"数学是一切科学之母"、"数学是思维的体操"，它是一门研究数与形的科学，它不处不在。要掌握技术，先要学好数学，想攀登科学的高峰，更要学好数学。
数学，与其他学科比起来，有哪些特点？它有什么相应的思想方法？它要求我们具备什么样的主观条件和学习方法？本讲将就数学学科的特点，数学思想以及数学学习方法作简要的阐述。
一、数学的特点（一）
数学的三大特点严谨性、抽象性、广泛的应用性所谓数学的严谨性，指数学具有很强的逻辑性和较高的精通性，一般以公理化体系来体现。
什么是公理化体系呢？指得是选用少数几个不加定义的概念和不加逻辑证明的命题为基础，推出一些定理，使之成为数学体系，在这方面，古希腊数学家欧几里得是个典范，他所著的《几何原本》就是在几个公理的基础上研究了平面几何中的大多数问题。在这里，哪怕是最基本的常用的原始概念都不能直观描述，而要用公理加以确认或证明。
中学数学和数学科学在严谨性上还是有所区别的，如，中学数学中的数集的不断扩充，针对数集的运算律的扩充并没有进行严谨的推证，而是用默认的方式得到，从这一点看来，中学数学在严谨性上还是要差很多，但是，要学好数学却不能放松严谨性的要求，要保证内容的科学性。
比如，等差数列的通项是通过前若干项的递推从而归纳出通项公式，但要予以确认，还需要用数学归纳法进行严格的证明。
数学的抽象性表现在对空间形式和数量关系这一特性的抽象。它在抽象过程中抛开较多的事物的具体的特性，因而具有十分抽象的形式。它表现为高度的概括性，并将具体过程符号化，当然，抽象必须要以具体为基础。
至于数学的广泛的应用性，更是尽人皆知的。只是在以往的教学、学习中，往往过于注重定理、概念的抽象意义，有时却抛却了它的广泛的应用性，如果把抽象的概念、定理比作骨骼，那么数学的广泛应用就好比血肉，缺少哪一个都将影响数学的完整性。高中数学新教材中大量增加数学知识的应用和研究性学习的篇幅，就是为了培养同学们应用数学解决实际问题的能力。
二、高中数学的特点往往有同学进入高中以后不能适应数学学习，进而影响到学习的积极性，甚至成绩一落千丈。为什么会这样呢？让我们先看看高中数学和初中数学有些什么样的转变吧。
1、理论加强2、课程增多3、难度增大4、要求提高三、掌握数学思想高中数学从学习方法和思想方法上更接近于高等数学。学好它，需要我们从方法论的高度来掌握它。我们在研究数学问题时要经常运用唯物辩证的思想去解决数学问题。数学思想，实质上就是唯物辩证法在数学中的运用的反映。中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想，初步公理化思想，数形结合思想，运动思想，转化思想，变换思想。
例如，数列、一次函数、解析几何中的直线几个概念都可以用函数（特殊的对应）的概念来统一。又比如，数、方程、不等式、数列几个概念也都可以统一到函数概念。
再看看下面这个运用"矛盾"的观点来解题的例子。
已知动点Q在圆x2+y2=1上移动，定点P（2，0），求线段PQ中点的轨迹。
分析此题，图中P、Q、M三点是互相制约的，而Q点的运动将带动M点的运动；主要矛盾是点Q的运动，而点Q的运动轨迹遵循方程x02+y02=1①；次要矛盾关系：M是线段PQ的中点，可以用中点公式将M的坐标（x，y）用点Q的坐标表示出来。
x=(x0+2)/2 ②y=y0/2 ③显然，用代入的方法，消去题中的x0、y0就可以求得所求轨迹。
数学思想方法与解题技巧是不同的，在证明或求解中，运用归纳、演绎、换元等方法解题问题可以说是解题的技术性问题，而数学思想是解题时带有指导性的普遍思想方法。在解一道题时，从整体考虑，应如何着手，有什么途径？就是在数学思想方法的指导下的普遍性问题。
