：《容易忽略的答案》
大千世界，无奇不有，在我们数学王国里也有许多有趣的事情。比如，在我现在的第九册的练习册中，有一题思考题是这样说的：“一辆客车从东城开向西城，每小时行45千米，行了2.5小时后停下，这时刚好离东西两城的中点18千米，东西两城相距多少千米？王星与小英在解上面这道题时，计算的方法与结果都不一样。王星算出的千米数比小英算出的千米数少，但是许老师却说两人的结果都对。这是为什么呢？你想出来了没有？你也列式算一下他们两人的计算结果。”其实，这道题我们可以很快速地做出一种方法，就是：45×2.5＝112.5（千米），112.5+18＝130.5（千米），130.5×2＝261（千米），但仔细推敲看一下，就觉得不对劲。其实，在这里我们忽略了一个非常重要的条件，就是“这时刚好离东西城的中点18千米”这个条件中所说的“离”字，没说是还没到中点，还是超过了中点。如果是没到中点离中点18千米的话，列式就是前面的那一种，如果是超过中点18千米的话，列式应该就是45×2.5＝112.5（千米），112.5-18＝94.5（千米），94.5×2＝189（千米）。所以正确答案应该是：45×2.5＝112.5（千米），112.5+18＝130.5（千米），130.5×2＝261（千米）和45×2.5＝112.5（千米），112.5-18＝94.5（千米），94.5×2＝189（千米）。两个答案，也就是说王星的答案加上小英的答案才是全面的。
在日常学习中，往往有许多数学题目的答案是多个的，容易在练习或考试中被忽略，这就需要我们认真审题，唤醒生活经验，仔细推敲，全面正确理解题意。否则就容易忽略了另外的答案，犯以偏概全的错误。
打得手都酸死了，多给些分哈！！！！！！
论文摘要：本文以递归的方法解决历史上著名的德�6�1梅齐里克砝码问题，并加以推广阐述了一种特殊的进制数方式，对此问题作出了一个普遍解：任意给定一个自然数，能够以最少的个数的项保证其和为给定数而又能遍历1到此数间的任意整数。
关键词 ：进制数 ，遍历，基底，状态值；
一． 问题介绍
一位商人有一个40磅重的砝码，由于跌落在地而碎成4块，后来称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整磅数的重物，问这4块砝码碎片各是多少。 摘自《100个著名初等数学问题》
二． 问题解决
考虑这样一个用法码称重物的问题，实际上是通过在天平两端放不同砝码使各砝码值相加减得到目的值。
用递归的方法能很好的解决：
设前i块碎片的总质量为 ，由这 块能够称出1～ 之间所有整磅数，那么第 +1块碎片则为2 +1，。它依次减去前 块得到的各个磅数就能得到（ +1）～（2 +1），它依次加上前 块得到的各个磅数就能得到（2 + 2）～（3 +1）
2 +1 — = +1 2 +1 + = 3 +1
2 +1 — （ —1） = +2 2 +1 + （ —1） = 3
2 +1 — （ —2） = +3 2 +1 + （ —2） = 3 —1
… … … … … …
2 +1 — 1 = 2 2 +1 + 1 = 2 + 2
2 +1自己当然能够称出来；
所以由这 +1块碎片能称出1～（3 +1）所有的整质量。
设第 块碎片重为 ，则有：
=2 + 1；
=2 1 +1；
两式相减得 =3 ；
=1，故各碎片的磅数分别为1，3，9，27.满足和为40的要求。答案补充 三、考虑
任给一个数分成特定数目的各值，使之能遍历1到此整数
A. 改变特定碎片的磅数那么照样能称出1到总磅数的所有整数值。
如果把总量为42的重物破碎成6块，此6块能称出1到42磅所有重物，它们可以是
