数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，简单地说就是研究数学的历史。下文是我为大家整理的关于大学数学史论文的范文，欢迎大家阅读参考!
数学史的教育功能
摘 要 数学史作为数学学科中的一部分，它不仅揭示了数学知识发展的来源，也揭示了数学学科对于人们发展科学文化知识的巨大作用。数学史的教学已经成为了目前学校教育工作中的一部分，利用数学史的教学可以引导学生们提高对数学学科学习的兴趣，培养创新思维，从了解数学史的根源开始，主动发现数学学科中的奥秘。针对这一系列问题，本文从四大方面分析了数学史对于数学教育工作中的功能体现，从而引起数学教育工作者的高度重视。
关键词 数学史 教育功能 创新思维 功能体现
1 数学史的教育功能之一 ——提高学生们学习数学的兴趣
兴趣是最好的老师，有了兴趣学生才会对数学冰冷的美丽产生出火热的激情。然而，为了提高学生们学习数学的兴趣，不仅仅是鼓励和题海战术这么简单，我们应该采取引导与教育相结合的方式，青少年时期正是疑问多、想法多的阶段，我们应该抓住学生们的这一特点，从解除疑问的角度来引导学生们接受和爱好数学的学习。让学生们在了解数学史的基础上，深刻记忆数学定义、定理的模型与应用。
例如：数学老师在课堂上讲授无理数的概念时，若只是将无理数的概念硬性地传授给学生，学生们似乎已经记住了无理数的特征，也能够正确判断哪些数是无理数，哪些数不是无理数，然而，这只是课堂中的短暂记忆，无法给学生们留下深刻的印象，无法在学生们的脑子里留下长久的烙印。因此，我们可以从介绍无理数的历史发展入手，将生动的无理数来源的历史背景讲授给学生们，引起学生们学习无理数的兴趣，加深对这一知识点的记忆。
2 数学史的教育功能之二——培养学生们的数学应用意识
数学的主要功能是应用科学，数学是一种工具，是所有学科中最具前瞻性和科学性的自然科学，从数学知识的本身来看是十分枯燥乏味的，表面来看，学生们在课堂中所接受的是已经由大量科学家所发现和证明了的科学结晶，这些结果的产生是具有强大科学依据的，每一个结晶诞生的背后都有一个久远的历史故事，它不仅验证了科学的可靠性，同时也说明了世界奥秘的可知性。二十一世纪的青少年是与新时代接轨的一代，在学习的过程中只是了解学科的表面是不够的，我们要从数学史的教育抓起，深入探讨数学学科的伟大，从根本上培养学生们的数学应用意识，加大学习数学知识的深度与广度。
例如：我国古代名著 《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，从上面看有三十五头，从下面看有九十四足，问笼子里鸡有几只?兔有几只?这道题对学生来说是十分有趣的，既让他们掌握了方程的基本思想，又让他们感觉到学习的新知识的价值所在;
又例如：在《九章算术》中记载了一道有趣的数学题：有一个边长为一丈的正方形水池，在池中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺，若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面。问水有多深?芦苇有多长?这是一道作为《探索勾股定理》的习题，通过练习，同学们可以在熟练应用勾股定理的同时，体会到勾股定理在实际问题中的应用。
再例如：公元三世纪我国数学家赵爽证明了勾股定理的弦图。老师在课堂上对于这种验证方法的介绍，可以通过数学知识重组再创造，分析当年数学家赵爽的探索过程，使其证明思路逐渐展现在如今的课堂中，帮助学生们理解与掌握勾股定理的内容与应用。
从以上例子中可以看出，数学史的诸多命题历史悠久，具有说服力和兴趣性，我们在利用数学史知识讲授数学课程的时候，既能够为学生们介绍大量的数学历史故事，让学生们深入了解数学中各种定理、模型的来源，加深对其的记忆，又能够扩大学生们的知识面，让学生们了解到数学(下转第189页)(上接第139页)学科的科学性和前瞻性，从认识历史、认识科学家、认识世界的角度学习科学文化知识是现如今加强学生们素质教育的关键。
3 数学史的教育功能之三——提高学生们的数学素养
对于任何一门学科的学习，都应该拥有这门学科的学习精神，数学是一门体现人类文明发展史的学科，它融汇了人类智慧的结晶，在历史悠久的中国，有着成千上万的科学家前仆后继，为数学学科的发展作出了卓越的贡献。数学史作为数学学科中的一部分，是如今提高学生们的素质、普及数学科学知识、增强个人科学素养的关键学科。老师应该在传授数学知识的同时，将数学的发展、科学家的成就、每一项成果的来之不易一并传授给学生们，让学生们认识到数学知识的可贵、数学知识的力量、数学知识的魅力。例如：在浙教版《义务教育课程标准实验教科书-数学》的六册书的阅读材料中，介绍了法国的笛卡尔、费马;中国的杨辉;德国的卢道夫等不少历史上的数学家及其重要成果。提高了学生们的学习兴趣，扩大了学生们的知识面，从实际案例中启发学生们学习科学文化知识的重要性。从而提高了学生们的数学素养。
4 数学史的教育功能之四——培养学生们对世界观的正确认知
从数学悠久的历史来看，中国从古至今涌现出了一批优秀的数学家，刘徽、祖冲之、祖咂、杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等，他们的数学成就流传至今，为中国的科学事业奠定了坚实的基础，为后代人对认识世界、改造世界的观念提供了强有力的科学依据。数学是一门自然科学，是上千万科学家智慧的结晶，是科学的真理体现，是对大千世界正确的认识，它是客观存在的科学，是唯物主义的认证。因此，作为数学教育工作者，有责任、有义务在传授知识的同时，培养学生们正确的世界观、人生观、价值观，相信科学，杜绝唯心主义，摆脱迷信思想，利用数学史的介绍勉励学生们对科学文化知识的正确认知，对世界观的正确理解。
总之，数学史在数学教学中的渗透，从提高学生们学习数学的兴趣，培养学生们的数学应用意识，提高学生们的数学素养，培养学生们对世界观的正确认知这四个方面来看是十分重要的。将数学的抽象运算方法融入到数学史的介绍当中，开阔学生们的思路，增强学生们科学知识结构的形成，是目前提高青少年素质教育的关键。我们要加大力度完善数学教学的模式，增加数学史教学的课程安排，有效实施文化教育与素质教育的适当结合，从而提高数学教学的整体质量。
参考文献
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数学史在大学数学教学中的意义与价值
摘 要： 如今，越来越多的教育工作者对数学史教育在数学教学中的多方面作用给予了充分认可。本文结合大学数学教学的特点，着重探讨了数学史在大学数学教学中的意义与价值。
关键词： 数学史 高等数学 教学改革
1.数学史
