Abstract:变数分离法在不同坐标系下解Laplace-equation
Keywords:泊松 亥姆霍兹 勒让德 贝塞尔
依据数学的定理：一个关于时间和空间的函数总可以分离为一个只于时间有关的函数和另一个只于空间有关的两个函数的乘积，即 。利用变数分离就可以将一个 的复杂函数分离为 和 的两个单变量函数，从而使问题得到简化，所以变数分离在数学物理中都是解决问题的一种重要方法。
电动力学里的曾多次用到变数分离法：求电势时，给出了一个泊松方程；在谐振腔和波导管中的亥姆霍兹方程；高斯光束；光学空间孤子等。解决这些问题的一种相同的方法就是变数分离，下面讨论两种具体的形式在这些问题的解法。
无论是高斯光束还是光孤子，还是泊松方程，其实质都是亥姆霍兹方程，以下就从拉普拉斯开始推导一般的解。
（1）.直角坐标系下
泊松方程的统一方程为 ，其中 ，所以只要解的 的通解在加上泊松的特解就可以得到泊松方程的通解。下面用变量分离的方法解拉普拉斯方程。
，代入 ，得：
， ，即 ，将此式两边同时以 ， ，移项有，
。此式的左边是一个关于 的函数，而右式仅是 的函数，要两边相等那么就只有一种可能，两边等于一个常数或者为零，不妨设此常数为 ，则 ， ，同理令 ； ，整理得：
；
于是拉普拉斯方程就化到了以上的六个公式，其形式为 其中 取 , 取 ：，诺令 ，那么解得 显然 都满足以上的方程 ，于是
（2）.柱坐标下的变数分离
，
（3）.
，在关于极对称下化为 。
在波导管和谐振腔中电磁波的传播满足亥姆霍兹方程 ，依据上面的解法，不难知道其解的表达式与（4）相似，那么其解与（5）有相同的形式。
由上面的过程可知在解决问题时应该视问题的具体形式而选用适合的坐标系下解析，以使计算尽量变得的简单，一般当一个问题具有球对称时用球坐标系下的解比较简单。当一个波导管不是矩形是那么用直角坐标解析就十分复杂。球电势的拉普拉斯方程就是利用在球坐标系下,而且选取极轴并利用（7）式的结论使求解简单。实际的问题中往往都具有边界条件，再根据边界来确定各方程中的系数。显然一般的方程中都有六个待定的系数，理论上也就需要六个边界来确定。
参考文献： 梁昆淼.《数学物理方法》,第三版，229.236
爱因斯坦在1905年发表了6篇划时代的论文，分别为：
1.《关于光的产生和转化的一个试探性观点》
2.《分子大小的新测定方法》
3.《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》
4.《论动体的电动力学》
5.《物体的惯性同它所含的能量有关吗？》
6.《布朗运动的一些检视》
1905年被称为“爱因斯坦奇迹年”。100年后的2005年因此被定为“2005 世界物理年”。
1905年3月，德国《物理年鉴》发表《关于光的产生和转化的一个试探性观点》（Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt），认为光是由分离的粒子所组成。爱因斯坦解释光也是由小的能量粒子（光量子）组成的，并且量子可以像单个的粒子那样运动。“光量子”理论把1900年普朗克创立的量子论大大推进一步，揭示了微观世界的基本特征：波动—粒子二元性。
1905年5月11日，德国《物理年鉴》发表一篇用布朗运动解释微小颗粒随机游走的现象的论文《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》（Die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen）。这篇论文是对布朗运动这种平移扩散的开创性研究。
1905年6月30日，德国《物理年鉴》发表《论动体的电动力学》（Elektrodynamik bewegter Körper）一文。首次提出了狭义相对论基本原理，论文中提出了两个基本公理：“光速不变”，以及“相对性原理”。
1905年9月27日，德国《物理年鉴》刊出《物体的惯性同它所含的能量有关吗？》（Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?），认为“物体的质量可以度量其能量”，随后导出了E = mc²的公式。
此篇论文投稿在《物理年鉴》，此期刊当时并不对论文进行审稿。此外爱因斯坦未引用任何文献，只在论文最后提到对贝索过去一同讨论的感谢。爱因斯坦在后来的回顾提到，他对狭义相对论的思考主要来自于麦克斯韦方程式与牛顿力学的不兼容性，以及光速在式中永远为常数的特色。虽然知悉迈克森-莫莱实验针对以太的负面结论，但并未重视。论文中的洛仑兹转换是自行推导得出，未参考过亨得里克·洛仑兹的论文。
据学术堂了解，1905年，爱因斯坦发表了5篇论文，掀起了一场影响百年的物理革命。至今，爱因斯坦的科学思想仍引导着我们改变世界。他的5篇论文分别是：
1、《关于光的产生和转化的一个启发性观点》讨论光量子以及光电效应
2、《分子大小的新测定》推导出计算扩散速度的数学公式
3、《关于热的分子运动论所要求的静止液体中悬浮小粒子的运动》提供了原子确实存在的证明
4、《论动体的电动力学》提出时空关系新理论，被称为“狭义相对论”
5、《物体的惯性是否决定其内能》建立在狭义相对论基础上，表明质量和能量可互换，后来推出最著名的科学方程：E=mc2
