半导体物理迅速发展及随晶体管发明使科家早50代设想发明半导体激光器60代早期组竞相进行面研究理论析面莫斯科列别捷夫物理研究所尼古拉·巴索夫工作杰19627月召固体器件研究际议美麻省理工院林肯实验室两名者克耶斯（Keyes）奎斯特（Quist）报告砷化镓材料光发射现象引起通用电气研究实验室工程师哈尔（Hall）极兴趣家火车写关数据家哈尔立即制定研制半导体激光器计划并与其研究员道经数周奋斗计划获功像晶体二极管半导体激光器材料p-n结特性敞弗搬煌植号邦铜鲍扩基础且外观亦与前者类似半导体激光器称二极管激光器或激光二极管早期激光二极管实际限制例能77K低温微秒脉冲工作8间才由贝尔实验室列宁格勒（现圣彼堡）约飞（Ioffe）物理研究所制造能室温工作连续器件足够靠半导体激光器则直70代期才现半导体激光器体积非米粒工作波依赖于激光材料般0.6～1.55微米由于种应用需要更短波器件发展据报导Ⅱ～Ⅳ价元素化合物ZnSe工作物质激光器低温已0.46微米输波0.50～0.51微米室温连续器件输功率已达10毫瓦迄今尚未实现商品化光纤通信半导体激光预见重要应用领域面世界范围远距离海底光纤通信另面则各种区网者包括高速计算机网、航空电系统、卫通讯网、高清晰度闭路电视网等目前言激光唱机类器件市场其应用包括高速打印、自由空间光通信、固体激光泵浦源、激光指示及各种医疗应用等晶体管利用种称半导体材料特殊性能电流由运电承载普通金属铜电导体电没紧密原核相连容易电荷吸引其物体例橡胶绝缘体 --电良导体--电能自由运半导体名字暗示处于两者间通情况象绝缘体某种条件导电
半导体物理学的迅速发展及随之而来的晶体管的发明，使科学家们早在50年代就设想发明半导体激光器，60年代早期，很多小组竞相进行这方面的研究。在理论分析方面，以莫斯科列别捷夫物理研究所的尼古拉·巴索夫的工作最为杰出。在1962年7月召开的固体器件研究国际会议上，美国麻省理工学院林肯实验室的两名学者克耶斯（Keyes）和奎斯特（Quist）报告了砷化镓材料的光发射现象，这引起通用电气研究实验室工程师哈尔（Hall）的极大兴趣，在会后回家的火车上他写下了有关数据。回到家后，哈尔立即制定了研制半导体激光器的计划，并与其他研究人员一道，经数周奋斗，他们的计划获得成功。像晶体二极管一样，半导体激光器也以材料的p-n结特性为敞弗搬煌植号邦铜鲍扩基础，且外观亦与前者类似，因此，半导体激光器常被称为二极管激光器或激光二极管。早期的激光二极管有很多实际限制，例如，只能在77K低温下以微秒脉冲工作，过了8年多时间，才由贝尔实验室和列宁格勒（现在的圣彼得堡）约飞（Ioffe）物理研究所制造出能在室温下工作的连续器件。而足够可靠的半导体激光器则直到70年代中期才出现。半导体激光器体积非常小，最小的只有米粒那样大。工作波长依赖于激光材料，一般为0.6～1.55微米，由于多种应用的需要，更短波长的器件在发展中。据报导，以Ⅱ～Ⅳ价元素的化合物，如ZnSe为工作物质的激光器，低温下已得到0.46微米的输出，而波长0.50～0.51微米的室温连续器件输出功率已达10毫瓦以上。但迄今尚未实现商品化。光纤通信是半导体激光可预见的最重要的应用领域，一方面是世界范围的远距离海底光纤通信，另一方面则是各种地区网。后者包括高速计算机网、航空电子系统、卫生通讯网、高清晰度闭路电视网等。但就目前而言，激光唱机是这类器件的最大市场。其他应用包括高速打印、自由空间光通信、固体激光泵浦源、激光指示，及各种医疗应用等。晶体管利用一种称为半导体的材料的特殊性能。电流由运动的电子承载。普通的金属，如铜是电的好导体，因为它们的电子没有紧密的和原子核相连，很容易被一个正电荷吸引。其它的物体，例如橡胶，是绝缘体 --电的不良导体--因为它们的电子不能自由运动。半导体，正如它们的名字暗示的那样，处于两者之间，它们通常情况下象绝缘体，但是在某种条件下会导电。
半导体中的电子状态 电子状态指的是电子的运动状态又常简称为电子态，量子态等。半导体之所 以具有异于金属和绝缘体的物理性质是源于半导体内的电子运动规律。 半导体内 的电子运动规律又是由半导体中的电子状态决定的。 晶体是由周期性地排列起来的原子所组成的。 每个原子又包含有原子核和电 子。本章的目的就是研究这些粒子的运动状态。 1.1 周期性势场 晶体中原子的排列是长程有序的，这种现象称为晶体内部结构的周期性。晶体内部 结构的周期性可以用晶格来形象地描绘。 晶格是由无数个相同单元周期性地重复排列组 成的。这种重复排列的单元称为晶胞。晶胞的选取是任意的，其中结构最简单，体积最 小的晶胞叫做原胞。三维晶格的原胞是平行六面体。二维晶格的原胞是平行四边形。一 维晶格的原胞是线段。原胞只含有一个格点，格点位于元胞的顶角上。 （例：二维晶格 和一维晶格的原胞） a r b Rm r′ a2 a1 c d 。。 二维晶格元胞 Rm=3a1+ a2 以任一格点为原点，沿原胞的三个互不平行的边，长度分别等于三个边长的一组矢 量称为原胞的基矢量，简称为基矢。记作 a1 , a2 , a3 。 晶格可以用基矢量来描述。矢量 1 Rm = m1a1 + m2 a2 + m3 a3 = ∑ mi ai i =1 3 ( m1，m2，m3 是任意整数 ) （1-1） 确定了任一格点的位置，称为晶格矢量。 r 和 r = r + Rm 为不同原胞的对应点。二者相 ' 差一个晶格矢量。可以说不同原胞的对应点相差一个晶格矢量。反过来也可以说相差一 个晶格矢量的两点是不同原胞的对应点。通过晶格矢量的平移可以定出所有原胞的位 置，所以 Rm 也叫做晶格平移矢量，晶体内部结构的周期性也叫做晶体的平移对称性。 晶体内部结构的周期性意味着晶体内部不同原胞的对应点处原子的排列情况相同， 晶体的微观物理性质相同。因此，不同原胞的对应点晶体的电子的势能函数相同，即 V (r ) = V (r ' ) = V (r + Rm ) （1-2） 式（1-2）是晶体的周期性势场的数学描述。图 1-1 给出一维周期性势场的示意图。 V1 , V2 , V3 …，分别代表原子 1，2，3，…，的势场，V 代表叠加后的晶体势场。周期性势场中的电子可以有两种运动方式，一是在一个原子的势场中运动，二是 在整个晶体中运动。比如具有能量 E1 或 E2 的电子在可以在原子 1 的势场中运动，根据 量子力学的隧道效应，它还可以通过隧道效应越过势垒 V 到势阱 2，势阱 3，…，中运 动。换言之，周期性势场中，属于某个原子的电子既可以在该原子附近运动，也可以在 其它的原子附近运动， 即可以在整个晶体中运动。 