浅谈初中函数教学方法论文
【摘要】 在初中数学中，二次函数占据了很大的比重.二次函数对学生来说既是难点又是重点.教学过程中的难点是学生对二次函数的很多概念并不理解，另外解题过程中出现的各种问题也会影响学生学习的积极性.针对教学中的这些问题，本文对二次函数的定义重新做了系统的注释，同时对教学过程中比较适合初中学生学习的教学方法进行讨论.
【关键词】 初中数学；二次函数；教学策略
初中数学在中考中占据了很大的比重，也是学生学习过程中的很重要的基础学科，在日常生活中，数学的运用也会带来很多的好处.二次函数的学习，不仅可以提升学生对数字的敏感度，也可以提升学生的逻辑思维，改善学生对于学习的态度以及方法，进而提高学习成绩.所以，要切实改进二次函数的教学方法.
一、二次函数的概念
二次函数的概念是一个“形式化”概念，在教学时教师不能直接给出概念，而是把教学重点放在二次函数概念的形成过程上.因此，我采用了几个问题情境将学生一步步引入到概念中来.
情境一：一粒石子投入到水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大后的圆面积y与半径x有何关系？
情境二：用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔.（1）如果长方形的长为y米、宽为x米，那么y和x之间有何关系？（2）如果长方形的面积为y平方米、宽为x米，那么y和x之间有何关系？
情境三：运动员进行5千米的比赛，甲每小时走x千米，乙比甲每小时多走1千米，比赛结束甲比乙多用y小时，则y和x之间的关系式是什么？
情境四：要给边长为x米的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y为多少元？
以上的问题情境，都是函数的浓缩问题，尤其是最后两个问题就是从实际问题中找到两个变量，确定函数解析式，为形成二次函数概念做准备.所以，在二次函数的教学中，教师应该就二次函数的基础概念向学生进行详尽的阐述，使得学生对二次函数概念的理解达到较为深刻的层次.
二、二次函数的教学活动讨论
（一）课堂教学多样化
在实际教学中，单一的课堂会令学生的学习活动显露疲态，而多样化的课堂教学会提升学生的学习兴趣，同时加强学生对于知识点的掌握程度，尤其是对二次函数进行的教学活动，本来就需要学生有着很大的兴趣，不断地提出心中的疑惑，并且在教师的指导下展开验证并进行发散性的思考.所以，教师更应该在实际教学中不断地进行改进.比如，在学习二次函数的通式和其他变形形式时，可以就顶点式y=a（x+m）2+n与通式y=mx2+nx+c间的异同点展开教学.两种形式除了外在上的不同，在解题思路上也有着很大的差异.可以就二者的恒等变形进行推演，帮助学生更好地学习二次函数.
（二）数形结合，在图像中发现函数的规律
相比普通函数，二次函数的图像变化更为复杂.这里用顶点式作为例子，不同参数的变化都会对二次函数的图像产生很大的影响.而随着教学活动的日益繁重，初中数学教师现在很难有时间以及精力有机会领学生绘制二次函数的图像.这就使得学生很难对二次函数进行认真的学习，很难理解二次函数和其坐标之间的对应关系.所以，初中数学教学中二次函数图像的绘制是很有用的.同时，由于课时有限，为了保障教学质量，教师应使用坐标纸来带领学生进行图像的绘制，充分保障教学质量，并保障学生也可以熟练地画出相应二次函数的图像.比如，在教学活动中，教师可以先针对y=3x2，y=3x2+5，y=3x2-5，这三个二次函数的图像进行绘制，引导学生观察三个图像之间的位置变化，思考变化的原因.而后，带领学生绘制y=-x2，y=-（x-5）2，y=-（x+5）2的图像，然后让学生观察图像的变化，并找出规律.最后，引导学生对找到的规律进行归纳总结，使得学生做到数形结合，增强这方面的`意识，加强学生对于二次函数图像的认识，进而增加对二次函数性质的理解.
