从算法教学管窥中国古代数学史
俞 昕
( 浙江湖州市第二中学 313000)
关于算法的涵义, 人们有着不同的界定. 普
通高中数学课程标准( 实验) 在学生算法目标达
成度上,重在算法思想的理解与应用,界定现代算
法的意义就是解决某一类问题的办法. 确切地说,
就是对于某一类特定的问题,算法给出了解决问
题的一系列(有穷) 操作, 即每一操作都有它的确
定性的意义( 使计算机能够按照它的指令工作) ,
并在有限时间( 有穷步骤)内计算出结果.
普通高中数学课程标准( 实验) 对! 算法部
分∀进行说明时,突出强调! 需要特别指出的是, 中
国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想∀. 吴文俊
先生曾经说过! 我们崇拜中国传统数学,决非泥古
迷古、 为古而古. 复古是没有出路的. 我们的目的
不仅是要显示中国古算的真实面貌, 也不仅是为
了破除对西算的盲从,端正对中算的认识,我们主
要的也是真正的目的, 是在于古为今用. ∀算法教
学中蕴涵着丰富的数学史教育价值, 作为新时代
的高中数学教师是有必要了解这一点的.
1 中国古代数学的特点
古代数学思想分为两大体系, 一个是以欧几
里得的几何原本 为代表的西方数学思想体系,
这个体系以公理化的思想、 抽象化的方法、 封闭的
演绎体系为特色. 另一个则是以我国的九章算
术 为代表的东方数学思想体系,这个体系以算法
化的思想、 构造性的方法、 开放的归纳体系为特
色.我国传统数学在从问题出发,以解决问题为主
旨的发展过程中, 建立了以构造性与机械化为其
特色的算法体系, 这与西方数学以欧几里得几何
原本 为代表的所谓公理化演绎体系正好遥遥
相对.
中国古代数学中的! 术∀相当于现代数学术语
中的! 公式∀,两者虽有相同点(都可以用来解决一
类有关问题) , 其差异也非常之大. 主要表现在,
! 公式∀只提供了几个有关的量之间的关系, 指明
通过哪些运算可由已知量求出未知量,但并没有
列出具体的运算程序,一般地,认为这种程序是已
知的了. 但! 术∀则由怎样运算的详细程序构成的,
可以说它是为完成公式所指出的各种运算的具体
程序,即把! 公式∀展开为使用某种计算工具的具
体操作步骤. 从这点看, ! 术∀正是现代意义上的算
法, 是用一套! 程序语言∀所描写的程序化算法,可
以照搬到现代计算机上去. 我国古代数学包括了
今天初等数学中的算术、 代数、 集合和三角等多方
面的内容.由于受实用价值观的影响, 中国传统数
学的研究遵循着一种算法化思想,这种思想从九
章算术 开始一直是中国古代数学著作大都沿袭
的模式:
实际问题# # # 归类# # # 筹式模型化# # # 程序化算法
即将社会生产生活中的问题,先编成应用问题,按
问题性质分类, 然后概括地近似地表述出一种数
学模型, 借助于算筹, 得到这一类问题的一般解
法. 把算法综合起来, 得到一般原理, 分别隶属于
各章,人们按照书中的方法、 原理和实例来解决各
种实际问题. 可以说,中国传统数学以确定算法为
基本内容,又以创造和改进算法为其发展的方向.
受九章算术 的影响,在之后的几个世纪,一
些数学家的著作都以算法为主要特点,包括王孝
通的辑古算经 、 贾宪的黄帝九章算法细草 、 刘
益的议古根源 、 秦九韶的数书九章 、 李冶的
测圆海镜 和益古演段 、 杨辉的详解九章算
法 、 日用算法 和杨辉算法 , 这些著作中包括
了增乘开方术、 贾宪三角、 高次方程数值解法、 内
插法、 一次同余式组解法等一些著名的算法,进一
步发展了中国古代数学算法化的特点,使得算法
的特点得到了进一步的强化和发展.
1 1 中国古代数学的算法化思想
算法化的思想是中国古代数学的重要特点,
并贯穿于中国古算整个发展过程之中.即使是与
24 数学通报 2010 年 第49 卷 第2 期图形有关的几何问题也不例外,中算家们将几何
方法与算法有机地结合起来,实现了几何问题的
算法化.这样,从问题出发建立程序化的算法一直
是古代中国数学研究的传统,也是中算家们努力
的方向.这种算法化的思想着重构造实践,更强调
! 经验∀、 ! 发现∀和构造性思维方式下从无到有的
发明,对今天的算法教学与研究具有重要的启迪
作用.
中国古代数学算法化的思想具体表现如下:
第一步,把实际中提出的各种问题转化为数学模
型;第二步,把各种数学模型转化为代数方程; 第
三步,把代数方程转化为一种程序化的算法; 第四
步,设计( 并逐步改进)、 归纳、 推导(寓推理于算法
之中)出各种算法; 第五步,通过计算回溯逐步达
到解决原来的问题.
