有限元法（finite element method）是一种高效能、常用的数值计算方法。科学计算领域，常常需要求解各类微分方程，而许多微分方程的解析解一般很难得到，使用有限元法将微分方程离散化后，可以编制程序，使用计算机辅助求解。有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。基本思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。
概念：
将待解区域进行分割，离散成有限个元素的集合。元素（单元）的形状原则上是任意的。二维问题一般采用三角形单元或矩形单元，三维空间可采用四面体或多面体等。每个单元的顶点称为节点（或结点）。
思想：
有限单元法最早可上溯到20世纪40年代。Courant第一次应用定义在三角区域上的分片连续函数和最小位能原理来求解St.Venant扭转问题。现代有限单元法的第一个成功的尝试是在 1956年，Turner、Clough等人在分析飞机结构时，将钢架位移法推广应用于弹性力学平面问题，给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确答案。1960年，Clough进一步处理了平面弹性问题，并第一次提出了"有限单元法"，使人们认识到它的功效。
弹性力学是固体力学的一个分支，建立在 连续性、完全弹性、均匀性、各向同性及小变形假定基础之上。弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体，其基本任务是研究由于受外力作用或边界约束，温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题
法国布辛奈斯克运用弹性理论推出了在弹性半空间表面上作用一个竖向集中力时，半空间内任意点处所引起的应力和位移的弹性力学解答，（上图）。在半空间（相当于地基）中任意点M（x,y,z）处的六个应力分量和三个位移分量的解答如下：（上公式）
由于土是散粒体，一般不能承受拉应力。在土力学中，应力符号的规定与弹性力学中相同，但应力正负号的规则与弹性力学相反。即法向应力以压为正，以拉为负。剪应力方向的规定以逆时针方向为正
平面应变问题在垂直于轴线的任意横截面内，与Z坐标相关的三个应变都等于0，即：εz、γzx、γzy=0 ；与Z坐标无关的三个应变都不等于0，即：ε x 、 ε y、 γ xy≠0 。任一点的应变分量只剩下平行于xy面的三个应变分量
许多机器零件均可以近似地作为平面应变问题进行计算，如花键，滚针轴承中的滚子等 。
有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。利用简单而又相互作用的元素（即单元），就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
有限元分析是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的（较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件（如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
因为实际问题被较简单的问题所代替，所以这个解不是准确解，而是近似解。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
扩展资料：
有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地将其描绘为：“有限元法=Rayleigh Ritz法+分片函数”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况。
不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。
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“有限单元法”自20世纪60年代由克拉夫（Clough）第一次提出以来，经过近50年的发展，它如今已经成为工程分析中应用最广泛的数值计算方法。由于它的通用和有效性，受到工程技术界的高度重视，伴随着计算机科学技术的飞速发展，有限单元法现已成为计算机辅助设计和计算机辅助制造的重要组成部分。
在工程或物理问题的数学模型(基本变量、基本方程、求解域、和边界条件等)确定以后，有限元法作为对其进行分析的数值计算方法，其基本思想可简单的概括为如下2点。
（1）将一个表示结构或连续体的求解域离散为若干个子域(单元)，并通过他们边界上的节点相互联结为一个组合体。
（2）用每个单元内所假设的近似函数来分片表示全求解域内待求解的未知变量，而每个单元内的近似函数由未知场函数(或其导数)在单元各个节点上的数值和与其对应的插值函数来表示。由于在联结相邻单元的节点上，场函数具有相同的数值，则将它们作为数值求解的基本未知量。
因此，求解原待求场函数的无穷多自由度问题转换为求解场函数节点值的有限自由度问题。
3.1.2有限元法的特点
有限元方法之所以用途如此广泛，是因为它有其自身的特点，概括如下：
（1）对于复杂几何构形的适应性。由于单元在空间上可以是一维、二维、三维的，而且每一种单元可以有不同的形状，同时各种单元可以有不同的连接方式，所以，工程实际遇到的非常复杂的结构和构造都可以离散为由单元几何体表示的有限元模型。
（2）对于各种物理问题的适应性。由于用单元内近似函数分片表示全求解域的未知场函数，并未限制场函数所满足的方程形式，也未限制各个单元所对应的方程必须有相同的形式，因此它适用于各种物理问题。
（3）建立于严格理论基础上的可靠性。因为用于建立有限元方程的变分原理或加权余量法在数学上己证明是微分方程和边界条件的等效积分形式，所以只要原问题的数学模型是正确的，同时用来求解有限元方程的数值算法是稳定可靠的，则随着单元数目的增加(即单元尺寸的缩小)或是随着单元自由度数的增加(即插值函数阶次的提高)，有限元解的近似程度不断地被改进。如果单元是满足收敛准则的，则近似解最后收敛于原数学模型的精确解。
（4）适合计算机实现的高效性。由于有限元分析的各个步骤可以表达成规范化的矩阵形式，所以求解方程可以统一为标准的矩阵代数问题，特别适合计算机的编程和执行。随着计算机硬件技术的高速发展，以及新的数值算法的不断出现，大型复杂问题的有限元分析已成为工程技术领域的常规工作。
3.1.3有限元法的分析过程
由于本论文主要是结构分析，所以主要介绍有限元分析过程中针对结构分析的主要步骤，通常分为7步，概括如下。
(1)结构的离散化。按照问题的几何特征和精度要求等因素将结构物分割成有限个单元体，并在单元体的指定点设置节点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，形成有限元网格，即将原来的连续体离散为在节点处相互连接的有限单元组合体，用它来代替原来的结构。
(2)选择位移模式。假定位移是坐标的某种简单函数(位移模式或插值函数)，通常采用多项式作为位移模式。在选择位移模式时，应该注意以下几点:
a.多项式项数应等于单元自由度数；
b.多项式阶次应包含常数项和线性项；
c.单元自由度应等于单元节点独立位移的个数。
位移矩阵为:
(3.1)式中， 为单元的节点位移， 为形函数矩阵。
(3)分析单元的力学性能。用节点位移表示的单元应变为:
(3.2)式中， 为单元应变， 是单元的节点位移， 为几何矩阵或应变矩阵，反映了节点位移与应变之间的转换关系。
由本构方程导出用节点位移表示的单元应力可表示为:
(3.3) 为与单元材料有关的弹性矩阵。
由变分原理，建立单元上节点力与节点位移的关系式，即平衡方程为:
(3.4) 其中， 为单元刚度矩阵，其形式为:
(3.5) [D]为与单元材料有关的弹性矩阵。
(4)集合所有单元的平衡方程。建立整个结构的平衡方程，即组集总刚，总刚矩阵为[k]。
(3.6)由总刚形成的整个结构的平衡方程为:
(3.7)上述方程在引入几何边界条件时，将进行适当修改。
(5)求解未知节点位移和计算单元应力。对平衡方程求解，解出未知的节点位移，然后根据前面给出的关系计算节点的应变和应力以及单元的应力和应变。
(6)整理并输出单元应变和应力。
(7)结合计算结果进行一系列处理，得到问题的最终分析结果。
公式不显示
