我们对三角形的定义是三条首尾相连的线段围成的封闭图形。但是三角形也分很多类，按照边来分类可以分成等腰三角形等等，用角来分类可以分为直角三角形，锐角三角形和钝角三角形。而这次我们要探究的“勾股定理”就隐藏在直角三角形中。
直角三角形中有一个直角，夹着直角的那两条边我们称之为直角边，而另外的一条边我们称之为斜边。通过三角形内角和为180度我们就可以知道。直角三角形的两个锐角是互余的。也就是可以说，我们通过三角形内角和为180度，可以得出直角三角形中各个角之间的关系。那在一个直角三角形中，各个边的关系又是怎么样的呢？
勾股定理其实也就是在说直角三角形中各个边之间的关系，就现在来说勾股定理只是我们的一个猜测，因为我们还没有证明。那我们为什么会提出这样的猜测呢？我们先看下图。
我们先看看一个特例，其实当我们想要探究在一个直角三角形中两个直角边和一条斜边的关系，其实就可以直接说是，探究我如图所画的三个正方形面积的关系。首先按如图的方式将正方形ABCD和正方形DEGF沿对角线切割成个三角形，将正方形BHIE沿对角线切割成4个三角形。
因为a和b都等于3，所以三角形ABC，三角形BCD，三角形DFE和三角形EFG这是全等的。因为三角形ABC的面积等于3×3×1/2所以这两个小正方形的面积相加也就等于4个三角形相加，也就是等于18.
而再看一下大正方形BHIE，大正方形由4个小三角形组成，每一个三角形的面积也是3×3再×1/2 所以大正方形的面积也等于18。这时我们就发现了两个小正方形相加等于这个大正方形。也就可以说是a方加b方等于c方了。这时，我们就对直角三角形的边的关系有了一个猜想，那就是两个直角边的平方和，等于斜边的平方。那这是否可以作为我们对勾股定理猜想的一个证明呢？其实是不能的，虽然我们也是用严谨的逻辑将它推理出来的，但是我们是用一个特例来进行证明的，而我们的定理则需要一定的普遍性。
那么，接下来我们将尝试证明一下勾股定理。
如图我们可知一个三角形的面积为1/2ab，大正方形的面积为a+b的平方。接下来我们就可以证明了，证明过程如下。
美国总统加菲尔德，也利用下面的方法证明出了勾股定理，但是我认为这样的证明方法不具有普遍性，因为他是通过等腰直角三角形来证明是勾股定理的，而不是所有的直角三角形都是三角形。
其实我们还是可以用等面积的方法来证明出勾股定理。证明过程如下
现在我们已经知道了，当一个三角形为直角三角形的时候，它的两个直角边的平方和等于它斜边的平方。那假如我们知道在一个三角形中它的两条边的平方和等于另外一条边的平方，那么我们能不能知道这个三角形是一个直角三角形呢？我们如何证明呢？证明过程如下。
这样我们就可以证明出如果三角形的三边长a、b、c满足 a方加 b方等于c方时，那么这个三角形就是一个直角三角形，我们称其为勾股定理之逆定理。
接着我们就可以通过勾股定理来解决很多实际的问题，我相信会有更多勾股定理的证明方法，我也有兴趣在之后继续去探究。在勾股定理这一章节中，让我感受到了其中的乐趣，并且我也有很大的成就感。这一章节也让我对八上的其他章节有了很大的兴趣。
谈谈对勾股定理的认识
勾股定理是数学中极其重要的一个定理，它揭示了直角三角形中三条边之间的关系，而且应用十分广泛. 勾股定理是我国最早证明的几何定理之一，也是每年中考必考的重要知识点之一. 古今中外有不少数学家、物理学家，甚至有画家、政治家等都在寻求它的证明方法. 传说古希腊的毕达哥拉斯在找到一种证明方法后，欣喜若狂，便杀了100头牛来祭神，表示庆祝，所以勾股定理也被称为“百牛定理”.
勾股定理是几何证明方法最多的一个定理，现在已经找到400多种证明方法，其中我们聪明睿智的祖先找到的就有200多种. 因此，勾股定理被说成是中国几何学的根源. 中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天元术等技艺的诞生与发展，寻根探源都与勾股定理有密切的关系. 我国伟大的数学家华罗庚将勾股定理称为茫茫宇宙星际交流的“语言”，因为数学是一切有智慧生物的共同语言，所以我们有更多的理由要学好它.
学习《勾股定理》这一单元时，应抓住三大关键：一是勾股定理及其逆定理的证明方法；二是勾股定理及其逆定理的应用；三是怎样寻找勾股数. 对于第二个问题，又应抓住四个方面：一是勾股定理在几何计算中的应用；二是勾股定理在几何证明中的应用；三是勾股定理及其逆定理的综合应用；四是勾股定理在代数证题中的应用.