1，1，4，4 ，16，16
由前面特殊进制数可以得到1，4，16与0， 1，2相组合能取到2（1 + 4 + 16 ）。
B. 回到前面解题之初。 的取值不止有一种可能，若 ≦2 + 1，
① ≦ ，故由前 块能遍历1到 ，而 加上1，2，3，等就能得到 +1， +2， +3， +4，…， + 。于是能够从1取到 + 。
② ﹤ ≦2 + 1，
— ≦ + 1，由前 块能遍历1到 —
—（ —1）= — +1
—（ —2）= — +2；
… …
—（0） =
+ 1， +2，… … +
故这 块碎片能取到1～ + 所有磅数。答案补充 四．最少块数碎片完成遍历。
任何一整数在分成各项，其组合能遍历1至此数的所有值，那么其中以3进制即以 做为基底，与状态值的线性组合能够做到项数最少且满足题意。同时最后一项即零头可以不为3的各次幂。①在各种进制中，3进制是随着项数增多，它们的和增多最块的一个。②在各种其它情形中，要保证遍历中的每一个数都只用其中一种方式组合。否则构造组合的方式就会有重合。例如42可以分为：
1，3，6，27，2
也可以分为 1，1，4，4，16，16。
五．任意给定数的最少项数分法
1，按3进制数将给定数的各项依次写出，直到“零头“不是3的幂为止。这时项数就是该数最小的分解项数。2，利用 三 中的结论，我们可以不受K次幂数的限制，可以在写出每一 的值，只要保证 ≦2 + 1。各项数值丰富起来。
还举42的例子①三进制为各基底。1 + 3 + + +… + =
和依次是1 4 13 40 …留下零头2，故最少遍历分解项数是5分解方式：1 ，3 ，9 ，27 ，2 ②．1，2，7，21，11
1，2，7，20，12
1，2，6，18，15
数学小论文
篮球场上的数学
一个星期天的早晨，我和我的朋友一起去打篮球。
过了一会儿，我们俩打累了，就到观众席上去休息。突然间，我想到了一个问题，我就禁不住说出来：“小明一分钟投8个球，小红一分钟投6个球，他们一起投了8分钟之后，小红提高命中率一分钟投8个球，小明由于体力不支减少投球只数一分钟投6个球，问多少分钟后小红和小明投进的只数相同？”
大概是我朋友太累的缘故，这么简单的问题他都答不上来，他想了一会儿没做出来，过了好长时间他还是没想出来。时间一分一秒的过去了，他实在想不出来，只得不好意思地说：“没了草稿本，我做不出来。”我知道，就算他有草稿也未必做得出来。
我自豪地说：“原来小明一分比小红多投进2个，一共投了8分钟，也就是8×2=16（个），后来小红反过来每分比小明多投4个，那么16个球要多投几分钟呢？16÷4=4（分），要4分钟才能追上。”他说：“你真厉害！”“我是天才嘛！”我开玩笑说。我俩都笑了。
通过这件事，我发现生活中的数学是无处不在，生活中、学习中、还有工作中到处都有。从此，我就更加喜欢数学了
如何学写数学小论文
“写什么？怎样写？”这是每个学写小论文的同学都会碰到的问题。一篇好论文的产生，对于它的作者来说是一次创造性的劳动。创造性的劳动对劳动者的要求是很高的。其创作的素材、水平，乃至创作的灵感……，绝不是轻易可以得到的，它们需要作者在自己的学习与生活实践中，去进行长期的积累与思考。从我校征集的论文来看，作者中有的是在平时十分注意对课本知识进行归纳整理、拓展延伸，学习中有许多意想不到的收获；有的是从课外阅读中得到收获与启发后，获得灵感、得以选题；……更有甚者是，有的作者在生活中发现问题注意观察、探究，并与自己的数学学习相联系，对观察、探究的结果进行思考、归纳、总结，升华为理论，写出了令人叫绝的好论文。综观获奖论文的小作者们，他们大多是数学学习的有心人。好论文的作者不仅要有较好的数学感悟，还要有良好的文学修养、综合素养。