通常把前者称为电子的局域化运动 （相 应的电子波函数称为原子轨道） ，而把后者称为共有化运动（相应的电子波函数称为晶 格轨道） 。局域化运动电子的电子态又称为局域态。共有化运动的电子态又称为扩展态。 晶体中的电子的运动既有局域化的特征又有共有化特征。 如果电子能量较低， 例如图 1-1 中的 E2，在该能态电子受原子核束缚较强，势垒 V－E2 较大。电子从势阱 1 穿过势垒进 入势阱 2 的概率就比较小。对于处在这种能量状态的电子来说，它的共有化运动的程度 就比较小。但对于束缚能较弱的状态 E1，由于势垒 V－E1 的值较小，穿透隧道的概率就 比较大。因此处于状态 E1 的电子共有化的程度比较大。价电子是原子的最外层电子， 受原子的束缚比较弱，因此它们的共有化的特征就比较显著。在研究半导体中的电子状 态时我们最感兴趣的正是价电子的电子状态。 2 V1 V2 V1 V3 V2 V3 V E1 V V V E2 1 2 3 原子 图 1.1a 周期势场示意图 -2 -a 0 a 2 图 1.1b 周期为 a 的一维周期性势场 图 1.1 周期势场示意图 1.2 周期性势场中电子的波函数 布洛赫（Bloch）定理 布洛赫（ ） 布洛赫定理给出了周期性势场中电子的运动状态， 提供了研究晶体中电子运动的理 论基础。 1.2.1 单电子近似（哈崔 福克 Hartree-Fock 近似） 单电子近似（哈崔-福克 近似） 晶 体 是 由 规 则 的 ，周 期 性 排 列 起 来 的 原 子 所 组 成 的 ，每 个 原 子 又 包 含 有 原子核和核外电子。原子核和电子之间、电子和电子之间存在着库仑作用。 因 此 ，它 们 的 运 动 不 是 彼 此 无 关 的 ，应 该 把 它 们 作 为 一 个 体 系 统 一 地 加 以 考 虑 。也 就 是 说 ，晶 体 中 电 子 运 动 的 问 题 是 一 个 复 杂 的 多 体 问 题 。为 使 问 题 简 化 ，可 以 近 似 地 把 每 个 电 子 的 运 动 单 独 地 加 以 考 虑 ，即 在 研 究 一 个 电 子 的 运 动 时 ，把 在 晶 体 中 各 处 的 其 它 电 子 和 原 子 核 对 这 个 电 子 的 库 仑 作 用 ，按 照 它 们 的 几 率 分 布 ，平 均 地 加 以 考 虑 。也 就 是 说 ，其 它 电 子 和 原 子 核 对 这 个 电 子 3 的 作 用 是 为 这 个 电 子 提 供 了 一 个 势 场 。这 种 近 似 称 为 单 电 子 近 似 。单 电 子 近 似 方 法 也 被 称 之 为 哈 崔 -福 克 方 法 。 这 样 ， 一 个 电 子 所 受 的 库 仑 作 用 仅 随 它 自 己 的 位 置 的 变 化 而 变 化 。或 者 说 ，一 个 电 子 的 势 函 数 仅 仅 是 它 自 己 的 坐 标 的 函 数 。于 是 它 的 运 动 便 由 下 面 仅 包 含 这 个 电 子 的 坐 标 的 波 动 方 程 式 所 决 定 2 2 + V (r )ψ (r ) = E ψ (r ) 2m 式中 2 2 — 电子的动能算符 2m （ 1-3） V (r ) — 电子的势能算符，它具有晶格的周期性 — 电子的能量 — 电子的波函数 E ψ (r ) = h ， 2π h 为普朗克常数， 称为约化普朗克常数 1.2.2 布 洛 定 理 布 洛 定 理 指 出 ： 如 果 势 函 数 V (r ) 有 晶 格 的 周 期 性 ， 即 V (r ) = V (r + Rm ) 〔 公 式 （ 1-2） 〕则 方 程 式 （ 1-3） 的 解 ψ (r ) 具 有 如 下 形 式 ψ k (r ) = eik r uk (r ) 式 中 函 数 u k (r ) 具 有 晶 格 的 周 期 性 ， 即 （ 1-4） uk (r + Rm ) = uk (r ) 以上陈述即为布洛定理。 （ 1-5） 布 洛 定 理 中 出 现 的 矢 量 Rm 为 式 （ 1-1） 所 定 义 的 晶 格 平 移 矢 量 。 矢 量 k 4 称 为 波 矢 量 ，是 任 意 实 数 矢 量 。 k = 2π λ 称为波数， λ 为电子波长。 k 是标志 电 子 运 动 状 态 的 量 。 由 式 （ 1-4） 所 确 定 的 波 函 数 称 为 布 洛 赫 函 数 或 布 洛 赫 波。 由于 ψ k (r + Rm ) = eik (r +R )uk (r + Rm ) m = = 即 eik Rm eik r uk (r ) eik Rmψ k (r ) ψ k (r + Rm ) = eik R ψ k (r ) m （ 1-6） 式 （ 1-6） 是 布 洛 赫 定 理 的 另 一 种 表 述 。 式 （ 1-6） 说 明 ， 晶 体 中 不 同 原 胞 对 应点处的电子波函数只差一个模量为 1 的因子 e ik Rm 也就是说，在晶体中各 个 原 胞 对 应 点 处 电 子 出 现 的 概 率 相 同 ，即 电 子 可 以 在 整 个 晶 体 中 运 动 — 共 有 化运动。 我 们 现 在 考 察 波 矢 量 k 和 波 矢 量 k = k + Kn 标 志 的 两 个 状 态 。 ' 式中 K n = n1b1 + n2b2 + n3b3 = ∑ ni bi i =1 3 (1-7) 叫 做 倒 格 矢 （ reciprocal lattice vector） b1 ， b2 ， b3 叫 做 与 基 矢 a1 ， a 2 ， 。 a3 相 应 的 倒 基 矢 。 n1 ， n2 ， n3 为 任 意 整 数 。由 b1 ， b2 ， b3 所 构 成 的 空 间 称 为倒 空 间 (reciprocal space)或 倒 格 子 （ reciprocal lattice） b1 ， b2 ， b3 与 。 a1 ， a 2 ， a3 之 间 具 有 如 下 的 正 交 关 系 2π , i = j bi a j = 2πδ ij = 0, i ≠ j 且 （ i, j = 1， 2， 3） b1 = 2π (a 2 × a3 ) 5 b2 = b3 = 式中 2π (a3 × a1 ) 2π (a1 × a 2 ) = a1 ( a 2 × a 3 ) 为晶格原胞的体积。 （举例：晶格常数为 a 的一维晶格和它的倒格子： b = 2π / a 。 