圆周率的计算公式毕业论文

圆周率是周长和直径的比值..我要是没记错的话

关于π最早的文字记载来自公元前2000年前后的古巴比伦人，它们认为π=3.125，而古埃及人使用π=3.1605。早期的π值大体都是通过测量圆周长，再测量圆的直径，相除得到的估计值。

到了公元前3世纪，古希腊大数学家阿基米德第一个给出了计算圆周率π的科学方法：圆内接（或外切）正多边形的周长是可以精确计算的，而随着正多边形边数的增加，会越来越接近圆，那么多边形的周长也会越来越接近圆周长。

中国三国时期的数学家刘徽，在对《九章算术》作注时，在公元264年给出了类似的算法，并称其为割圆术。所不同的是，刘徽是通过用圆内接正多边形的面积来逐步逼近圆面积来计算圆周率的。

约公元480年，南北朝时期的大科学家祖冲之就用割圆术算出了3.141 592 6<π<3.141 592 7，这个π值已经准确到7位小数，创造了圆周率计算的世界纪录。

17世纪之前，计算圆周率基本上都是用上述几何方法（割圆术），德国的鲁道夫·范·科伊伦花费大半生时间，计算了正262边形的周长，于1610年将π值计算到小数点后35位。德国人因此将圆周率称为“鲁道夫数”。

关于π值的研究，革命性的变革出现在17世纪发明微积分时，微积分和幂级数展开的结合导致了用无穷级数来计算π值的分析方法，这就抛开了计算繁杂的割圆术。那些微积分的先驱如帕斯卡、牛顿、莱布尼茨等都对π值的计算做出了贡献。

1706年，英国数学家梅钦得出了现今以其名字命名的公式，给出了π值的第一个快速算法。梅钦因此把π值计算到了小数点后100位。

1874年，英国的谢克斯花15年时间将π计算到了小数点后707位，这是人工计算π值的最高纪录，被记录在巴黎发现宫的π大厅。

电子计算机出现后，人们开始利用它来计算圆周率π的数值，从此，π的数值长度以惊人的速度扩展着：1949年算至小数点后2037位，1973年算至100万位，1983年算至1000万位，1987年算至1亿位，2002年算至1万亿位，至2011年，已算至小数点后10万亿位。

“打倒”圆周率π

英国利兹大学数学院教授凯文·休斯敦举例说，如果用π计算圆形周长，那么半圆形周长为半径乘以一个π，四分之一圆形周长为半径乘以二分之一π，“计算四分之三圆形周长要稍微想一下，而不能自然得出结果”。

“如果我们用τ代替π该多么简单！”休斯敦说，“一个圆形周长就是半径乘以一个τ，半圆就是半径乘以半个τ，四分之一圆就是半径乘以四分之一τ，以此类推，不用想。”（τ是周长与半径之比，是π的两倍。）

参考资料：新华网《圆周率是怎样算出来的?》

人民网《圆周率等于6.28？》

为了计算方便,,楼主我知道你的意思,计算圆周长的时候和面积的时候,没有办法用有理数搞定,,于是假设周长是直径的π倍,于是周长就是πd那么面积就是把圆看作一个三角形,比如扇形面积,可以用底弧长(底)乘以半径(高)除以2,那么圆就是底弧长(周长)乘以半径(高)除以2就是πd*d/2就是2πrr..

古希腊作为古代几何王国对圆周率的贡献尤为突出。古希腊大数学家阿基米德(公元前287–212 年) 开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河。阿基米德从单位圆出发，先用内接正六边形求出圆周率的下界为3，再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4。

接着，他对内接正六边形和外接正六边形的边数分别加倍，将它们分别变成内接正12边形和外接正12边形，再借助勾股定理改进圆周率的下界和上界。他逐步对内接正多边形和外接正多边形的边数加倍，直到内接正96边形和外接正96边形为止。

最后，他求出圆周率的下界和上界分别为223/71 和22/7， 并取它们的平均值3.141851 为圆周率的近似值。阿基米德用到了迭代算法和两侧数值逼近的概念，称得上是“计算数学”的鼻祖。