1 2 中国古代数学的构造性方法
所谓构造性方法是解决数学问题的一种方
法,是创造性思维方式直接作用的结果.按照现代
直觉主义者,特别是构造主义者的观点,对于一个
数学对象,只有当它可以通过有限次的操作而获
得,并且在每步操作之后都能有效地确定下一步
所需要采取的操作, 才能说它是存在的.按照这种
思维方式,可以使概念和方法按固定的方式在有
限步骤内进行定义或得以实施,或给出一个行之
有效的过程使之在有限步骤内将结果确定地构造
出来.换言之,就是能用有限的手段刻画数学对象
并针对问题提出具体的解法.
中国古代数学的算法化思想与构造性的方法
紧密相连.由于古代中算家所关心的大多是较为
实用的问题,他们在解决问题时首先考虑是如何
得到可以直接应用的、 可以方便操作的解,而不会
满足于仅仅知道解在理论上的存在性. 因为这种
纯粹的理论解对于受实用价值观影响的中算家来
说是没有多大意义的.从而我们推断,构造性方法
的产生是算法化思想直接作用的结果.
从我国许多经典算书中可以发现, 数学构造
性方法在算法中有许多精彩的体现. 例如就! 方
程∀的筹算图阵及其程序设计而言,首先, ! 群物总
杂,各列有数,总言其实∀,这是对每行中未知数的
系数和常数项的安排,其次, ! 令每行为率,二物者
再程,三物者三程,皆如物数程之∀,这是对诸行关
系的安排, ! 并列为行∀又说明了什么叫! 方程∀. 这
为中国古代数学的构造性方法提供了一个具有说
服力的样板.
由于构造性的方法特别强调运算的可操作程
度, 所以构造出的! 术∀可以通过一系列有限的运
算求出解来, 具有一般性.时至今日我国古算家所
设计的许多算法几乎都可以整套照搬到现代的电
子计算机上实现.这也是我国古算在算法上长期
居于领先地位的一个重要原因.
2 中国古代数学中的优秀算法案例
2. 1 中国古代的代数学
代数学是中国传统数学中一个值得骄傲和自
豪的领域.中小学数学中的算术、 代数内容, 从记
数以至解联立的线性方程组, 实质上都是中国古
代数学家的发明创造.结合新课程的算法教学,笔
者选取我国古代著名算法进行分析.
2. 1. 1 求最大公约数的算法(更相减损术)
中国古代数学中,未曾出现素数、 因数分解等
概念,但是发明了求两整数的最大公约数的方
法# # # 更相减损术: ! 可半者半之,不可半者,副置
分母子之数, 以少减多, 更相减损,求其等也.以等
数约之. ∀事实上此术中包含了三个步骤:
第一步, ! 可半者半之∀, 即进行观察, 若分子、
分母都是偶数,可先取其半;
第二步, ! 不可半者, 副置分母、 子之数, 以少
减多,更相减损,求其等也∀;
第三步, ! 以等数约之∀.
其中第二步! 以少减多, 更相减损∀是关键,又
是典型的机械化程序.在中国古代数学中, 将最大
公约数称作! 等∀.由于! 更相减损∀过程终可以在
有限步骤内实现, 所以它是一种构造性的方法.若
用现代语言翻译即为:第一步,任意给定两个正整
数, 判断它们是否都是偶数. 若是,用2 约减,若不
是, 执行第二步. 第二步, 以较大的数减去较小的
数, 接着把所得的差与较小的数比较, 并以大数减
小数.继续这个操作, 直到所得的数相等为止, 则
这个数( 等数)或这个数与约简的数的乘积就是所
求的最大公约数.下面运用 QBA SIC 语言来编写
相应的程序( 见程序1) .
25 2010 年 第49 卷 第2 期 数学通报程序 1
INPUT! m, n= ∀ ; m, n
IF m< n T HEN
a= m
m= n
n= a
END IF
k= 0
WHILE m MOD 2= 0 AND n MOD2= 0
m= m/ 2
n= n/ 2
k= k+ 1
WEND
d= m- n
WHILE d< > n
IF d> n TH EN
m= d
ELSE
m= n
n= d
END IF
d = m- n
WEND
d= 2 ∃ k * d
PRINT d
END
程序 2
INPUT A, B
WHILE A < > B
IF A> B T H EN
A = A- B
ELSE
B= B - A
END IF
WEND
PRINT B
END
程序 3
INPUT ! M, N (M> N )∀ ; M, N
DO
R= M- N
IF R> N TH EN
M= R
ELSE
M= N
N= R
END IF
LOOP UNTIL R= 0
PRINT M
END
程序 4
INPUT ! n= ∀ ; n
INPUT! an= ∀; a
INPUT! x= ∀ ; x
v= a
i= n- 1
WH ILE i> = 0
PRINT ! i= ∀; i
INPUT! ai= ∀ ; a
v= v * x+ a
i= i- 1
WEND
PRINT v
END
程序 2和 3 是两个简化的参考程序, 是从不
同的角度来实现更相减损的过程.