a ≈ 0.5nm, b ≈ 108 cm 1 ）晶 格 平 移 矢 量 Rm 和 倒 格 矢 K n 之 间 满 足 如 下 关 系 eiKn Rm = 1 利用上式，有 i k + K n Rm e ( ) = eiKn Rm eik Rm = eik Rm 由 于 波 矢 量 k 是 标 志 电 子 状 态 的 量 ，可 见 ，相 差 倒 格 矢 K n 的 两 个 k 代 表 的 是 同 一 个 状 态 。 举 例 ：倒 空 间 一 维 波 矢 量 ） （ 。因 此 ，为 了 表 示 晶 体 中 不 同 的 电 子态只需要把 k 限制在以下范围 0 ≤ k1 < 0 ≤ k2 < 0 ≤ k3 < 2π a1 2π a2 2π a3 即可。为对称起见，把 k 值限制在 6 或写作 π a1 ≤ k1 < ≤ k2 < ≤ k3 < π a1 π a2 π a2 π a3 π a3 π ≤ k i ai < π （ 1-8） 公 式 （ 1-8） 所 定 义 的 区 域 称 为 k 空 间 的 第 一 布 里 渊 （ 1st Brillouin Zone） 区。 布里渊区是把倒空间划分成的一些区域。布里渊区是这样划分的：在 倒 空 间 ，作 原 点 与 所 有 倒 格 点 之 间 连 线 的 中 垂 面 ，这 些 平 面 便 把 倒 空 间 划 分 成 一 些 区 域 ，其 中 ，距 原 点 最 近 的 一 个 区 域 为 第 一 布 里 渊 区（ 1stBZ）,距 原 点 次 近 的 若 干 个 区 域 组 成 第 二 布 里 渊 区 ，以 此 类 推 。这 些 中 垂 面 就 是 布 里 渊 区的分界面。 在 布 里 渊 区 边 界 上 的 k 的 代 表 点 ， 都 位 于 到 格 矢 Kn 的 中 垂 面 上 ， 它 们 满足下面的平面方程： k (Kn / Kn ) = 即 1 Kn 2 k Kn = 1 2 Kn 2 （ 1-9） k 取遍 k 空间除原点以外的所有所有 k 的代表点。可以证明，这样划分的布里渊区，具有以下特性： 1.每 个 布 里 渊 区 的 体 积 都 相 等 ， 而 且 就 等 于 一 个 倒 原 胞 的 体 积 。 7 2. 每 个 布 里 渊 区 的 各 个 部 分 经 过 平 移 适 当 的 倒 格 矢 K n 之 后 ，可 使 一 个 布 里 渊区与另一个布里渊区相重合。 3. 每 个 布 里 渊 区 都 是 以 原 点 为 中 心 而 对 称 地 分 布 着 而 且 具 有 正 格 子 和 倒 格 子的点群对称性。布里渊区可以组成倒空间的周期性的重复单元。 根 据 以 上 分 析 ，对 于 周 期 为 a 的 一 维 晶 格 ，第 一 布 里 渊 区 为 [ 第二布里渊区为[ π π 2π π π 2π , ）和[ , ） 余此类推。 。 a a a a , ） 。 a a 值得注意的是布里渊区边界上的两点相差一个倒格矢，因此代表同一个 状态。 常见金刚石结构和闪锌矿结构具有面心立方晶格，其第一布里渊区如图 1-2 所 示 。布 里 渊 区 中 心 用 Γ 表 示 。六 个 对 称 的 <100>轴 用 表 示 。八 个 对 称 的 <111>轴 用 ∧ 表 示 。 十 二 个 对 称 的 <110>轴 用 ∑ 表 示 。 符 号 X、 L、 K 分 别 表 示 <100>、 <111>、 <110>轴 与 布 里 渊 区 边 界 的 交 点 。 其 坐 标 分 别 为 X: 2π 2π 1 1 1 (1, 0, 0) , L: ( , , ) a a 2 2 2 K: 2π 3 3 ( , , 0) a 4 4 在六个对称的 X 点中，每一个点都与另一个相对于原点同它对称的点相 距 一 个 倒 格 矢 ，它 们 是 彼 此 等 价 的 。不 等 价 的 X 点 只 有 三 个 。同 理 ，在 八 个 对称的 L 点中不等价的只有四个。 L Γ Χ ky K kx 8 图 1-2 面 心 立 方 格 子 的 第 一 布 里 渊 区 图 下面我们来证明布洛赫定理。 引入电子的哈蜜顿算符 H=- 2 2 + V (r) 2m 则 波 动 方 程 （ 1-3） 可 以 简 写 成 Hψ (r) = Eψ (r) （ 1-10） 引 入 平 移 算 符 T （ Rm ， 其 定 义 为 ， 当 它 作 用 在 任 意 函 数 f（ r ） 上 后 ， 将 函 Rm） 数 中 的 变 量 r 换 成 （ r +Rm ,得 到 r 的 另 一 函 数 f（ r +Rm ,即 Rm） Rm） Rm Rm Rm)f(r )=f（ r +Rm Rm） T (Rm Rm r Rm (1-11) 平 移 算 符 彼 此 之 间 可 以 交 换 。 对 于 任 意 两 个 平 移 算 符 T (Rm Rm)和 T (Rn Rn)， Rm Rn 有 =T(Rm+Rn) T(Rm)T(Rn) =T(Rn)T(Rm) =T(Rm Rn) 证明如下： T(Rm)T(Rn)f(r)=T(Rm)f(r T(Rm)T(Rn)f(r)=T(Rm) (r＋ Rn) (r =f(r +Rn Rm r Rn Rm) Rn+Rm =T (r +Rn Rm T r Rn Rm)f（ r ） Rn+Rm (1-12) 9 =T (r +Rm Rn T r Rm Rn)f（ r ） Rm+Rn =T (Rn T Rn Rn)f(r ＋ Rm r Rm) ＝ T （ Rn T （ Rm f(r ) Rn） Rm） r 这 说 明 两 个 平 移 操 作 接 连 进 行 的 结 果 ，不 依 赖 于 它 们 的 先 后 次 序 ，即 平 移 算 符彼此之间是可以交换的。 在 周 期 性 势 场 中 运 动 的 电 子 的 势 函 数 V(r ) 具 有 晶 格 的 周 期 性 [ 公 式 r （ 1-2） ]因 而 有 2 2 T(R m )Hψ (r) = (∑ ) + V (r + R m ) ψ (r + R m ) 2 2m j ( x j + m j a j ) 2 2 = + V (r) ψ (r + R m ) 2m = HT(R m )ψ (r) 上 式 表 明 ， 任 意 一 个 晶 格 平 移 算 符 T (Rm Rm)和 电 子 的 哈 密 顿 算 符 H 彼 此 间 两 两 Rm 可交换，即 Rm)H HT Rm) HT(Rm T (Rm H =HT Rm Rm (1-13) 根据量子力学的一个普遍定理，这些线性算符可以有共同的本征函数。 