勾股定理是我国最早证明的几何定理之一，是中华数学的精髓. 几千年以来，有无数古今中外的学者对它进行了证明. 其中包括汉代的赵爽、魏晋时期的刘徽、美国总统伽菲尔德、著名画家达·芬奇……
在初中数学学习过程中，我们常常说到数形结合思想，说到代数与几何的综合应用. 几何的勾股定理中有两个数的平方和，在代数的整式乘法中也有两个数的平方和，这两个公式中有相同的部分，能不能把它们结合到一起来使用？勾股定理能否与其它乘法公式结合使用？学习以后不妨考虑一下勾股定理和乘法公式有哪些结合？
在初中数学中常常提到的数学思想方法有：数形结合思想、分类讨论思想、转化思想、方程思想、整体思想. 在勾股定理的应用中，渗透了上述四种数学思想！
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。
勾股定理的逆定理是判断三角形为钝角、锐角或直角的一个简单的方法，其中AB=c为最长边。
证明方法
勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或直角的一个简单的方法
其中c为最长边:
如果a×a+b×b=c×c，则△ABC是直角三角形。
如果a×a+b×b＞c×c，则△ABC是锐角三角形。
如果a×a+b×b＜c×c，则△ABC是钝角三角形。
勾股定理逆定理的证明:
1、反证法
令角C不是直角，
则a^2+b^2=c^2不成立，
所以矛盾，
所以角C是直角。
2、勾股定理逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足条件a^2+b^2=c^2，
那么C边所对的角是直角。
3、三角函数Cos90
如图:已知AB^2+BC^2=AC^2，
而任一三角形的边之间均满足，
AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BA*COSB
，
比较两式得
，
COSB=0
，
B=90度。
已知△ABC的三边AB=c，BC=a，CA=b，且满足a^2+b^2=c^2，证明∠C=90°。
证法1：同一法。
证法的思路是做一个直角三角形，然后证明它和已知三角形全等，从而已知三角形也是直角三角形。
构造一个直角三角形A'B'C'，使∠C'=90°，a'=a，b'=b。
那么，根据勾股定理，c'^2=a'^2+b'^2=a^2+b^2=c^2，从而c'=c。
在△ABC和△A'B'C'中，
a=a'b=b'c=c'∴△ABC≌△A'B'C'。
因而，∠C=∠C'=90°。（证毕）
证法2：余弦定理。
由于余弦定理是由勾股定理推出的，故可以用来证明其逆定理而不算循环论证。
根据余弦定理，在△ABC中，cosC=(a^2+b^2-c^2）/2ab。
由于a^2+b^2=c^2，故cosC=0；又因为C小于平角，从而C=90°。（证毕）
证法3：相似三角形。
证法的思路是将已知三角形分割成两块，然后证明它们互补的两角相等，从而这两角都是直角。
在AB边上截取点D使∠DCB=∠A。
在△CDB与△ACB中，∠B=∠B，∠DCB=∠A，∴△CDB∽△ACB（两角对应相等）∴BC/BA=BD/BC，从而BD=a^2/c。又由CD/AC=CB/AB知，CD=ab/c。
另一方面，AD=AB-BD=c-a^2/c=b^2/c（因为c^2=a^2+b^2），
在△ACD与△CBD中，
DC/AD=(ab/c)
/
(b^2/c)=a/b,
BC/AC=a/b,
BD/CD=(a^2/c)
/
(ab/c)=a/b,
∴△ACD∽△CBD（三边对应成比例）。
∴∠BDC=∠CDA。
而∠BDC+∠CDA=180°，故∠BDC=∠CDA=90°。
由于∠ACB=∠CDB，所以∠ACB90°。（证毕）
要进行实际应用，那样就事半功倍
证法4
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b
，斜边长为c.
把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.
过C作AC的延长线交DF于点P.
∵
D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF
≌
RtΔEBD,
∴
∠EGF
=
∠BED，
∵
∠EGF
+
∠GEF
=
90°，
∴
∠BED
+
∠GEF
=
90°，
∴
∠BEG
=180°―90°=
90°
又∵
AB
=
BE
=
EG
=
GA
=
c，
∴
ABEG是一个边长为c的正方形.
∴
∠ABC
+
∠CBE
=
90°
∵
RtΔABC
≌
RtΔEBD,
∴
∠ABC
=
∠EBD.
∴
∠EBD
+
∠CBE
=
90°
即
∠CBD=
90°
又∵
∠BDE
=
90°，∠BCP
=
90°，
BC
=
BD
=
a.
∴
BDPC是一个边长为a的正方形.
同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
证法5
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）
，斜边长为c.
再做一个边长为c的正方形.
把它们拼成如图所示的多边形.
