导弹追踪问题数学模型论文

红外制导：红外制导是利用红外探测器捕获和跟踪目标自身辐射的能量来实现寻地制导的技术。红外制导技术是精确制导武器一个十分重要的技术手段，红外制导技术分为红外成像制导技术和红外非成像制导技术两大类。 红外非成像制导技术是一种被动红外寻地制导技术，任何绝对温度零度以上的物体，由于原子和分子结构内部的热运动，而向外界辐射包括红外波段在内的电磁波能量，红外非成像制导技术就是利用红外探测器捕获和跟踪目标自身所辐射的红外能量来实现精确制导的一种技术手段。它的特点是制导精度高，不受无线电干扰的影响；可昼夜作战；由于采用被动寻的方式，攻击隐蔽性好。但它的正常工作受云、雾和烟尘的影响；并有可能被曳光弹、红外诱饵、云层反射的阳光和其它热源诱惑，偏离和丢失目标。此外，红外制导系统作用距离有限，所以一般用作近程武器的制导系统或远程武器的末制导系统。 红外成像制导是利用红外探测器探测目标的红外辐射,以捕获目标红外图象的制导技术,其图象质量与电视相近,但却可在电视制导系统难以工作的夜间和低能见度下作战。红外成像制导技术已成为制导技术的一个主要发展方向。实现红外成像的途径有许多，主要有以下两种：（1）多元红外探测器线阵扫描成像制导；（2）多元红外探测器平面阵的非扫描成像探测器（通常称为凝视焦面阵红外成像制导系统）。红外成像探测器从70年代以来已由多元线阵发展到面阵，从近红外发展到远红外。红外凝视焦面阵列探测器的元件数，对近红外已达107个，对于远红外已达105个，探测率已达1012～1014量级。红外成像制导系统的灵敏度和空间分辨率都很高，动态跟踪范围大，可达1500 ～1800，有效作用距离远，抗干扰性好。与非成像制导技术相比，红外成像制导系统具有更好的目标识别能力和制导精度。全天候作战能力和抗干扰能力也有较大改善。但成本较高，全天候作战能力仍不如微波和毫米波制导系统。 毫米波雷达制导：通常毫米波是指30～300GHz频域(波长为1～10mm)的电磁波。毫米波的波长介于厘米波和光波之间，因此毫米波雷达制导兼有微波制导和光电制导的优点。同厘米波导引头相比，毫米波导引头具有体积小、质量轻和空间分辨率高的特点。与红外、激光、电视等光学导引头相比，毫米波导引头穿透雾、烟、灰尘的能力强，具有全天候(大雨天除外)全天时的特点。另外，毫米波导引头的抗干扰、反隐身能力也优于其他微波导引头。 毫米波雷达制导技术的发展历程国外毫米波雷达制导技术研究始于20世纪70年代，80年代初研制成工程化导引头，并进行了挂飞试验。但由于采用分立器件，工艺复杂，价格昂贵，妨碍了部署使用。从1986年开始，美国国防部为了解决毫米波分立元器件离散以及价格昂贵的问题。由国防高级研究项目局(DARPA)发起并主持了一项历时近8年(1986～1994年)的微波鹰米波单片集成电路计划(MIMIC)。该计划旨在开发1～100GHz频率范围内的各种单片集成电路，并要求成本低、性能好、体积小、可靠性高和具有批量生产能力。该计划的顺利实施并完成，直接推动了毫米波制导技术的飞跃发展。20世纪90年代以来，随着军事斗争对毫米波制导需求的增长，以及在研制毫米波发射机、接收机、天线和无源器件等各个方面的重大突破，毫米波制导技术的发展进入了一个新的阶段。 毫米波雷达制导技术的发展现状近几年，随着计算机技术、毫米波固态技术、信号处理技术、光电子技术以及材料、器件、结构、工艺的发展，固体共形相控阵天线和毫米波集成电路技术等相关技术的成功应用为毫米波导引头性能的提高打下了良好的基础。 毫米波导引头的关键技术之一是天线技术。常用的毫米波雷达天线有以下几种：反射面天线、透镜天线、喇叭天线、介质天线、漏波天线、微带天线、相控阵列天线等。固态共形相控阵天线由于采用固态器件，能实现导引头头罩与天线合二为一，充分利用了导弹的有效空间，使复合探测更容易实现，是非常理想的弹载天线系统，正得到世界各国的高度重视。光控毫米波转向天线技术，利用了基于毫米波与光学方法形成的电子一空穴等离子体栅的相互作用，从而可以得到灵活而廉价的相控阵天线。目前，在毫米波导引头天线罩上应用较多的是氮化硅等陶瓷材料。发射／接收技术是毫米波雷达的另一项关键技术。毫米波发射系统的射频源大致可分为三类：第一类是电真空器件构成的源：第二类是固态器件构成的源；第三类是其他方式产生的源，例如光导毫米波源等。