! 更相减损术∀提供了一种求两数最大公约数
的算法, 这是九章算术 的一个重要成就, 与古希
腊欧几里得的几何原本 中用来求最大公约数的
! 欧几里得算法∀, 即辗转相除法, 有异曲同工之
妙. 欧几里得在几何原本 中针对这个问题引入
了许多概念, 给出了冗长的逻辑证明. 尽管如此,
他还是暗用了一条未加说明的公理, 即如果 a, b
都被c 整除, 则a- mb也能被c 整除.中国古算采
用的! 更相减损∀方法,实际上也暗用了一条未加
说明的公理, 即若 a- b 可以被c 整除,则 a, b 都
能被c 整除. 正如刘徽在九章算术注 中! 其所以
相减者, 皆等数之重叠∀. 从形式上看! 更相减损
术∀比! 辗转相除法∀更复杂, 循环次数要比辗转相
除法多, 但对于计算机来说, 作乘除运算要比作加
减运算慢得多, 因此更相减损术在计算机上更为
好用.
26 数学通报 2010 年 第49 卷 第2 期2. 1. 2 求一元 n 次多项式值的算法(秦九韶算
法)
秦九韶,南宋著名数学家,其学术思想充分体
现在数书九章 这一光辉名著中,该著作不仅继
承了九章算术 的传统模式, 对中算的固有特点
发扬光大,而且完全符合宋元社会的历史背景, 是
中世纪世界数学史上的光辉篇章. 书中记载了! 正
负开方术∀、 ! 大衍求一术∀等著名算法.
在数书九章 卷五第 17 个问题以! 尖田求
积∀为例的算法程序中,可以看出秦九韶对于求一
元n 次多项式f ( x ) = anx
n
+ an- 1 x
n- 1
+ %+ a1x
+ a0 的值所提出的算法.秦九韶算法的特点在于
通过反复计算n 个一次多项式,逐步得到原多项
式的值. 在欧洲, 英国数学家霍纳( Horner ) 在
1819 年才创造了类似的方法, 比秦九韶晚了572
年.秦九韶算法把求f ( x ) = anx
n
+ an- 1 x
n- 1
+ %
+ a1x + a0 的 值 转 化 为 求 递 推 公 式
v0= an
vk= vk- 1x+ an- k k= 1, 2, %, n
中 v n 的值. 通
过这种转化, 把运算的次数由至多( 1+ n) n
2
次乘
法运算和n 次加法运算,减少为至多 n 次乘法运
算和n 次加法运算,大大提高了运算效率.这种算
法的QBASIC 语言程序如程序 4 所示.算法步骤
是如下的五步: 第一步, 输入多项式次数 n、 最高
次项的系数an 和x 的值;第二步,将 v 的值初始
化为a v ,将i 的值初始化为n- 1; 第三步, 输入 i
次项的系数ai ;第四步, v= v x+ ai , i= i- 1; 第五
步,判断i 是否大于或等于 0, 若是, 则返回第三
步,否则输出多项式的值v .
2. 2 中国古代的几何学
中国古代的几何学从田亩丈量等生产生活中
的一些实际问题中产生, 并为生产生活服务. 基于
传统实用价值观的影响, 中国古代的几何学并没
有发展成为像欧氏几何那样严密的公理化演绎体
系,所以中国古代几何学在整个数学史上的地位
并不突出,但在许多几何问题的处理上也突出了
算法化这一特色. 下面以! 割圆术∀为例作简要
分析.
中国古代数学家刘徽创立! 割圆术∀来求圆的
面积及其相关问题. 刘徽! 瓤而裁之∀,即对与圆周
合体的正多边形进行无穷小分割,分成无穷多个
以正多边形每边为底、 圆心为顶点的小等腰三角
形, 这无穷多个小三角形的面积之和就是圆的面
积. 这样通过对直线形的无穷小分割, 然后求其极
限状态的和的方式证明了圆的面积公式.刘徽的
算法! 割之弥细,所失弥少,割之又割, 以至于不可
割, 则与圆合体而无所失矣∀体现出程序化的过
程, 可以看出圆内接正多边形逐渐逼近圆的变化
趋势,并且刘徽依此开创了求圆周率精确近似值
的方法, 将这种极限思想用于近似计算.其中包含
有迭代过程和子程序,是一种典型的循环算法,充
分体现了程序化的特点.
中算家的几何学,并不追求逻辑论证的完美,
而是着重于实际计算问题的解决, ! 析理以辞, 解
体用图∀, 以建立解决问题的一般方法和一般原
则. 但另一方面,这种几何学又是以面积、 体积、 勾
股相似等为基本概念,以长方形面积算法、 长方形
体积算法、 相似勾股形的性质为出发点的, 整个几
何理论建立在! 出入相补原理∀等基本原理之上.
例如,由勾股定理自然地引起平方根的计算问题,
而求平方根和立方根的方法, 其步骤就是以出入
相补原理为几何背景逐步索骥而得.这方面内容
的介绍, 不仅可以丰富学生的算法知识,而且可以
通过揭示蕴藏其中的数学背景和文化内涵, 激发
学生学习算法的兴趣,体会算法在人类发展史中
的作用.
