全国大学生大学生数学建模大赛的论文字数要求3000字以上，我当年参加了，写了10000多字。
数学建模--教学楼人员疏散--获校数学建模二等
数学建模
人员疏散
本题是由我和我的好哥们张勇还有我们区队的学委谢菲菲经过数个日夜的精心准备而完成的,指导老师沈聪.
摘要
文章分析了大型建筑物内人员疏散的特点，结合我校1号教学楼的设定火灾场景人员的安全疏散，对该建筑物火灾中人员疏散的设计方案做出了初步评价，得出了一种在人流密度较大的建筑物内，火灾中人员疏散时间的计算方法和疏散过程中瓶颈现象的处理方法，并提出了采用距离控制疏散过程和瓶颈控制疏散过程来分析和计算建筑物的人员疏散。
关键字
人员疏散 流体模型 距离控制疏散过程
问题的提出
教学楼人员疏散时间预测
学校的教学楼是一种人员非常集中的场所，而且具有较大的火灾荷载和较多的起火因素，一旦发生火灾，火灾及其烟气蔓延很快，容易造成严重的人员伤亡。对于不同类型的建筑物，人员疏散问题的处理办法有较大的区别，结合1号教学楼的结构形式，对教学楼的典型的火灾场景作了分析，分析该建筑物中人员疏散设计的现状，提出一种人员疏散的基础，并对学校领导提出有益的见解建议。
前言
建筑物发生火灾后，人员安全疏散与人员的生命安全直接相关，疏散保证其中的人员及时疏散到安全地带具有重要意义。火灾中人员能否安全疏散主要取决于疏散到安全区域所用时间的长短，火灾中的人员安全疏散指的是在火灾烟气尚未达到对人员构成危险的状态之前,将建筑物内的所有人员安全地疏散到安全区域的行动。人员疏散时间在考虑建筑物结构和人员距离安全区域的远近等环境因素的同时，还必须综合考虑处于火灾的紧急情况下，人员自然状况和人员心理这是一个涉及建筑物结构、火灾发展过程和人员行为三种基本因素的复杂问题。
随着性能化安全疏散设计技术的发展，世界各国都相继开展了疏散安全评估技术的开发及研究工作，并取得了一定的成果(模型和程序)，如英国的CRISP、EXODUS、STEPS、Simulex，美国的ELVAC、EVACNET4、EXIT89，HAZARDI，澳大利亚的EGRESSPRO、FIREWIND，加拿大的FIERA system和日本的EVACS等，我国建筑、消防科研及教学单位也已开展了此项研究工作，并且相关的研究列入了国家“九五”及“十五”科技攻关课题。
一般地，疏散评估方法由火灾中烟气的性状预测和疏散预测两部分组成，烟气性状预测就是预测烟气对疏散人员会造成影响的时间。众多火灾案例表明，火灾烟气毒性、缺氧使人窒息以及辐射热是致人伤亡的主要因素。
其中烟气毒性是火灾中影响人员安全疏散和造成人员死亡的最主要因素，也就是造成火灾危险的主要因素。研究表明：人员在CO浓度为4X10-3浓度下暴露30分钟会致死。
此外，缺氧窒息和辐射热也是致人死亡的主要因素，研究表明：空气中氧气的正常值为21％，当氧气含量降低到12％～15％时，便会造成呼吸急促、头痛、眩晕和困乏，当氧气含量低到6％～8％时，便会使人虚脱甚至死亡；人体在短时间可承受的最大辐射热为2.5kW／m2(烟气层温度约为200℃)。
图1 疏散影响因素
预测烟气对安全疏散的影响成为安全疏散评估的一部分，该部分应考虑烟气控制设备的性能以及墙和开口部对烟的影响等；通过危险来临时间和疏散所需时间的对比来评估疏散设计方案的合理性和疏散的安全性。疏散所需时间小于危险来临时间，则疏散是安全的，疏散设计方案可行；反之，疏散是不安全的，疏散设计应加以修改，并再评估。
图2 人员疏散与烟层下降关系(两层区域模型)示意图
疏散所需时间包括了疏散开始时间和疏散行动时间。疏散开始时间即从起火到开始疏散的时间，它大体可分为感知时间(从起火至人感知火的时间)和疏散准备时间(从感知火至开始疏散时间)两阶段。一般地，疏散开始时间与火灾探测系统、报警系统，起火场所、人员相对位置，疏散人员状态及状况、建筑物形状及管理状况，疏散诱导手段等因素有关。
疏散行动时间即从疏散开始至疏散结束的时间，它由步行时间(从最远疏散点至安全出口步行所需的时间)和出口通过排队时间(计算区域人员全部从出口通过所需的时间)构成。与疏散行动时间预测相关的参数及其关系见图3。
图3 与疏散行动时间预测相关的参数及其关系