或者说，存在这样的表象，在此表象中，这些算符的矩阵元素同时对角化。 容易说明，为了选择 H 的本征函数，使得它们同时也是所有平移算符的 本 征 函 数 ， 只 需 要 它 们 是 三 个 基 本 平 移 算 符 T (a 1 ) ,T （ a 2 ), T (a 3 )的 本 征 a T a 函 数 就 够 了 。 也 就 是 说 ， 如 果 ψ ( r ) 是 基 本 平 移 算 符 T （ a j ） ,T （ a 2 ), T (a 3 ) T a 的 本 征 函 数 ， 则 它 也 是 平 移 算 符 T (Rm Rm)的 本 征 函 数 。 证 明 如 下 ： 选 择 （ 1-3） Rm 10 的 解 ψ (r ) 是 基 本 平 移 算 符 的 本 证 函 数 ， 即 T(a1 )ψ (r) = ψ (r + a1 ) = C (a1 )ψ (r) T (a2 )ψ (r ) = ψ (r + a2 ) = C (a2 )ψ (r ) T (a3 )ψ (r ) = ψ (r + a3 ) = C (a3 )ψ (r ) 或 T (a j )ψ (r ) = ψ (r + a j ) = C (a j )ψ (r ), ( j = 1, 2,3) 其 中 C ( a1 ), C ( a2 ), C ( a3 ) 分 别 是 三 个 基 本 平 移 算 符 的 本 征 值 。 T ( Rm )ψ (r ) = m1a1 + m2 a2 + m3 a3 )ψ (r ) T( ＝ ψ ( r + Rm ) ＝ T ( a1 ) 1 T ( a2 ) 2 T ( a3 ) 3 ψ (r ) m m m ＝ C ( a1 ) 1 C ( a2 ) 2 C ( a3 ) 3ψ ( r ) m m m =λ ψ ( r ) （ 1-14） 可 见 ， 若 C ( a1 ), C ( a2 ), C ( a3 ) 分 别 是 三 个 基 本 平 移 算 符 的 本 征 值 。 则 λ = C ( a1 ) 1 C ( a2 ) 2 C ( a3 ) 3 就 是 平 移 算 符 T (Rm Rm)的 本 征 值 。 因 此 ， 若 ψ ( r ) 是 三 个 Rm m m m 基 本 平 移 算 符 T (a 1 ) ,T （ a 2 ), T (a 3 )的 本 征 函 数 ， 则 它 也 是 平 移 算 符 T (Rm Rm) a T a Rm 的 本 征 函 数 。 我 们 就 这 样 来 选 择 波 动 方 程 （ 1-3） 的 解 ， 使 它 们 同 时 也 是 所 有 平 移 算 符 的 本 征 函 数 。或 者 说 通 过 寻 找 平 移 算 符 的 本 征 函 数 去 找 到 波 动 方 程 （ 1-3） 的 解 。 11 由 于 平 移 算 符 T (Rm Rm)和 H 可 以 交 换 ，所 以 若 ψ ( r ) 是 H 的 本 征 函 数 ，则 经 Rm 过 平 移 后 的 函 数 ψ ( r + Rm ) 一 定 也 都 是 H 的 本 征 函 数 。 求 这 些 函 数 都 要 满 足 要 归 一 化 条 件 ， 因 而 它 们 之 间 的 比 例 系 数 的 绝 对 值 必 须 等 于 1， 即 C (a1 ) m1 C (a2 ) m2 C (a3 ) m3 该式成立的充分必要条件是 =1 （ m1 , m2 , m3 是任意整数） C (a1 ) = 1, C (a2 ) = 1, C (a3 ) = 1 。 即要求这三个常数只可能是模量为 1 的复数。它们一般可以写成 C (a1 ) = ei 2πβ1 ， C (a2 ) = ei 2πβ2 ， C (a3 ) = ei 2πβ3 或者 C (a j ) = e 这里 i 2πβ j （ j=1， 2， 3） （ 1-15） β1 , β 2 , β3 为 三 个 任 意 实 数 。 以 这 三 个 实 数 为 系 数 ， 把 三 个 倒 基 矢 线 性 组 合 起 来 ， 得 到 一 个 实 数 矢 量 K: k = β1b1 + β 2b2 + β 3b3 根据正基矢与倒基矢之间的正交关系 3 (1-16) k a j = ∑ βi bi a j = 2πβ j i =1 可 以 把 式 （ 1-15） 改 写 成 C (a1 ) = eik a1 ， C (a2 ) = eik a2 ， C (a3 ) = eik a3 或者 12 C (a j ) = e 代替 ik a j （ 1-17） β1 , β 2 , β3 ， 引 入 了 矢 量 K 。 在 量 子 力 学 中 ，如 果 算 符 代 表 一 定 的 物 理 量 ，其 本 征 值 是 实 数 ，相 应 的 算 符 为 厄 米 算 符 。平 移 算 符 只 是 一 种 对 称 操 作 ，不 代 表 物 理 量 ，不 具 有 厄 米 算 符的性质，因此其本征值可以是复数。 将 （ 1-17） 代 入 （ 1-14） 得 到 ， ψ (r + Rm ) = eik R ψ (r ) m （ 1-18） 式 （ 1-18） 即 为 式 （ 1-6） 是 布 洛 赫 定 理 的 另 一 种 形 式 。 ， 利 用 波 函 数 ψ ( r ) ， 可 以 定 义 一 个 新 的 函 数 u (r ) ， u (r ) = e ik rψ (r ) （ 1-19） 根 据 波 函 数 的 性 质 式 （ 1-18） 容 易 看 出 ， 函 数 u (r ) 具 有 晶 格 的 周 期 性 ： ， u (r + Rm ) = e ik ( r + Rm )ψ (r + Rm ) = e ik rψ ( r ) = u (r ) （ 1-20） 于 是 ， 由 式 （ 1-19） 可 以 将 周 期 性 势 场 中 电 子 的 波 函 数 表 示 为 ， ψ (r ) = eik r u (r ) 其 中 u (r ) 具 有 晶 格 的 周 期 性 。 根 据 以 上 分 析 ，周 期 性 势 场 中 电 子 的 波 函 数 可 以 表 示 成 一 个 平 面 波 和 一 13 个 周 期 性 因 子 的 乘 积 。 平 面 波 的 波 矢 量 为 实 数 矢 量 k， 它 可 以 用 来 标 志 电 子 的 运 动 状 态 。不 同 的 k 代 表 不 同 的 电 子 态 ，因 此 k 也 同 时 起 着 一 个 量 子 数 的 作 用 。 