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王伟国1 钱荣毅2
（1.广州海洋地质调查局 广州 510760；2.中国地质大学 北京 100083）
作者简介：王伟国，男（1982—），硕士，助理工程师，工作方向为地震偏移成像及定量地震解释。E-mail:
摘要 普通的相移偏移算法具有速度快、稳定性高、理论上无网格频散等优点，但在复杂地质构造条件下，由于速度横向的剧烈变化，偏移成像往往不能得到理想的效果。而非稳态相移算法是基于在非稳态滤波器理论，通过对普通的相移算子在横向上增加一个扰动量（称之为非稳态相移算子），从而在偏移成像时能很好地适应速度的横向变化。用该算法在普通的横向变化速度模型及Marmousi模型上进行叠前深度偏移试算，均取得了很好的应用效果。
关键词 非稳态相移 叠前深度偏移 速度模型
1 前言
相移算法Seddon[1]预测一个深度层波场的振幅和相位主要是基于在更浅层的已知波场和地下速度模型。总体来说是基于波动方程的差分解，在这方面我国的很多学者也做了很多相关的研究[2～5]。相移法波场外推有许多前提条件和一个主要的难题。好的方面，对于常速度相移算子理论上是精确的，无条件稳定的，没有网格频散，并且对所有的散射角都是精确的。主要的难题是横向速度变化怎样结合到相移方法中，这还不是直观的表现，因为空间坐标进行了傅氏变换。已知的波场通常是实际检波器接收到的地震记录或是正演模拟的地震记录，相移波场被用于计算地下地质结构的反射系数。当介质速度是常量时，相移波场的过程是一个相当稳定的过程，并且给出相移角度能达到90°的精确解（Gazdag,1978;Stoffa等，1990）。Stoffa（1990）的裂步傅里叶方法和Wu（1994）的相位屏方法都实现了横变速度的近似相移，而Gazdag和Sguazzero[6]通过另一种方法叫相移加插值（PSPI），对于参考速度集而言，通过计算一系列的常速度相移，并插值得到一个单一的横向变化的结果，从而使得相移能够被拓展到横向变化的速度，但它仅仅是在数学上的一种处理方法，并不具有物理意义。Black等（1984）给出了傅氏方法的一个解析表达式来适应横向速度的变化，但并没有证明表达式。
Margrave和Ferguson[7-10]证明了Black的方法是广义的PSPI，它用很多的参考速度来代替插值，并利用非稳态滤波器[11]推导了和PSPI相联系的方法，称为非稳态相移（non stationary phase shift,NSPS）。与PSPI相比，NSPS具有物理上的解释。
2 非稳态相移算子及算法流程
非稳态滤波器理论由Margrave（1998）提出，他提出非稳态滤波器理论至少有两种不同的形式是可能存在的。称之为组合滤波器和褶积滤波器，两种滤波器在稳态极限下是等价的。当对每一个不同的速度算出一个参考波场时，我们可以得到方程（1），它其实是一个广义反傅氏积分，是一个非稳态，双域的组合滤波器例子，滤波器的非稳态性通过了事实证明，滤波器描述αv（x）（kx,x，ω），取决于波数和空间位置。
南海地质研究.2010
其中，
南海地质研究.2010
这里，φ（kx,0，ω）为初始波场，ΨNSPS（x，Δz，ω）为利用NSPS外推Δz后的波场，αv（x）（kx,x，ω）在NSPS算法中称为偏移算子。kx,kz分别是横向和纵向的波数。
对公式（1）作正傅氏变换得到：
南海地质研究.2010
对公式（3）作反傅氏变换得到外推波场为：
南海地质研究.2010
通过非稳态相移的理论，可以按照图1的算法流程来进行叠前深度偏移。
3 模型试算
考虑到计算机硬件资源和算法精度验证的要求，建立了一个断层－背斜模型，断层主要是加强模型的横向速度变化，深部的背斜是验证算法成像的最大倾角和深部成像对速度的要求。由于是已知模型，本文选用对速度更为敏感的炮集记录来进行叠前深度偏移。模型及参数如图2所示。
所布置的模拟观测系统参数为：双边接收系统，总炮数为50炮，炮点间隔为30m，首炮位置位于速度剖面的最左端，100道接收，道间距为5m，最小偏移距5m，排列自左向右移动。炮集模拟用的是单程声波波动方程。炮集震源为模拟爆炸震源，主频为30Hz。图3所示为第25炮，即模型中间750m位置处。具体在偏移过程中，添加了零道来满足偏移处理中与速度剖面的维数相同。图4为NSPS偏移结果。
图4中圆圈处为模型的断层点，从单炮偏移的效果看，圆圈处同相轴的纵向分辨率还是很高，断点也比较清晰，对比模型，归位也很准确，反射波和绕射波都已经收敛，600m处的一个同相轴被拉平，模型此处是水平地层，800m处背斜的顶点也能比较清晰地看到；这是没有做过任何叠前处理的炮记录，能够达到这样的效果，至少可以说明NSPS算法对于该模型是良好适应的。
图1 NSPS算法流程图Fig.1 Flow of NSPS
通过图5的叠加剖面可以看出，断层点清晰可见，归位很准确，断层上下盘界面清晰，水平层位被很好地拉平，且深度都基本和模型位置的深度一致，基本没有重影，没有频散现象，背斜轮廓明显可见。但同时也可以看出，0～100m之间存在明显的直达波影响，主要是没有做叠前的一些常规数据处理造成的，这并不影响对于算法本身的验证；逆掩断层的断面及背斜的两个倾斜角度能量不强，没有很好地收敛，其实产生这样的结果主要是因为算法本身的假设条件造成的，单程波动方程偏移对于多次绕射波在理论上无法很好地成像。