模型的分析与建立
我们将人群在1号教学楼内的走动模拟成水在管道内的流动，对人员的个体特性没有考虑，而是将人群的疏散作为一个整体运动处理，并对人员疏散过程作了如下保守假设：
u 疏散人员具有相同的特征，且均具有足够的身体条件疏散到安全地点；
u 疏散人员是清醒状态，在疏散开始的时刻同时井然有序地进行疏散，且在疏散过程中不会出现中途返回选择其它疏散路径；
u 在疏散过程中，人流的流量与疏散通道的宽度成正比分配，即从某一个出口疏散的人数按其宽度占出口的总宽度的比例进行分配
u 人员从每个可用出口疏散且所有人的疏散速度一致并保持不变。
以上假设是人员疏散的一种理想状态，与人员疏散的实际过程可能存在一定的差别，为了弥补疏散过程中的一些不确定性因素的影响，在采用该模型进行人员疏散的计算时，通常保守地考虑一个安全系数，一般取1．5～2，即实际疏散时间为计算疏散时间乘以安全系数后的数值。
1号教学楼平面图
教学楼模型的简化与计算假设
我校1号教学楼为一幢分为A、B两座，中间连接着C座的建筑（如上图），A、B两座为五层，C座为两层。A、B座每层有若干教室，除A座四楼和B座五楼，其它每层都有两个大教室。C座一层即为大厅，C座二层为几个办公室，人员极少故忽略不考虑，只作为一条人员通道。为了重点分析人员疏散情况，现将A、B座每层楼的10个小教室（40人）、一个中教室（100）和一个大教室（240人）简化为6个教室。
图4 原教室平面简图
在走廊通道的1/2处，将1、2、3、4、5号教室简化为13、14号教室，将6、7、8、9、10号教室简化为15、16号教室。此时，13、14、15、16号教室所容纳的人数均为100人，教室的出口为距走廊通道两边的1/4处，且11、13、15号教室的出口距左楼梯的距离相等，12、14、16号教室的出口距右楼梯的距离相等。我们设大教室靠近大教室出口的100人走左楼梯，其余的140人从大教室楼外的楼梯疏散，这样让每一个通道的出口都得到了利用。由于1号教学楼的A、B两座楼的对称性，所以此简图的建立同时适用于1号教学楼A、B两座楼的任意楼层。
图5 简化后教室平面简图
经测量，走廊的总长度为44米，走廊宽为1.8米,单级楼梯的宽度为0.3米,每级楼梯共有26级,楼梯口宽2.0米,每间教室的面积为125平方米. 则简化后走廊的1/4处即为教室的出口，距楼梯的距离应为44/4=11米。
对火灾场景做出如下假设:
u 火灾发生在第二层的15号教室;
u 发生火灾是每个教室都为满人,这样这层楼共有600人;
u 教学楼内安装有集中火灾报警系统,但没有应急广播系统;
u 从起火时刻起,在10分钟内还没有撤离起火楼层为逃生失败;
对于这种场景下的火灾发展与烟气蔓延过程可用一些模拟程序进行计算,并据此确定楼内危险状况到来的时间.但是为了突出重点,这里不详细讨论计算细节.
人员的整个疏散时间可分为疏散前的滞后时间,疏散中通过某距离的时间及在某些重要出口的等待时间三部分,根据建筑物的结构特点,可将人们的疏散通道分成若干个小段。在某些小段的出口处,人群通过时可能需要一定的排队时间。于是第i 个人的疏散时间ti 可表示为:
式中, ti,delay为疏散前的滞后时间,包括觉察火灾和确认火灾所用的时间; di,n为第n 段的长度; vi,n 为该人在第n 段的平均行走速度;Δtm,queue 为第n 段出口处的排队等候时间。最后一个离开教学楼的人员所有用的时间就是教学楼人员疏散所需的疏散时间。
假设二层的15号教室是起火房间,其中的人员直接获得火灾迹象进而马上疏散,设其反应的滞后时间为60s;教学内的人员大部分是学生,火灾信息将传播的很快,因而同楼层的其他教室的人员会得到15号教室人员的警告,开始决定疏散行动.设这种信息传播的时间为120s,即这批人的总的滞后时间为120+60=180秒;因为左右两侧为对称状态,所以在这里我们就计算一面的.一、三、四、五层的人员将通过火灾报警系统的警告而开始进行疏散,他们得到火灾信息的时间又比二层内的其他教室的人员晚了60秒.因此其总反应延迟为240秒.由于火灾发生在二楼,其对一层人员构成的危险相对较小,故下面重点讨论二,三,四,五楼的人员疏散.