（三）激发学生兴趣，提高学习效率
相比其他学科的学习，数学学科的学习，尤其是二次函数的学习，是十分枯燥、抽象的.即使在进行图像绘制时，也需要大量的计算，这些机械性的学习都使得学生对数学学习、二次函数的学习提不起兴趣.为提高学生的学习兴趣，教师要主动进行趣味性的教学，如，利用现在日益普及的网络系统，借助多媒体设备进行教学，通过视频、图片进行趣味性教学.比如，通过FLASH动画技术来展现参数不同时图像的变化情况，使得学生对于二次函数的内在含义的掌握更加熟练.这些活动会使学生对二次函数的兴趣有着极大的改善.若教师在进行教学活动中发现学生已经有了厌学心理，要根据学生的实际情况，适当放宽对于学生的要求，以改善学生的厌学心理，避免进一步打击学生学习数学的积极性.初中阶段，学生正处于青春期，针对这一时期学生的特点，不要因为二次函数的学习受阻，进而影响学生对整个数学学科的学习热情.要充分引导学生进行学习，关注学生的心理变化，提升学生学习数学的积极性.
三、总结
因为二次函数在整个初中数学教学中扮演着很重要的角色，所以教师要充分重视在教学活动中加强学生对二次函数的理解.为了保障教学质量，教师要对教学活动进行详细的思考，根据所带学生的实际情况、二次函数的特性来进行有针对性的教学活动.通过数形结合的方法，加深学生对二次函数的图像的认知，减少学生因学习不到位而引发的厌学心理，充分保护好学生的求知欲，同时对学生不容易理解的部分以及容易混淆的部分加强教学.有效地改善教学质量，帮助学生在初中学习过程中可以开心有效地进行学习.
【参考文献】
[1]王正美.初中数学中“二次函数”的教学策略研究[J].学周刊，2014（22）：47.
[2]贾靖林.信息化环境下初中数学函数教学的策略研究[J].中国教育技术装备，2011（5）：85-86.
本学期，我们学习了许许多多的数学知识。从“几何”到“代数”再到“数形结合”。太多太多了。8个单元，分门别类，让我们看到了数学的精彩！其中我个人认为最有趣的就是第六单元“一次函数”。
一开始接触“函数”这个概念时还是非常陌生的。因为转眼望去，前面的单元基本是“小学”和“初一”接触过得。而对于“函数”来说确是几乎“一无所知”。只知道初一老师说过“可能性”和“函数”有着密切的关系。翻开这个单元时，真的有点“丈二和尚摸不着头脑”。
上面说了种种对“函数”概念的无知。所以自然在一开始学习的过程中会遇到“困难”。这单元的第一章从生活实际出发讲了“函数”的定义等等。这是一个比较“浮浅”的类容（从我现在的角度来说）。从这里我真正接触到了“函数”，但也许是学习没有完全进入。当时给我的印象就是：“函数好像是一个可有可无的好不重要的知识，甚至不明白为什么要学他。”第二章类容可以说就是对第一章的一个“浓缩”。好比第一章是个“橙子”，第二章就是把它榨成汁，然后就可以提高价值贩卖出去。学完后我对函数的印象还是那样，就像“橙子”和“橙汁”虽然“物态”不同，但味道还是差不多。真正的困难出现在第三章，谈到了“一次函数的图象”。可以老实说这章听得差不多是我本学期听的最累的一节课。老师发下来讲义，我那节课觉得您讲的奇快。我还没反应过来你就讲完了。我想班上大多数同学的感受也是如此吧！我终于意识到“函数”不是那么好学的。于是我就开始多做练习，慢慢的我对“函数”渐渐熟悉，随着课程的继续尤其是“函数的实际运用”这节课也使我对函数的印象大大改变。觉得“函数”好像是我们所学课程中与实际生活最紧密的一个单元了。
以上就是我学习“一次函数”的经历。下面我们在来分析一下“一次函数”。从类别上讲，“一次函数”是一个“数形结合”的“典范”。它体现了“代数”和“几何”的“互利”关系，说明二者“缺一不可”。使我们对“代数”“几何”有了全新认识，觉得他们的界线渐渐模糊了。其次“一次函数”我认为是一个有趣，神奇的类容。它有趣在千变万化的图象，它神奇在只用几笔简捷的线条就可以表达出需要“长篇大论”的文字所表达的变化规律。不能不觉得“一次函数”充满了“魔力”。此外这章的编排也是十分“成功”的，与前一章“位置的确定”联系紧密，可以使学过的知识由此得到“巩固”，更可以“由此及彼，举一反三，一通百通”。我想2章的联合编排更是教会我们“复习整理”的学习方法。所以由“一次函数”可以看出，北师大教材的编派不仅注重“知识”还注重“方法”。“一次函数”也使我对这本教材有了全新的认识和看法。
“一次函数”不仅有趣而且更是“历届”中考的“重中之重”。所以无论从“素质教育”和“应试教育”的角度来说“一次函数”都是一节非常好的类容。
以上就是我的这篇“数学小论文－一次函数”，所有观点只是我个人之见，谢谢！
