毕业论文辅助函数的构造

中值定理构造辅助函数的方法参考如下：

在现行人大版教材《微积分》中证明拉格朗日中值定理时,首先构造一个辅助函数,然后验证辅助函数满足罗尔定理的假设条件,最后利用罗尔定理的结论得出拉格朗日定理的证明。我认为关键是弄清楚如何构造这个辅助函数,一旦辅助函数构造出来了,剩下的只是一些验证演算了。

下面主要介绍几种构造辅助函数证明拉格朗日中值定理的思路:在教材“中值定理”这一章节中,我们知道,把罗尔定理中的图形饶A点旋转就得到拉格朗日定理中的图形。

反过来,我们可以将拉格朗日定理中的图形旋转一个角度,使旋转后得到的弦AB与水平轴(即x轴)平行,就变成了满足罗尔定理条件的图形了。将图形旋转一个角度,若直接利用坐标旋转公式去求出在新坐标系中的曲线方程,是相当困难的。

现尝试将原来的函数加一个一次函数,设新函数为:ψ(x)=f(x)+mx+n,显然,它满足罗尔定理的前两个条件,现根据第三个条件ψ(a)=ψ(b)来选取m和n,例如,令ψ(a)=ψ(b)=0,得f(a)+ma+n=0f(b)+mb+n=0得m=-f(b)b--fa(a)n=af(bb)--baf(a)故ψ(x)=f(x)-f(a)b--fa(a)x+af(bb)--baf(a)如果令ψ(a。

万能辅助函数h(x)=e^g(x)·f(x)h'(x)=e^g(x)·[f'(x)+g'(x)f(x)]本题，g'(x)=-1/√(1-x^2)得到，g(x)=-arcsinx所以，构造辅助函数h(x)=e^(-arcsinx)·f(x)

构造函数：F(x)=e^f(x)*f'(x)由上面已经证明的结论：f'(ξ1)=0, f'(ξ2)=0，则可知则F(ξ1)=F(ξ2)=0由罗尔定理可知则在(ξ1,ξ2)内存在ξ使得F'(ξ)=0所以：(f''(x)+[f'(x)]²)e^f(x)=0所以，结论得证。