为了实际了解教学楼内人员行走的状况,本组专门进行了几次现场观察,具体记录了学生通过一些典型路段的时间。参考一些其它资料[1、2、3] ,提出人员疏散的主要参数可用图6 表示。在开始疏散时算起,某人在教室内的逗留时间视为其排队时间。人的行走速度应根据不同的人流密度选取。当人流密度大于1 人/ m2时,采用0. 6m/ s 的疏散速度,通过走廊所需时间为60s ,通过大厅所需时间为12s ;当人流密度小于1 人/m2 时,疏散速度取为1. 2m/ s ,通过走廊所需时间为30s ,通过大厅所需时间为6s。
图6 人员疏散的若干主要参数
Pauls[4]提出,下楼梯的人员流量f 与楼梯的有效宽度w 和使用楼梯的人数p 有关,其计算公式为:
式中,流量f 的单位为人/ s , w 的单位为mm。此公式的应用范围为0. 1 < p/ w < 0. 55 。
这样便可以通过流量和室内人数来计算出疏散所用时间。出口的有效宽度是从通道的实际宽度里减去其两侧边界层而得到的净宽度,通常通道一侧的边界层被设定为150mm。
3 结果与讨论
在整个疏散过程中会出现如下几种情况:
(1) 起火教室的人员刚开始进行疏散时,人流密度比较小,疏散空间相对于正在进行疏散的人群来说是比较宽敞的,此时决定疏散的关键因素是疏散路径的长度。现将这种类型的疏散过程定义为是距离控制疏散过程;
(2) 起火楼层中其它教室的人员可较快获得火灾信息,并决定进行疏散,他们的整个疏散过程可能会分成两个阶段来进行计算: 当f进入2层楼梯口流出2层楼梯口时, 这时的疏散就属于距离控制疏散过程;当f进入2层楼梯口> f流出2层楼梯口时, 二楼楼梯间的宽度便成为疏散过程中控制因素。现将这种过程定义为瓶颈控制疏散过程;
(3) 三、四层人员开始疏散以后,可能会使三楼楼梯间和二楼楼梯间成为瓶颈控制疏散过程;
(4) 一楼教室人员开始疏散时,可能引起一楼大厅出口的瓶颈控制疏散过程;
(5) 在疏散后期,等待疏散的人员相对于疏散通道来说,将会满足距离控制疏散过程的条件,即又会出现距离控制疏散过程。
起火教室内的人员密度为100/ 125 = 0.8 人/m2 。然而教室里还有很多的桌椅,因此人员行动不是十分方便,参考表1 给出的数据,将室内人员的行走速度为1.1m/ s。设教室的门宽为1. 80m。而在疏散过程中,这个宽度不可能完全利用,它的等效宽度,等于此宽度上减去0. 30m。则从教室中出来的人员流量f0为:
f0=v0×s0×w0=1.1×0.8×4.7=4.1(人/ s) (3)
式中, v0 和s0 分别为人员在教室中行走速度和人员密度, w0 为教室出口的有效宽度。按此速度计算,起火教室里的人员要在24.3s 内才能完全疏散完毕。
设人员按照4.1 人/ s 的流量进入走廊。由于走廊里的人流密度不到1 人/ m2 ,因此采用1. 2m/s的速度进行计算。可得人员到达二楼楼梯口的时间为9.2s。在此阶段, 将要使用二楼楼梯的人数为100人。此时p/ w=100/1700=0.059 < 0. 1 , 因而不能使用公式2 来计算楼梯的流量。采用Fruin[5]提出的人均占用楼梯面积来计算通过楼梯的流量。根据进入楼梯间的人数,取楼梯中单位宽度的人流量为0.5人 /(m. s) ,人的平均速度为0. 6m/ s ,则下一层楼的楼梯的时间为13s。这样从着火时刻算起,在第106.5s(60+24.3+9.2+13)时,着火的15号教室人员疏散成功。以上这些数据都是在距离控制疏散过程范围之内得出的。
起火后120s ,起火楼层其它两个教室（即11和13号教室）里的人员开始疏散。在进入该层楼梯间之前,疏散的主要参数和起火教室中的人员的情况基本一致。在129.2s他们中有人到达二层楼梯口,起火教室里的人员已经全部撤离二楼大厅。因此,即将使用二楼楼梯间的人数p1 为:
p1 = 100 ×2 = 200 (人) (4)
此时f进入2层楼梯口>f流出2层楼梯口,从该时刻起,疏散过程由距离控制疏散过渡到由二楼楼梯间瓶颈控制疏散阶段。由于p/ w =200/1700= 0.12 ,可以使用公式2 计算二楼楼梯口的疏散流量f1 , 即:
?/P>
0.27
0.73
f1 = (3400/ 8040) × 200 = 2.2人/ s) (5)
式中的3400 为两个楼梯口的总有效宽度,单位是mm。而三、四层的人员在起火后180s 时才开始疏散。三层人员在286.5s(180+106.5)时到达二层楼梯口,与此同时四层人员到达三层楼梯口,第五层到达第四层楼梯口。此时刻二层楼梯前尚等待疏散人员数p′1:
p′1 = 200 - (286.5 – 129.2) ×2.2 = -146.1(人) <0 (6)
所以，二层楼的人员已经全部到达一层
此后,需要使用二层楼梯间的人数p2 :
p2 = 100×3=300 (人) (7)