图2 断层－背斜深度模型Fig.2 Depth model of fault-anticline
图3 添加零道后的单炮记录Fig.3 Single shot record after padding with zero
图4 单炮NSPS偏移结果Fig.4 Migration of single shot
图5 NSPS偏移叠加结果Fig.5 NSPS migration after stacking shots
图6 Marmousi模型Fig.6 Marmousi model
我们可以看一下 NSPS 算法在IFP（Institut Francais du Petrole，法国石油研究院）Marmousi模型上的表现，图6为Marm ousi模型，该2D 模型包含240个炮集记录，一个震源波形和一个完整的速度和密度剖面，本文采用的是简化的速度模型，只含有纵波速度，不含有密度、横波等信息，炮集记录也是重新模拟生成，如图7所示。炮集设置为240炮，左端接收，接收道96道，道间距25m，最小偏移距200m，模拟炸药震源放炮，波函数为零相位雷克子波。图6为第120炮位置，即在5550m处，图7为第120炮的单炮模拟记录。为了应用NSPS算法，对模型数据进行了抽稀，抽成25m×25m的网格。
图7 第120炮地震记录Fig.7 The record of shot 120
图8是基于爆炸发射理论模拟的剖面，由于爆炸反射界面成像原理没有时间差的关系，可认为是零炮检距剖面，考虑的是单程波，以及速度近似地认为是实际速度的一半，因此必然会存在一些误差，如图9中所出现的一些归位不是很准确及反射波不收敛的地方，当然这也和模型的精度降低有关（抽稀为25m×25m）。但是偏移使Marmousi模型的三个大断裂都基本归位，两个背斜构造成像清楚，2500m深度处的油水接触界面成像也非常清楚，表明NSPS叠前深度偏移算法的准确性和可靠性。
图8 基于爆炸反射理论的有限差分正演剖面Fig.8 Finite difference forward section based on exploded reflecting theory
4 认识和讨论
1）NSPS深度偏移算法对于层位的归位还是很准确，虽然较之普通的相移算法成像效率要慢，但在保证精确度和准确性的前提下，效率也是可以接受的。
2）从文中两个模型最终的偏移效果来看，对于倾角比较大的地质界面（断层面、背斜的两个斜面）而言，该算法还不能使绕射波完全地收敛，当然这可能是由算法本身的假设条件引起[12]。
3）Marmousi模型是工业公认的叠前深度偏移算法的验证模型，由于其复杂程度接近实际的地质结构，因此利用该模型来验证偏移算法就显得很有必要；而本文的算法是基于规则网格（25×25）下的偏移算法，对于非规则网格Marmousi模型（网格为12.5×4）还有待进一步的研究和提高。
4）相速度、波数和空间采样间距是相关的，当初值为一般函数时，由于其含有各种波数成分，它们将以各种不同的相速度传播，所以波形会不断的散开形成重影，这是差分所引起的频散；在用波动方程作模拟和偏移处理时，一些同向轴由于相速度和群速度的不一致在传播过程中就会产生这种畸变和重影，还有一些是由波动方程本身近似和空间采样率所引起的。
图9 NSPS偏移剖面Fig.9 Migration section of NSPS
参考文献
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The Study on Pre-stack Depth Migration Based on Nonstationary Phase Shift
Wang Weiguo,Qian Rongyi
（Guangzhou Marine Geological Survey,Guangzhou 510760）
Abstract:In theory,the general phase shift migration algorithm is fast,high stability,and has no grid dispersion.But in complex geological structure,due to the huge diversity of lateral velocity,migration often can not get the desired results.However,the nonstationary phase shift algorithm is based on the theory of nonstationary filter,and it adds a disturbance of phase shift operator in horizontally（called nonstationary phase shift operator）,resulting in migration well adapted when the lateral velocity changes.The algorithm has achieved a very good application effect with pre-stack depth migration in common velocity model varied with lateral velocity and the Marmousi model.
