精度的同时有效地提高重建速度。
7 结束语
MC算法通过对比阀值来确定体素的多边形，在面对大容量数据时往往有着速度慢这一无法回避的缺点，但现在各种有针对性的改进使得它有了更大的 发展潜力，所以MC算法不仅仅是个单纯的算法，它更接近于“体素” 这个概念。现在流行的很多三维重建算法都是基于MC进行改良的，目的是为了获得所需要的特定的三维模型。象基于小波变换的医学图像融合算法，断层医学图像插值算法等，则主要是为了使CT等数据容易受到MC算法中阀值的分割。现在，OpenGL，VTK等图像函数库的使用已使得三维图像建模变得简单期望三维重建技术在医学上的应用会有更大的发展。
参考文献：
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[2] 罗述谦,周果宏,石教英.基于三角形移去准则的多面体简化模型[J]. 计算机学报,2008.2:135~138
[3] Nielson GM.Dual Marching Cubes.IEEE Visualization 2004.
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[5] 金天弘,刘振宅. 医学图像三维重建的研究[J].医疗卫生装备,2008.2:34
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