数学史是研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，以及其与社会政治、经济和一般文化的联系的一门科学，蕴涵了丰富的数学思想的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。数学的发展绝不是一帆风顺的，数学的发展在不同的历史阶段，受到政治、宗教等各种社会因素的干扰。历史上无理量的发现，微积分和非欧几何的创立，乃至费马大定理的证明，等等，无一不是数学家们经历了曲折艰难最终探索出来的。因此，数学史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。
2.数学史在大学数学教学中的意义与价值
我国的数学教学一直注重形式化的演绎数学思维的训练，而忽视了培养学生对数学作为一门科学的思想体系、文化内涵和美学价值的认识。但由于受传统教学课时和内容上的安排的影响，大学数学的教学往往存在课时少，内容多的矛盾。广大教师为了完成教学任务，达到“会考试”的效果，往往在课堂上只注重数学知识的传授，而忽视了数学的思想性和趣味性。目前数学史的教育价值也早已被一些学者所认识。2005年在中国召开了“第一届数学史与数学教育会议”，由此看出，充分发掘数学史在数学教学中的作用越来越受到重视。要发展数学史教育首先要提高人们对数学史教育重要性的认识，虽然目前学术界对数学史教育在数学教学的功效引起一定的重视，但这并不够。数学并不是一些枯燥定理的堆砌，而是人类文明、人类文化高度发展的结晶。
数学家庞加莱说：“若欲预见数学的将来，正确的方法是研究它的历史和现状。”数学史是人类文明给后人留下的路标，具有独特的教育功能。数学史的学习在大学数学教学中的意义与价值主要体现在以下几个方面。
(1)数学史是数学文化的最佳载体
传统的数学教学一般只涉及数学的两个层面：数学的概念、命题，数学的思想和方法。现如今，数学作为一种文化现象，早已是常识，那么，我们就应该用较为宽泛的眼光来看数学或数学文化。数学作为人类创造的文化之一，它并不是超文化的。数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势。数学文化除了数学知识本身，还包括数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神，等等。数学史正是数学文化教育的最佳载体。
(2)数学史是激发兴趣的有效途径
几乎所有学科都强调激发学生学习兴趣的重要性，而数学学科尤为突出，在著名数学家成才规律的探索中，中外学者不约而同地将“对数学浓厚的兴趣”列为第一位要素。在教学过程中，要善于激发学生对数学学科的兴趣，正如爱因斯坦所言：“兴趣是最好的老师。”大学阶段的学生无论是逻辑思维能力还是自控能力都已经基本发展成熟，且大学阶段的数学知识内容已经非常注重体系的严密性和完整性，学习方式也从中学时期的“要我学”变成“我要学”，学习兴趣显得尤为重要。
纵观数学发展史，许多数学名家并非一开始就是从事数学研究的，很多人是因偶然的机会而对数学产生了兴趣，才走上了专业化发展道路。解析几何的创始人笛卡尔，从小游手好闲，偶遇一次街头数学问题悬赏解答，强烈的兴趣使他对数学入了迷，那年他已经近二十岁了。
数学史上的许多经典问题，仍然吸引了一代又一代数学学习者投入其中，如欧拉研究过的七桥问题，我国的七巧板游戏等，都是激发学生学习兴趣的良好素材，在教学中要有意识地发掘其教育价值。
(3)数学史是理解数学的必由之路
数学课程通常给出的是一个系统的逻辑论述,好像从这一结论到那一个定理是很自然的事情，其实历史的发展并非一帆风顺，通过数学史的学习可以使同学们认识到，一个学科的发展是从点滴积累开始的，有的甚至需要几百年时间。比如我们熟悉的四色原理从产生到最终解决花了三百多年，在解决问题过程中，衍生出了众多应用数学的分支，从不同侧面影响着社会生活。
从数学史看，数学成果的流传主要是数学思想方法的流传，所以我们在学习知识的过程中，只有了解数学研究的历史背景，分析前人的方法，才能透过现象看本质，得到有益的启示，激发出思想的火花，并真正学会“像数学家那样思考”。
(4)数学史是思想教育的良好素材
数学史在课本中的反映是经过提炼的，自然淡化了发展中艰苦漫长的历程。通过数学史的学习，同学们会获得学习的勇气，不会因为学习中的挫折而沮丧。中外数学家刻苦钻研，严谨创新和为了科学事业而勇于献身的例子比比皆是，在解决数学史上的三大危机时，许多数学家甚至为此付出了生命，这些都是极好的思想教育的材料。
欧拉终身为数学奋斗，所有的领域都留下欧拉研究的痕迹，长期的劳累使他双目失明，在此以后的17年，仍忘我地献身于数学研究。牛顿出身于农民家庭,1661年考入剑桥大学。1665年，伦敦地区流行鼠疫，剑桥大学暂时关闭。牛顿回到了家乡，在乡村幽居了两年，终日思考各种问题、探索大自然的奥秘。他平生的三大发明――微积分、万有引力、光谱分析都萌发于此。后来牛顿在追忆这段峥嵘的青春岁月时，深有感触地说：“我的成功当归功于精力的探索。”“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”学生听了数学家的事迹，必然会备受鼓舞，从而认识到只有经过自己奋斗，才能取得成就。通过这些数学史实和事例能够帮助学生树立超越世界数学先进水平的胆识，培养学生的科学态度和优良品质。
3.结语
数学史是人类的认识史、发明史和创造史，其中蕴涵着可供后人借鉴的巨大思想财富，广大教育工作者已经认识到它的重要作用。数学史可以将逻辑推理还原为合情推理，将逻辑演绎追溯到归纳演绎，通过挖掘历史上数学家解决问题的真谛学生不仅可以学到具体的现成的数学知识，而且可以学到“科学的方法”，更深刻地领略数学文化。在大学数学教学中融入数学史对强化课堂效果是一种很行之有效的做法，会起到良好的作用。最后引用19世纪英国数学家格莱舍的一句话作为结语:“任何企图将一种科目和它的历史割裂开来，我确信，没有哪一种科目比数学的损失更大。”
参考文献
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人类是动物进化的产物，最初也完全没有数量的概念。但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。捕获了3头，就放3块石子。"结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。我国古书《易经》中有"结绳而治"的记载。传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。
数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大小相同。
古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。
