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希望杯”数学邀请赛是由中国科学技术协会普及部、中国优选法统筹法与经济数学研究会、《数理天地》杂志社、中青在线、华罗庚实验室等主办的全国性数学竞赛。2011年11月北京市教委下发《关于禁止组织义务教育阶段学生参与学科竞赛活动的通知》，直指“希望杯”数学竞赛违规。11月26日，希望杯”全国组委会负责人周国镇表示，已取消北京赛区组委会2012年的赛事组织权，并已对违规行为进行调查。
发展历程
希望杯数学邀请赛这一邀请赛自1990年以来，已经连续举行了十多届。10多年来，主办单位始终坚持比赛面向多数学校、多数学生，从命题、评奖到组织工作的每个环节，都围绕着一个宗旨：激发广大中学生学习的兴趣，培养他们的自信，不断提高他们的能力和素质。这一活动只涉及初一、初二、高一、高二四个年级，不涉及初三、高三，不与奥赛重复，不与中考、高考挂钩，不增加师生负担，因此受到广大师生的欢迎。 该竞赛一直受到原国家教委的肯定，并被列入原国家教委批准的全国性竞赛活动的名单中，同时愈来愈多的数学家、数学教育家对邀请赛给予热情的关心和支持。到第十届为止，参赛城市已超过500个，参赛学生累计598万。“希望杯”全国数学邀请赛已经成为中学生中规模最大、影响最广的学科课外活动之一。
编辑本段比赛赛制
该竞赛活动分两试进行。第一试（每年三月进行）以各地（省、市、县、〔区〕、学校）为单位组织参赛学生，在全国各参赛学校同时进行，各测试点按命题委员会下发的评分标准进行阅卷、评分，从中按七分之一的比例按成绩择优选拔参加第二试的选手。第二试（每年五月进行）由当地《数理天地》编委分会或地、市级教研室或教育学院、教科所、教师进修学校统一组织，测试结束后，各测试点将试卷密封，向组委会挂号寄出，由命题委员会阅卷，从中按八分之一的比例按成绩评定一、二、三等奖，分别授予金、银、铜奖牌及获奖证书。对组织工作做得出色的地区或学校，组委会颁发“希望杯”数学邀请赛组织奖。
编辑本段赛事影响
日本国算数奥林匹克委员会对此项赛事非常关注，该委员会事务局局长若杉荣二先生专程来华同邀请赛组委会洽谈参赛事宜，并从1996年开始，已连续三年组织日本部分中学生参加了竞赛活动，由此开创了我国社会团体举办同类竞赛走出国门的先例。近年来，美国、德国的有关组织也与组委会联系合作事宜。 一位已经报名参加本次希望杯数学邀请赛的中学生表示：“报名之后，我已经开始着手复习备考了，通过备考，我发现自己的解题能力提高了，对数学的兴趣也增加了。”主办方表示，希望杯的试题规律性非常强，考试的知识点不偏不刁，这对不一定具有数学天分但是学习踏实的学生很有利。[1]
编辑本段违规被查
2011年11月，市教委下发《关于禁止组织义务教育阶段学生参与学科竞赛活动的通知》，指出近期一些民间机构和组织以举办“希望杯”数学竞赛的名义，面向义务教育阶段学校和学生，组织开展全市性的学科竞赛活动，收取报名费并向学校按比例返还。同时，通过各种方式误导家长称将从此类竞赛优胜奖获得者中选拔优秀学生，向高一级学校推荐，导致众多家长盲目报名考试。 “希望杯”北京赛区组委会负责人表态，已经按照市教委的要求给学生退费。 2011年11月26日，“希望杯”全国组委会负责人周国镇表示，已取消北京赛区组委会2012年的赛事组织权，并已对该组委会的违规行为进行调查。 周国镇表示，全国组委会将对北京赛区组委会进行两方面的详细调查，首先，该赛区组委会是否有高收费行为；其次，是否利用“希望杯”平台做了其他的牟利行为，“如果调查结果显示其确实违规，将会对该赛区组委会进行处理，最坏的结果是取消其在北京承办赛事的资格。” 周国镇表示，北京赛区的赛事2012年三四月份将和全国各赛区一样如期举行。全国组委会已经委托启明星等培训机构承担报名工作，2012年北京赛区的竞赛事宜全国组委会将直接监督进行
．函数 在 上的最小值是 （ C ）
A．0 B．1 C．2 D．3
[解] 当 时， ，因此
，当且仅当 时上式取等号．而此方程有解 ，因此 在 上的最小值为2．
2．设 ， ，若 ，则实数 的取值范围为 （ D ）
A． B． C． D．
[解] 因 有两个实根
， ，
故 等价于 且 ，即
且 ，
解之得 ．
3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 ，乙在每局中获胜的概率为 ，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数 的期望 为 （ B ）
A. B. C. D.
[解法一] 依题意知， 的所有可能值为2，4，6.