I、定义与定义式： \n自变量x和因变量y有如下关系： \ny=kx+b（k，b为常数，k≠0） \n则称y是x的一次函数。 \n特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 \n\nII、一次函数的性质： \ny的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k \n即 △y/△x=k \n\nIII、一次函数的图象及性质： \n1． 作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。 \n2． 性质：在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。 \n3． k，b与函数图象所在象限。 \n当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； \n当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 \n当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b＜0时，直线必通过三、四象限。 \n特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。 \n这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。 \n\nIV、确定一次函数的表达式： \n已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。 \n（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。 \n（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程： \ny1=kx1+b① 和 y2=kx2+b②。 \n（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。 \n（4）最后得到一次函数的表达式。 \n\nV、一次函数在生活中的应用 \n1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。 \n2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
例析一次函数的常见问题
一次函数是初中数学的重要内容之一，在历年的中考中，
不仅一些基础题出现，而且一些联系实际的应用题也频频“亮
相”。因此，现就有关一次函数的一些常见问题举例分析如下：
一、有关字母的取值（取值范围）
例1已知y=(k2-1)x2+(k+1)x+k是一次函数，求k的值。
简析掌握一次函数的定义“形如y=kx+b(k、b为常数k≠
0)的函数，叫做一次函数”是解决这类问题的关键，一定不要忽
视了k≠0的隐含条件，否则就会出错。
解由题意，得k2-1=0，k+1≠0。∴k=1。
二、确定一次函数的表达式
例2已知一次函数的图象经过点（3，0）和点（2，5），求这
个一次函数的表达式。
简析这是一道最常见最基础的确定一次函数关系式的
问题，在一次函数y=kx+b(k、b为常数k≠0)中有两个待定系数
k和b，需要两个独立的条件，常见的求函数关系式的题型主要
有利用定义求表达式，利用一次函数的性质求表达式等。
确定一次函数表达式的一般步骤：
（1）设出含有待定系数的一次函数关系式；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得
到关于待定系数的方程（方程组）；
（3）解方程（方程组），求出待定系数；
（4）把求出的待定系数的值代入所设的关系式。
解设一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0)
由题意，得3k+b=0，2k+b=5,解之得k=-5,b=15。
∴这个一次函数的表达式为y=-5x+15。
三、一次函数的图象所在象限
例3一次函数在同一坐标系下的图象是图1中的（）。
简析一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，它所经
过的象限是由k、b的符号决定的，理解掌握它们的关系，才可
以轻松熟练的解答此类问题。解选（A）。
四、有关一次函数图象的交点
（一）与坐标轴的交点问题。（略）。
（二）两个一次函数的图象交点问题。
例4已知两条直线y=2x-3和
y=6-x。①求它们的交点坐标；②利用函
数图象解不等式：2x-3＞6-x；③求这两
条直线与轴围成的三角形的面积。
简析①二元一次方程组都对应两
个一次函数，于是也对应两条直线。从
“数”的角度看，解方程组相当于求自变
量的取值，使两个函数的值相等；从“形”
的角度看，解方程组相当于确定两条直
线的交点坐标。
②一次函数与二元一次方程组之间的关系是解决一次函
数与一元一次不等式的基础，正确理解交点坐标与自变量、函