有了数学思想以后，还要掌握具体的方法，比如：换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。只有在解题思想的指导下，灵活地运用具体的解题方法才能真正地学好数学，仅仅掌握具体的操作方法，而没有从解题思想的角度考虑问题，往往难于使数学学习进入更高的层次，会为今后进入大学深造带来很有麻烦。
在具体的方法中，常用的有：观察与实验，联想与类比，比较与分类，分析与综合，归纳与演绎，一般与特殊，有限与无限，抽象与概括等。
要打赢一场战役，不可能只是勇猛冲杀、一不怕死二不怕苦就可以打赢的，必须制订好事关全局的战术和策略问题。解数学题时，也要注意解题思维策略问题，经常要思考：选择什么角度来进入，应遵循什么原则性的东西。一般地，在解题中所采取的总体思路，是带有原则性的思想方法，是一种宏观的指导，一般性的解决方案。
中学数学中经常用到的数学思维策略有：
以简驭繁、数形结全、进退互用、化生为熟、正难则反、倒顺相还、动静转换、分合相辅如果有了正确的数学思想方法，采取了恰当的数学思维策略，又有了丰富的经验和扎实的基本功，一定可以学好高中数学。
四、学习方法的改进身处应试教育的怪圈，每个教师和学生都不由自主地陷入"题海"之中，教师拍心某种题型没讲，高考时做不出，学生怕少做一道题，万一考了损失太惨重，在这样一种氛围中，往往忽视了学习方法的培养，每个学生都有自己的方法，但什么样的学习方法才是正确的方法呢？是不是一定要"博览群题"才能提高水平呢？
现实告诉我们，大胆改进学习方法，这是一个非常重大的问题。
（一）
学会听、读我们每天在学校里都在听老师讲课，阅读课本或者资料，但我们听和读对不对呢？
让我们从听（听讲、课堂学习）和读（阅读课本和相关资料）两方面来谈谈吧。
学生学习的知识，往往是间接的知识，是抽象化、形式化的知识，这些知识是在前人探索和实践的基础上提炼出来的，一般不包含探索和思维的过程。因此必须听好老师讲课，集中注意力，积极思考问题。弄清讲得内容是什么？怎么分析？理由是什么？采用什么方法？还有什么疑问？只有这样，才可能对教学内容有所理解。
听讲的过程不是一个被动参预的过程，在听讲的前提下，还要展开来分析：这里用了什么思想方法，这样做的目的是什么？为什么老师就能想到最简捷的方法？这个题有没有更直接的方法？
"学而不思则罔，思而不学则殆"，在听讲的过程中一定要有积极的思考和参预，这样才能达到最高的学习效率。
阅读数学教材也是掌握数学知识的非常重要的方法。只有真正阅读和数学教材，才能较好地掌握数学语言，提高自学能力。一定要改变只做题不看书，把课本当成查公式的辞典的不良倾向。阅读课本，也要争取老师的指导。阅读当天的内容或一个单元一章的内容，都要通盘考虑，要有目标。
比如，学习反正弦函数，从知识上来讲，通过阅读，应弄请以下几个问题：
(1) 是不是每个函数都有反函数，如果不是，在什么情况下函数有反函数？
（2）正弦函数在什么情况下有反函数？若有，其反函数如何表示？
（3）正弦函数的图象与反正弦函数的图象是什么关系？
（4）反正弦函数有什么性质？
（5）如何求反正弦函数的值？
（二）
学会思考爱因斯坦曾说："发展独立思考和独立判断的一般能力应当始终放在首位"，勤于思考，善于思考，是对我们学习数学提出的最基本的要求。一般来说，要尽力做到以下两点。
1、善于发现问题和提出问题2、善于反思与反求
数学新课程标准明确指出，义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实行“人人学有价值的数学”。这不禁让我重新对这一理念加以剖析。19世纪恩格斯说：“数学是关于空间形式和数量关系的学科。”而作为数学学科三大部分（数与代数、几何和统计）之一的数与代数部分，它是中小学数学课程中的经典内容，它在义务教育的阶段的数学课程中占有相当重要的地位，有着重要的教育价值。在新的课程标准下，这一学习领域的目标、内容、结构以及教学活动方面都发生了很大的变化。下面从三个方面谈谈自己的感想。