为 明 确 起 见 ， 在 波 函 数 上 附 加 一 个 指 标 k ,写 作 ψ k (r ) = eik r uk (r ) 至此，布洛赫定理得证。 相 应 的 本 征 值 — 能 量 谱 值 为 E=E（ k ） 。 根 据 公 式 （ 1-21） 可 以 看 出 : （ 1-21） 1. 波 矢 量 k 只 能 取 实 数 值 ,若 k 取 为 复 数 ,则 在 波 函 数 中 将 出 现 衰 减 因 子 , 这样的解不能代表电子在完整晶体中的稳定状态。 2.平 面 波 因 子 e ik r 与自由电子的波函数相同， 描述电子在各原胞之间的 它 运动—共有化运动。 3.因 子 uk ( r ) 则 描 述 电 子 在 原 胞 中 的 运 动 — 局 域 化 运 动 。它 在 各 原 胞 之 间 周期性地重复着。 4.根 据 式 (1-18), ψ k (r + Rm ) 2 = ψ k (r ) 2 (1-22) 这说明电子在各原胞的对应点上出现的概率相等. 需 要 指 出 的 是 , 由 于 晶 体 中 电 子 的 波 函 数 不 是 单 纯 的 平 面 波 ,而 是 还 乘 以一个周期性函数。 以它们的动量算符 所 与哈密顿算符 H 是不可交换的。 i 因 此 , 晶 体 中 电 子 的 动 量 不 取 确 定 值 。由 于 波 矢 量 k 与 约 化 普 朗 克 常 数 的 乘 积 是 一 个 具 有 动 量 量 纲 的 量 ， 对 于 在 周 期 性 势 场 中 运 动 的 电 子 ,通 常 把 14 p = k (1-23) 称 为 晶 体 动 量 crystal momentum） 或 电 子 的 准 动 量 (quasimomentum)” “ （ ” “ . 1.3 周 期 性 边 界 条 件 （ 玻 恩 - 卡 曼 边 界 条 件 ） 在 讨 论 电 子 的 运 动 情 况 时 ，我 们 没 有 考 虑 晶 体 边 界 处 的 情 况 ，就 是 说 我 们 把 晶 体 看 作 是 无 限 大 的 。对 于 实 际 晶 体 ，除 了 需 要 求 解 波 动 方 程 之 外 ，还 必 须 考 虑 边 界 条 件 。根 据 布 洛 赫 定 理 ，周 期 场 中 的 电 子 的 波 函 数 可 以 写 成 一 个 平 面 波 与 一 个 周 期 性 因 子 相 乘 积 。平 面 波 的 波 矢 量 k 为 任 意 实 数 矢 量 。当 考虑到边界条件后，k 要受到限制，只能取分立值。本节我们将根据晶体的 周期性边界条件，对 k 作一些更深入的讨论。 实 际 的 晶 体 其 大 小 总 是 有 限 的 。电 子 在 晶 体 表 面 附 近 的 原 胞 中 所 处 的 情 况 与 内 部 原 胞 中 的 相 应 位 置 上 所 处 的 情 况 不 同 ，因 而 ，周 期 性 被 破 坏 ，给 理 论 分 析 带 来 一 定 的 不 便 。 为 了 克 服 这 一 困 难 ， 通 常 都 采 用 玻 恩 -卡 曼 的 周 期 性边界条件。 玻 恩 -卡 曼 的 周 期 性 边 界 条 件 的 基 本 思 想 是 ，设 想 一 个 有 限 大 小 的 晶 体 ， 它 处 于 无 限 大 的 晶 体 中 ，而 无 限 晶 体 又 是 这 一 有 限 晶 体 周 期 性 重 复 堆 积 起 来 的 。由 于 有 限 晶 体 是 处 于 无 限 晶 体 之 中 ，因 而 ，电 子 在 其 界 面 附 近 所 处 的 情 况 与 内 部 相 同 ，电 子 势 场 的 周 期 性 不 致 被 破 坏 。假 想 的 无 限 晶 体 只 是 有 限 晶 体 的 周 期 性 重 复 ，只 需 要 考 虑 这 个 有 限 晶 体 就 够 了 ，并 要 求 在 各 有 限 晶 体 的 相 应 位 置 上 电 子 运 动 情 况 相 同 。或 者 说 ，要 求 电 子 的 运 动 情 况 ，以 有 限 晶 体 为 周 期 而 在 空 间 周 期 性 地 重 复 着 。于 是 ，问 题 便 得 到 了 解 决 。这 就 是 所 谓 周 期性边界条件。 设 想 所 考 虑 的 有 限 晶 体 是 一 个 平 行 六 面 体 ， 沿 a1 方 向 有 N1 个 原 胞 ， 沿 a2 方 向 有 N2 个 原 胞 ， 沿 a3 方 向 有 N3 个 原 胞 ， 总 原 胞 数 N 为 N=N 1 N 2 N 3 . （ 1.24） 15 周 期 性 边 界 条 件 要 求 沿 aj 方 向 上 ， 由 于 以 N ja j 为 周 期 性 ， 所 以 ψ k (r + N j a j ) = ψ k (r ). （ j=1， 2， 3） （ 1.25） 将 晶 体 中 的 电 子 波 函 数 公 式 （ 1.21） 代 入 这 一 条 件 后 ， 则 要 求 e ik ( r + N j a j ) uk (r + N ja j ) = eik r uk (r ). 考 虑 到 函 数 uk ( r ) 是一个具有晶体周期性的函数，因而，要上式成立，只需 ik N j a j e =1 即要求 k N j a j 为 2π的整数倍。 将波矢量 k 的表示式 k = β1b1 + β 2b2 + β 3b3 代入上式， 并利用正交关系 biaj=2πδij ，上面的条件可改写为 k N j a j = β j N j 2π = l j 2π , (l j 为任意整数）或者 β j = l j / N j , ( j = 1, 2, 3) 即 β1 = l1 / N1 , β 2 = l2 / N 2 , β3 = l3 / N 3 ，（ l1 l2 l3 为任意整数） （1.26） 由于 l j 为整数，所以 β j 只能取分立值。将式（1.26）代入式（1.16） ，则发现在周期性 边界条件限制下，波矢量 k 只能取分立值， 3 l l l1 l j b1 + 2 b2 + 3 b3 = ∑ b j N1 N2 N3 j =1 N j k= （1.27） 16 （ l1 l2 l3 为任意整数） 。 而与这些波矢量 k 相应的能量 E （k）也只能取分立值，这给理论分析上带来很大 的方便。 在倒空间中每个倒原
论文题目是全文给读者和编辑和第一印象，文题的好坏对论文能否利用具有举足轻重的作用。如何进行物理学 毕业 论文的选题呢？下面我给大家带来优秀物理学毕业论文题目2021，希望能帮助到大家!