数值之间的关系，是解决这类问题的关键。
③直线与坐标轴围成的三角形的面积是常见的一次函数
综合性较强的题目，它涉及了许多关于坐标、函数的基础内容。
这里，正确求出两条直线的交点坐标，是解决直线与坐标轴围
成三角形的面积的前提。
解①解方程组y=2x-3，y=6-x得x=3,y=3。
∴直线y=2x-3和y=6-x的交点为（3，3）。
②在同一平面直角坐标系中分别画出
直线y=2x-3和y=6-x，（如图2），可以看出，两直线的交点
为（3，3）。又由图所示，当x＞3时，对于同一个x，直线y=2x-3
上的点在直线y=6-x上相应点的上方，这时，2x-3＞6-x，所以不
等式的解集为x＞3。
③设直线y=2x-3与x轴的交点为A点，直线y=6-x与x
轴的交点为B点。
令y=0，分别代入两直线表达式得A（3/2，0）、B（6，0），
∴AB＝6-3/2=9/2，
又由①知两直线的交点为（3，3）
∴这两条直线与轴围成的三角形的面积为:
S＝1
2×
9
2×
3=2
7
4。
五由函数图象提供信息的问题
例5《邹城日报》2007年
9月12日报道了“养老保险执
行新标准”的消息。尚河中学课
外活动小组根据消息中提供的
数据，绘制出邹城企业职工养
老保险个人月缴费y（元）随个
人月工资x（元）变化的图象，
如图3，请你根据图象提供的信息解答下面的问题：
（1）赵工程师5月份的工资是3500元，这月他个人应缴
养老保险元；
（2）小王5月份的工资是550元，这月他个人应缴养老保
险元；
（3）李师傅5月份个人养老保险56元，求他5月份的工资
是多少。
简析这是以图象提供信息为特征，考查一次函数的综合
应用题。解决这类问题首先应具备阅读图象的能力，然后要有
分类的数学思想，要注意“分段”地观察图象，即自变量分成若
干“段”，观察各“段”中图象的变化情况，逐一加以分析。
解从图象易得（1）填195.2元；（2）填38.99元；
（3）设中间线段所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0)，
由图象，知该直线过点（557，38.99）和（2786，195.2）
∴2786k+b=195.2,557k+b=38.99。解之得k=7/100，b=0
∴y=7x/100。
∴当y=56时，x=800，即李师傅5月份的工资为800元。
(A)(B)(C)(D)
y=2x-3
y=6-x
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求解一次函数表达式
求一次函数表达式是一次函数中常见的问题.下面把此类问题的常见题型归纳如下,供同学们参考.
一、定义型
例1 已知函数y=(m-2)xm2-3+5是一次函数,求其表达式.
解 由一次函数的定义,知m-2≠0且m2-3=1,所以m=-2.
所以这个一次函数的表达式为y=-4x+5.
点拨 利用一次函数定义求表达式时,要注意两点:一是自变量的系数不为0;二是自变量的次数是1,这两点必须同时满足,所以本题在保证次数m2-3=1的同时还要保证系数m-2≠0.
二、代入型
例2 已知一次函数y=kx-3的图像过点(-2,1),求这个函数的表达式.
解 因为一次函数y=kx-3的图像过点(-2,1),所以1=-2k-3,解得k=-2.
故这个一次函数的表达式为y=-2x-3.
点拨 本题依据函数的性质:函数图像经过一点,则该点坐标满足此函数关系式.这也是解决此类问题的关键.
例3 已知一次函数的图像过点(2,1)且与y轴的交点坐标为(0,3),则这个函数的表达式为.
解 设这个一次函数的表达式为y=kx+b,依题意,得2k+b=1,b=3,解得k=-1,b=3.
所以这个一次函数的表达式为y=-x+3,故填y=-x+3.
评注 这是一道典型的用待定系数法求表达式的问题,此法最为有效,应用也很广泛,同学们要用心揣摩,以领悟其本质.
三、平移型
例4 将直线y=3x-1向上平移3个单位长度所得直线的表达式为.
解 设平移后的表达式为y=kx+b,因为平移前后两直线平行,所以k=3,直线y=kx+b与y轴的交点到原点的距离为3-1=2,所以b=2,所以平移后的表达式为y=3x+2,故填y=3x+2.
评注 解决这类平移问题还可以采用数形结合的方法,大致画出图像,根据题意再进行平移.
四、面积型
例5 已知直线y=kx+6与两坐标轴围成的三角形的面积等于12,求此函数的表达式.
解 易求直线与x轴的交点为(-6k,0),与y轴交点为(0,6),所以有12•6k•6=12,解得|k|=32,即k=±32.所以该直线的表达式为y=32x+6或y=-32x+6.
评注 一定要注意这类问题中满足条件直线有两种情况:直线上升时(即k>0)和下降时(k<0),很多同学在求这类问题时常常考虑不全没有加绝对值,而导致出错.