（一）《标准》在总体目标中提出要使学生“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立数感和符号感，发展抽象思维。”
可见，理解数感、符号感让学生在数学学习的过程中建立数感和符号感是非常重要的，是进入数学学习的基础。在义务教育阶段学生要学习整数、小数、分数、有理数、实数等数的概念，这些概念本身是抽象的，但通过数学的学习，使学生能将这些数的概念与它们所表示的实际意义建立起联系，例如，一百万有多大，一把黄豆大约有多少粒等等。在课程标准中，重视对数的意义的理解，培养学生的数感和符号感，淡化过分“形式化”和记忆的要求，使学生在学习数学的过程中自主活动，不仅提高了自身的数学素养，还有助于他们利用数学头脑来理解和解释现实问题。
数学与现实生活是密切相关的。联合国教科文组织早在八十年代初就提出“数学问题解决应作为学校数学教育的中心”。因此，有价值的数学更多地体现在学生用数学的眼光和思维去观察、认识日常生活现象，去解决生活中的问题，获得或提高适应生活的能力。过去教师一直非常重视学生笔算的正确率和熟练度，学生缺乏估算意识与估算方法。但在日常生活中恰恰是估算较笔算用得更为广泛。我们常常需要估计上学、上班所用的时间，估计完成某一任务（烧饭、买菜、做作业等）所需的时间，估计写一篇文章所需的纸量，放置冰箱所需地方的大小，估计一次旅游所需的费用等等。因此，加强估算，培养学生估算意识，发展学生的估算能力，具有重要的价值。新课程标准也反复强调要加强估算，淡化笔算。观察是指人对周围事物或现象进行全面、深入的察看，按照事物或现象的本来面目，研究和确定它们的性质和关系的一种心理现象。数学教学活动中的观察，就是有意识地对事物的数和形的特点进行感知活动，即对符号、字母、数字或文字所表示的数学关系式、命题、几何图形的结构特点进行的察看。
数学教学中必须重视学生观察能力的培养，其理由是显而易见的：
首先，培养学生的观察能力是实现数学教学目标的需要。《义务教育全日制初级中学数学指导纲要》指出：初中数学教学，必须“使学生掌握数量关系、几何图形的基础知识和基本技能，具有一定的运算能力、处理数据的能力和初步的空间想象力、逻辑思维能力。”心理学告诉我们：感知和知觉是人类认识事物过程的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、有步骤、有组织的持久的知觉活动。观察又是一种主动的、对思维起积极作用的感知活动。它不单纯是事物在人的意识中的直接反映过程，还包括积极的思维活动。事实上，在观察过程中，观察者必须根据观察到的现象或特征随时进行分析、比较、抽象、概括，否则就无法通过观察来研究和确定事物或现象的性质和关系。可见，观察是认识的基础，是思想的触觉。离开了观察能力的培养，学生就不可能具备完整的数学能力与数学素养，数学教学的目标也就不可能直正实现。
其次，培养学生的观察能力是全面提高学生数学素质的需要。素质教育呼唤着学科教学以培养学生的创新精神和实践动手能力为宗旨，而创新能力必须以学生的综合素质为基础和前提。初中数学是一门学习简易的数学运算和图形关系知识及其初步应用技能的课程，以现代公民所必需的数学基础知识和技能作为基本的教学内容。数学教学要根据数学本身的特点，着重培养和发展学生的运算能力、处理数据的能力、逻辑思维能力、空间想象能力、数学信息的表达和交流能力。观察能力对于数学学习中各种能力的培养都具有直接或间接的促进作用。无论是图形的识别、数据之间关系的把握，还是基本规律的发现、综合分析能力的提高都离不开认真、仔细的观察。同时，数学活动中的观察并不狭义地指直观的考察，需要眼、脑并用，而且观察的对象也并非都具有直观的形象。因此，观察能力，无疑是学生数学综合能力的重要组成部分。