物理学毕业论文题目
1、物理学史与物理教学结合的理论与实践研究
2、二氧化碳深含水层隔离的二相渗流模拟与岩石物理学研究
3、二十世纪中国原子分子物理学的建立和发展
4、普通高中物理课程内容与大学物理课程内容的适切性研究
5、从现代物理学理论发展探讨孙思邈修道养生观
6、地震岩石物理学及其应用研究
7、碎屑岩地震岩石物理学特征研究
8、信息技术支持下的物理学与教的研究
9、物理学中对称现象的语境分析及其意义
10、本质直观视域下的量子引力学困境
11、复杂金融系统的相互作用结构与大波动动力学研究
12、大小细胞视觉通路在早期开角型青光眼和双眼竞争中作用的功能磁共振成像及视觉心理物理学研究
13、经济物理学中的金融数据分析：统计与建模
14、农村高中物理学困生的差异教学研究
15、基于PD控制的拟态物理学优化算法的研究
16、多目标拟态物理学优化算法解集分布性研究
17、利用物理学史 教育 资源优化中学物理教学的研究
18、中学生与物理学家共同体概念形成过程的对比研究
19、物理学专业师范生PCK研究
20、物理学史融入高中物理教学的实践研究
21、莱布尼茨物理学哲学思想研究
22、运用高中物理教材栏目开展物理学史教育的实践
23、新课程下 高一物理 学困生转化策略
24、运用高中物理“学案教学”提高学生问题意识的实践
25、基于书目记录的《中图法》物理学类目调整 方法
26、物理学专业师范生教学技能训练现状调查与对策研究
27、高中物理学困生成因及转化策略研究
28、从物理学家的研究方法看物理学的进展
29、高中物理学困生学习动机的实证调查与影响因素分析
30、食管癌调强放疗物理学参数对放射性肺炎的评估价值
31、近代物理学史在高中物理教学中的应用
32、提升物理学困生自主学习能力的教学策略研究
33、物理学史在高中物理教学中的应用研究
34、关于培养学生物理学科素养的教学实践研究
35、高一物理学困生学习效率低下成因及转化策略
36、校本课程《生活中的物理学原理 DIY 》的开发与实践
37、高中物理教学中物理学史教育现状调查与研究
38、高中物理学困生学业情绪现状及影响因素的调查研究
39、利用物理学史促进高中生理解科学本质的实践研究
40、物理学史融入中学课堂教学的实践研究
2021中学物理论文题目
1、 中学物理教材的重难点内容表达方式的研究
2、 关于中学物理学习中学生素质培养之设想
3、 中学物理学习中互动作用的深入研究
4、 通过力学教学实现中学物理到大学物理的良好过渡
5、 一类变分问题在中学物理课外教学中的尝试
6、 在中学物理知识结构化中锻造学生核心素养
7、 浅谈中学物理探究教学的策略
8、 物理模型在中学物理教学中的作用研究
9、 浅谈中学物理学习中创造性思维的障碍与对策
10、 中学物理知识在甜樱桃保鲜中的应用
11、 浅谈中学物理教学中的“骆驼教学法”
12、 中学物理良性学习习惯的现状调查及分析
13、 函数图像法在中学物理中的应用
14、 中学物理异课同构教研活动设计研究
15、 中学物理教学中缄默知识的应用研究
16、 中学物理教学对大学物理教学的影响——以安阳师范学院为例
17、 物理实验在中学物理教学中的地位和作用
18、 中学物理活动教学的设计研究
19、 中学物理课堂环境评价量表的实证检测
20、 中学物理教学中概念的教学策略研究
21、 几何画板在中学物理教学中的应用
22、 引导式 反思 :将HPS教育融入中学物理教学的方式
23、 中学物理实验课堂环境的测评研究——以北京地区为例
24、 我国中学物理教育研究的进展与趋势——基于中国知网的文献计量学研究
25、 国际科学教育坐标中的我国中学物理教育研究:基于文献计量学的国际比较研究
26、 中学物理实验技能的评价研究
27、 中学物理教学中激发学生学习动机的策略研究
28、 突破中学物理教学难点的策略
29、 探究中学物理课堂的实际案例中如何引入新的教学模式
30、 中学物理“微实验”创设的价值思考
31、 中学物理实验教学的新思考
32、 提高中学物理教师信息技术应用技能的策略
33、 高师本科物理专业中学物理教学能力培养目标体系的研究
34、 刍议中学物理教科书中的举例说明题
35、 中学物理教学的问题情境创设
36、 3D虚拟增强现实技术在中学物理教学中的应用研究
37、 以藏族 文化 生活为例,开发藏区中学物理课程实验资源
38、 贯通大中学物理综合能力培养的物理学术竞赛教学模式
39、 中学物理在教学内容上的改革思考
40、 我国中学物理“时间观”课程教学的现实与改进
41、 中学物理教学中演示实验的应用策略
42、 中学物理教学中学生动手能力的培养
43、 新课程背景下农村中学物理实验教学的探索
44、 浅谈提高中学物理低成本实验教学的有效性
45、 浅谈中学物理“生活化”教学的策略
物理教学论文题目
1、 高中物理教学中常见电学实验问题分析
2、 以生活化教学模式提高初中物理教学的有效性
3、 工科专业大学物理教学现状与改革方向研究
4、 大学物理教学中创新型人才的培养与实践
5、 教学新范式下大学物理教学的几点思考
6、 基于翻转课堂理念的独立学院大学物理教学模式研究
7、 基于CDIO理念的大学物理教学改革探索
8、 统计物理教学中引入Jarzynski等式的必要性
9、 物理教学融入工匠精神的思考与实践
10、 让“陶花”在物理教学实践中绽放——浅议过程性评价和物理教学实践
11、 高中物理教学中培养学生的思维
12、 “蜂窝视频元”在高中物理教学中的应用实践研究
13、 中学物理教学中缄默知识的应用研究
14、 提高大学物理教学质量的 措施 与对策
15、 高分子物理教学中关于链段概念的讲解
16、 以提高人才培养质量为目标,探索新形势下大学物理教学策略
17、 基于翻转式课堂模式的大学物理教学研究
18、 中学物理教学对大学物理教学的影响——以安阳师范学院为例
19、 高分子物理教学中“结晶”概念的讲解
20、 引导式反思:将HPS教育融入中学物理教学的方式
21、 高中物理教学核心素养:演示实验创新
22、 数形结合思想在高中数学与物理教学中的应用研究
23、 浅析信息技术在初中物理教学中的应用——以欧姆定律学习为例
24、 新工科背景下大学物理教学研究
25、 地方本科院校大学物理教学改革模式探究
26、 高师本科物理专业中学物理教学能力培养目标体系的研究
27、 高中物理教学使用 思维导图 的几个误区
28、 中学物理教学的问题情境创设
29、 3D虚拟增强现实技术在中学物理教学中的应用研究
30、 MATLAB的可视化在物理教学中的应用