分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，
∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
∴FI=a，
∴G,I,J在同一直线上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
∠CJB
=
∠CFD
=
90°，
∴RtΔCJB
≌
RtΔCFD
，
同理，RtΔABG
≌
RtΔADE，
∴RtΔCJB
≌
RtΔCFD
≌
RtΔABG
≌
RtΔADE
∴∠ABG
=
∠BCJ,
∵∠BCJ
+∠CBJ=
90°，
∴∠ABG
+∠CBJ=
90°，
∵∠ABC=
90°，
∴G,B,I,J在同一直线上，
证法6
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结
BF、CD.
过C作CL⊥DE，
交AB于点M，交DE于点L.
∵
AF
=
AC，AB
=
AD，
∠FAB
=
∠GAD，
∴
ΔFAB
≌
ΔGAD，
∵
ΔFAB的面积等于，
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半，
∴
矩形ADLM的面积
=.
同理可证，矩形MLEB的面积
=.
∵
正方形ADEB的面积
=
矩形ADLM的面积
+
矩形MLEB的面积
∴
即a的平方+b的平方=c的平方
证法7
已知在△ABC中，a2+b2=c2，求证∠C=90°
证明：作AH⊥BC于H
⑴若∠C为锐角，设BH=y,AH=x
得x2+y2=c2，
又∵a2+b2=c2，
∴a2+b2=x2+y2（A）
但a>y,b>x，∴a2+b2>x2+y2（B)
（A）与（B）矛盾，∴∠C不为锐角
⑵若∠C为钝角，设HC=y,AH=x
得a2+b2=c2=x2+（a+y）2=x2+y2+2ay+a2
∵x2+y2=b2，
得a2+b2=a2+b2+2ay
2ay=0
∵a≠0，∴y=0
这与∠C是钝角相矛盾，∴∠C不为钝角
综上所述，∠C必为直角在△ABC中，a2+b2=c2，求证∠C=90°
证明：作AH⊥BC于H
⑴若∠C为锐角，设BH=y,AH=x
得x2+y2=c2，
又∵a2+b2=c2，
∴a2+b2=x2+y2（A）
但a>y,b>x，∴a2+b2>x2+y2（B)
（A）与（B）矛盾，∴∠C不为锐角
⑵若∠C为钝角，设HC=y,AH=x
得a2+b2=c2=x2+（a+y）2=x2+y2+2ay+a2
∵x2+y2=b2，
得a2+b2=a2+b2+2ay
2ay=0
∵a≠0，∴y=0
这与∠C是钝角相矛盾，∴∠C不为钝角
综上所述，∠C必为直角
其他证明
这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思（Elisha
Scott
Loomis）的
Pythagorean
Proposition（《毕达哥拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。 有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明（参见循环论证）。
证法1
作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b
，斜边长为c.
把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P.
∵
D、E、F在一条直线上，
且RtΔGEF
≌
RtΔEBD，
∴
∠EGF
=
∠BED，
∵
∠EGF
+
∠GEF
=
90°，
∴
∠BED
+
∠GEF
=
90°，
∴
∠BEG
=180°―90°=
90°
又∵
AB
=
BE
=
EG
=
GA
=
c，
∴
ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴
∠ABC
+
∠CBE
=
90°
∵
RtΔABC
≌
RtΔEBD，
∴
∠ABC
=
∠EBD.
∴
∠EBD
+
∠CBE
=
90°
即
∠CBD=
90°
又∵
∠BDE
=
90°，∠BCP
=
90°，
BC
=
BD
=
a.
∴
BDPC是一个边长为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S，则
A2+B2=C2
证法2
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）
，斜边长为c.
再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.
过点Q作QP∥BC，交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
F作FN⊥PQ，垂足为N.
∵
∠BCA
=
90°，QP∥BC，
∴
∠MPC
=
90°，
∵
BM⊥PQ，
∴
∠BMP
=
90°，
∴
BCPM是一个矩形，即∠MBC
=
90°。 ∵
∠QBM
+
∠MBA
=
∠QBA
=
90°，
∠ABC
+
∠MBA
=
∠MBC
=
90°，
∴
∠QBM
=
∠ABC，
又∵
∠BMP
=
90°，∠BCA
=
90°，BQ
=
BA
=
c，
∴
RtΔBMQ
≌
RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF
≌
RtΔAEF.即A2+B2=C2
证法3
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）
，斜边长为c.
再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形.
分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，
∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
∴FI=a，
∴G,I,J在同一直线上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
∠CJB
=
∠CFD
=
90°，
∴RtΔCJB
≌
RtΔCFD
，
同理，RtΔABG
≌
RtΔADE，
∴RtΔCJB
≌
RtΔCFD
≌
RtΔABG
≌
RtΔADE
∴∠ABG
=
∠BCJ， ∵∠BCJ
+∠CBJ=
90°，
∴∠ABG
+∠CBJ=
90°， ∵∠ABC=
90°，
∴G,B,I,J在同一直线上，
A2+B2=C2。
证法4
作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结
BF、CD.