再次，培养学生的观察能力是提高学生数学学习质量和课堂教学效率的需要。不可否认，现在的初中数学教学中存在着学生学习的质量不高、课堂教学效率低下的弊端。究其原因，当然各种各样，但学生的观察能力滞后，缺乏观察的习惯和基本的能力是其中的一个重要的原因。试想，一个没有观察习惯、毫无观察能力的学生，怎么能够发现图形之间、数据之间的内在关系？惟其如此，学生数学学习的低质量、数学教学的低效率也就不足为怪了。可见，培养并提高学生的观察能力，是改革数学课堂教学的重要切入点和突破口之一。教师在教学的各个环节中，应落实观察的手段，充分显示这一教学观，切实重视对学生观察能力的培养。
那么，数学教学中如何培养学生的观察力呢？笔者以为可着重从以下几个方面入手：
一、 激发浓厚的观察兴趣
学习是由内在的心理因素引起的，内在的动机比外驱力更活跃、更持久，更具有主动性，而兴趣则是内在学习动机的集中体现。激发学生对观察产生浓厚的兴趣，教师可采用许多方法：
以美引趣。学生对美具有一种近乎天然的向往。数学具有自身的魅力，数学美集中在数学的简单、统一、对称、奇异等方面。数学图形所展现的外在形式美、数学的抽象概括性所体现的简单统一的内在美、数量关系与空间形式所呈现的对称美、数学思想所表现的奇异美的原则，充分利用数学自身的特征和特有的美，引导学生通过观察发现并发掘数学中的美，就能激发学生对观察的浓厚兴趣，激励学生求知的强烈愿望。
以用促趣。引导学生观察并解决实际中的数学问题，使学生真正认识观察在解答数学问题的重要作用，更能培养学生持久的观察兴趣。如在一元二次方程与系数的教学中提出如下观察材料：已知X1、X2是方程X2+（K+2）X－1=0的两个根，且X13－11X1=X2，求K的值。对于这个问题，教师通过启发学生得出：X1+X2=－（K+2）①，X1X2=－1②，X13－11X1=X2③，由此，根据与系数运用时含有的特性——对称性，要求学生进行如下观察：1、③式中的X1与X2的指数是否相等；2、能否用X1的倒数表示X2；3、通过②③两式形变等式，能否表示成两根的和与两根的积。在观察中发现简洁、明了的变形，实施解决疑难问题的方案。
以成导趣。成功的体验，能使学生产生愉悦的内心激动，使其增强学习的信心。在数学教学中，学生观察的对象是图形、数量关系、逻辑过程等。教师在教学过程中要尽可能鼓励学生主动观察，为学生创设获得成功的机会和条件。结合教材内容，有意识地向学生介绍数学通过观察发现数学定理、解决数学难题的事例，并设计一些富有趣味性的练习，让学生通过自己的观察、分析，总结概括出数学概念，发现公式、定理的证明，掌握那些特殊题型的解题技巧，品尝成功的喜悦，调动学生主动观察的积极性。
二、培养正确的观察方法
初中学生在心理上缺乏观察事物所必须具备的基本素质，在掌握知识经验的水平上缺乏观察的能力和数学教学的特点，因此，只有注重对学生观察方法的指导和培养，才能保证观察的正确性。