31、 案例教学法在“半导体器件物理”教学中的尝试与反思
32、 新工科背景下“类像思维”在半导体物理教学中的应用
33、 核心素养下的高校半导体物理教学改革路径研究
34、 材料专业大学物理教学内容的改革与实践
35、 为提高大学物理教学的学术水平而努力
36、 材料学专业固体物理教学中的抽象与形象思维转化
37、 大学物理教学研究现状与展望——基于10年核心期刊论文分析
38、 高考3+3新模式下中学与大学物理教学的衔接性校本研究:热学部分
39、 浅析STS教育在职业学校物理教学中的有效渗透
40、 智慧教育理念在大学物理教学改革中的应用研究
41、 混合教学模式在固体物理教学中的应用
42、 物理学思维方法在大学物理教学中的应用
43、 多媒体在应用型本科院校大学物理教学中的应用
44、 在物理教学中渗透生涯教育的探索——由新高考选考物理遇冷说开去
45、 浅谈初中物理教学中“弱势学生”激励策略
46、 “物理教学论实验”课程的“课例化”教学模式研究
47、 提高大学物理教学效果的策略
48、 利用虚拟实验改进物理教学
49、 基于建筑学学生思维特点的实践性建筑物理教学初探
50、 核心素养视角下初中物理教学的方法
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问题一：论文大摘要怎么写 番茄是巴彦淖尔市的支柱产业，番茄产业为该市的经济增长做出了贡献。而番茄的加工产业是整个番茄产业中举足骇重的一环。本文从番茄加工产业入手，立足于河套地区，分析河套地区番茄加工产业的现状，找出目前发展存在的不合理并给予合理的改正建议及措施。
问题二：《论文摘要怎么写例子》 论文一般应有摘要，有些为了国际交流，还有外文(多用英文)摘要。它是论文内容不加注释和评论的简短陈述。其他读者不阅读论文全文即能获得必要的信息。
摘要应包含以下内容：①从事这一研究的目的和重要性;②研究的主要内容，指明完成了哪些工作;③获得的基本结论和研究成果，突出论文的新见解;④结论或结果的意义。
论文摘要虽然要反映以上内容，但文字必须十分简炼，内容亦需充分概括，篇幅大小一般限制其字数不超过论文字数的5%。例如，对于6000字的一篇论文，其摘要一般不超出300字。
论文摘要不要列举例证，不讲研究过程，不用图表，不给化学结构式，也不要作自我评价。
[示例]
论文题目：天体对地球重力加速度的影响
论文摘要：地球重力加速度是一个极其重要的物理量，随着对重力加速度测量精度要求的日益提高，必须考虑天体对地球重力加速度的影响。本文介绍了天体(包含日、月及太阳系行星)对地球重力加速度影响的基本概念，推导了影响的计算公式，并经过误差分析，证明此公式的相对误差小于1×10-9，完全可满足现代精密重力加速度测量的要求。
撰写论文摘要的常见毛病，一是照搬论文正文中的小标题(目录)或论文结论部分的文字;二是内容不浓缩、不概括，文字篇幅过长。
[示例]
论文题目：集成电路热模拟模型和算法
论文提要：众所周知，半导体器件的各种特性参数都是温度的灵敏函数学[诸如ls(T),B(T),C1(T),Cp(T)……]。集成电路将大量元件集成在一块苡片上，电路工作时，元件功耗将产生热量，沿晶片向四周扩散。但是由于半导体片及基座材料具有热阻，因此芯片上各点温度不可能相同。特别对于功率集成电路，大功率元件区域将有较高温度所以在芯片上存在着不均匀的温度分布。
但是为了简化计算，一般在分析集成电路性能时，常常忽略这种温度差别，假定所有元件者处于同一温度下。例如通用的电路模拟程序--SPICE就是这样处理的。显然这一假定对集成电路带来计算误差。对于功率集成电路误差将更大。因此，如何计算集成电路芯片上的温度分布，如何计算元件温度不同时的电路特性，以及如何考虑芯片上热、电相互作用，这就是本文的目的。
本文介绍集成电路的热模拟模型，并将热路问题模拟成电路问题，然后用电路模拟程序求解芯片温度分由。这样做可以利用成熟的电路分析程序，使计算的速度和精度大为提高。作者根据这一模型和算法，编制了一个YM-LiN-3的FORTRAN程序，它可以确定芯片温度分布，也可发计算元件处于不同温度时的电路特性，该程序在微机IBM-PC上通过，得到满意结果。
上述论文提要字数近600，显然过长，只要认真加以修改(例如：第一段可删掉，第二段只保留其中的最后几句话，加上第三段)，便可以二三百个字编写论文摘要。
论文摘要范例：
一、 职称论文摘要范例
【题目】字图书馆建设的问题与策略
【摘要】当代图书馆建设的发展方向是数字图书馆,数字图书馆是未来图书馆的存在形式,它的研究与建设水平将直接影响到我国图书馆在未来信息时代的地位和作用。本文针对图书馆数字化发展的客观趋势,从我国数字图书馆面临的问题出发,分析并探讨了数字图书馆建设中应解决的主要战略问题与策略。
【题目】依法进行拆迁 建设和谐城市
【摘要】依法进行拆迁,建设和谐城市是 *** 部门开展城市规划的最终目的,要想实现这一目标,就要研究依法拆迁的意义,探讨各种拆迁矛盾的成因,找出解决各方面利益纠纷的办法,从完善法律法规、争取人民利益的角度出发,为建设和谐社会贡献力量。
二、 毕业论文硕士论文博士论文摘要范例
【论文题目】机动车尾气污染防治对策......>>
问题三：摘要怎么写 摘要是论文的概述性语言，虽说篇幅不大，可却是一篇论文的精华之处。一般由具体研究的对象、方法、结果、结论四要素组成。
对象：是论文研究调查的所具体的主题范围，体现出论文的论述内容、要解决的主要问题等。
方法：是论文对研究对象进行研究的过程中所运用的各种途径，例如：原理、理论、条件、材料、工艺等，是完成研究对象的必要手段。
结果：是作者运用研究方法对研究对象进行实验、研究所得到的结果、效果、数据，被确
定的关系等，是进行科研所得的成果。
结论：是作者对结果的分析、研究等，是结果的总结，体现研究结果的可靠性、实用性、创新性，体现论文研究的价值与学术水平，是决定论文价值的体现。
问题四：读书摘要怎么写 读书摘要
人们一次次地满怀热情，梦想打破身处其中的陈规，但是他们迟迟没有行动，不久，梦想消逝殆尽，计划彻底失败，他们再次陷入摸索之中，没有取得明显存在于潜能中的一切。
安东尼・罗宾告诉我们，开始就不要去想3.5 英里的长跑，不要想着当总裁，也不要想着去垄断大市场。去解决近在眼前的挑战，不要把眼光抛向最高的工作，而是抛向下一件事，要到一个遥远的城市旅行，你得开始第一步。
“希望不等于结果”，这就是关键。你必须行动，你必须走出第一步。你必须 *** 下来与自己谈一谈。