在电真空器件中，已得到成熟发展的是回旋管。目前回旋管毫米波源的效率可达40％，60GHz频率上源的连续功率达200kW。俄罗斯和美国已经采用回旋管器件装备雷达和制导系统。在目前研制出来的各类固态器件中。雪崩二极管(IMPATT)和耿氏二极管(Gunn)是最适合做毫米波射频源的。准光学功率合成是美国提出的一种具有很好的应用前景的功率合成技术，利用它能制造出更为紧凑的毫米波导引头。准光学合成利用天线和透镜在空间将微波及毫米波固态器件的功率组合在一起来实现。将光学导电效应用来控制毫米波固态器件时。其宽带宽、损耗低、在控制和被控制元件之间几乎完全隔离、抗电磁干扰性好、质量小、紧凑、响应迅速且可单片集成。近年来，毫米波接收机技术已取得相当的进展，非冷却式毫米波外差接收机的性能水平已达到可与微波频段的水平相比较的程度。实践证明，在这些接收机中采用梁式引线的砷化镓半导体器件，对于频率在30～100GHz范围内的接收机设计也是很合适的。随着毫米波集成电路技术的发展，通常把振荡、放大、混频和其他控制器件集成为一个子系统，这样接收机／发射机集成在一起，能大幅度降低尺寸和质量，同时也降低了成本。目前，频率高达94GHz的集成振荡器、放大器、混频器、衰减器和相移器已批量生产。特别是在利用光学外差作用产生精确的毫米波信号，准光学极化处理、滤波、功率合成、收发双工、控制放大器增益。毫米波检波和下变频，光电转换等方面具有独特的优点。可以大大提高毫米波导引头的性能。信号处理器是导引头的核心部件。它要完成许多重要的工作，例如控制发射机的工作射频和脉冲重复频率，多普勒频率跟踪，目标识别和抗干扰，末制导指令计算，导弹自检和导引头工作逻辑控制等。厘米波雷达中已广泛采用的信号处理技术，诸如脉冲压缩、视频积累、极化分集、动目标显示(MTI)、扩频、频率捷变、极化捷变和合成孔径以及线性预测法、Capon型法、信号子空间法、参量目标模型滤波法等这些超分辨技术都已经在毫米波雷达中得到应用。随着计算机技术、光学技术以及毫米波技术的不断发展，采用光学互连的极高速信号处理器正受到技术先进国家的重视。美国国防高级研究项目局于2002年启动了一项模拟光学信号处理技术研究计划，旨在研究工作频段在20MHz～100GHz频段范围内的光学信号处理技术。毫米波制导技术的发展趋势之一是发展毫米波成像制导技术，由非相参发展到了一维高分辨成像，目前正向宽带二维乃至三维成像方向发展。另一个趋势是向毫米波／红外、毫米波主／被动复合制导等多模复合制导发展。此外，毫米波与光学技术相结合是值得注意的发展动向。

导弹发射问题（B题）摘 要论文讨论的是导弹追踪敌机的轨迹及发射I型空对空导弹击毁敌机的条件，建立微分方程模型，是一个二阶方程, 通过降阶法化为一阶方程，然后用分离变量法求解。得到所求的方程表达式，因而得到导弹追踪敌机的轨迹方程，通过分析在给定不同的速度条件下的轨迹方程，得到发射I型空对空导弹击毁敌机的条件。通过模型的建立及求解过程，我们得出导弹追踪敌机的轨迹，分三种情况：1、若 ， ，得此时导弹能击中敌机，击中敌机所用时间为 ，当时敌机被击毁的位置为2、若 ， ，得此时导弹无法击中敌机3、若 ， ，此时导弹也无法击中敌机当敌机的飞行速度v = 1 马赫数，其位置N = 100公里, 追踪导弹速度u = 2马赫数时（1 马赫数=1224千米／时，1公里=1千米），敌机被击中的时刻66.67小时以及当时敌机被击毁的位置为距敌机逃逸时的地点66.67公里处。在建立模型时，把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。我们根据曲线的切线性质，列出常微分方程，求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。主要思想是通过模型把两个物体都理想化为质点将问题转化为平面问题，根据相应的规律，列出常微分方程，将复杂的问题转化为求微分方程解的形式。为得到发射I型空对空导弹击毁敌机的条件，我们对影响微分方程解的最主要因素——敌机和导弹的速度大小进行讨论，使问题得到解决。