实际上，罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数：
1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。如："III"表示"3"；"XXX"表示"30"。
2．右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如"VI"表示"6"，"DC"表示"600"。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如"IV"表示"4"，"XL"表示"40"，"VD"表示"495"。
3．上加横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一千倍。如：""表示 "15,000"，""表示"165,000"。
我国古代也很重视记数符号，最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号，不过难写难认，后人没有沿用。到春秋战国时期，生产迅速发展，适应这一需要，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法--筹算。筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的。按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进行运算。随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数的符号了。算筹摆法有横纵两式，都能表示同样的数字。
从算筹数码中没有"10"这个数可以清楚地看出，筹算从一开始就严格遵循十位进制。9位以上的数就要进一位。同一个数字放在百位上就是几百，放在万位上就是几万。这样的计算法在当时是很先进的。因为在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元6世纪末。但筹算数码中开始没有"零"，遇到"零"就空位。比如"6708"，就可以表示为"┴ ╥ "。数字中没有"零"，是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在空位上，以免弄错，这或许与"零"的出现有关。不过多数人认为，"0"这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人。他们最早用黑点（·）表示零，后来逐渐变成了"0"。
说起"0"的出现，应该指出，我国古代文字中，"零"字出现很早。不过那时它不表示"空无所有"，而只表示"零碎"、"不多"的意思。如"零头"、"零星"、"零丁"。"一百零五"的意思是：在一百之外，还有一个零头五。随着阿拉数字的引进。"105"恰恰读作"一百零五"，"零"字与"0"恰好对应，"零"也就具有了"0"的含义。
如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有"0"。其实在公元5世纪时，"0"已经传入罗马。但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何使用"0"。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用"0"的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握笔写字。
但"0"的出现，谁也阻挡不住。现在，"0"已经成为含义最丰富的数字符号。"0"可以表示没有，也可以表示有。如：气温0℃，并不是说没有气温；"0"是正负数之间唯一的中性数；任何数（0除外）的0次幂等于1；0！=1（零的阶乘等于1）。
除了十进制以外，在数学萌芽的早期，还出现过五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法。在长期实际生活的应用中，十进制最终占了上风。
现在世界通用的数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人们称之为阿拉伯数字。实际上它们是古代印度人最早使用的。后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去，又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲，逐渐演变成今天的阿拉伯数字。
数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结果。
随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年！自然数、分数和零，通称为算术数。自然数也称为正整数。
随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。有了这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了。
但是，在数字的发展过程中，一件不愉快的事发生了。让我们回到大经贸部2500年前的希腊，那里有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。他们认为"数"是万物的本源，支配整个自然界和人类社会。因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。他们所说的数是指整数。分数的出现，使"数"不那样完整了。但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。如果设这个数为X，既然，推导的结果即x2=2。他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x ，根据勾股定理x2=12+12=2，可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数，这个数肯定是存在的。可它是多少？又该怎样表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最后认定这是一个从未见过的新数。这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到震惊，动摇了他们哲学思想的核心。为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌，他们规定对新数的发现要严守秘密。而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去。据说他后来被扔进大海喂了鲨鱼。然而真理是藏不住的。人们后来又发现了很多不能用两整数之比写出来的数，如圆周率 就是最重要的一个。人们把它们写成 π、等形式，称它们为无理数。