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为
．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有
，
，
，
故 ．
[解法二] 依题意知， 的所有可能值为2，4，6.
令 表示甲在第 局比赛中获胜，则 表示乙在第 局比赛中获胜．
由独立性与互不相容性得
，
，
，
故 ．
4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm2，则这三个正方体的体积之和为 （ A ）
A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3
C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm3
[解] 设这三个正方体的棱长分别为 ，则有 ， ，不妨设 ，从而 ， ．故 ． 只能取9，8，7，6．
若 ，则 ，易知 ， ，得一组解 ．
若 ，则 ， ．但 ， ，从而 或5．若 ，则 无解，若 ，则 无解．此时无解．
若 ，则 ，有唯一解 ， ．
若 ，则 ，此时 ， ．故 ，但 ，故 ，此时 无解．
综上，共有两组解 或
体积为 cm3或 cm3．
5．方程组 的有理数解 的个数为 （ B ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
[解] 若 ，则 解得 或
若 ，则由 得 ． ①
由 得 ． ②
将②代入 得 ． ③
由①得 ，代入③化简得 .
易知 无有理数根，故 ，由①得 ，由②得 ，与 矛盾，故该方程组共有两组有理数解 或
6．设 的内角 所对的边 成等比数列，则 的取值范围是
（ C ）
A. B.
C. D.
[解] 设 的公比为 ，则 ，而
．
因此，只需求 的取值范围．
因 成等比数列，最大边只能是 或 ，因此 要构成三角形的三边，必需且只需 且 ．即有不等式组
即
解得
从而 ，因此所求的取值范围是 ．
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7．设 ，其中 为实数， ， ， ，若 ，则 5 .
[解] 由题意知
，
由 得 ， ，因此 ， ， ．
8．设 的最小值为 ，则 ．
[解]
，
(1) 时， 当 时取最小值 ；
(2) 时， 当 时取最小值1；
(3) 时， 当 时取最小值 ．
又 或 时， 的最小值不能为 ，
故 ，解得 ， (舍去)．
9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种．
[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用 表示名额．如
表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．
若把每个“ ”与每个“ ”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于 个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．
“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“ ”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有 种．
又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．
综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．
[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为 ，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程
．
的正整数解的个数，即方程 的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：
．
又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．
综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．
10．设数列 的前 项和 满足： ， ，则通项 = ．
[解] ，
即 2
= ，
由此得 2 ．
令 ， ( )，
有 ，故 ，所以 ．
11．设 是定义在 上的函数，若 ，且对任意 ，满足
， ，则 = ．
[解法一] 由题设条件知
，
因此有 ，故
．
[解法二] 令 ，则
，
，
即 ，
故 ，
得 是周期为2的周期函数，
所以 ．
12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为 的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ．
[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为 ，作平面 //平面 ，与小球相切于点 ，则小球球心 为正四面体 的中心， ，垂足 为 的中心．
因
，
故 ，从而 ．
记此时小球与面 的切点为 ，连接 ，则
．
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 )相切时的情况，易知小球在面 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为 ，如答12图2．记正四面体
的棱长为 ，过 作 于 ．
因 ，有 ，故小三角形的边长 ．
小球与面 不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）
．
又 ， ，所以
．
由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 ．
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13．已知函数 的图像与直线 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为 ，求证：
．
[证] 的图象与直线 的三个交点如答13图所示，且在 内相切，其切点为 ， ．
…5分
由于 ， ，所以 ，即 ． …10分
因此
…15分
． …20分
14．解不等式
．
[解法一] 由 ，且 在 上为增函数，故原不等式等价于
．
即 ． …5分
分组分解
，
， …10分
所以 ，
． …15分
所以 ，即 或 ．
故原不等式解集为 ． …20分
[解法二] 由 ，且 在 上为增函数，故原不等式等价于
． …5分
即
，
， …10分
令 ，则不等式为
，
显然 在 上为增函数，由此上面不等式等价于
， …15分
即 ，解得 ( 舍去)，
故原不等式解集为 ． …20分
15．如题15图， 是抛物线 上的动点，点 在 轴上，圆 内切于 ，求 面积的最小值．
[解] 设 ，不妨设 ．
直线 的方程: ，
化简得 ．
又圆心 到 的距离为1，
， …5分
故 ，
易知 ，上式化简得 ，
同理有 ． …10分
所以 ， ，则
．
因 是抛物线上的点，有 ，则
， ． …15分
所以
．
当 时，上式取等号，此时 ．
因此 的最小值为8．
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