“我想有多大的成功？”“我有决心让自己去努力获得这些成功吗？“对我来说，那有可能吗？”沉思一会，你便会意识到，一生中曾有很多次，在对某事感到没有多大作为时你决定改变它们：成千上万的人采取良好的生活方式来促进他们的健康，并一直坚持不断。
在开始一段行程之前，你必须弄清你身处何方，这是个基本准则。你可能在头脑里想好了目的地，手上拿着地图，但除非你知道你现在Z身于地图上的哪一点，你才能到达目的地
问题五：论文摘要怎么写 摘要（Abstract）
论文一般应有摘要，有些为了国际交流，还有外文（多用英文）摘要。它是论文内容不加注释和评论的 简短陈述。其他用是不阅读论文全文即能获得必要的信息。
摘要应包含以下内容：
①从事这一研究的目的和重要性；
②研究的主要内容，指明完成了哪些工作；
③获得的基本结论和研究成果，突出论文的新见解；
④结论或结果的意义。
论文摘要虽然要反映以上内容，但文字必须十分简炼，内容亦需充分概括，篇幅大小一般限制其字数不超过论文字数的5%。例如，对于6000字的一篇论文，其摘要一般不超出300字。
论文摘要不要列举例证，不讲研究过程，不用图表，不给化学结构式，也不要作自我评价。 撰写论文摘要的常见毛病，一是照搬论文正文中的小标题（目录）或论文结论部分的文字；二是内容不浓缩、不概括，文字篇幅过长。
问题六：硕士论文详细摘要怎么写？ 摘要应该这样写：
第一句话，论文的背景及其引出的问题
第二句话，采用哪些手段、方法来研究你的课题
第三句话，通过研究得出哪些结论与建议
问题七：论文摘要怎么写 论文一般应有摘要，有些为了国际交流，还有外文（多用英
文）摘要。它是论文内容不加注释和评论的简短陈述。其他用是不阅
读论文全文即能获得必要的信息。
摘要应包含以下内容：①从事这一研究的目的和重要性；②研究的主要内容，指明完成了哪些工作；③获得的基本结论和研究成果，突出论文的新见解；④结论或结果的意义。
论文摘要虽然要反映以上内容，但文字必须十分简炼，内容
亦需充分概括，
篇幅大小一般限制其字数不超过论文字数的5%。
例如，对于6000字的一篇论文，其摘要一般不超出300字。
论文摘要不要列举例证，不讲研究过程，不用图表，不给化
学结构式，也不要作自我评价。
[示例]
论文题目：天体对地球重力加速度的影响
论文摘要：地球重力加速度是一个极其重要的物理量，随着对重力加速度测量精度要求的日益提高，必须考虑天体对地球重力加速度的影响。本文介绍了天体（包含日、月及太阳系行星）对地球重力加速度影响的基本概念，推导了影响的计算公式，并经过误差分析，证明此公式的相对误差小于1×10-9，完全可满足现代精密重力加速度测量的要求。
撰写论文摘要的常见毛病，
一是照搬论文正文中的小标题
（目录）或论文结论部分的文字；二是内容不浓缩、不概括，文字篇幅过长。
问题八：管理费用――其他，的摘要怎么写？ 摘要应该填写费用项目，如支付**费用，金额大的话可以增加子目。
或者先记在其他，待年末再将大额的单独分项。
问题九：毕业设计的摘要怎么写？ 你好！
请参考：
毕业论文摘要的书写方法和技巧
1.摘要的作用
摘要也就是内容提要，是论文中不可缺少的一部分。论文摘要是一篇具有独立性的短文，有其特别的地方。它是建立在对论文进行总结的基础之上，用简单、明确、易懂、精辟的语言对全文内容加以概括，留主干去枝叶，提取论文的主要信息。作者的观点、论文的主要内容、研究成果、独到的见解，这些都应该在摘要中体现出来。好的摘要便于索引与查找，易于收录到大型资料库中并为他人提供信息。因此摘要在资料交流方面承担着至关重要的作用。
2.书写摘要的基本规范和原则
（1）论文摘要分为中文摘要和外文（一般为英文）摘要。摘要在篇幅方面的限定，不同的学校和机构有不同的要求，通常中文摘要不超过300字，英文摘要不超过250个实词，中英文摘要应一致。毕业论文摘要可适当增加篇幅。
（2）摘要是完整的短文，具有独立性，可以单独使用。即使不看论文全文的内容，仍然可以理解论文的主要内容、作者的新观点和想法、课题所要实现的目的、采取的方法、研究的结果与结论。
（3）叙述完整，突出逻辑性，短文结构要合理。
（4）要求文字简明扼要，不容赘言，提取重要内容，不含前言、背景等细节部分，去掉旧结论、原始数据，不加评论和注释。采用直接表述的方法，删除不必要的文学修饰。摘要中不应包括作者将来的计划以及与此课题无关的内容，做到用最少的文字提供最大的信息量。
（5）摘要中不使用特殊字符，也不使用图表和化学结构式，以及由特殊字符组成的数学表达式，不列举例证。
龚 3.摘要的四要素
目的、方法、结果和结论称为摘要的四要素。
（1）目的：指出研究的范围、目的、重要性、任务和前提条件，不是主题的简单重复。
（2）方法：简述课题的工作流程，研究了哪些主要内容，在这个过程中都做了哪些工作，包括对象、原理、条件、程序、手段等。
（3）结果：陈述研究之后重要的新发现、新成果及价值，包括通过调研、实验、观察取得的数据和结果，并剖析其不理想的局限部分。
（4）结论：通过对这个课题的研究所得出的重要结论，包括从中取得证实的正确观点，进行分析研究，比较预测其在实际生活中运用的意义，理论与实际相结合的价值。
4.撰写步骤
摘要作为一种特殊的陈述性短文，书写的步骤也与普通类型的文章有所不同。摘要的写作时间通常在论文的完成之后，但也可以采用提早写的方式，然后再边写论文边修改摘要。首先，从摘要的四要素出发，通读论文全文，仔细将文中的重要内容一一列出，特别是每段的主题句和论文结尾的归纳总结，保留梗概与精华部分，提取用于编写摘要的关键信息。然后，看这些信息能否完全、准确的回答摘要的四要素所涉及的问题，并要求语句精炼。若不足以回答这些问题，则重新阅读论文，摘录相应的内容进行补充。最后，将这些零散信息，组成符合语法规则和逻辑规则的完整句子，再进一步组成通畅的短文，通读此短文，反复修改，达到摘要的要求。
5.关于英文摘要
（1）英文摘要的写作方法要依据公认的写作规范。
（2）尽量使用简单句，避免句型单调，表达要求准确完整。
（3）正确使用冠词。
（4）使用标准英语书写，避免使用口语，应使用易于理解的常用词，不用生僻词汇。
（5）作者所做工作用过去时，结论用现在时。
（6）多使用主动语态。
6.关键词
为了文献标引工作从报告、论文中选出来用以表示全文主题内容信息目的单词术语。每篇报告、论文选取3～8个词作为关键词，以显著的字符另起一行，排在摘要的左方。如有可能，尽量用......>>
问题十：硕士论文摘要怎么写 ? 你的学前教育专业论文准备往什么方向写，选题老师审核通过了没，有没有列个大纲让老师看一下写作方向？ 老师有没有和你说论文往哪个方向写比较好？写论文之前，一定要写个大纲，这样老师，好确定了框架，避免以后论文修改过程中出现大改的情况！...