南北朝时代著名数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的π值（约5世纪下半叶），给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22/7。他的辉煌成就比欧洲至少早了1000年。

其中的密率在西方直到1573才由德国人奥托得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中，欧洲不知道是祖冲之先知道密率的，将密率错误的称之为安托尼斯率。

阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。

德国数学家柯伦于1596年将π值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。

斐波那契算出圆周率约为3.1418。

韦达用阿基米德的方法，算出3.1415926535<π<3.1415926537

他还是第一个以无限乘积叙述圆周率的人。

鲁道夫万科伦以边数多过32000000000的多边形算出有35个小数位的圆周率。

华理斯在1655年求出一道公式π/2=2×2×4×4×6×6×8×8...../3×3×5×5×7×7×9×9......

欧拉发现的e的iπ次方加1等于0，成为证明π是超越数的重要依据。

扩展资料：

魏晋时，刘徽曾用使正多边形的边数逐渐增加去逼近圆周的方法（即“割圆术”），求得π的近似值3.1416。

汉朝时，张衡得出π的平方除以16等于5/8，即π等于10的开方（约为3.162）。虽然这个值不太准确，但它简单易理解，所以也在亚洲风行了一阵。 王蕃（229-267）发现了另一个圆周率值，这就是3.156，但没有人知道他是如何求出来的。

公元5世纪，祖冲之和他的儿子以正24576边形，求出圆周率约为355/113，和真正的值相比，误差小于八亿分之一。这个纪录在一千年后才给打破。

印度，约在公元530年，数学大师阿耶波多利用384边形的周长，算出圆周率约为√9.8684。 婆罗门笈多采用另一套方法，推论出圆周率等于10的算术平方根。

圆周率（Pai）是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。 在分析学里，π可以严格地定义为满足sin x = 0的最小正实数x。

圆周率用字母 π（读作pài）表示，是一个常数（约等于3.141592654），是代表圆周长和直径的比值。它是一个无理数，即无限不循环小数。

在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算。而用十位小数3.141592654便足以应付一般计算。即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，充其量也只需取值至小数点后几百个位。