3 中国古代数学算法的教学价值
3. 1 培养正确数学观的良好平台
中国传统算法尽管与现代算法在具体形式上
差别很大,但是重要的是形式后面的认识论发展
线索可以为现代算法教学的体系、 教学层次提供
依据.它的具体数学知识载体也是现代算法教学
的重要源泉. 各种算法的创立就是创造性劳动的
产物,即是创造思维的一种! 凝固∀和! 外化∀. 其
次, 通过把一部分问题的求解归结为对于现成算
法的! 机械应用∀, 这就为人们积极地去从事新的
创造性劳动提供了更大的可能性. 从而算法化也
就意味着由一个平台向更高点的跳跃.
吴文俊先生的研究使中国传统数学的算法重
见天日, 开拓了数学机械化的新领域, 吴先生提出
! 数学教育的现代化就是机械化∀.他在研究中这
样写道: 数学问题的机械化, 就要求在运算和证明
过程中, 每前进一步之后,都有一个确定的必须选
27 2010 年 第49 卷 第2 期 数学通报择的下一步, 这样沿着一条有规律的, 刻板的道
路,一直达到结论.证明机械化的实质在于, 把通
常数学证明中所固有的质的困难,转化为计算的
量的复杂性.计算的量的复杂性在过去是人力不
可能解决的,而计算机的出现解决了这种复杂性.
吴先生的理论和实践已经表明,证明和计算是数
学的两个方面, 且又是统一的,这在数学教育中具
有重要意义.我们应当引导学生了解古人对问题
思考的角度,学会站在巨人的肩膀上,比如按照中
国古代开方术的思路就可以编造程序在现代计算
机上实现开方.
培养学生在学习数学知识的同时更多地关心
所学知识的社会意义和历史意义,力图在面向未
来的同时,通过同传统上的哲学、 历史和社会学的
思想结合起来, 形成正确的数学观.算法教学就为
此搭建了一个良好的平台, 并且承载丰富的历史
底蕴.
3. 2 渗透爱国主义教育的最佳契机
与西方相比, 中算理论具有高度概括与精练
的特征, 中算家经常将其依据的算理蕴涵于演算
的步骤之中, 起到! 不言而喻, 不证自明∀的作用,
可以认为中国传统数学乃是为建立那些在实际中
有直接应用的数学方法而构造的最为简单, 精巧
的理论建筑物. 因此, 中算理论可以说是一种! 纲
目结构∀:目是组成理论之网的眼孔;纲是联结细
目的总绳.以术为目, 以率为纲,即是依算法划分
理论单元,而用基本的数量关系把它们连结成一
个整体. 纲举目张,只有抓住贯串其中的基本理论
与原理, 才能看清算法的来龙去脉.下面是吴文俊
先生总结的! 关于算术代数部分发明创造的一张
中外对照表∀.
从算法教学管窥中国古代数学史
中国 外国
位值制十进位记 最迟在九章算术 成书时已十分成熟 印度最早在 6 世纪末才出现
分数运算 周髀算经 中已有, 在九章算术 成
书时已成熟 印度最早在 7 世纪才出现
十进位小数 刘徽注中引入, 宋秦九韶 1247年时已
通行 西欧 16 世纪时始有之, 印度无
开平方、 立方 周髀算经 中已有开平方, 九章算
术 中开平、 立方已成熟
西方在 4 世纪末始有开平方, 但还无开立方, 印度
最早在 7 世纪
算术应用 九章算术 中有各种类型的应用问题 印度 7 世纪后的数学书中有某些与中国类似的问
题与方法
正负数 九章算术 中已成熟 印度最早见于 7 世纪,西欧至 16 世纪始有之
联立一次方程组 九章算术 中已成熟 印度 7 世纪后开始有一些特殊类型的方程组, 西
方迟至 16 世纪始有之
二次方程 九章算术 中已隐含了求数值解法,
三国时有一般解求法 印度在 7 世纪后,阿拉伯在 9世纪有一般解求法
三次方程 唐初( 公元 7 世纪初) 有列方程法, 求
数值解已成熟
西欧至 16 世纪有一般解求法, 阿拉伯 10 世纪有
几何解
高次方程 宋时( 12 # 13 世纪)已有数值解法 西欧至 19 世纪初始有同样方法
联立高次方程组与消元法 元时( 14 世纪初) 已有之 西欧甚迟,估计在 19 世纪
28 数学通报 2010 年 第49 卷 第2 期3. 3 品位数学美学思想的美妙境界
中国古代数学不但具有实用性特征, 还蕴涵
着丰富的美学思想. 比如九章算术 中列方程的
方式,相当于列出其增广矩阵,其消元过程相当于
矩阵变换,而矩阵是数学美学方法中对称最典型
的表现形式之一; 九章算术 中用几何方法巧妙
地解决了很多代数问题, 这是数形结合的统一: 把
数学问题改编成歌诀,以便于掌握和传授,这是文
学艺术与数学的统一. 总之, 在算法教学中, 应努
力把握和利用自己文化传统中的积极因素进行教
学,这对数学教育的发展具有重要的意义.
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(上接第23 页) 实验教师对课改实验进行探索、 总
结、 反思、 调整, 推广比较成熟的经验,同时纠正实
验过程中的偏颇与极端行为,教学过程逐步进入
新的稳定阶段.教学过程逐步过渡到以问题为主
线、 以活动为主线的! 无环节∀模式.