有理数和无理数一起统称为实数。在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度。这时人类的历史已进入19世纪。许多人认为数学成就已经登峰造极，数字的形式也不会有什么新的发现了。但在解方程的时候常常需要开平方如果被开方数负数，这道题还有解吗？如果没有解，那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁。于是数学家们就规定用符号"i "表示"-1"的平方根，即i＝，虚数就这样诞生了。"i "成了虚数的单位。后人将实数和虚数结合起来，写成 a＋bi的形式（a、b均为实数），这就是复数。在很长一段时间里，人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量，所以虚数总让人感到虚无缥缈。随着科学的发展，虚数现在在水力学、地图学和航空学上已经有了广泛的应用，在掌握和会使用虚数的科学家眼中，虚数一点也不"虚"了。
数的概念发展到虚和复数以后，在很长一段时间内，连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了，数学家族的成员已经都到齐了。可是1843年10月16日，英国数学家哈密尔顿又提出了"四元数"的概念。所谓四元数，就是一种形如的数。它是由一个标量 （实数）和一个向量（其中x 、y 、z 为实数）组成的。四元数的数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用。与此同时，人们还开展了对"多元数"理论的研究。多元数已超出了复数的范畴，人们称其为超复数。
由于科学技术发展的需要，向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生，把数学研究推向新的高峰。这些概念也都应列入数字计算的范畴，但若归入超复数中不太合适，所以，人们将复数和超复数称为狭义数，把向量、张量、矩阿等概念称为广义数。尽管人们对数的归类法还有某些分歧，但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的。到目前为止，数的家庭已发展得十分庞大。
从算法教学管窥中国古代数学史
俞 昕
( 浙江湖州市第二中学 313000)
关于算法的涵义, 人们有着不同的界定. 普
通高中数学课程标准( 实验) 在学生算法目标达
成度上,重在算法思想的理解与应用,界定现代算
法的意义就是解决某一类问题的办法. 确切地说,
就是对于某一类特定的问题,算法给出了解决问
题的一系列(有穷) 操作, 即每一操作都有它的确
定性的意义( 使计算机能够按照它的指令工作) ,
并在有限时间( 有穷步骤)内计算出结果.
普通高中数学课程标准( 实验) 对! 算法部
分∀进行说明时,突出强调! 需要特别指出的是, 中
国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想∀. 吴文俊
先生曾经说过! 我们崇拜中国传统数学,决非泥古
迷古、 为古而古. 复古是没有出路的. 我们的目的
不仅是要显示中国古算的真实面貌, 也不仅是为
了破除对西算的盲从,端正对中算的认识,我们主
要的也是真正的目的, 是在于古为今用. ∀算法教
学中蕴涵着丰富的数学史教育价值, 作为新时代
的高中数学教师是有必要了解这一点的.
1 中国古代数学的特点
古代数学思想分为两大体系, 一个是以欧几
里得的几何原本 为代表的西方数学思想体系,
这个体系以公理化的思想、 抽象化的方法、 封闭的
演绎体系为特色. 另一个则是以我国的九章算
术 为代表的东方数学思想体系,这个体系以算法
化的思想、 构造性的方法、 开放的归纳体系为特
色.我国传统数学在从问题出发,以解决问题为主
旨的发展过程中, 建立了以构造性与机械化为其
特色的算法体系, 这与西方数学以欧几里得几何
原本 为代表的所谓公理化演绎体系正好遥遥
相对.
中国古代数学中的! 术∀相当于现代数学术语
中的! 公式∀,两者虽有相同点(都可以用来解决一
类有关问题) , 其差异也非常之大. 主要表现在,
! 公式∀只提供了几个有关的量之间的关系, 指明
通过哪些运算可由已知量求出未知量,但并没有
列出具体的运算程序,一般地,认为这种程序是已
知的了. 但! 术∀则由怎样运算的详细程序构成的,
可以说它是为完成公式所指出的各种运算的具体
程序,即把! 公式∀展开为使用某种计算工具的具
体操作步骤. 从这点看, ! 术∀正是现代意义上的算
法, 是用一套! 程序语言∀所描写的程序化算法,可
以照搬到现代计算机上去. 我国古代数学包括了
今天初等数学中的算术、 代数、 集合和三角等多方
面的内容.由于受实用价值观的影响, 中国传统数
学的研究遵循着一种算法化思想,这种思想从九
章算术 开始一直是中国古代数学著作大都沿袭
的模式:
实际问题# # # 归类# # # 筹式模型化# # # 程序化算法
即将社会生产生活中的问题,先编成应用问题,按
问题性质分类, 然后概括地近似地表述出一种数
学模型, 借助于算筹, 得到这一类问题的一般解
法. 把算法综合起来, 得到一般原理, 分别隶属于
各章,人们按照书中的方法、 原理和实例来解决各
种实际问题. 可以说,中国传统数学以确定算法为
基本内容,又以创造和改进算法为其发展的方向.
受九章算术 的影响,在之后的几个世纪,一
些数学家的著作都以算法为主要特点,包括王孝
通的辑古算经 、 贾宪的黄帝九章算法细草 、 刘
益的议古根源 、 秦九韶的数书九章 、 李冶的
测圆海镜 和益古演段 、 杨辉的详解九章算
法 、 日用算法 和杨辉算法 , 这些著作中包括
了增乘开方术、 贾宪三角、 高次方程数值解法、 内
插法、 一次同余式组解法等一些著名的算法,进一
步发展了中国古代数学算法化的特点,使得算法
的特点得到了进一步的强化和发展.
1 1 中国古代数学的算法化思想
算法化的思想是中国古代数学的重要特点,
并贯穿于中国古算整个发展过程之中.即使是与
24 数学通报 2010 年 第49 卷 第2 期图形有关的几何问题也不例外,中算家们将几何
方法与算法有机地结合起来,实现了几何问题的
算法化.这样,从问题出发建立程序化的算法一直
是古代中国数学研究的传统,也是中算家们努力
的方向.这种算法化的思想着重构造实践,更强调
! 经验∀、 ! 发现∀和构造性思维方式下从无到有的
发明,对今天的算法教学与研究具有重要的启迪
作用.