Key words:Nonstationary phase shift;Pre-stack Depth Migration;Velocity model
中国有哪些著名的数学家有：张丘建、朱世杰、贾宪、秦九韶、李冶、刘徽、祖冲之、胡明复、冯祖荀、姜立夫、陈建功、熊庆来、苏步青、江泽涵、许宝騄、华罗庚、陈省身、林家翘、吴文俊、陈景润、丘成桐、冯康、周伟良、萧荫堂、钟开莱、项武忠、项武义、龚升、王湘浩、伍鸿熙、严志达、陆家羲、苏家驹、王菊珍、谷超豪、王元、潘承洞、魏宝社、高扬芝、徐瑞云、王见定、吕晗等等。1.祖冲之
祖冲之（429-500），字文远。出生于建康（今南京），祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县），中国南北朝时期杰出的数学家、天文学家。
祖冲之一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面。他在刘徽开创的探索圆周率的精确方法的基础上，首次将“圆周率”精算到小数第七位，即在3.1415926和3.1415927之间，他提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献。直到16世纪，阿拉伯数学家阿尔·卡西才打破了这一纪录。
由他撰写的《大明历》是当时最科学最进步的历法，对后世的天文研究提供了正确的方法。其主要著作有《安边论》《缀术》《述异记》《历议》等。
2.华罗庚
华罗庚（1910.11.12—1985.6.12）， 出生于江苏常州金坛区，祖籍江苏丹阳。数学家，中国科学院院士，美国国家科学院外籍院士，第三世界科学院院士，联邦德国巴伐利亚科学院院士。中国第一至第六届全国人大常委会委员。
他是中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论与多元复变函数论等多方面研究的创始人和开拓者，并被列为芝加哥科学技术博物馆中当今世界88位数学伟人之一。国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华—王方法”等。
3.冯祖荀
冯祖荀（1880－1940），数学教育家。中国现代数学教育的早期代表人物之一。1911年以后，多次担任北京大学数学系主任，对在中国传播现代数学知识有重要贡献。
4.冯康
冯康（1920年9月9日-1993年8月17日），浙江绍兴人，出生于江苏省南京市，数学家、中国有限元法创始人、计算数学研究的奠基人和开拓者，中国科学院院士，中国科学院计算中心创始人、研究员、博士生导师。
1944年冯康毕业于国立中央大学；1945年在复旦大学数学物理系担任助教；1946年到清华大学任物理系助教；1951年转任数学系助教；1951年调到中国科学院数学研究所，担任助理研究员，后在苏联斯捷克洛夫数学研究所进修。
1957年调入中国科学院计算技术研究所； 1965年发表了名为《基于变分原理的差分格式》的论文，这篇论文被国际学术界视为中国独立发展“有限元法”的重要里程碑 ；1978年起任中国科学院计算中心主任；1980年当选为中国科学院院士；1993年8月17日逝世于北京；1997年冯康的“哈密尔顿系统辛几何算法”获得国家自然科学奖一等奖。
5.吴文俊
吴文俊（1919年5月12日－2017年5月7日），1919年5月12日出生于上海，祖籍浙江嘉兴，数学家，中国科学院院士，中国科学院数学与系统科学研究院研究员，系统科学研究所名誉所长。
吴文俊毕业于交通大学数学系，1949年，获法国斯特拉斯堡大学博士学位；1957年，当选为中国科学院学部委员（院士）；1991年，当选第三世界科学院院士；陈嘉庚科学奖获得者，2001年2月，获2000年度国家最高科学技术奖。
吴文俊的研究工作涉及数学的诸多领域，其主要成就表现在拓扑学和数学机械化两个领域。他为拓扑学做了奠基性的工作；他的示性类和示嵌类研究被国际数学界称为“吴公式”，“吴示性类”，“吴示嵌类”，至今仍被国际同行广泛引用。