( 2)受不同的教学理念影响, 教师角色、 学生
角色、 教学目标、 教学过程关注点等方面, 在教学
过程中有很大差异.
教师角色 学生角色 教学目标 教学过程关注
领导者
(权威)
接 受 者
(被动)
让 学 生 掌
握 数 学 知
识技能
知识 引入, 讲 解
本质, 巩固练习
主导者
(决定)
观 察 者
(协助)
让 学 生 观
摩 数 学 产
生过程
展示 过程, 注 重
建构, 强化训练
引导者
(组织)
参 与 者
(主动)
让 学 生 参
与 探 究 数
学 生 成 过
程
问题 情境, 提 出
问题, 学生活动
( 3) 2004 年高中数学课程改革后, 课堂教学
发生一定的变化,广泛地进行! 创设情境∀! 提出问
题∀!引导学生探究探索∀, 出现了以! 问题主线∀、
! 活动主线∀为主的课堂, 出现了! 问题情境学生
活动建立数学运用数学同顾反思∀的整体课堂
构思.这些改变对于揭示数学的内在本质, 发展学
生的思维能力起到积极的作用.
( 4) 由于受多种因素制约(特别是高考) ,与初
中相比, 本次课改后高中数学课堂教学变化幅度
不大,近半数的课堂教学模式仍然以五环节为主.
对于课改倡导的教学理念, 只是渗透在传统的教
学模式中,目前高中数学课堂教学改革的力度、 深
度与课改的预期目标还有一定的距离.我们看到
2008 年的赛课教案的创新、 探索力度, 远没有
1990 年的名师授课录 大, 那时还没有明确提出
课改理念,但他们却进行积极的探索, 关注学生主
体. 而今天,课改的理念已经系统培训 5 年, 许多
教师仍停留在形式层面,未能变成自觉的行为.
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3 2000 年全国首届高中青年数学教师优秀课观摩与评比的教
案(会议资料)
4 2008 年全国第四届高中青年数学教师优秀课观摩与评比的
教案(会议资料)
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29 2010 年 第49 卷 第2 期 数学通报
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[30] 陈计, 马援, 涉及两个单形的一类不等式, 数学研究与评论, Vol.9 (1989), No.2, 282-284; 几何不等式在中国, 江苏教育出版社, 1996年第一版, 397-400. [31] 陈计, 李广兴, 多边形中的不等式, 湖南数学通讯, 1989年第3期(总第50期), 32-33. [32] 李广兴, 陈计, 樊畿不等式的推广, 湖南数学通讯, 1989年第4期(总第51期), 37-39. [33] 陈计, 胡波, Klamkin不等式的推广, 数学教学研究, 1989年第4期(总第32期), 2-3. [34] 李文志, 陈计, 一道有奖征解题的推广, 成都大学学报(自然科学版), 1989年第4期(总第12期), 13-15. [35] 陈计, 王振, 关于Erdos和Fejes Toth的猜想, 数学通讯, 1989年第5期(总第213期), 3-4. [36] 陈计, Barrow-Oppenheim不等式的推广及其应用, 数学通讯, 1989年第6期(总第214期), 3-4. [37] 陈计, 高海明, 一道征解题的拓广和加强, 数学通讯, 1989年第8期(总第217期), 4-5. [38] 陈计, 刘竞欧, Catalan不等式的指数推广, 数学通迅, 1989年第11期(总第220期), 3. [39] 陈计, Guggenheimer不等式的指数推广, 数学通讯, 1989年第12期(总第221期), 3. [40] Ji Chen, Bo Hu, The identric mean and the power mean inequalities of Ky Fan type, Facta Universitatis(Nis), Series: Mathematics and Informatics, 4 (1989), 9-12. [41] 王振, 陈计, Ky Fan不等式的推广(英文), 宁波大学学报(理工版), 1990年第1期(总第5期), 23-26. [42] 胡波, 陈计, Heron平均和幂平均的樊畿型不等式, 宁波大学学报(理工版), 1990年第2期(总第6期), 32-35. [43] 陈计, 王振, 关于对数平均的下界, 成都科技大学学报, 1990年第2期(总第50期), 100-102. [44] 刘启铭, 陈计, 关于Beckenbach不等式的推广, 成都科技大学学报, 1990年第2期(总第50期), 117-118, 124. [45] 陈计, 关于单位分数的一个定理的初等证明, 成都科技大学学报, 1990年第2期(总第50期), 119-123. [46] 陈计, Makowski-Berkes不等式的变形, 数学教学研究, 1990年第2期(总第36期), 34. [47] 陈计, Padoa不等式的加权推广(研究通讯2), 湖南数学通讯, 1990年第3期(总第56期), 40. [48] 王振, 陈计, n(≥5)边形的最大面积一般不能用边长的根式表示, 成都大学学报(自然科学版), 1991年第1期, 38-42. [49] 陈计, 关于多边形面积的Oppenheim不等式的推广(英文), 宁波大学学报(理工版), 1991年第1期(总第7期), 17-20. [50] Mitrinovic, Pecaric, Volence, 