中国古代数学算法化的思想具体表现如下:
第一步,把实际中提出的各种问题转化为数学模
型;第二步,把各种数学模型转化为代数方程; 第
三步,把代数方程转化为一种程序化的算法; 第四
步,设计( 并逐步改进)、 归纳、 推导(寓推理于算法
之中)出各种算法; 第五步,通过计算回溯逐步达
到解决原来的问题.
1 2 中国古代数学的构造性方法
所谓构造性方法是解决数学问题的一种方
法,是创造性思维方式直接作用的结果.按照现代
直觉主义者,特别是构造主义者的观点,对于一个
数学对象,只有当它可以通过有限次的操作而获
得,并且在每步操作之后都能有效地确定下一步
所需要采取的操作, 才能说它是存在的.按照这种
思维方式,可以使概念和方法按固定的方式在有
限步骤内进行定义或得以实施,或给出一个行之
有效的过程使之在有限步骤内将结果确定地构造
出来.换言之,就是能用有限的手段刻画数学对象
并针对问题提出具体的解法.
中国古代数学的算法化思想与构造性的方法
紧密相连.由于古代中算家所关心的大多是较为
实用的问题,他们在解决问题时首先考虑是如何
得到可以直接应用的、 可以方便操作的解,而不会
满足于仅仅知道解在理论上的存在性. 因为这种
纯粹的理论解对于受实用价值观影响的中算家来
说是没有多大意义的.从而我们推断,构造性方法
的产生是算法化思想直接作用的结果.
从我国许多经典算书中可以发现, 数学构造
性方法在算法中有许多精彩的体现. 例如就! 方
程∀的筹算图阵及其程序设计而言,首先, ! 群物总
杂,各列有数,总言其实∀,这是对每行中未知数的
系数和常数项的安排,其次, ! 令每行为率,二物者
再程,三物者三程,皆如物数程之∀,这是对诸行关
系的安排, ! 并列为行∀又说明了什么叫! 方程∀. 这
为中国古代数学的构造性方法提供了一个具有说
服力的样板.
由于构造性的方法特别强调运算的可操作程
度, 所以构造出的! 术∀可以通过一系列有限的运
算求出解来, 具有一般性.时至今日我国古算家所
设计的许多算法几乎都可以整套照搬到现代的电
子计算机上实现.这也是我国古算在算法上长期
居于领先地位的一个重要原因.
2 中国古代数学中的优秀算法案例
2. 1 中国古代的代数学
代数学是中国传统数学中一个值得骄傲和自
豪的领域.中小学数学中的算术、 代数内容, 从记
数以至解联立的线性方程组, 实质上都是中国古
代数学家的发明创造.结合新课程的算法教学,笔
者选取我国古代著名算法进行分析.
2. 1. 1 求最大公约数的算法(更相减损术)
中国古代数学中,未曾出现素数、 因数分解等
概念,但是发明了求两整数的最大公约数的方
法# # # 更相减损术: ! 可半者半之,不可半者,副置
分母子之数, 以少减多, 更相减损,求其等也.以等
数约之. ∀事实上此术中包含了三个步骤:
第一步, ! 可半者半之∀, 即进行观察, 若分子、
分母都是偶数,可先取其半;
第二步, ! 不可半者, 副置分母、 子之数, 以少
减多,更相减损,求其等也∀;
第三步, ! 以等数约之∀.
其中第二步! 以少减多, 更相减损∀是关键,又
是典型的机械化程序.在中国古代数学中, 将最大
公约数称作! 等∀.由于! 更相减损∀过程终可以在
有限步骤内实现, 所以它是一种构造性的方法.若
用现代语言翻译即为:第一步,任意给定两个正整
数, 判断它们是否都是偶数. 若是,用2 约减,若不
是, 执行第二步. 第二步, 以较大的数减去较小的
数, 接着把所得的差与较小的数比较, 并以大数减
小数.继续这个操作, 直到所得的数相等为止, 则
这个数( 等数)或这个数与约简的数的乘积就是所
求的最大公约数.下面运用 QBA SIC 语言来编写
相应的程序( 见程序1) .
25 2010 年 第49 卷 第2 期 数学通报程序 1
INPUT! m, n= ∀ ; m, n
IF m< n T HEN
a= m
m= n
n= a
END IF
k= 0
WHILE m MOD 2= 0 AND n MOD2= 0
m= m/ 2
n= n/ 2
k= k+ 1
WEND
d= m- n
WHILE d< > n
IF d> n TH EN
m= d
ELSE
m= n
n= d
END IF
d = m- n
WEND
d= 2 ∃ k * d
PRINT d
END
程序 2
INPUT A, B
WHILE A < > B
IF A> B T H EN
A = A- B
ELSE
B= B - A
END IF
WEND
PRINT B
END
程序 3
INPUT ! M, N (M> N )∀ ; M, N
DO
R= M- N
IF R> N TH EN
M= R
ELSE
M= N
N= R
END IF
LOOP UNTIL R= 0
PRINT M
END
程序 4
INPUT ! n= ∀ ; n
INPUT! an= ∀; a
INPUT! x= ∀ ; x
v= a
i= n- 1
WH ILE i> = 0
PRINT ! i= ∀; i
INPUT! ai= ∀ ; a
v= v * x+ a
i= i- 1
WEND
PRINT v
END
程序 2和 3 是两个简化的参考程序, 是从不
同的角度来实现更相减损的过程.