参考资料来源：百度百科-圆周率

数学学习兴趣及其培养

内容摘要：学习兴趣是学习动机的一种最重要的成分，它对学生的学习起着重要的作用。

学习兴趣促进学生智力的发展，获得较大的成功；同时，这种愉快的精神感受又促进学生对

数学学习产生更大的兴趣,二者之间相互促进，使数学学习活动更加活跃、有效,学生的心理

素质得到更加和谐的发展。本文讨论了兴趣的特点、形成、发展规律及在教师教学中的应用

等，给出了米切尔关于兴趣的结构模型研究。影响兴趣的形成与发展的因素有个体需要、年

龄、性格和能力、他人、集体与地区的影响等。在数学教学中，如何培养和激发学生的学习

兴趣，是广大数学教师必须重视的一个问题。教师应将对学生学习兴趣的培养渗透到每个教

学环节，贯穿于数学教学的全过程。

关键词：学习兴趣 兴趣 认知

学习兴趣对数学学习具有一定的影响。兴趣是学习活动中的重要动力,是学习获得良好效果的必要条件。数学学习是学生根据数学教学计划、目的要求进行的，由获得数学知识经

验而引起的比较持久的行为变化过程。由于数学有其突出的特点，所以学生在获得数学知识

经验时也有其特殊性的表现和要求,如数学学习中的再创造性比其它学科要高,数学学习需

要较强的抽象概括能力等。这样学生在学习数学时保持浓厚的兴趣就犹为必要。

学习数学的兴趣产生于教学过程的趣味性和艺术性情感中,产生于学习过程中的成功与

愉快体验之中。当学生的精神处于兴奋状态展开数学学习活动时,学生就会产生强烈的求知

欲望,就会在追求与探讨中发展数学的思维能力，促进智力的发展，获得较大的成功；同时，

这种愉快的精神感受又促进学生对数学学习产生更大的兴趣,二者之间相互促进，使数学学

习活动更加活跃、有效,学生的心理素质得到更加和谐的发展。

1.学习兴趣及特点

1.1 学习兴趣

兴趣是人们爱好某种活动或力求认识某种事物的倾向,这种倾向和一定的情感联系着，

兴趣是在需要的基础上产生的,是在生活实践的过程中形成与发展起来的。学习兴趣是学生

基于自己的学习需要而表现出来的一种认识倾向。从表现形式上讲，学习兴趣是学生学习需

要的动态表现形式，是社会和教育对学生的客观要求在学生头脑中的反映；从系统上讲，学

习兴趣是学习动机系统中的一个子系统，它是学习动机中最现实、最活跃的成分，是力求认

识世界、渴望获得科学文化知识的带有情绪色彩的认识倾向。

教育心理学的研究表明,如果大脑中有关学习的神经细胞处于高度的兴奋状态,而无关

部分处于高度的抑制状态，有关学习的神经纤维通道便能高度畅通,学习时信息传输就会处

于最佳状态。学生一旦对数学知识产生兴趣,就会产生巨大的认识能力,能集中注意力学习，

使信息的传导达到最佳状态；反之，如果学生的学习存在着被迫、苦恼、烦躁、紧张，就会

使神经细胞中应当抑制的部分变为兴奋，而应当兴奋的部分受到抑制，从而影响学习效果。

1.2 兴趣的特点

1.2.1 兴趣是后天形成的，是在需要的基础上发展起来的。人们在实践活动中，通过对

某种事物反复接触和了解，随着有关知识经验的不断积累，逐渐形成和发展了对某事物的兴

趣。学习的兴趣是可以诱发和培养的。

1.2.2 兴趣具有指向性。任何一种兴趣都对一定事件或活动，为实现某种目的而产生的。

人对他感兴趣的事物总是心驰神往，积极地把注意指向并集中于该种活动。兴趣的指向性是

建立在需要的基础之上的。

1.2.3 兴趣具有情绪性。在许多心理学教材和工具书中给兴趣下定义时都指出兴趣带有