陈计, 专著《几何不等式新进展》的补遗(I)(英文), 宁波大学学报(理工版),1991年第2期(总第8期), 79-145. (定价: 3.00元) [51] 王振, 陈计, 关于Erdos-Mordell不等式, 数学通讯, 1991年第7期(总第240期), 28-29. [52] 陈计, Janous不等式的初等证明, 数学通讯, 1991年第11期(总第244期), 14. [53] 陈计, 《几何不等式》中译本序, 北京大学出版社, 1991年9月第一版, 1-2. (定价: 3.20元) [54] Zhen Wang, Ji Chen, A generalization of Ky Fan inequality, Math. Balkanica, 5 (1991), 373-380. [55] 陈计, Bencze不等式的加强, 苏州教育学院学报(自然科学版), 1992年第1期(总第28期), 37-38, 40. [56] 陈计, 王振, 一个分析不等式的证明, 宁波大学学报(理工版), 1992年第2期(总第10期), 12-14. [57] 李国富, 陈计, 次数k≤10的Steinhaus循环的计算, 宁波大学学报(理工版), 1992年第2期(总第10期), 15-25. [58] 陈计, 关于Kooistra不等式的推广, 成都大学学报(自然科学版), 1992年第3期(总第23期), 43-46, 13. [59] 王振, 陈计, Mitrinovic-Djakovic不等式的推广(英文), 数学季刊, 1992年第4期, 95-99. [60] 陈计, 埃德温·福特·贝肯巴赫教授逝世十周年纪念, 玉溪师专学报(自然科学版), 1992年第5期(总第42期), 34-35. [61] 陈计, 关于Gerber不等式的加强, 福建中学数学, 1992年第5期(总第75期), 8-9. [62] 陈计, Janous不等式的一个加强, 福建中学数学, 1992年第6期(总第76期), 8-9. [63] 陈计, 《几何不等式》书评, 数学通讯, 1992年第5期, (总第250期), 40. [64] 陈计, Janous猜想的简单证明, 数学通讯, 1992年第9期(总第254期), 16-17. [65] 陈计, 泰国提供给第31届IMO的预选题2创作的一些看法, 数学通讯, 1992年第10期(总第255期), 39-40. [66] 陈计, 一个三角不等式的加强, 湖南数学通迅, 1992年第6期(总第71期), 27, 7. [67] 陈计, 一个三角不等式的加强, 中学数学(武汉), 1992年第8期(总第126期), 23-24. [68] 陈计, 关于三角形的一个不等式的新证, 中学数学(武汉), 1992年第10期(总第128期), 33. [69] 陈计, 两个新发现的三角不等式, 中学数学(武汉), 1992年第12期(总第130期), 21. [70] 陈计, 一个几何不等式的加强, 中学数学(苏州), 1992年第10期(总第113期), 20. [71] 陈计, 关于三角形的不等式族, 中学教研(数学版), 1992年第10期(总第139期), 29-30. [72] 陈计, 一个新的三角不等式, 中学教研(数学版), 1992年第12期(总第141期), 23-24. [73] 陈计, 王振, Neuberg-Pedoe不等式与Oppenheim不等式, 初等数学研究论文选, 上海教育出版社, 1992年10月第一版, 303-334. (定价:10.00元) [74] 陈计, Erdos-Klamkin不等式的推广(英文), 宁波大学学报(理工版), 1993年第1期(总第11期), 98-100. [75] 王振, 陈计, OYZ不等式的初等证明, 宁波大学学报(理工版), 1993年第2期(总第12期), 25-27. [76] 王振, 陈计, 三角形角平分线的平方和, 中学教研(数学版), 1993年第1期(总第142期), 34-36. [77] 陈计, 谈一个三角不等式的加强及其它, 中学教研(数学版), 1993年第7期(总第148期), 29-30. [78] 陈计, 两个三角形不等式链的加细, 中学教研(数学版), 1993年第11期(总第152期), 15-17. [79] 何明秋, 陈计, 平面凸图形内n点问题, 中学教研(数学版), 1993年第12期(总第153期), 23-24. [80] 陈计, 一个三角不等式的加强, 数学通讯, 1993年第1期(总第258期), 22-23. [81] 陈计, 从Garfunkel的猜想谈起, 数学通讯, 1993年第9期(总第266期), 22-23. [82] 陈计, 两个新的三角不等式, 上海中学数学, 1993年第2期, 37-38. [83] 陈计, 一个新的三角形不等式链, 中学数学(武汉), 1993年第2期(总第132期), 2, 22. [84] 陈计, 何明秋, 三角形内八点问题, 中学数学(武汉), 1993年第8期(总第138期), 26-27. [85] 王振, 陈计, Mitrinovic-Djakovic不等式的另一个扩展(英文), 数学季刊, 1993年第3期, 108-110. [86] 陈计, 王振, 广义Heron平均和幂平均的不等式, 成都大学学报(自然科学版), 1993年第4期(总第28期), 6-8. [87] 王振, 陈计, 一个三角形不等式的再加强(研究简讯40), 湖南数学通讯, 1993年第6期(总第77期), 39. 