相应此阶段通过二楼楼梯间的流量f 2 :
0.27
0.73
f2 = (3400/8040) × 200 = 2.5(人/ s) (8)
这┤送ü楼楼梯的疏散时间t1 :
t1 = 300÷2.5 = 120 ( s) (9)
因为教学楼三、四、五层的结构相同，所以五层到四层，四层到三层和三层到二层所用的时间相等，因此人员的疏散在楼梯口不会出现瓶颈现象
所以,通过二楼楼梯的总体疏散时间T :
T = 286.5+ 120×3 = 646.5 ( s) (10)
最终根据安全系数得出实际疏散时间为T实际:
T实际 =646.5×(1.5～2)=969.75～1293( s) （11）
图7 二楼楼梯口流量随时间的变化曲线图
关于几点补充说明：
以上是我们只对B座二楼的15号教室起火进行的假设分析和计算，此时当人员到达一楼即视为疏散成功。同理，当三楼起火的时候，人员到达二楼即视为疏散成功，四楼、五楼以此类推。因为1号教学楼A、B座结构的对称性所以楼层的其他教室起火与此是同一个道理。所以本文上述的分析与计算同时适用于A、B两座楼。另外当三层以上（包括三楼）起火的时候，便体现出C座二楼的作用。当B座的三楼起火的时候，B座二楼的人员肯定是在B座三楼人员后对起火做出应对反应，所以会出现当三楼人员疏散到二楼的时候，二楼的人员也开始疏散的情况，势必造成二楼楼梯口出现瓶颈现象。因为A、B座的三、四、五楼并没有连接，都是独立的结构，出现火灾不会直接从B座的三楼威胁到A座三楼及其他楼层人员的安全，所以为了避免上述二楼楼梯口出现瓶颈现象的发生，我们让二楼的所有人员向A座的二楼转移，这样就会让起火楼层的人员能够更快的疏散到安全区域。当B座的四、五楼起火的时候也同样让二楼的人员向A座的二楼转移，为二楼以上的人员疏散创造条件。同理，A座也是如此。
在对火灾假设分析和计算的时候，我们并没有对大教室的后门楼梯的疏散做出计算，由于1号教学楼的特殊性，A座的四楼和B座的五楼没有大教室，所以大教室的后门楼梯疏散人员的速度是很快的，不会在大教室后门的楼梯出现瓶颈现象。
关于1号教学楼的几个出口：
u 大厅有一个大门
u A座一楼靠近正厅有一个门
u A座大教室旁边有一个门
u B座中教室靠近大厅正门侧面的窗户可以作为一个应急出口
u A、B座的底层都有一个地下室（当烟气蔓延太快来不及疏散，受烟气威胁的时候可以作为一个逃生去向）
u A、B座大教室各有一个后门
合计： 8个出口
致校领导的一封信
尊敬的校领导，你们好。
针对我校1号教学楼，我们数学建模小组通过实际测量、建立模型、模型分析，得出如下结论：一旦1号教学楼发生火灾，人员有可能不能全部安全疏散。
以上的分析是按一种很理想的条件进行的,并没有进行任何修正。实际上人在火灾中的行为是很复杂的,尤其是没有经过火灾安全训练的人,可能会出现盲目乱跑、逆向行走等现象,而这也会延长总的疏散时间。
该模型在现阶段是一个人员疏散分析模型的基础,目前属于理论上的模型,以上的计算结果都是通过手算或文曲星计算得到的。模型中的人员行走速度是通过多次观察该教学楼内下课时人员的行走速度和参照Fru2in 给出的疏散时人员行走速度、NFPA 中给出的人员行走速度以及目前人员疏散模型中通用的计算速度等修正而得到的,具有较为广泛的通用性。而预测的疏散时间是根据建筑物的结构特点和人员行走速度而得到的,在计算疏散所用时间的时候在剔除疏散前人员的滞后时间(或称预移动时间) 外,所得到的时间是合理的。对于疏散前人员的滞后时间,参考T. J . Shields 等试验结论:75 %人员在听到火灾警报后的15～40 s 才开始移动,而整个疏散所用的时间为646.5 s。在该例中起火教室的反应滞后时间为60 s ,这是从开始着火时刻算起的。预移动时间与不同类型的建筑物、建筑物中人员的自身特点和建筑物中的报警系统有着很大的关系,它是一个很不确定的数值。本文中所用的预移动时间不到整个疏散过程中所用的时间的 10 %。二楼楼梯口流量随时间的变化曲线如图7所示。由上可知,二层以上的所有人通过二楼楼梯所需的时间为646.5 s ,这比前面设定的可用安全疏散时间要长,因而不能保证有关人员全部安全疏散出去。楼梯的宽度和大厅的正门显然是制约人员疏散的一个瓶颈。造成这种情况的基本原因是该教学楼的疏散通道安排不当，楼梯通道的宽度不够,对此可以适当增大楼梯的总宽度；或者在教学楼的每个分支上再修一个楼梯,则人员的疏散会更加的畅通；最好是分别在A座和B座新建一个象正门一样的出口，这样将大大的缓解了大厅正门疏散人员的压力，不至于造成大厅人员堵塞而影响楼上人员的疏散。另一方面，学校还应多增加一些消防设施，每个教室都该配备灭火器；学校还应加强学生消防意识的培养和教育，形式可以多样化、新颖化，比如做报告，上实践课，做消防演习等等。让他们了解一些消防逃生的常识，学会一些消防器材的使用，并让他们对自己所使用的教学楼有充分发认识和了解，一旦发生火灾好知道采取何种疏散方法才能在最短的时间内到达安全区域。