关键词：曲线的切线性质、微分方程模型、分离变量法、降阶法1、 问题的重述：我防空指挥部的雷达发现有一架来路不明的飞机，经分析确认是一架敌机后，即命令正处在指挥部上空处于同一高度进行巡逻的我方战斗机发射I型空对空追踪导弹将其击毁（追踪导弹可针对目标随时自动调节追踪方向）。假定雷达发现敌机时，该机正位于我防空指挥部正东N公里高空处，并欲在同一高度上向位于其正北方向M公里处的安全区逃窜（由于电子干扰的作用,敌机一旦进入安全区后.导弹将失去追踪目标，无法将其击毁）。在适当的假设下，确定导弹追踪敌机的轨迹及发射I型空对空导弹击毁敌机的条件。当给定敌机的飞行速度 v 、其位置 N 和追踪导弹速度 u 的数值时，算出敌机被击中的时刻以及当时敌机被击毁的位置。2、 模型的假设：2.1导弹追踪敌机问题通过二维坐标系建立起来因为我方战斗机与敌机处于同一高度，且导弹与敌机的大小与他们的运动范围小得多，故将他们视为同一平面的两个质点，建立xoy直角坐标系。2.2导弹追踪路径与拦截敌机的关系 因为导弹可针对目标随时自动调节追踪方向，故导弹运动轨迹上的一点与敌机运动轨迹上的一点这两点的连线与导弹运动轨迹相切，又因为要以最短的时间逃逸到安全区，可假设敌机的运动轨迹为直线。根据几何关系建立函数关系式，利用微分与积分学解得导弹追踪敌机的路径方程。3、 模型的建立：设处于指挥部正上方的巡逻机位置为（0，0）点，x轴的正方向为正东，y轴的正方向为正北，敌机的运动路径为直线x=N，从巡逻机开始发射导弹时计时（此时敌机正处于（N,0)点）。引入参数：导弹的速度为u马赫数，敌机的速度为v马赫数，时间为t小时。设经过时间t后敌机在R点，导弹在D点，此时直线RD与导弹路径相切，切点为D。若导弹成功拦截敌机则导弹路径曲线与直线x=N的交点在点（N,M)的正下方。分析在给定不同的速度条件下，得出关于x，y的函数。讨论分为vu这三种情况。4、 模型的求解：设从我方发现敌机时算起经时间 ，敌机到达R（N， ），导弹到达D（ ， ），DR与导弹的路径相切，由几何关系得： （1）为消去 ，（1）式对 微分，得 （2）代入 ， 为导弹的位移 （3）结合（1）、（2）式，得导弹轨迹的微分方程， （4），令 ， ，则 （5）对（5）式两端积分并利用初始条件： ， 得， （6）要求 是 怎样的一个函数，必须进一步确定1、若 ， ，积分（6）式，得当 时，得到导弹击中敌机时敌机所走过的位移为所用时间为2、若 ， ，由（6）式，得显然 不能取N，此时导弹无法击中敌机3、若 ， ，显然此时导弹也无法击中敌机5、结果分析、检验： 此模型将问题转化为二围平面问题，使问题简单明了，利用几何关系---曲线的相切性质列出常微分方程，利用微分与积分学求解方程，简化了计算过程，快速方便的得出所需结果。 模型中也存在不足之处，为了方便模型的建立与问题的求解，我们将导弹的质量忽略不记，故在实际问题中发射导弹需向上和水平面以一定的夹角发射。在导弹及敌机运动过程中我们也忽略了风速和风向对他们运动轨迹的影响。因此所得数据与实际数据存在一定的误差。 此模型实用性强，还可用于其他的追击问题，如海上巡警追击走私货船等等。6、模型评价： 我们根据相应的规律，列出常微分方程。将复杂的问题转化为求微分方程解的形式，由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。7、参考文献牛顿的二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法。

根号3除以9(小时)时打中地方在敌艇行驶了90乘以根号3除以9(KM)处

轨迹clearx=0:0.01:1;y=-5*(1-x).^(4/5)/8+5*(1-x).^(6/5)/12+5/24;plot(x,y,'*')解题1．建立M文件eq1．m function dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x); 2． 取x0=0，xf=0．9999，建立主程序ff6．m如下： x0=0，xf=0．9999 [x,y]=ode15s('eq1',[x0 xf],[0 0]); plot(x,y(:,1),’b．') hold on y=0:0．01:2; plot(1,y,’b）数学建模与实验（第三版）高等教育出版社（蓝色封面）附送光盘微分方程ppt第16张有原题