情绪性。生活实践也表明，人们从事感兴趣的活动时，总会处在愉快、满意、兴致淋漓的情

绪状态；一个人做没有兴趣的工作时总觉得在做苦差事。

1.2.4 兴趣具有动力性。兴趣的动力作用可以概括为：（1）对一个人所从事的活动起支

持、推动和促进作用。（2）为未来活动做准备。

1.2.5 兴趣具有衍生性。人们对事物的认识一般是在旧有的认知结构的基础上进行扩

展，而事物之间往往相互联系，所以从旧有的兴趣中往往会产生出新的兴趣。

1.2.6 兴趣具有稳定性。兴趣的稳定性是指下躯持续时间而言，按兴趣维持时间长短可

分为持久兴趣与短暂兴趣。直观兴趣是一种短暂兴趣，数学内容的有趣性和实用性、数学美

感引起的自觉兴趣和潜在兴趣则是持久兴趣。

2 影响兴趣形成与发展的因素

2.1 兴趣与需要的关系

皮亚杰指出：“兴趣，实际上，就是需要的延伸，它表现出对象与需要之间的关系，因

为我们之所以对一个对象发生兴趣，是由于它能满足我们的需要。”人的需要是多种多样的，

兴趣也随需要而异。研究表明，一般具有高认知需要的人更喜欢复杂任务；而具有低认知需

要的人则更喜欢简单的任务。

2.2 兴趣与年龄的关系

不同年龄的人有不同的兴趣。年龄的增长直接影响到人的兴趣的数量和质量，对认识兴

趣中具有中心意义的读书倾向变化的研究表明，不同年龄阶段的儿童的读书兴趣是有其各自

的特点的。9—13 岁的儿童是读书最盛的，进入青年期读书活动的比率逐渐减少。但年龄越

增长，选择力越强，感受性和理解力越敏锐，读书兴趣的质量在提高。

2.3 兴趣与性格和能力的关系

不同性格的人兴趣有所区别。如情绪稳定的人兴趣也较稳定。此外，兴趣受能力制约。

当自己感到问题的难度太大或太小时，个人对它就难于发生兴趣。

2.4 兴趣与他人、集体及地区的影响有关

学生的兴趣常常受教师兴趣 的影响。个人的兴趣也受集体、地区、集团的影响。

2.5 兴趣与性别的关系

从调查中可知兴趣有受性别影响的倾向。田中在苏州、无锡、镇江3 地区6 县市9 所学

校的初三县市中进行调查显示，对数学表现兴趣的是男生多于女生，声明对数学不感兴趣甚

至讨厌数学的也是男生多于女生。

3 兴趣的形成过程

儿童的兴趣在最初主要是与刺激联系在一起的。首先，刺激本身固有的一些特性都先于

经验而有引起人注意和兴趣的功能。其次，使人觉得有趣的活动和经验本身也将引起人们的

注意和兴趣。

要引起或培养一个人的兴趣要按以下两个步骤进行：（1）发现个人或团体目前感兴趣的

具体领域和现有水平；（2）把希望其从事的活动直接或通过中间的步骤与其目前的兴趣领域

连接起来。

章凯和张必隐提出了兴趣的“信息—目标”理论。该理论认为，个体心理的发展是以不

断从环境获得信息为基础的；个体在与环境相互作用时希望从中获得信息，以消除原有的或

新产生的心理不确定性，实现心理目标的形成、演化和发展的心理过程即兴趣。

4 兴趣的作用

兴趣在学生的学习活动中起着重要的作用。俄国大教育家乌申斯基指出：“没有丝毫兴

趣的强制性学习，将会扼杀学生探求真理的欲望。”教育实践证明，学生对学习本身、对学

习科目有兴趣，就可以激起他的学习积极性，推动他在学习中取得好成绩。

兴趣对未来活动具有准备作用，对正在进行的活动具有推动作用，对活动的创造性态度

具有促进作用。兴趣是推动认识活动的重要动力，是影响学习效果的重要因素。

兴趣作为人从事活动的内容或方向，并不是固定不变的。兴趣可以被培养，被“镶嵌”