如果学校经费有限，也可以不花一分钱就可以消除这个消防隐患，就是合理安排上课的教室，避免每个楼层的所有教室都被用于上课。每层至少可以空出几个，这样就会大大的缓解人员疏散不利带来的危险。但是这样也有弊端，就是没有充分利用教室的使用价值，浪费资源。
大概需要3000多字。
大致分为以下几个部分：
数学建模论文
题 目 生活中的数学建模问题
学 院
专业班级
学生姓名
成 绩
年 月 日
摘要 钢铁、煤炭、水电等生活物资从若干供应点运送到一些需求点，怎样安排输送
方案使利润最大？各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等的限制，如何相互搭配装载，使获利最高？若干项任务分给一些候选人来完成，因为每个人的专长不同，他们完成任务的效益就不一样，如何分派使获得的总效益最大？本文将通过以下的例子讨论用数学建模解决这些问题的方法。
关键词：获利最多，0-1变量
一． 自来水输送问题
问题 某市有甲、乙、丙、丁四个居民区，自来水由A，B，C三个水库供应。四个区每天必须得到保证的基本生活用水量分别为80，50，10，20千吨，但由于水源紧张，三个水库每天 只能分别供应60，70，40千吨自来水。由于地理位置的差别，自来水公司从各水库向各区送水所需付出的引水管理费用不同（见下表），其他管理费用都是400元每千吨。根据公司规定，各区用户按照统一标准950元每千吨收费。此外，四个区都向公司申请了额外用水量，分别为10，20，30，50千吨。该公司应如何分配供水量，才能获利更多？
引水管理费（元每千吨） 甲 乙 丙 丁
A 160 130 220 170
B 140 130 190 150
C 190 200 230 ----
问题分析
分配供水两就是安排从三个水库向四个区供水的方案，目标是获利最多，而从题目给出的数据看，A，B，C三个水可的供水量170千吨，不够四个区的基本生活用水量与额外用水量之和270千吨，因而总能全部卖出并获利，于是自来水公司每天的总收入是950*（60+70+40）=161500元，与送水方案无关。同样，公司每天的其他管理费为400*（60+70+40）=68000元也与送水方案无关。所以要是利润最大，只须是引水管理费最小即可。另外，送水方案自然要受三个水可的供水量和四个取得需求量的限制。
模型建立
决策变量为A、B、C、三个水库（i=1,2,3）分别向甲、乙、丙、丁四个小区（j=1,2,3,4）的供水量。设水库i向j的日供水量为xij。由于C水库鱼定去之间没有输水管道，即X34=0，因此只有11个决策变量。
由上分析，问题的目标可以从获利最多转化为引水管理费最少，于是有
min=160*x11+130*x12+220*x13+170*x14+140*x21+130*x22+190*x23+150*x24+190*x31+200*x32+230*x33;
约束条件有两类：一类是水库的供应量限制，另一类是各区的需求量限制。由于供水量总能卖出并获利，水库的供应量限制可以表示为
x11+x12+x13+x14=60;
x21+x22+x23+x24=70;
x31+x32+x33=40;
考虑到歌曲的基本用水量月外用水量，需求量限制可以表示为
80<=x21+x11+x31;
50<=x12+x22+x32;
10<=x13+x23+x33;
20<=x14+x24;
x21+x11+x31<=90;
x12+x22+x32<=70;
x13+x23+x33<=40;
x14+x24<=70;
模型求解
将以上式子，输入LINGO求解，得到如下输出：
Optimal solution found at step: 10
Objective value: 25800.00
Variable Value Reduced Cost
X11 0.0000000 20.00000
X12 60.00000 0.0000000
X13 0.0000000 40.00000
X14 0.0000000 20.00000
X21 50.00000 0.0000000
X22 0.0000000 0.0000000
X23 0.0000000 10.00000
X24 20.00000 0.0000000
X31 30.00000 0.0000000
X32 0.0000000 20.00000
X33 10.00000 0.0000000
送水方案为：A水库向乙区供水60千吨，B水库甲区、丁区分别供水50，20千吨，C水库向甲、丙分别供水30，10千吨。引水管理费为25800元，利润为161500-68000-25800=67700元。
二． 货机装运