首先，要引导学生在观察时把握合理的顺序，养成学生从整体到局部，又由局部到整体的观察习惯。发现不合理的观察方法，应通过示范分析及时指出，加以指正。例如，在几何的起始教学中，对观察材料：已知如图A、B、C、D、E、F是直线上的六点，图中共有几条线段？ A B C D E F 教师在指导学生进行观察，得出观察结论后，可进行提问：1、以A为端点的线段有几条？2、以B、C、D、E为端点的线段有几条？3、你的观察顺序与正确的观察顺序有何不同？借此引导学生认识有序观察事物的合理性与重要性。其次，要引导学生懂得观察的渐进性，养成反复观察、仔细观察的习惯。要真正提示内在规律，需要从不同的数学角度出发，进行广泛的观察：既要观察事物表面的、明显的特点，还要观察内在的、隐蔽的特征；既要观察已知的材料，又要观察未知的、隐含的关系。如在等腰三角形的教学中，对于观察材料： A 如图，在△ABC中，AB=AC， P是BC上任意一点，PE⊥AB于E， D PF⊥AC于F，CD⊥AB于D，求证CD=PE+PF。 E F B C P 教师应启发学生按面积之和与大三角形面积相等的数量关系的角度和全等三角形的判定定理的角度进行观察，以求得一题多解。
再次，要引导学生了解常用的观察方法（如分类观察、从一般到特殊的观察、从特殊到一般的观察、对比观察等等），掌握观察的一般步骤：明确观察的目的和任务；制定周密的观察计划，做好有关知识的充分准备；在观察过程中做好观察记录；观察后对得到的材料进行整理、分析、归纳和总结。通过一定时间的训练，让学生能够较为熟练地自主观察。
三、养成良好的观察品质
观察不是消极的注视，不是被动的感知，而是一种“思维的知觉”，是智力发展的基础。因此，在培养学生观察能力时，必须十分重视观察的目的性、全面性、精确性、深刻性等良好观察品质的培养。
1、 培养观察的目的性
初中学生对观察材料缺乏全部感知的能力，总是有选择地以少数事物作为知觉的对象。教师在教学过程中，对观察对象叙述的语言要准确，提出观察任务时目标要明确，分析时要紧紧围绕确定的观察目的。例如，在利用配方法解一元二次方程中，对要求观察的材料：
解下列一元二次方程：①（X－1）2=2，②X2－2X+1=2，③X2－2X－1=0可提出如下观察要求：1、①式左、右两边的代数式有何特征？2、[MSOffice1]②式的左边能否转化为完全平方式？3、式的左边能否转化为完全平方式？通过提问，让学生有目的、分层次地观察，积极主动地感知观察对象，实现观察目的。
2、 培养观察的全面性
观察的全面性，要求通过观察反映事物的全貌以及事物的组成部分和相互联系；在较为复杂结构的图形中全面反映事物的某种属性；指出在某种特定的情况下感知对象所能发生的各种可能性。在观察中，由于学生缺乏对事物之间内在联系的全面理解，导致感知的对象不能反映各种可能的现象经常发生。在教学过程中，教师要帮助学生把握事物的基本属性，在初步观察的基础上，分析观察对象内在的规律性，鼓励学生依照一定的程序，深入观察。同时，教师要及时对观察的结果提出自己的观点，与学生相互讨论，对学生观察中出现的遗漏，要分析原因，加以补救，使观察结论全面、完整。 3、 培养观察的精确性
观察不能仅仅满足于了解事物的全貌，还要精确把握事物的特征，对不同事物既能发现它们的相似点，又能辨别它们的细微差别。教师要充分利用各种教学手段，如列表比较、对比观察等，利用现代教学手段，通过形象直观、富有动感的图片、画面，启迪学生发现观察对象的特征，揭示观察对象的本质。
4、培养观察的深刻性
观察的目的之一是提高学生的思维能力，因此，观察必须始终与思维训练紧密结合，尤其要重视对观察对象隐含条件的发掘，通过观察能力的培养，逐步使学生的数学思考意识抽象概括化、思考对象形式化、思考过程逻辑化、思考结果应用化。
总之，数学教学必须十分重视学生观察能力的培养：要运用多种手段，激发学生的观察兴趣；通过训练，使学生掌握观察的基本方法，具有良好的观察品质，逐步养成主动观察、善于观察的习惯，使数学教学更好地适应素质教育的需要。
[附]参考文献
1．浙江省教育委员会：《义务教育全日制初级中学数学教学指导纲要》,浙江教育出版社,1997年11月9第二版).