于人的个性之中。由于兴趣—注意的指向性和集中性等特点，人的兴趣和认知的相互作用经

常会导致一种恒常而稳定的兴趣—认知倾向。当认知倾向在个体身上内化而恒常地表现出来

时，就表现为一种稳定的兴趣的个性倾向性。

5 兴趣的发展规律

5.1 兴趣发展逐步深化

人的兴趣的发展，一般要经过有趣—乐趣—志趣三个阶段。有趣是兴趣发展的低级水平，

它往往是由某些外在的新异现象所引起而产生的直接兴趣。它为时短暂，带有直观性、盲目

性和广泛性。

乐趣是兴趣发展的中级水平，它是在有趣的基础上逐步定向而形成的。在这个阶段，学

生的兴趣会向专一的、深入的方向发展，即对某一客体产生了特殊爱好。乐趣已具有专一性、

自发性和坚持性的特点。

志趣则是兴趣发展的最高水平。它与崇高的理想和远大的奋斗目标相结合，是在乐趣的

基础上发展起来的。其特点是具有社会性、自觉性、方向性和更强的坚持性，甚至终身不变。

5.2 直接兴趣与间接兴趣的相互转化

兴趣一般分为直接兴趣和间接兴趣两类。直接兴趣是对事物本身感到需要而引起的兴

趣，间接兴趣只是对这种事物或活动的将来结果感到重要，而对事物本身并没有兴趣。间接

兴趣在一定条件下可以转化为直接兴趣。学生遇到稍微简单、容易和生动有趣的知识时，便

会产生直接兴趣；但一旦遇到复杂的、困难的和枯燥的知识时，便需要有间接兴趣来维持学

习。当学生通过顽强学习，克服了学习中的困难时，便又会对这种知识产生直接兴趣。

5.3 中心兴趣与广泛兴趣的相互促进

中心兴趣是指对某一方面的事物或活动有着极浓厚又稳定的兴趣；广泛兴趣是指对多方

面的事物或活动具有的兴趣。广泛兴趣是中心兴趣的基础。

5.4 好奇心、求知欲、兴趣密切联系，逐步发展

从横的方面来看，好奇心、求知欲和兴趣是相互促进、彼此强化的；从纵的方面看，三

者又是沿着好奇心—求知欲—兴趣的方向发展的。

好奇心是人们对新奇事物积极探求的一种心理倾向，它可以说是一种本能。好奇心儿童

期最为强烈。求知欲是人们积极探求新知识的一种欲望，它带有一定的感情色彩。青少年时

期是求知欲最旺盛的时期。某一方面的求知欲如果反复地表现出来，就形成了某一个人对某

事物或活动的兴趣。

5.5 兴趣与努力不可分割

兴趣与努力是可以相互促进的，而不是两个对立面。学生的学习活动既离不开学习兴趣，

也离不开勤奋努力，兴趣与努力不断相互促进，方能使学习达到最佳境地。

6 激发和培养学生学习数学的兴趣

数学的特点是抽象、严谨、应用广泛。徐德雄对江山中学、武汉中学、金陵中学、浦城

一中的高三毕业班学生的调查显示45.4％的学生认为课业负担较重的科目是数学，32.8％

的学生认为考试次数最多的是数学。因此，在数学教学中，如何培养和激发学生的学习兴趣，

是广大数学教师必须十分重视的一个问题，对于学习兴趣的培养应当渗透到每个教学环节，

贯穿于数学教学的全过程。

6.1 要求学生建立积极的心理准备状态

教师要教会学生在学习中遇到不懂的地方有积极的心理暗示，鼓励学生创造性地使用一

些方法，增加学习的趣味性。兴趣是可以自己培养的，关键是有积极的态度。

6.2 帮助学生形成正确的学习价值观

学习价值观使学生形成明确的学习需要，为兴趣的生成奠定基础。在教学中，教师要充

分挖掘教学内容的功利和精神价值，并及时准确地传递给学生，帮助学生形成正确的学习目

的，明确学习的价值和意义，以唤醒学生学习的内在冲动和激情，促进学习兴趣的生成。 学

习价值观激发学习动机和求知欲，为兴趣的深入发展注入动力。教师应善于从帮助学生确立

科学合理的学习价值观入手，以培养学生正确的学习理念和优秀的学习品质为切入点，将兴

趣根植于崇高的理想信仰和正确的价值观基础之上。只有这样，学生才能形成真实的、稳定

的、深入的、持久的学习兴趣，才能真正达到兴趣促进学习的目的。

6.3 提高教学水平引发学生学习兴趣

6.3.1 设悬激趣

创设悬念，是教师根据教材的数学内容，设置问题情境，使学生产生强烈的求知欲望，激发学习兴趣。如教学“正比例”知识时，教师向学生提出一个实际问题：谁能有办法测量

我们校内操场枫树的高度呢？同学们顿时兴趣大发，争论不休，却又想不出什么好办法。这