问题 某架火机油三个货舱：前舱、中舱、后舱。三个货舱所能装载的货物最大量的体积都有限，如下表所示，并且，为了保持飞机的平衡，三个货舱中世纪装在货物的重量必须与其最大容许重量成比例。
前舱 中舱 后舱
重量限制（吨） 15 26 12
体积限制（立方米） 8000 9000 6000
现有四类货物供该伙计本次飞行装运，其有关信息如下表所示，最后一列之装运后所获得的利润。应如何安排装运，使货机本次飞行获利最大？
重量（吨） 空间 利润（元每千吨）
货物1 20 480 3500
货物2 18 650 4000
货物3 35 600 3500
货物4 15 390 3000
模型假设 问题中没有对货物装运提出其他要求，我们可以作如下假设：
（1） 每种货物可以分割到任意小；
（2） 每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；
（3） 多种货物可以混装，并保证不留空隙。
模型建立
决策变量：用Xij表示第i种货物装入第j个货舱的重量（吨），货舱j=1，2，3分别表示前舱、中舱、后舱。
决策目标是最大化利润，即
max=3500*(x11+x12+x13)+4000*(x21+x22+x23)+3500*(x31+x32+x33)+3000*(x41+x42+x43);
约束条件包括以下4个方面：
（1）供装载的四种货物的总重量约束，即
x11+x12+x13<=20;
x21+x22+x23<=18;
x31+x32+x33<=35;
x41+x42+x43<=15;
（2）三个货舱的重量限制，即
x11+x21+x31+x41<=15;
x12+x22+x32+x42<=26;
x13+x23+x33+x43<=12;
（3）三个货舱的空间限制，即
480*x11+650*x21+600*x31+390*x41<=8000;
480*x12+650*x22+600*x32+390*x42<=9000;
480*x13+650*x23+600*x33+390*x43<=6000;
（4）三个货舱装入重量的平衡约束，即
(x11+x21+x31+x41)/15=(x12+x22+x32+x42)/26;
(x12+x22+x32+x42)/26=(x13+x23+x33+x43)/12;
模型求解
将以上模型输入LINGO求解，可以得到：
Optimal solution found at step: 10
Objective value: 155340.1
Variable Value Reduced Cost
X11 0.5055147 0.0000000
X12 6.562500 0.0000000
X13 2.286953 0.0000000
X21 11.93439 0.0000000
X22 0.0000000 2526.843
X23 6.065611 0.0000000
X31 0.0000000 0.4547474E-12
X32 0.0000000 1783.654
X33 1.599359 0.0000000
X41 0.0000000 1337.740
X42 15.00000 0.0000000
X43 0.0000000 1337.740
实际上，不妨将所得最优解四舍五入，结果为货物1装入前舱1吨、装入中舱7吨、装入后舱2吨；货物2装入前舱12吨、后舱6吨；货物3装入后舱2吨；货物4装入中舱15吨。最大利润为155340元。
三． 混合泳接力队的选拔
问题 某班准备从5名游泳队员中选择4人组成接力队，参加学校的4*100m混合泳接力比赛。5名队员4中用字的百米平均成绩如下表所示，问应如何让选拔队员组成接力队？
甲 乙 丙 丁 戊
蝶泳 1`06 57``2 1`18 1`10 1`07
仰泳 1`15 1`06 1`07 1`14 1`11
蛙泳 1`27 1`06 1`24 1`09 1`23
自由泳 58``6 53`` 59``4 57``2 1`02
问题分析 从5名队员中选出4人组成接力队，没人一种泳姿，且4人的用字各不相同，是接力队的成绩最好。容易想到的一个办法是穷举法，组成接力对的方案共有5！=120中，一一计算并作比较，即可找出最优方案。显然这不是解决这类问题的好办法，随着问题规模的变大，穷举法的计算量将是无法接受的。
可以用0-1变量表示以讴歌队员是非入选接力队，从而建立这个问题的0-1规划模型，借助县城的数学软件求解。
模型的建立与求解
设甲乙丙丁戊分别为队员i=1，2，3，4，5；即蝶泳、仰泳、蛙泳、自由泳分别为泳姿j=1，2，3，4.记队员i的第j中用字的百米最好成绩为Cij（s），既有
Cij I=1 I=2 I=3 I=4 I=5
J=1 66 57.2 78 70 67
J=2 75 66 67 74 71