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[102]陈琦, 陈计,凸图形和覆盖问题, 中学数学(武汉), 1994年第3期(总第145期), 33-36. [103]陈计, 关于Carlitz-Klamkin不等式,中学数学教学(合肥), 1994年第6期(总第90期), 41. [104]王振, 陈计,两个猜想不等式的加强及其它, 中学教研(数学版), 1994年第7-8期(总第160期), 51-53. [105]陈计,一个几何不等式的别证, 初中生数学学习, 1994年第7-8期(总第117-118期), 67. [106]王振, 陈计, 从一道Putnam竞赛题谈起,数学竞赛, 第18辑, 湖南教育出版社, 1994年4月第一版, 27-32. (定价: 2.70元) [107]陈计,从三角形的圆心距谈起, 数学竞赛, 第19辑, 湖南教育出版社, 1994年4月第一版, 82-87. (定价: 2.70元) [108]陈计, 王振,一个三角形不等式族的完善, 数学竞赛, 第21辑, 湖南教育出版社, 1994年4月第一版, 105-112. (定价:2.70元) [109]王振, 陈计,一个三角不等式的简证及应用, 宁波大学学报(理工版), 1995年第1期(总第15期),70-72. [110]陈计,季文,某些分析不等式的矩阵类似,宁波大学学报(理工版), 1995年第3期(总第17期),21-26. [111]石世昌, 陈计,三元二次初等对称平均对幂平均的分隔及其应用,成都大学学报(自然科学版), 1995年第2期(总第34期),2-8. [112]陈计, 王振,Garfunkel-Kuczma循环不等式的推广, 安徽教育学院(自然科学版),1995年第2期(总第62期), 8-10. [113]陈计,关于三角形的一个不等式, 中学数学(武汉), 1995年第3期(总第157期),34. [114]陈计,关于四边形旁切圆半径的不等式, 福建中学数学,1995年第3期(总第89期), 10-11. [115]王振, 陈计,初等对称函数的一个不等式, 湖南数学年刊(国际奥林匹克数学专辑),Vol.15(1995),No.4(Summary No.32),3-5. [116]陈计,关于三角形重心的垂足三角形, 湖南数学年刊(国际奥林匹克数学专辑),Vol.15(1995),No.4(Summary No.32),42-44. [117]陈计,几个樊畿型不等式, 湖南数学通讯, 1995年第5期(总第88期), 30-32. [118]陈计,一道全俄数学奥林匹克试题的推广与改进,数学通讯,1995年第9期(总第290期), 28-29. [119]陈计, 单墫,一个角平分线不等式的推广, 数学通讯, 1995年第11期(总第292期),17-18. [120]朱再宇, 陈计,关于锐角三角形的一个不等式,中国中学数学教师优秀论文集(第二卷),贵州教育出版社, 1995年5月第一版, 177-178. (定价:8.80元) [121]Zhen Wang, Ji Chen, Another extension of the Mitrinovic-Dokovic inequality, Univ. Beograd.Publ. Elektrotehn. Fak., Ser.: Mat., 6 (1995), 25-28. [122]陈计,有关四面体的一个不等式的加强, 中学数学教学(合肥),1996年第1期(总第97期), 36. [123]陈计,关于中线的若干估计(研究简讯), 湖南数学通讯,1996年第1期(总第90期), 39. [124]陈计, 王振, Oppenheim不等式推广的简单证明,数学研究与评论, Vol. 16 (1996), No. 1, 62-64;几何不等式在中国, 江苏教育出版社, 1996年9月,第一版, 213-217. [125]陈计, 庞火茂, 陈聪杰,角平分线构成的三角形, 数学通讯, 1996年第3期(总第296期), 29-31. [126]陈琦, 陈计,关于三角形半径的一个不等式链,中国中学数学教师优秀论文集(第三卷),内蒙古人民出版社, 1996年3月第一版, 95-96. (定价:10.00元) [127]王振, 陈计, 互补型Ky Fan不等式的推广, 初等数学前沿(第一辑),江苏教育出版社, 1996年4月第一版, 56-69. (定价:13.60元) [128]王振, 陈计, Zirakzadeh不等式的推广,初等数学前沿(第一辑), 江苏教育出版社, 1996年4月第一版, 104-111. [129]王巧林, 陈计, 叶中豪,编后记, 初等数学前沿(第一辑), 江苏教育出版社, 1996年4月第一版, 470-471. [130]陈计, 陈聪杰,三角形中的线性不等式, 几何不等式在中国, 江苏教育出版社, 1996年9月第一版, 87-110. (定价:13.40元) [131]陈计, 陈聪杰,三角形中的负一次不等式, 几何不等式在中国, 江苏教育出版社, 1996年9月第一版, 111-121. [132]Zhen Wang, Ji Chen, Guang-Xing Li, A generalization of the Ky Fan inequality, Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak., Ser.: Mat., 7 (1996), 9-17. [133]陈计, 