时教师对同学们说：“我倒有一个且很简单的测量办法，不用爬树也不用砍树便可以测出树

的高度”。同学们哗然，产生悬念：老师是用什么办法测量树高的呢？很自然地产生了求知

欲望，由此学生主动学习，兴趣盎然，从而达到了预期的教学目的。收到良好效果，悬念也

得到解决。

6.3.2 实践激趣

数学教学中，给学生设置创造思考问题的机会和条件，指导学生在实践中，观察的基础

上，动脑筋思考获得新知识。《数学课程标准》中指出：“学生能够认识到数学存在于现实生

活中，并被广泛应用于现实世界，才能切实体会到数学的应用价值。”学好数学知识，是为

了更好地为生活服务。把知识应用于生活，做到学以致用，让学生充分体验数学的应用价值，

同时让学生在解决实际生活中的数学问题时，体验到探索数学的无穷乐趣，从而形成长久的

兴趣。

6.3.3 竞争激趣

课堂教学中，教师要注重学生争胜好强的特点，发挥他们的学习积极性，给他们提供足

够的机会，鼓励他们竞争。

6.3.4 操作激趣

感知－表象—概念是儿童认识数学的过程，从具体到抽象，从感性到理性的过程。教学

时要注重学生的操作训练，激发学习兴趣，发展学生思维，把抽象的知识转变为具体的内容，

使学生的认识由感性的基础上升到理性知识。

6.3.5 评价激趣

教学中不管学生对知识的接受理解能力如何。教师都要以亲切的语言给予评价和诱导，

忌用简单、粗糙的语言挫伤学生的学习知识性：

第一、利用成功评价激趣。如学生通过自己学习实践得出圆周率时，教师评价学生说：

“圆周率是我国古代数学家花了很长的时间，反复实验才计算出来，而今你们通过自己的实

践也成功地算出来了，真了不起。希望同学们从小就要这样认真学习，事业一定能成功。”

从而激发学生的学习兴趣。

第二、利用诱导语言激趣。个别同学在学习过程中遇到困难时，要及时给予点拨诱导，

让他们跳一下也能摘到果子。给予“试试看”、“再想想”等亲切的语言鼓励他们学习成功，

产生兴趣。

6.3.6 加强直观，引导动手操作

在课堂教学中，采用直观教具、投影仪等生动形象的教学手段，能使静态的数学知识动

态化，不但能激发学生学习的积极性，而且学生学到的知识也能印象深刻，永久不忘。动手

操作能有效地引发学生的学习兴趣。

6.4 建立平等和谐的师生关系

教育是心灵的艺术，应该体现出民主与平等的现代意识。学生对堂课的兴趣与积极性的

高低，常依赖于对教师的情感。由此可见，高尚纯洁的爱则是师生心灵的通道，是启发学生

心扉的钥匙，是引导学生前进的路标。教师除了要有人格魅力外，在教学中，要以一颗火热

的心爱护学生，真诚地对待学生。对学生要一视同仁，才能赢得学生的信赖。在生活上关心

他们，在学习上帮助他们，在课堂上注重多表扬少批评，经常走到他们中间，找他们谈心，

参加他们的活动，为他们服务，这样才能成为他们的知心朋友，尤其是对学习困难的学生更

应多给他们关爱，多找出其闪光点培养他们的自信心，只有这样，建立了平等和谐的师生关

系，学生才会亲其师、信其道、学其知，产生兴趣。

6.5 应用现代化教学手段培养学习兴趣

学生的认识能力是否会有长足的进步，常常取决于我们能否提供一个良好的外界条件。

在过去教学中，多数是填鸭式教学，教师只是讲讲、写写，学生只是听听、记记，对知识的

理解、认识的提高，很多都是抽象的、模糊的，很难真正搞清楚，而现代教学手段的应用恰

好弥补了这一不足。

随着科学技术的发展，现代媒介也逐渐走入课堂，广泛用于教学中。应用现代化教学手

段，诸如电影，电视，尤其是多媒体计算机辅助教学，代替了过去把黑板、粉笔作为教具的

教学模式，既可以提高学生的认识能力，还可以培养学生的学习兴趣，让学生把动画、图象、

立体声融合起来，真正做到“图文并茂”，把学生带入一种心旷神怡的境界，有身临其境之

感，觉得生动有趣，这样就能激发起学生的学习热情，从而收到良好的效果。

说圆周率是3.14其实并不十分准确.事实上,圆周率等于3.1415926535897932……是个无穷尽的非循环小数.计算圆周率的历史,可以追溯到很久很久以前。

距今约四千年前的古巴比伦人计算出圆周率为3.125；古埃及人认为圆周率是3.16049；而在《圣经》里,则有圆周率等于3的记载.