2．王子兴: 《中学数学教育心理研究》,湖南师范大学出版社,1999年5月9 第一版)
3．朱智贤: 《思维发展心理学》,北京师范大学出版社,1986年版.
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各门科学的数学化
数学究竟是什么呢？我们说，数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学．它在现代生活和现代生产中的应用非常广泛，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具．
同其他科学一样，数学有着它的过去、现在和未来．我们认识它的过去，就是为了了解它的现在和未来．近代数学的发展异常迅速，近30多年来，数学新的理论已经超过了18、19世纪的理论的总和．预计未来的数学成就每“翻一番”要不了10年．所以在认识了数学的过去以后，大致领略一下数学的现在和未来，是很有好处的．
现代数学发展的一个明显趋势，就是各门科学都在经历着数学化的过程．
例如物理学，人们早就知道它与数学密不可分．在高等学校里，数学系的学生要学普通物理，物理系的学生要学高等数学，这也是尽人皆知的事实了．
又如化学，要用数学来定量研究化学反应．把参加反应的物质的浓度、温度等作为变量，用方程表示它们的变化规律，通过方程的“稳定解”来研究化学反应．这里不仅要应用基础数学，而且要应用“前沿上的”、“发展中的”数学．
再如生物学方面，要研究心脏跳动、血液循环、脉搏等周期性的运动．这种运动可以用方程组表示出来，通过寻求方程组的“周期解”，研究这种解的出现和保持，来掌握上述生物界的现象．这说明近年来生物学已经从定性研究发展到定量研究，也是要应用“发展中的”数学．这使得生物学获得了重大的成就．
谈到人口学，只用加减乘除是不够的．我们谈到人口增长，常说每年出生率多少，死亡率多少，那么是否从出生率减去死亡率，就是每年的人口增长率呢？不是的．事实上，人是不断地出生的，出生的多少又跟原来的基数有关系；死亡也是这样．这种情况在现代数学中叫做“动态”的，它不能只用简单的加减乘除来处理，而要用复杂的“微分方程”来描述．研究这样的问题，离不开方程、数据、函数曲线、计算机等，最后才能说清楚每家只生一个孩子如何，只生两个孩子又如何等等．
还有水利方面，要考虑海上风暴、水源污染、港口设计等，也是用方程描述这些问题再把数据放进计算机，求出它们的解来，然后与实际观察的结果对比验证，进而为实际服务．这里要用到很高深的数学．
谈到考试，同学们往往认为这是用来检查学生的学习质量的．其实考试手段（口试、笔试等等）以及试卷本身也是有质量高低之分的．现代的教育统计学、教育测量学，就是通过效度、难度、区分度、信度等数量指标来检测考试的质量．只有质量合格的考试才能有效地检测学生的学习质量．
至于文艺、体育，也无一不用到数学．我们从中央电视台的文艺大奖赛节目中看到，给一位演员计分时，往往先“去掉一个最高分”，再“去掉一个最低分”．然后就剩下的分数计算平均分，作为这位演员的得分．从统计学来说，“最高分”、“最低分”的可信度最低，因此把它们去掉．这一切都包含着数学道理．
我国著名的数学家关肇直先生说：“数学的发明创造有种种，我认为至少有三种：一种是解决了经典的难题，这是一种很了不起的工作；一种是提出新概念、新方法、新理论，其实在历史上起更大作用的、历史上著名的正是这种人；还有一种就是把原来的理论用在崭新的领域，这是从应用的角度有一个很大的发明创造．”我们在这里所说的，正是第三种发明创造．“这里繁花似锦，美不胜收，把数学和其他各门科学发展成综合科学的前程无限灿烂．”
正如华罗庚先生在1959年5月所说的，近100年来，数学发展突飞猛进，我们可以毫不夸张地用“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁等各个方面，无处不有数学”来概括数学的广泛应用．可以预见，科学越进步，应用数学的范围也就越大．一切科学研究在原则上都可以用数学来解决有关的问题．可以断言：只有现在还不会应用数学的部门，却绝对找不到原则上不能应用数学的领域．