! 更相减损术∀提供了一种求两数最大公约数
的算法, 这是九章算术 的一个重要成就, 与古希
腊欧几里得的几何原本 中用来求最大公约数的
! 欧几里得算法∀, 即辗转相除法, 有异曲同工之
妙. 欧几里得在几何原本 中针对这个问题引入
了许多概念, 给出了冗长的逻辑证明. 尽管如此,
他还是暗用了一条未加说明的公理, 即如果 a, b
都被c 整除, 则a- mb也能被c 整除.中国古算采
用的! 更相减损∀方法,实际上也暗用了一条未加
说明的公理, 即若 a- b 可以被c 整除,则 a, b 都
能被c 整除. 正如刘徽在九章算术注 中! 其所以
相减者, 皆等数之重叠∀. 从形式上看! 更相减损
术∀比! 辗转相除法∀更复杂, 循环次数要比辗转相
除法多, 但对于计算机来说, 作乘除运算要比作加
减运算慢得多, 因此更相减损术在计算机上更为
好用.
26 数学通报 2010 年 第49 卷 第2 期2. 1. 2 求一元 n 次多项式值的算法(秦九韶算
法)
秦九韶,南宋著名数学家,其学术思想充分体
现在数书九章 这一光辉名著中,该著作不仅继
承了九章算术 的传统模式, 对中算的固有特点
发扬光大,而且完全符合宋元社会的历史背景, 是
中世纪世界数学史上的光辉篇章. 书中记载了! 正
负开方术∀、 ! 大衍求一术∀等著名算法.
在数书九章 卷五第 17 个问题以! 尖田求
积∀为例的算法程序中,可以看出秦九韶对于求一
元n 次多项式f ( x ) = anx
n
+ an- 1 x
n- 1
+ %+ a1x
+ a0 的值所提出的算法.秦九韶算法的特点在于
通过反复计算n 个一次多项式,逐步得到原多项
式的值. 在欧洲, 英国数学家霍纳( Horner ) 在
1819 年才创造了类似的方法, 比秦九韶晚了572
年.秦九韶算法把求f ( x ) = anx
n
+ an- 1 x
n- 1
+ %
+ a1x + a0 的 值 转 化 为 求 递 推 公 式
v0= an
vk= vk- 1x+ an- k k= 1, 2, %, n
中 v n 的值. 通
过这种转化, 把运算的次数由至多( 1+ n) n
2
次乘
法运算和n 次加法运算,减少为至多 n 次乘法运
算和n 次加法运算,大大提高了运算效率.这种算
法的QBASIC 语言程序如程序 4 所示.算法步骤
是如下的五步: 第一步, 输入多项式次数 n、 最高
次项的系数an 和x 的值;第二步,将 v 的值初始
化为a v ,将i 的值初始化为n- 1; 第三步, 输入 i
次项的系数ai ;第四步, v= v x+ ai , i= i- 1; 第五
步,判断i 是否大于或等于 0, 若是, 则返回第三
步,否则输出多项式的值v .
2. 2 中国古代的几何学
中国古代的几何学从田亩丈量等生产生活中
的一些实际问题中产生, 并为生产生活服务. 基于
传统实用价值观的影响, 中国古代的几何学并没
有发展成为像欧氏几何那样严密的公理化演绎体
系,所以中国古代几何学在整个数学史上的地位
并不突出,但在许多几何问题的处理上也突出了
算法化这一特色. 下面以! 割圆术∀为例作简要
分析.
中国古代数学家刘徽创立! 割圆术∀来求圆的
面积及其相关问题. 刘徽! 瓤而裁之∀,即对与圆周
合体的正多边形进行无穷小分割,分成无穷多个
以正多边形每边为底、 圆心为顶点的小等腰三角
形, 这无穷多个小三角形的面积之和就是圆的面
积. 这样通过对直线形的无穷小分割, 然后求其极
限状态的和的方式证明了圆的面积公式.刘徽的
算法! 割之弥细,所失弥少,割之又割, 以至于不可
割, 则与圆合体而无所失矣∀体现出程序化的过
程, 可以看出圆内接正多边形逐渐逼近圆的变化
趋势,并且刘徽依此开创了求圆周率精确近似值
的方法, 将这种极限思想用于近似计算.其中包含
有迭代过程和子程序,是一种典型的循环算法,充
分体现了程序化的特点.
中算家的几何学,并不追求逻辑论证的完美,
而是着重于实际计算问题的解决, ! 析理以辞, 解
体用图∀, 以建立解决问题的一般方法和一般原
则. 但另一方面,这种几何学又是以面积、 体积、 勾
股相似等为基本概念,以长方形面积算法、 长方形
体积算法、 相似勾股形的性质为出发点的, 整个几
何理论建立在! 出入相补原理∀等基本原理之上.
例如,由勾股定理自然地引起平方根的计算问题,
而求平方根和立方根的方法, 其步骤就是以出入
相补原理为几何背景逐步索骥而得.这方面内容
的介绍, 不仅可以丰富学生的算法知识,而且可以
通过揭示蕴藏其中的数学背景和文化内涵, 激发
学生学习算法的兴趣,体会算法在人类发展史中
的作用.