第一个用数学的方法将圆周率计算到小数点后两位（求得3.14）的人,是两千三百年前出生在叙拉古的数学家阿基米德.他先在直径为1的圆的内部和圆的外部,都画了相同大小的正96边形.这样一来,画在圆外图形的周长为3.142871……而画在圆形里面的图形周长为3.140845……所以,处于二者之间的圆的周长,也就是3.14……啦!因为是直径为1的圆,根据圆周率等于圆的周长除以圆的直径,所以圆周率就是3.14了.

扩展资料：

圆周率（Pi）是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。 在分析学里，π可以严格地定义为满足sin x = 0的最小正实数x。

参考资料：

百度百科--圆周率

π的历史 圆的周长与直径之比是一个常数，人们称之为圆周率。通常用希腊字母“π”来表示。1706年，英国人琼斯首次创用π代表圆周率。他的符号并未立刻被采用，以后，欧拉予以提倡，才渐渐推广开来。现在π已成为圆周率的专用符号，π的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平，它的历史是饶有趣味的。 在古代，实际上长期使用 π＝3这个数值，巴比伦、印度、中国都是如此。到公元前2世纪，中国的《周髀算经》里已有周三径一的记载。东汉的数学家又将值改为根号10（约为3.16）。真正使圆周率计算建立在科学的基础上，首先应归功于阿基米德。他专门写了一篇论文《圆的度量》，用几何方法证明了圆周率与圆直径之比小于三又七分之一而大于三又七十一分之十。这是第一次在科学中创用上、下界来确定近似值。第一次用正确方法计算π值的，是魏晋时期的刘徽，在公元263年，他创用了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得π值为3.14。我国称这种方法为“割圆术”。直到1200年后，西方人才找到了类似的方法。后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率。 公元460年，南朝的祖冲之利用刘徽的割圆术，把π值算到小点后第七位3.1415926，这个具有七位小数的圆周率在当时是世界首次。祖冲之还找到了两个分数：22/7和113/355，用分数来代替π，极大地简化了计算，这种思想比西方也早一千多年。 祖逯�脑仓苈剩�3至艘磺Ф嗄甑氖澜缂锹肌V沼谠?596年，由荷兰数学家卢道夫打破了。他把π值推到小数点后第15位小数，最后推到第35位。为了纪念他这项成就，人们在他1610年去世后的墓碑上，刻上：3.14159265358979323846264338327950288这个数，从此也把它称为“卢道夫数”。 之后，西方数学家计算 的工作，有了飞速的进展。1948年1月，费格森与雷思奇合作，算出808位小数的π值。计算机问世后，π的人工计算宣告结束。20世纪50年代，人们借助计算机算得了10万位小数的π值，70年代又突破这个记录，算到了150万位。到90年代初，用新的计算方法，算到的值已到了4.8亿位。π的计算经历了几千年的历史，它的每一次重大进步，都标志着技术和算法的革新。 圆周率π的计算历程 圆周率是一个极其驰名的数。从有文字记载的历史开始，这个数就引进了外行人和学者们的兴趣。作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题。仅凭这一点，求出它的尽量准确的近似值，就是一个极其迫切的问题了。事实也是如此，几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代一代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动。回顾历史，人类对 π 的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。 π 的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。德国数学史家康托说："历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。"直到19世纪初，求圆周率的值应该说是数学中的头号难题。为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路，它的历史是饶有趣味的。我们可以将这一计算历程分为几个阶段。 实验时期 通过实验对 π 值进行估算，这是计算 π 的的第一阶段。这种对 π 值的估算基本上都是以观察或实验为根据，是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。在古代世界，实际上长期使用 π ＝3这个数值。最早见于文字记载的有基督教《圣经》中的章节，其上取圆周率为3。