数 形 结 合
江苏省阜宁中学 黄爱华 224400
数形结合是根据数量与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征、寻找解决问题的一种数学思想。通常情况下，在应用数形结合思想方法解决问题时，往往偏重于"形"对"数"的作用，也就是经常地利用图形的直观性来解决某些数学问题。
数形结合思想方法是近些年来高考重点考查的思想方法之一，每年的高考试题（特别是客观题）能够用此方法解决者均占相当的比例。其特点是形象、直观、快捷，因此是高考备考中应予重视的重要数学解题方法。
例1 （1995年全国理）已知I为全集，集合M、NI，若M∩N=N，则（ ）
A、 B、M C、 D、
分析:集合M、N比较抽象，欲具体考察其关系有困难，若能借助集合的图示（文氏图），就能化抽象为具体，故可作出文氏图加以解决。
可作出文氏图加以解决：
解：用文氏图来表示M、N（如图1），显然CIMCIN ，故选C
评注：对于抽象集合问题，只须按题设作出文氏图即可解决。
例2、（2003年新课程理）
设函数f(x)=，若f(x)>1，则x0的取值范围是
A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-2)∪ (0,+∞) D.(-∞，-1)∪ (1,+∞)
分析：常规思路：分段函数进行分段处理，因为f(x0)>1，当x0≤0时，2-x0-1>1，2-x0>2，∴x0<-1；当x0>0时，∴x0>1
综上，x0的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞)
本题若作出函数图象，就能回避分类讨论。
解：首先画出函数y=f(x)与y=1的图象（图2），结合图象，关注选项特征，易得f(x)>1时，所对应的x的取值范围，选D。
评注：对于与分段函数相联系的相关问题（如不等式，最值），均可借助图象法优化解题，另外，对于一些简单不等式，特别是解无理不等式，抽象不等式，均可考虑数形结合法，请看例3 。
例3、（1）已知奇函数f(x)的定义域为{x|x≠0,x∈R}，且在（0,+∞）上单调递增，若f(1)=0，则满足x·f(x)<0的x的取值范围是_________。
（2）解不等式>x+1
分析（1）：函数f(x)比较抽象，欲化归为具体目标不等式困难，注意到x·f(x)<0表明自变量与函数值异号，故可作出函数f(x)的图象加以解决。
解：作出符合条件的一个函数图象（示意图）如图3，观察图象易知，满足x·f(x)<0的x的取值范围是(-1,0)∪(0,1)。
分析（2）：令y1=的图象为C1，y2=x+1的图象为C2，则解不等式就归结为寻求C1在C2上方时x的取值范围。
解：在同一坐标系内分别作出y1=和y2=x+1的图象（图4），由=x+1解得A(2,3)，观察图象易得原不等式的解集{x|- ≤x<2}。
例4、（2004年上海）若函数f(x)=a|x-b|+2在[0，+∞)上为增函数， 则实数a,b的取值范围是______。
分析：①当a>0时，需x-b恒为非负数，满足题意，即a>0，b≤0。
②当a<0时，x-b恒为非正数，又∵x∈(0.+∞)，∴不成立。
综合①②知a>0且b≤0。
这是给出的参考答案，本题若能从函数f(x)的图象考虑，不难迅速确定答案。
解：先作出函数f(x)的图象，由图象变换理论，只须将O（0，0）移至O'（b,0），在新系下，只须作出y=a|x|+2图象，若b>0，结合图象知，f(x)在[0,+∞)不单调。
∴b≤0，此时要使f(x)在[0，+∞）递增，结合图象分析得a>0。
评注：图象法是解决函数单调性问题的最基本方法。
例5、（2004年上海）已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间的距离为8，f(x)=f1(x)+f2(x)
（1）求函数f(x)的表达式。
（2）证明：当a>3时，关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解。
分析：由（1） ∴方程f(x)=f(a)即为，若去分母则得到关于x的三次方程，从“数”上处理较难，若能从“形”上考虑，“数形结合”问题可找到解决的方案。
解（2）：由f(x)=f(a)得，在同一坐标系内作出f2(x)=和f3(x)=+的大致图象（图5），易知f2(x)与f3(x)在第三象限只有一个交点，即f(x)=f(a)有一个负数解。又f2(2)=4，f3(2)=+-4
当a>3时，
∴当a>3时，在第 一象限f3(x)的图象上存在
点(2,f3 (2))在f2(x)图象的上方。
∴f2(x)与f3(x)在第一象限有两个交点，即f(x)=f(a)有两个正数解。
因此，方程f(x)=f(a)，有三个实数解。
评注：关于方程根的个数问题，使用数形结合处理比较方便、直观。
综上，从内容上讲，可以用数形结合思想方法解决的问题，主要有以下几类：
（1）集合的图示；
（2）与函数性质有关的问题；
（3）与方程、不等式有关的问题；
（4）最值问题；
（5）与解析几何有关的问题。
在使用数形结合方法时，要注意以下两点：
（1）数形结合常用来解选择题，填空题，属简缩思维模式，若用来处理解答题，要特别注意说理的严密性，如例5中两函数在第 一象限的交点的说明。
（2）在数形结合时，要注意对函数的优化选择，达到简洁、容易的目的，如将函数转化为=+处理。
数形结合就是运用图形来简化解题思路，
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等。
数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题：
一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。
二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。
三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。
四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。
五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。
六、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。
七、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。
八、解决立体几何问题：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。
多做几个类似的题目啊....找本专题什么的强化一下就可以了