3 中国古代数学算法的教学价值
3. 1 培养正确数学观的良好平台
中国传统算法尽管与现代算法在具体形式上
差别很大,但是重要的是形式后面的认识论发展
线索可以为现代算法教学的体系、 教学层次提供
依据.它的具体数学知识载体也是现代算法教学
的重要源泉. 各种算法的创立就是创造性劳动的
产物,即是创造思维的一种! 凝固∀和! 外化∀. 其
次, 通过把一部分问题的求解归结为对于现成算
法的! 机械应用∀, 这就为人们积极地去从事新的
创造性劳动提供了更大的可能性. 从而算法化也
就意味着由一个平台向更高点的跳跃.
吴文俊先生的研究使中国传统数学的算法重
见天日, 开拓了数学机械化的新领域, 吴先生提出
! 数学教育的现代化就是机械化∀.他在研究中这
样写道: 数学问题的机械化, 就要求在运算和证明
过程中, 每前进一步之后,都有一个确定的必须选
27 2010 年 第49 卷 第2 期 数学通报择的下一步, 这样沿着一条有规律的, 刻板的道
路,一直达到结论.证明机械化的实质在于, 把通
常数学证明中所固有的质的困难,转化为计算的
量的复杂性.计算的量的复杂性在过去是人力不
可能解决的,而计算机的出现解决了这种复杂性.
吴先生的理论和实践已经表明,证明和计算是数
学的两个方面, 且又是统一的,这在数学教育中具
有重要意义.我们应当引导学生了解古人对问题
思考的角度,学会站在巨人的肩膀上,比如按照中
国古代开方术的思路就可以编造程序在现代计算
机上实现开方.
培养学生在学习数学知识的同时更多地关心
所学知识的社会意义和历史意义,力图在面向未
来的同时,通过同传统上的哲学、 历史和社会学的
思想结合起来, 形成正确的数学观.算法教学就为
此搭建了一个良好的平台, 并且承载丰富的历史
底蕴.
3. 2 渗透爱国主义教育的最佳契机
与西方相比, 中算理论具有高度概括与精练
的特征, 中算家经常将其依据的算理蕴涵于演算
的步骤之中, 起到! 不言而喻, 不证自明∀的作用,
可以认为中国传统数学乃是为建立那些在实际中
有直接应用的数学方法而构造的最为简单, 精巧
的理论建筑物. 因此, 中算理论可以说是一种! 纲
目结构∀:目是组成理论之网的眼孔;纲是联结细
目的总绳.以术为目, 以率为纲,即是依算法划分
理论单元,而用基本的数量关系把它们连结成一
个整体. 纲举目张,只有抓住贯串其中的基本理论
与原理, 才能看清算法的来龙去脉.下面是吴文俊
先生总结的! 关于算术代数部分发明创造的一张
中外对照表∀.
从算法教学管窥中国古代数学史
中国 外国
位值制十进位记 最迟在九章算术 成书时已十分成熟 印度最早在 6 世纪末才出现
分数运算 周髀算经 中已有, 在九章算术 成
书时已成熟 印度最早在 7 世纪才出现
十进位小数 刘徽注中引入, 宋秦九韶 1247年时已
通行 西欧 16 世纪时始有之, 印度无
开平方、 立方 周髀算经 中已有开平方, 九章算
术 中开平、 立方已成熟
西方在 4 世纪末始有开平方, 但还无开立方, 印度
最早在 7 世纪
算术应用 九章算术 中有各种类型的应用问题 印度 7 世纪后的数学书中有某些与中国类似的问
题与方法
正负数 九章算术 中已成熟 印度最早见于 7 世纪,西欧至 16 世纪始有之
联立一次方程组 九章算术 中已成熟 印度 7 世纪后开始有一些特殊类型的方程组, 西
方迟至 16 世纪始有之
二次方程 九章算术 中已隐含了求数值解法,
三国时有一般解求法 印度在 7 世纪后,阿拉伯在 9世纪有一般解求法
三次方程 唐初( 公元 7 世纪初) 有列方程法, 求
数值解已成熟
西欧至 16 世纪有一般解求法, 阿拉伯 10 世纪有
几何解
高次方程 宋时( 12 # 13 世纪)已有数值解法 西欧至 19 世纪初始有同样方法
联立高次方程组与消元法 元时( 14 世纪初) 已有之 西欧甚迟,估计在 19 世纪
28 数学通报 2010 年 第49 卷 第2 期3. 3 品位数学美学思想的美妙境界
中国古代数学不但具有实用性特征, 还蕴涵
着丰富的美学思想. 比如九章算术 中列方程的
方式,相当于列出其增广矩阵,其消元过程相当于
矩阵变换,而矩阵是数学美学方法中对称最典型
的表现形式之一; 九章算术 中用几何方法巧妙
地解决了很多代数问题, 这是数形结合的统一: 把
数学问题改编成歌诀,以便于掌握和传授,这是文
学艺术与数学的统一. 总之, 在算法教学中, 应努
力把握和利用自己文化传统中的积极因素进行教
学,这对数学教育的发展具有重要的意义.
参考文献
1 中学数学课程教材研究开发中心. 普通高中课程标准实验教
材书(数学) [ M] . 北京: 人民教育出版社, 2007
2 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准(实验) [ M] .
北京: 人民教育出版社, 2003
3 李文林. 数学史概论(第二版) [ M ] . 北京: 高等教育出版
社, 2002
4 王鸿钧, 孙宏安. 中国古代数学思想方法[ M] . 南京: 江苏教育
出版社, 1988
5 张维忠. 数学, 文化与数学课程[ M] . 上海: 上海教育出版
社, 1999
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社, 1995
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8 费泰生. 算法及其特征[ J] . 数学通讯, 2004, 7
9 张奠宙. 算法[ J] . 科学, 2003, 55( 2)
10 李建华. 算法及其教育价值[ J ] . 数学教育学报, 2004, 3
11 李亚玲. 算法及其学习的意义[ J ] . 数学通报, 2004, 2
(上接第23 页) 实验教师对课改实验进行探索、 总
结、 反思、 调整, 推广比较成熟的经验,同时纠正实
验过程中的偏颇与极端行为,教学过程逐步进入
新的稳定阶段.教学过程逐步过渡到以问题为主
线、 以活动为主线的! 无环节∀模式.
