离散数学是研究散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的重要分支，通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为以后续课创造条件而且可以提高抽象思维和逻辑推理能力，为将来参加与创新性的研究和开发工作打下坚实基础。离散从字面上理解好像是一门很散的学科，但觉得离散字面散而其内神不散。
在中学学习了一些简单逻辑，那些都是一些与生活有关或是学习中一些常识就可判断命题真假的命题。这些简单逻辑对学生的思维逻辑推理能力有一定的训练作用，但中学中的简单逻辑没有严格的证明和公式的推导。一些问题都是凭借日常生活经验或学习中的一些常识就能把命题的正确性作出判断。数理逻辑是以散量为主要载体，通过一系列逻辑连接词来演绎命题并用一定公式判断命题的正确性。数理逻辑对公式有严格的证明，并把命题符号化，使得推理更有序，更可靠。数理逻辑是简单逻辑的提高和精神的升华。数理逻辑提出简单逻辑并未有的散量及一系列公式。数理逻辑为解决简单逻辑的解法提出多样化，为简单逻辑提供更严谨有效的解题途径。
数理逻辑是数学的一个分支，也是逻辑学的分支。是用数学方法研究逻辑式形式逻辑的学科。其研究对象是对证明和计算这两个直观慨念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。数理逻辑是离散数学的主要组成部分，也是现代科学理论的重要组成部分。现代的电子计算机大多是以散量为基数以数理逻辑的方法而运行的，数理逻辑对计算机技术的发展起到举足轻重的作用，不仅如此，在日常生活中人们学习数理逻辑会对人们在生活中分析一些事物形成独特见解。数理逻辑可以提高抽象思维和逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下结实基础。
一阶逻辑等值演算与推理，是数理逻辑的重要组成部分，在一阶逻辑中引入了个体词、谓词和量词的一阶逻辑命题符号化的三个基本要素。这在数理逻辑前几章的学习中都是未提到的，然而有了这些基本要素就把数理逻辑所研究的内容加以拓宽，思维的要求也有所提高。一些逻辑等值演算与推理也大大的增加了数理逻辑的推理方式，为数理逻辑在科学理论中的应用添上了浓墨重彩的一笔。对于一阶逻辑等值演算是数理逻辑前几章的延伸，也是前几章的提高。一阶逻辑为以后续课打下了各方面的条件，使得数理逻辑更加完美。
图论是以图为基本元素，而图的定义是：人们常用点表示事物，用点与点之间是否有某种关系，这样构成的图形就是图论中的图。从这种定义可把数理逻辑的每一个章节的推理公式分为不同的点，而每一章就相当于图论中的图。数理逻辑的各章间的关系就是图与图之间的关系，形成图论的基本要素。从点与点的紧密联系，图与图之间的各项关系，可以看出离散数学是一门严谨的学科，虽然离散字面散而其内神不散。
失散数学概述
失散数学(Discrete mathematics)是数学的几个分支的总称，以研究失散量的结构和彼在这之间的关系为首要目标，其研究对象一般地是有限个或可数无限个元素；是我们计算机学科的基础。
由于数码电子计算机是一个失散结构，它只小聪明理失散的或失散化了的数量关系， 是以，无论计算机科学本身，照旧与计算机科学及其应用紧密感情好相关的现代科学研究领域，都面临着如何对失散结构建立相应的数学模子；又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模子失散化，从而可由计算机加以处理。
简而论之，一般以为，失散数学包孕了以下几个子学科：数理思维规律、集合论、关系论、函数论、代数系统与图论。失散数学的产生与发展伴跟着历史上著名的三次数学危机。
数学危机是数学正义在界说上的不完全或不够严谨，导致在理性推论下，将会得到纰缪的结论。例如：在无理数还没被发明之前，在毕氏定理中浮现腰长为1的等腰直角三角学形的斜边长度，竟是无法写成有理数的数。这是第一次数学危机。第二次数学危机则是为相识决飞矢不动的悖论而产生的极值问题。第三次数学危机则是因罗素悖论而起，罗素悖论点出了数学集合论中的缺失。
第一次数学危机
从某种意义上来讲，现代意义下的数学（也就是作为演绎系统的纯粹数学）来源于古希腊的毕达哥拉斯学派。这个学派畅旺的时期为公元前500年左右，它是一个唯心主义门户。她们正视自然及社会形态中不变因素的研究，把几何、算术、精密天文学、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐及规律性。她们以为“万物皆数”，以为数学的常识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。数学的常识是由于纯粹的思维而获得，其实不需要观察、直觉及日常经验。