过C作CL⊥DE，
交AB于点M，交DE于点L.
∵
AF
=
AC，AB
=
AD，
∠FAB
=
∠GAD，
∴
ΔFAB
≌
ΔGAD，
∵
ΔFAB的面积等于，
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半，
∴
矩形ADLM的面积
=.
同理可证，矩形MLEB的面积
=.
∵
正方形ADEB的面积
=
矩形ADLM的面积
+
矩形MLEB的面积
∴
即A2+B2=C2
证法5
《几何原本》中的证明
在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。 在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下： 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）
三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。 其证明如下： 设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A
和
G
都是线性对应的，同理可证B、A和H。∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。因为
AB
和
BD
分别等于
FB
和
BC，所以△ABD
必须相等于△FBC。因为
A
与
K
和
L是线性对应的，所以四方形
BDLK
必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。因此四边形
BDLK
必须有相同的面积
BAGF
=
AB²；。同理可证，四边形
CKLE
必须有相同的面积
ACIH
=
AC2；。把这两个结果相加，
AB2;+
AC2;;
=
BD×BK
+
KL×KC。由于BD=KL，BD×BK
+
KL×KC
=
BD(BK
+
KC)
=
BD×BC
由于CBDE是个正方形，因此AB2;+
AC2;=
BC2；。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的。
折叠达芬奇的证法
三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一，因为要证的是勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为对称的缘故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明显，图三中角A'和角D'都是直角。 证明： 第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE
第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E'
因为S1=S2
所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'
又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF
所以OF2+OE2=E'F'2
因为E'F'=EF
所以OF2+OE2=EF2
勾股定理得证。
证法9
从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：
b
(a
+
b)=
1/2c2;
+
ab
+
1/2(b
+
a)(b
-
a)
矩形面积
=（中间三角形）+（下方）2个直角三角形+（上方）1个直
角三角形。 （简化）
2ab
+
2b2;=
c2;
+
b2;-
a2;+
2ab
2b2;
-
b2;+
a2;=
c2;
a2;
+
b2;=
c2;
注：根据加菲尔德图进一步得到的图形。
证法1：同一法。 证法的思路是做一个直角三角形，然后证明它和已知三角形全等，从而已知三角形也是直角三角形。 构造一个直角三角形A'B'C'，使∠C'=90°，a'=a，b'=b。 那么，根据勾股定理，c'^2=a'^2+b'^2=a^2+b^2=c^2，从而c'=c。 在△ABC和△A'B'C'中， a=a' b=b' c=c' ∴△ABC≌△A'B'C'。 因而，∠C=∠C'=90°。（证毕） 证法2：余弦定理。 由于余弦定理是由勾股定理推出的，故可以用来证明其逆定理而不算循环论证。 根据余弦定理，在△ABC中，cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。 由于a^2+b^2=c^2，故cosC=0；又因为C小于平角，从而C=90°。（证毕） 证法3：相似三角形。 证法的思路是将已知三角形分割成两块，然后证明它们互补的两角相等，从而这两角都是直角。 在AB边上截取点D使∠DCB=∠A。 在△CDB与△ACB中，∠B=∠B， ∠DCB=∠A， ∴△CDB∽△ACB（两角对应相等）。 ∴BC/BA=BD/BC，从而BD=a^2/c。又由CD/AC=CB/AB知，CD=ab/c。 另一方面，AD=AB-BD=c-a^2/c=b^2/c（因为c^2=a^2+b^2）， 在△ACD与△CBD中， DC/AD=(ab/c) / (b^2/c)=a/b, BC/AC=a/b, BD/CD=(a^2/c) / (ab/c)=a/b, ∴△ACD∽△CBD（三边对应成比例）。 ∴∠BDC=∠CDA。 而∠BDC+∠CDA=180°，故∠BDC=∠CDA=90°。 由于∠ACB=∠CDB，所以∠ACB90°。（证毕） 要进行实际应用，那样就事半功倍 【证法4】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 , ∴ . 【证法5】（赵浩杰证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c， ∠CJB = ∠CFD = 90°， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ， 同理，RtΔABG ≌ RtΔADE， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ, ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°, ∴∠ABG +∠CBJ= 90°, ∵∠ABC= 90°, ∴G,B,I,J在同一直线上， 【证法6】（欧几里德证明） 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点L. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB的面积等于， ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， ∴ 矩形ADLM的面积 =. 同理可证，矩形MLEB的面积 =. ∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ∴ 即a的平方+b的平方=c的平方 【证法7】欧几里得的证法 几何原本中的证明 在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。 在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下： 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。 证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。