J=3 87 66 84 69 83
J=4 58 53 59 57.2 62
引入0-1变量Xij，若选择队员i参加泳姿j的比赛，记Xij-=1，否则记Xij=0.根据组成接力队的要求，Xij应该满足两个约束条件：
第一， 没人最多只能入选4中用字之一，记对于i=1，2，3，4，5，应有∑Xij《=1；
第二， 每种泳姿必须有一人而且只能有1人入选，记对于甲，2，3，4，应有∑Xij=1；
当队员i入选泳姿j是，CijXij表示他的成绩，否则CijXij=0。于是接力队的成绩可表示为∑∑CijXij，这就是该题的目标函数。
将题目所给的数据带入这一模型，并输入LINGO：
min=66*x11+75*x12+87*x13+58.6*x14+57.2*x21+66*x22+66*x23+53*x24+78*x31+67*x32+84*x33+59.4*x34+70*x41+74*x42+69*x43+57.2*x44+67*x51+71*x52+83*x53+62*x54;
SUBJECT TO
x11+x12+x13+x14<=1;
x21+x22+x23+x24<=1;
x31+x32+x33+x34<=1;
x41+x42+x43+x44<=1;
x11+x21+x31+x41+x51=1;
x12+x22+x32+x42+x52=1;
x13+x23+x33+x43+X53=1;
x14+x24+x34+x44+X54=1;
@bin(X11);@bin(X12);@bin(X13);@bin(X14);@bin(X21);@bin(X22);@bin(X23);@bin(X24);@bin(X31);@bin(X32);@bin(X33);@bin(X34);@bin(X41);@bin(X42);@bin(X43);@bin(X44);@bin(X51);@bin(X52);@bin(X53);@bin(X54);
得到如下结果
Optimal solution found at step: 12
Objective value: 251.8000
Branch count: 0
Variable Value Reduced Cost
X11 0.0000000 66.00000
X12 0.0000000 75.00000
X13 0.0000000 87.00000
X14 1.000000 58.60000
X21 1.000000 57.20000
X22 0.0000000 66.00000
X23 0.0000000 66.00000
X24 0.0000000 53.00000
X31 0.0000000 78.00000
X32 1.000000 67.00000
X33 0.0000000 84.00000
X34 0.0000000 59.40000
X41 0.0000000 70.00000
X42 0.0000000 74.00000
X43 1.000000 69.00000
X44 0.0000000 57.20000
X51 0.0000000 67.00000
X52 0.0000000 71.00000
X53 0.0000000 83.00000
X54 0.0000000 62.00000
当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。
目录
背景数学
数学建模
数学建模应用
数学建模的意义数学建模
应用数学模型
过程模型准备
模型假设
模型建立
模型求解
模型分析
模型检验
模型应用
起源进入西方国家大学
在中国
大学生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛
全国大学生数学建模竞赛章程（2008年）
第四届全国大学生数学建模竞赛
国际大学生数学建模竞赛
数学建模资料竞赛参考书
国内教材、丛书
国外参考书(中译本)
专业性参考书
数学建模题目两项题
四项题
数学建模相关数学建模的意义
数学建模经验和体会
最新进展
数学建模应当掌握的十类算法背景 数学
数学建模
数学建模应用
数学建模的意义 数学建模
应用数学模型
过程 模型准备
模型假设
模型建立
模型求解
模型分析
模型检验
模型应用
起源 进入西方国家大学
在中国
大学生数学建模竞赛 全国大学生数学建模竞赛
全国大学生数学建模竞赛章程（2008年）
第四届全国大学生数学建模竞赛
国际大学生数学建模竞赛
数学建模资料 竞赛参考书
国内教材、丛书
国外参考书(中译本)
专业性参考书
数学建模题目 两项题
四项题
数学建模相关 数学建模的意义
数学建模经验和体会
最新进展数学建模应当掌握的十类算法展开 编辑本段背景
数学
近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。