（1） 写什么
写小论文的关键，首先就是选题，大家的选题要从自己最熟悉的、最想写的内容入手。
下面我结合我校同学部分获奖论文的选题，进行一点简单的选题分析。
论文按内容分类，大概有以下几种：
①勤于实践，学以致用，对实际问题建立数学模型，再利用模型对问题进行分析、预测；
如：探究大桥的热胀冷缩度
②对生活中普遍存在而又扰人心烦的小事，提出了巧妙的数学方法来解决它；
如： 一台饮水机创造的意想不到的实惠
③对数学问题本身进行研究，探索规律，得出了解决问题的一般方法
如： 分式“家族”中的亲缘探究
如： 纸飞机里的数学
④对自己数学学习的某个章节、或某个内容的体会与反思
如： “没有条件”的推理
如： 小议“黄金分割”
如： 奇妙的正五角星
（2） 怎样写
① 课题要小而集中，要有针对性；
② 见解要真实、独特，有感而发，富有新意；
③ 要用自己的语言表述自己要表达的内容
（四） 评价数学小论文的标准
什么样的数学小论文算是好的论文呢？标准很多，但我以为一篇好的数学小论文必须有以下三个特征——新、真、美。“新”，指的就是选题要有独特的视角，写的内容不是简单地重复别人的东西、不是单纯地下载一段。文字，最好是自己原创的，至少要有自己的创造、自己的观点，属于自己的思想；“真”，指的就是内容要实在、言之有理，既不能空洞无味、也不能冗长拖沓，文章要紧扣主题，力求做到准确、精练，尽量地体现数学的严谨性与科学性；“美”，指的就是语言通顺、文笔流畅，文章要给人以美的享受。当然，从第二届时代数学学习“时代之星”实践与创新论文大赛的名称来看，既有实践又有创新的论文肯定更容易受到评委们的亲睐，所以，我希望同学们更加贴近生活、注意观察、去寻找、去发现，把生活与数学联系起来，把学习撰写论文、争取写出好的论文，作为对自己数学学习的一种评价、一种补充、一种提高，这样你学写小论文的目的就对了，你就会将数学小论文越写越好。
“梅花香自苦寒来”，只要肯下大工夫、只要肯吃的起苦，不断地去思考、去揣摸，去学习，好的数学论文就一定会在你的手中诞生。总之，学习撰写论文、争取写出好的论文，对于我们每一位同学来说，始终是一个锻炼自己、提高能力的极好的方式。我相信我校初一、初二的同学们一定会在老师的组织与指导下积极参与第二届《时代数学学习》“时代之星”实践与创新论文大赛的活动与交流，并取得好成绩。祝愿今后有更多更好的数学小论文，在同学们的手中诞生；愿有更多的同学从学写数学小论文开始起飞，在今后的人生之路上书写出更多的高水平、高质量的论文。
例子：《容易忽略的答案》
大千世界，无奇不有，在我们数学王国里也有许多有趣的事情。比如，在我现在的第九册的练习册中，有一题思考题是这样说的：“一辆客车从东城开向西城，每小时行45千米，行了2.5小时后停下，这时刚好离东西两城的中点18千米，东西两城相距多少千米？王星与小英在解上面这道题时，计算的方法与结果都不一样。王星算出的千米数比小英算出的千米数少，但是许老师却说两人的结果都对。这是为什么呢？你想出来了没有？你也列式算一下他们两人的计算结果。”其实，这道题我们可以很快速地做出一种方法，就是：45×2.5＝112.5（千米），112.5+18＝130.5（千米），130.5×2＝261（千米），但仔细推敲看一下，就觉得不对劲。其实，在这里我们忽略了一个非常重要的条件，就是“这时刚好离东西城的中点18千米”这个条件中所说的“离”字，没说是还没到中点，还是超过了中点。如果是没到中点离中点18千米的话，列式就是前面的那一种，如果是超过中点18千米的话，列式应该就是45×2.5＝112.5（千米），112.5-18＝94.5（千米），94.5×2＝189（千米）。所以正确答案应该是：45×2.5＝112.5（千米），112.5+18＝130.5（千米），130.5×2＝261（千米）和45×2.5＝112.5（千米），112.5-18＝94.5（千米），94.5×2＝189（千米）。两个答案，也就是说王星的答案加上小英的答案才是全面的。