( 2)受不同的教学理念影响, 教师角色、 学生
角色、 教学目标、 教学过程关注点等方面, 在教学
过程中有很大差异.
教师角色 学生角色 教学目标 教学过程关注
领导者
(权威)
接 受 者
(被动)
让 学 生 掌
握 数 学 知
识技能
知识 引入, 讲 解
本质, 巩固练习
主导者
(决定)
观 察 者
(协助)
让 学 生 观
摩 数 学 产
生过程
展示 过程, 注 重
建构, 强化训练
引导者
(组织)
参 与 者
(主动)
让 学 生 参
与 探 究 数
学 生 成 过
程
问题 情境, 提 出
问题, 学生活动
( 3) 2004 年高中数学课程改革后, 课堂教学
发生一定的变化,广泛地进行! 创设情境∀! 提出问
题∀!引导学生探究探索∀, 出现了以! 问题主线∀、
! 活动主线∀为主的课堂, 出现了! 问题情境学生
活动建立数学运用数学同顾反思∀的整体课堂
构思.这些改变对于揭示数学的内在本质, 发展学
生的思维能力起到积极的作用.
( 4) 由于受多种因素制约(特别是高考) ,与初
中相比, 本次课改后高中数学课堂教学变化幅度
不大,近半数的课堂教学模式仍然以五环节为主.
对于课改倡导的教学理念, 只是渗透在传统的教
学模式中,目前高中数学课堂教学改革的力度、 深
度与课改的预期目标还有一定的距离.我们看到
2008 年的赛课教案的创新、 探索力度, 远没有
1990 年的名师授课录 大, 那时还没有明确提出
课改理念,但他们却进行积极的探索, 关注学生主
体. 而今天,课改的理念已经系统培训 5 年, 许多
教师仍停留在形式层面,未能变成自觉的行为.
参考文献
1 李善良. 我国数学教学设计的探索与评析# # # 兼及十年初中
数学教师说课评比活动[ J ] . 中国数学教育(初中版) , 2007, 9
2 编委会. 名师授课录(中学数学高中版) [ M] , 上海教育出版
社, 1991
3 2000 年全国首届高中青年数学教师优秀课观摩与评比的教
案(会议资料)
4 2008 年全国第四届高中青年数学教师优秀课观摩与评比的
教案(会议资料)
5 李善良. 关于数学教学中问题的设计[ J] . 高中数学教与学,
2008, 1
29 2010 年 第49 卷 第2 期 数学通报
魅力无比的定理证明
——勾股定理的证明
勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。
在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。
首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。
1．中国方法
画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。
左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是
a2+b2=c2。
这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。
2．希腊方法
直接在直角三角形三边上画正方形，如图。
容易看出，
△ABA’ ≌△AA’’ C。
过C向A’’B’’引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。
△ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。
于是，
S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC，
即 a2+b2=c2。
至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。
这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。
以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念：
⑴ 全等形的面积相等；
⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。
这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。
我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法：
如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。
赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。
西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。
下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。
如图，
S梯形ABCD= (a+b)2
= (a2+2ab+b2)， ①
又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED
= ab+ ba+ c2
= (2ab+c2)。 ②
比较以上二式，便得
a2+b2=c2。
这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。
在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则
△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。
由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ①
由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ②
我们发现，把①、②两式相加可得
BC2+AC2=AB（AD+BD），
而AD+BD=AB，
因此有 BC2+AC2=AB2，这就是
a2+b2=c2。
这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。
在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法：
设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理
c2=a2+b2-2abcosC，
因为∠C=90°，所以cosC=0。所以
a2+b2=c2。
这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。
人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。
欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。
从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。
勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。
若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。
如此等等。
【附录】
一、【《周髀算经》简介】
《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。
《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。
二、【伽菲尔德证明勾股定理的故事】
1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边长分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答道：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。
于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
转引自：中“数学的发现”栏目。图无法转贴，请查看原文。
魅力无比的定理证明
——勾股定理的证明
勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。
在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。
首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。
1．中国方法
画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。
左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是
a2+b2=c2。
这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。
2．希腊方法
直接在直角三角形三边上画正方形，如图。
容易看出，
△ABA’ ≌△AA’’ C。
过C向A’’B’’引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。
△ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。
于是，
S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC，
即 a2+b2=c2。
至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。
这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。
以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念：
⑴ 全等形的面积相等；
⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。
这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。
我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法：
如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。
赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。
西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。
下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。
如图，
S梯形ABCD= (a+b)2
= (a2+2ab+b2)， ①
又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED
= ab+ ba+ c2
= (2ab+c2)。 ②
比较以上二式，便得
a2+b2=c2。
这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。
在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则
△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。
由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ①
由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ②
我们发现，把①、②两式相加可得
BC2+AC2=AB（AD+BD），
而AD+BD=AB，
因此有 BC2+AC2=AB2，这就是
a2+b2=c2。
这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。
在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法：
设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理
c2=a2+b2-2abcosC，
因为∠C=90°，所以cosC=0。所以
a2+b2=c2。
这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。
人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。
欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。
从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。
勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。
若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。
如此等等。