毕达哥拉斯的数是指整数，她们在数学上的一项重大发明是证了然勾股定理。她们知道满足直角三角学形三边长的一般公式，但由此也发了然一些直角三角学形的三边比不能用整数来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。这样一来，就否认了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切征象都能归结为整数或整数之比。
不可通约性的发明导致第一次数学危机。有人说，这种性质是希帕索斯约在公元前400年发明的，为此，他的同伴把他抛进大海。不外更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希帕索斯因泄密而被处死。不管如何，这个发明对古希腊的数学观点有极大的冲击。这表白，几何学的某些真谛与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇官位地方受到挑战，于是几何学起头在希腊数学中占有特殊官位地方。
同时这也反应出，直觉和经验不肯定是靠得住，而推理证实才是可靠的。从此希腊人起头由“自明的”正义出发，颠末演绎法，并由此建立几何学系统，这不能不说是数学思想上一次巨大革命，这也是第一次数学危机的自然产物。
回顾以前的各类数学，无非都是“算”，也就是提供算法。纵然在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的。比如泰勒斯预测日蚀，利用影子距离计算金字塔高度，丈量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围的。至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并无经历过这样的危机和革命，以是也就一直逗留在“算学”阶段。而希腊数学则走向了完全不同的道路，形成了欧几里得《几何原本》的正义系统与亚里士多德的思维规律系统。
亚里士多德的要领论对于数学要领的影响是巨大的，他指出了正确的界说原理。亚里士多德继承本身老师柏拉图的观念，把界说与存在区分，由某些属性来界说的东西可能未必存在(如正九面体)。另外，界说必须用已存在的界说过的东西来界说，以是肯定有些最原始的界说，如点、直线等。而证实存在的要领需要规定和限制。
亚里士多德还指出正义的必要性，因为这是演绎法的起点。他区别了正义和公设，以为正义是一切科学所公有的真谛，而公设则只是某一门学科独有的最基本的原理。他把思维规律规律(矛盾律、排中律等)也列为正义。
亚里士多德对思维规律推理过程进行深入研究，得出三段式法，并把它表达成一个正义系统，这是最先的正义系统。他关于思维规律的研究不仅使思维规律形成一个独立学科，而且对数学证实的发展也有良好的影响。
亚里士多德对于失散与连续的矛盾有肯定是阐述。对于潜在的无限(大)和实在的无限(大)加以区别。他以为正整数是潜在无限的，因为任何整数加之1以后总能得到一个新的数。但是他以为所说的“无限集合”是不存在的。他以为空间是潜在无限的，时间在延长上是潜在无限的，在细分上也是潜在无限的。
欧几里得的《几何原本》对数学发展的作用无需在此多谈。不外应该指出，欧几里得的贡献在于他有史以来第一次总结了以往希腊人的数学常识，构成一个标准化的演绎系统。这对数学以致哲学、自然科学的影响一直延续到十九世纪。牛顿的《自然哲学的数学原理》和斯宾诺莎的《伦理学》等都采用了欧几里得《几何原本》的编制。
欧几里得的平面几何学为《几何原本》的最初四篇与第六篇。其中有七个原始界说，五个正义和五个公设。他规定了存在的证实倚赖于构造。
几何原本》在西方世界成为仅次于《圣经》而流传最广的书籍。它一直是几何学的标准巨著。但是它还存在许多缺点其实不断受到攻讦，比如对于点、线、面的界说是不严格的：“点是没有部分的对象”，“线是没有宽度的长度(线指曲线)”，“面是只有长度和宽度的对象”。显然，这些界说是不能起思维规律推理的作用。特别是直线、平面的界说更是从直观来解释的(“直线是同其中各点看齐的线”)。
另外，他的正义五是“整体大于部分”，没有涉及无限量的问题。在他的证实中，本来的正义也不够用，须加之新的正义。特别是平行公设是否可由其他正义、公设推出更是人所瞩目的问题。尽管如此，近代数学的系统特点在其中已经基本上形成了。