在日常学习中，往往有许多数学题目的答案是多个的，容易在练习或考试中被忽略，这就需要我们认真审题，唤醒生活经验，仔细推敲，全面正确理解题意。否则就容易忽略了另外的答案，犯以偏概全的错误。
打得手都酸死了，多给些分哈！！！！！！
一、教学目标 1、知识目标与技能：①通过学习，学生能应用百分数解决实际问题理解税率、利率、折扣的含义②学生在经历观察、操作等活动的过程中认识圆柱和圆锥的特征，能正确地判断圆柱和圆锥，理解、掌握圆柱的表面积、圆柱和圆锥体积的计算方法，会正确地进行计算③学生结合实例认识扇形统计图，理解众数和平均数④初步掌握用方向和距离确定物体位置的方法⑤学生在解决实际问题的的过程中，学会用转化的策略寻求解决问题的思路，并能根据具体的问题确定合理的解题方法，从而有效地觯决问题⑥学生理解比例的意义和基本性质，会解比例；认识比例尺，会看比例尺，会进行比例尺的有关计算；理解正比例和反比例的意义，能够判断两种量是否成正比例或反比例，理解用比例关系解应用题的方法，学会用比例知识解答比较容易的应用题⑦学生通过系统的复习，巩固和加深理解小学阶段所学的数学知识，更好地培养比较合理的、灵活的计算能力，发展思维能力和空间观念，并提高综合运用所学数学知识解决简单的实际问题的能力2、过程与方法：本学期教学内容要紧密联系学生生活环境，从学生的经验和已有知识出发，创设有助于学生自主学习、合作交流，使学生通过观察、操作、归纳、交流、反思活动，获得基本的数学知识、技能，进一步发展思维能力，让学生在情境体验中，理解数学，增强空间观念，发展形象思维，重视学生应用数学的意识和能力能应用“转换”的策略解决一些简单的实际问题，进一步增强解决问题的策略意识和反思意识，体会解决问题策略的多样性，培养根据实际问题的特点选择相应策略的能力3、情感态度与价值观：①能积极参与各项数学活动，感受自己在数学知识和方法等方面的收获与进步，增强对数学的好奇心与求知欲，进一步树立学好数学的信心②在探索和理解百分数的计算方法，比例的基本性质，圆柱和圆锥的体积公式等活动中，进一步感受数学思考的严谨和数学结论的确定性，获得一些成功的体验，锻炼克服困难的意志③通过阅读“你知道吗”以及参与“实践与综合应用”等活动，进一步了解有关数学知识的背景，体会数学对人类历史发展的作用，培养民族自豪感，增强创新意识，锻炼实践能力 4、质量目标：各单元测试平均分达83以上，期末质量验收平均分达85以上，优秀率、及格率分别达40%及95%以上 二、教材分析1、本学期教材的知识结构体系分析和技能训练要求：这册教材包括下面地些内容：百分数的应用、圆柱和圆锥、比例、确定位置、正反比例、解决问题的策略、统计以及小学六年来所学数学内容的总复习 本册教材的这些内容是在前几册的基础上按照完成小学数学的全部教学任务安排的，着重使学生认识一些常见的立体图形，掌握它们的体积等计算方法，进一步发展空间观念；进一步形成统计的观念，掌握用扇形统计图表示数据整理结果的方法，提高依据统计数据的分析、预测、判断能力；理解比例、正比例、反比例的概念，加深认识一些常见的数量关系，会用比例知识解答比较容易的应用题然后把小学数学的主要内容加以系统的整理和复习，巩固所学的数学知识，使学生能够综合运用所学的数学知识解决比较简单的实际问题；结合新的教学内容与系统的整理和复习，进一步发展思维能力，培养思维品质，进行思想品德教育 