庞火茂, Bager第三图的完善, 宁波大学学报(理工版),1997年第1期(总第23期), 12-15. [134]王振, 陈计, 盛宓杰,Bager第四图的完善,宁波大学学报(理工版),1997年第3期(总第25期),74-78. [135]陈计, 陈聪杰, Bager第五图的完善,宁波大学学报(理工版),1997年第4期(总第26期), 49-55. [136] 陈计, 王振,一个三角形不等式的推广和加强，成都大学学报(自然科学版),1998年第2期(总第46期), 1-5. [137]陈计, 夏时洪,虞立军，Bager第六图的完善,宁波大学学报(理工版), 1998年第3期(总第29期),52-56. [138] 陈计，黄勇，夏时洪，关于Neuberg-Pedoe不等式高维推广的一个注记, 四川大学学报(自然科学版), 1999年第2期(总第128期), 197-200. [139] 许康华，陈计，Euclid平面上8点间的不同距离,宁波大学学报(理工版), 1999年第4期(总第34期), 16-22. [140] 陈计，通用数学软件及其网址,科学,1999年(第51卷)第5期，61-62. [141] 田廷彦，陈计，凸四边形的边长与直径的不等式,宁波大学学报(理工版), 2000年第2期(总第36期), 43-47. [142] 陈计，量词对7种联结词的分配律 --计算机自动推理的1个实例,宁波大学学报(理工版), 2001年第3期(总第41期),60-63. [143] 季潮丞, 陈计, 一道越南竞赛题的推广, 中学教研(数学版), 2007年第6期, 44-45. [144] 季潮丞, 陈计, Gordon不等式的推广, 中学教研(数学版), 2008年第5期, 48. [145] 季潮丞, 陈计, 浅谈不等式与恒等式的关系, 中学教研(数学版), 2009年第12期,26-28. 陈计翻译的文著目录 [1] Albert W. Marshall, Ingram Olkin 著; 陈计, 曹冬极 译; 张在明 校,不等式优超方法引论, 玉溪师专学报(自然科学版),1989年第4期(总第23期), 86-101. [2] R. E. Woodrow 编选; 陈计提供, 初等数学问题选, 福建省初等数学研究文集, 福建教育出版社, 1993年7月第一版, 235-242. [3] H. Harborth, A. Kemnitz著,陈计 编译,Fibonacci三角形, 数学通讯, 1994年第5期(总第274期),41-42. [4] S. Vajda著, 陈计 编译,广义Fibonacci数列简介, 数学通讯, 1994年第12期(总第281期), 24-25. [5] O. Bottema著, 陈聪杰,陈计, 陈胜利 译, 关于R, r与s的不等式, 初等数学前沿(第一辑), 江苏教育出版社, 1996年4月第一版,378-391. (定价: 13.60元) 陈计指导的学生论文目录 [1] 杨任尔, 曹冬极, 对数平均的推广(英文), 宁波大学学报(理工版), 1989年第2期(总第4期), 105-108. [2] 王呈斌, 章建成, 关于SOP数的估计, 宁波大学学报(理工版), 1990年第2期(总第6期), 125-129. [3] 连加志, Garfunkel-Kuczma不等式的多边形推广, 数学通讯, 1992年第1期(总第246期), 22-23. [4] 徐一萍, 反调和平均与幂平均的Ky Fan型不等式(英文), 成都大学学报(自然科学版), 1992年第2期(总第22期), 10-12. [5] 杨任尔, 一个三角形不等式的加强, 数学通讯, 1992年第11期(总第256期), 20-21. [6] 杨任尔, Child不等式与Kooistra不等式的加强, 初等数学研究论文选, 上海教育出版社, 1992年10月第一版, 359-364. [7] 丁义明, 再谈自生数, 数学通讯, 1993年第4期(总第261期), 35-36. [8] 丁义明, 自守数, 宁波大学学报(理工版), 1993年第2期(总第12期), 39-48. [9] 陈聪杰,一个几何问题的解与推广, 宁波大学学报(理工版), 1995年第3期(总第17期),76-78. [10] 丁义明, 裘伟平,连加志, Kaprekar映射周期轨的衍生性, 初等数学前沿(第一辑), 江苏教育出版社, 1996年第一版,24-47.
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著名数学家华罗庚及著名数学教育家傅种孙出任总编辑，一批知名数学家担任了数学通报的编委。他们秉承先辈们的优良传统，致力于推进我国数学的普及和数学教育工作，亲自撰写了大量数学科普文章，大力推介国外数学及...
2.数学教育学报
《数学教育学报》宗旨：服务于中小学数学教育改革及高等数学教育专业课程设置与改革，确立现代数学教育观，倡导数学教育科学学术争鸣，推动我国数学教育由应试教育向素质教育转变，反映数学教育实践与改革的新成...
3.数学通讯
《数学通讯》的声誉与质量吸引了众多的作者，他们纷纷向《数学通讯》投稿，致使《数学通讯》的稿源非常丰富，这一方面保证了《数学通讯》刊用文章的质量，另一方面也促使《数学通讯》的办刊思路向更广阔的方向发...
4.数学教学通讯
《数学教学通讯.数学金刊》（学生初中版、学生高中版）旨在培养中学生的数学兴趣，拓展数学思维，提高数学成绩，夯实理科基础。《数学教学通讯》为教师教学提供更高效的教学参考，为帮助学生有针对性地解决数学问...