数学建模
数学模型（Mathematical Model）是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模（Mathematical Modeling）。 不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解。数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用可谓是如虎添翼。
数学建模应用
数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性，结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性，自从20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在21世纪这个知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展，数理论与方法的不断扩充使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。
编辑本段数学建模的意义
数学建模
数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象，也包含抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测，试验和解释实际现象等内容。 我们也可以这样直观地理解这个概念：数学建模是一个让纯粹数学家（指只懂数学不懂数学在实际中的应用的数学家）变成物理学家，生物学家，经济学家甚至心理学家等等的过程。 数学模型一般是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像，比喻，传言等等。为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。
应用数学模型
应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径，数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之。为了适应科学技术发展的需要和培养高质量、高层次科技人才，数学建模已经在大学教育中逐步开展，国内外越来越多的大学正在进行数学建模课程的教学和参加开放性的数学建模竞赛，将数学建模教学和竞赛作为高等院校的教学改革和培养高层次的科技人才的一个重要方面，现在许多院校正在将数学建模与教学改革相结合，努力探索更有效的数学建模教学法和培养面向21世纪的人才的新思路，与我国高校的其它数学类课程相比，数学建模具有难度大、涉及面广、形式灵活，对教师和学生要求高等特点，数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。为了改变过去以教师为中心、以课堂讲授为主、以知识传授为主的传统教学模式，数学建模课程指导思想是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。通过教学使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高他们分析问题和解决问题的能力；提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高他们尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题。数学建模以学生为主，教师利用一些事先设计好问题启发，引导学生主动查阅文献资料和学习新知识，鼓励学生 积极开展讨论和辩论，培养学生主动探索，努力进取的学风，培养学生从事科研工作的初步能力，培养学生团结协作的精神、形成一个生动活泼的环境和气氛，教学过程的重点是创造一个环境去诱导学生的学习欲望、培养他们的自学能力，增强他们的数学素质和创新能力，提高他们的数举素质，强调的是获取新知识的能力，是解决问题的过程，而不是知识与结果。接受参加数学建模竞赛赛前培训的同学大都需要学习诸如数理统计、最优化、图论、微分方程、计算方法、神经网络、层次分析法、模糊数学，数学软件包的使用等等“短课程”（或讲座），用的学时不多，多数是启发性的讲一些基本的概念和方法，主要是靠同学们自己去学，充分调动同学们的积极性，充分发挥同学们的潜能。培训中广泛地采用的讨论班方式，同学自己报告、讨论、辩论，教师主要起质疑、答疑、辅导的作用，竞赛中一定要使用计算机及相应的软件，如Spss，Lingo，Mapple，Mathematica，Matlab甚至排版软件等。