2、教学重点：本册教材中的圆柱和圆锥、比例都是小学数学的重要内容首先，认识圆柱和圆锥的特征，掌握圆柱和圆锥的一些计算，既可以为进一步学习其他形体的表面积和体积及其计算打好基础，进一步发展空间观念，也可以增强解决问题的策略和方法，逐步增强学生收集、处理信息的意识和能力最后学习好比例的知识，不仅可以增强学生用数学方法处理数学问题的能力，而且也使学生获得初步的函数观念，为进一步学习相关知识作初步的准备因此，让学生认识这些内容的概念，学会应用这些概念、方法和计算解决一些实际问题，是教学的重点 三、学生情况分析1、任教班级学风、学生知识的掌握情况、学习能力和学习态度等分析 本班共有学生48人，其中男生28人，女生20人，从上学期考试成绩分析，学生的基础的知识、概念、定义掌握比较牢固，口算、笔算验算及脱式计算较好但粗心大意的还比较多，灵活性不够，应用能力不够强但总的来说大部分学生对数学比较感兴趣，接受能力较强，学习态度较端正；也有部分学生自觉性不够，不能及时完成作业等，对于学习数学有一定困难所以在新的学期里，在端正学生学习态度的同时，应加强培养他们的各种学习数学的能力，以提高成绩2、学困生情况分析本班级学困生有许欣盛、李贤义、何斌华、杨振辉等学生这些同学自觉性不够，缺乏刻苦钻研的精神，总想偷懒，不做作业或者抄别人的作业今后首先还是加强学习习惯培养，如学前的自习、课后的复习等在书写上还要继续提高要求，只有让学生在认真书写的基础上才有可能认真思考其次，这学期分数的计算占了极大一块内容，所以培养他们的计算能力是关键另外分数应用题是本学期的重点，在教学中加强数学数量关系的分析让学生学会分析，学会审题，提高解题能力最后在激发学生学习兴趣方面多寻找方法，使他们乐学，愿学对这些学生要求他们各单元测试平均分达70以上，期末质量验收平均分达75以上，优秀率、及格率分别达40%及95%以上 四、改进教学的措施1、落实教学“五认真”的具体措施⑴充分利用学生熟悉、感兴趣的和富有现实意义的素材吸引学生，让学生主动参与到各种数学活动中来，提高学习效率，激发学习兴趣，增强学习信心⑵认真研读教材，明确本册课本的编写意图，注意与老师之间的交流与切磋，循序渐进地采取有效、易懂教学策略，让每个学生有所发展⑶切实使用好与课本配套的教学辅助用书、教具、学具⑷加强计算教学计算是本册教材的重点，一方面引导学生探索并理解基本的计算方法，另一方面也通过相应的练习，帮助学生形成必要的计算技能，同时注意教材之间的衔接，对内容进行有机的整合，提高解决实际问题的能力⑸介绍课外数学知识与方法，开拓学生的视野，增强学生学习兴趣帮教结对活动，与后进生家长经常联系，及时反映学校里的学习情况，促使其提高成绩，帮助他们树立学习的信心与决心⑵对基础较好学生要激发学生学习数学的兴趣，大力开展数学课外兴趣小组活动，适时开展小型多样的数学竞赛，认真落实义务教育“下要保底，上不封顶”的要求 ⑶注意讲练结合，使学生理解知识间的内在联系，课后多关心学困生，他们的作业尽量面批⑷每堂课设计分层教学目标，较难的问题让优等生回答，以开发他们的智力课后设计选做题，让优等生做，进一步培养他们的思维能力3、教研专题和实施措施①教研专题：以“设计适合学生的作业”为研究课题②实施措施：在平时的教学中，经常翻阅有关学习材料，自觉学习理论知识，并听取有关讲座，提高自己的理论水平教学时做到耐心、细致，并把自己平时学习到的理论知识贯穿到教学中，同时把理论和实践联系的知识、经验组织起来，撰写教学论文五、具体教学进度（略）
不~~~~~~~·