2017年5月7日7时21分，吴文俊在北京不幸去世，享年98岁。
参考资料百度百科-吴文俊
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祖冲之（429-500），字文远。出生于建康（今南京），祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县），中国南北朝时期杰出的数学家、天文学家。
祖冲之一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面。他在刘徽开创的探索圆周率的精确方法的基础上，首次将“圆周率”精算到小数第七位，即在3.1415926和3.1415927之间，他提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献。直到16世纪，阿拉伯数学家阿尔·卡西才打破了这一纪录。
由他撰写的《大明历》是当时最科学最进步的历法，对后世的天文研究提供了正确的方法。其主要著作有《安边论》《缀术》《述异记》《历议》等。
2.华罗庚
华罗庚（1910.11.12—1985.6.12）， 出生于江苏常州金坛区，祖籍江苏丹阳。数学家，中国科学院院士，美国国家科学院外籍院士，第三世界科学院院士，联邦德国巴伐利亚科学院院士。中国第一至第六届全国人大常委会委员。
他是中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论与多元复变函数论等多方面研究的创始人和开拓者，并被列为芝加哥科学技术博物馆中当今世界88位数学伟人之一。国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华—王方法”等。
3.冯祖荀
冯祖荀（1880－1940），数学教育家。中国现代数学教育的早期代表人物之一。1911年以后，多次担任北京大学数学系主任，对在中国传播现代数学知识有重要贡献。
4.冯康
冯康（1920年9月9日-1993年8月17日），浙江绍兴人，出生于江苏省南京市，数学家、中国有限元法创始人、计算数学研究的奠基人和开拓者，中国科学院院士，中国科学院计算中心创始人、研究员、博士生导师。
1944年冯康毕业于国立中央大学；1945年在复旦大学数学物理系担任助教；1946年到清华大学任物理系助教；1951年转任数学系助教；1951年调到中国科学院数学研究所，担任助理研究员，后在苏联斯捷克洛夫数学研究所进修。
1957年调入中国科学院计算技术研究所； 1965年发表了名为《基于变分原理的差分格式》的论文，这篇论文被国际学术界视为中国独立发展“有限元法”的重要里程碑 ；1978年起任中国科学院计算中心主任；1980年当选为中国科学院院士；1993年8月17日逝世于北京；1997年冯康的“哈密尔顿系统辛几何算法”获得国家自然科学奖一等奖。
5.吴文俊
吴文俊（1919年5月12日－2017年5月7日），1919年5月12日出生于上海，祖籍浙江嘉兴，数学家，中国科学院院士，中国科学院数学与系统科学研究院研究员，系统科学研究所名誉所长。
吴文俊毕业于交通大学数学系，1949年，获法国斯特拉斯堡大学博士学位；1957年，当选为中国科学院学部委员（院士）；1991年，当选第三世界科学院院士；陈嘉庚科学奖获得者，2001年2月，获2000年度国家最高科学技术奖。
吴文俊的研究工作涉及数学的诸多领域，其主要成就表现在拓扑学和数学机械化两个领域。他为拓扑学做了奠基性的工作；他的示性类和示嵌类研究被国际数学界称为“吴公式”，“吴示性类”，“吴示嵌类”，至今仍被国际同行广泛引用。
2017年5月7日7时21分，吴文俊在北京不幸去世，享年98岁。
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