这一段描述的事大约发生在公元前950年前后。其他如巴比伦、印度、中国等也长期使用3这个粗略而简单实用的数值。在我国刘徽之前"圆径一而周三"曾广泛流传。我国第一部《周髀算经》中，就记载有圆"周三径一"这一结论。在我国，木工师傅有两句从古流传下来的口诀：叫做："周三径一，方五斜七"，意思是说，直径为1的圆，周长大约是3，边长为5的正方形，对角线之长约为7。这正反映了早期人们对圆周率 π 和√2 这两个无理数的粗略估计。东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算面积的标准。后人称之为"古率"。 早期的人们还使用了其它的粗糙方法。如古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上，以数粒数与方形对比的方法取得数值。或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值……由此，得到圆周率的稍好些的值。如古埃及人应用了约四千年的 4 (8/9)2 = 3.1605。在印度，公元前六世纪，曾取 π= √10 = 3.162。在我国东、西汉之交，新朝王莽令刘歆制造量的容器――律嘉量斛。刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率的值。为此，他大约也是通过做实验，得到一些关于圆周率的并不划一的近似值。现在根据铭文推算，其计算值分别取为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031比径一周三的古率已有所进步。人类的这种探索的结果，当主要估计圆田面积时，对生产没有太大影响，但以此来制造器皿或其它计算就不合适了。 几何法时期 凭直观推测或实物度量，来计算 π 值的实验方法所得到的结果是相当粗略的。 真正使圆周率计算建立在科学的基础上，首先应归功于阿基米德。他是科学地研究这一常数的第一个人，是他首先提出了一种能够借助数学过程而不是通过测量的、能够把 π 的值精确到任意精度的方法。由此，开创了圆周率计算的第二阶段。 圆周长大于内接正四边形而小于外切正四边形，因此 2√2 ＜ π ＜ 4 。 当然，这是一个差劲透顶的例子。据说阿基米德用到了正96边形才算出他的值域。 阿基米德求圆周率的更精确近似值的方法，体现在他的一篇论文《圆的测定》之中。在这一书中，阿基米德第一次创用上、下界来确定 π 的近似值，他用几何方法证明了"圆周长与圆直径之比小于 3+(1/7) 而大于 3 + (10/71) "，他还提供了误差的估计。重要的是，这种方法从理论上而言，能够求得圆周率的更准确的值。到公元150年左右，希腊天文学家托勒密得出 π ＝3.1416，取得了自阿基米德以来的巨大进步。 割圆术。不断地利用勾股定理，来计算正N边形的边长。 在我国，首先是由数学家刘徽得出较精确的圆周率。公元263年前后，刘徽提出著名的割圆术，得出 π ＝3.14，通常称为"徽率"，他指出这是不足近似值。虽然他提出割圆术的时间比阿基米德晚一些，但其方法确有着较阿基米德方法更美妙之处。割圆术仅用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界，比阿基米德用内接同时又用外切正多边形简捷得多。另外，有人认为在割圆术中刘徽提供了一种绝妙的精加工办法，以致于他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均，竟然获得具有4位有效数字的圆周率 π ＝3927/1250 ＝3.1416。而这一结果，正如刘徽本人指出的，如果通过割圆计算得出这个结果，需要割到3072边形。这种精加工方法的效果是奇妙的。这一神奇的精加工技术是割圆术中最为精彩的部分，令人遗憾的是，由于人们对它缺乏理解而被长期埋没了。 恐怕大家更加熟悉的是祖冲之所做出的贡献吧。对此，《隋书·律历志》有如下记载："宋末，南徐州从事祖冲之更开密法。以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。" 这一记录指出，祖冲之关于圆周率的两大贡献。其一是求得圆周率 3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927 其二是，得到 π 的两个近似分数即：约率为22／7；密率为355／113。 他算出的 π 的8位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界记录九百多年。以致于有数学史家提议将这一结果命名为"祖率"。 这一结果是如何获得的呢？追根溯源，正是基于对刘徽割圆术的继承与发展，祖冲之才能得到这一非凡的成果。因而当我们称颂祖冲之的功绩时，不要忘记他的成就的取得是因为他站在数学伟人刘徽的肩膀上的缘故。后人曾推算若要单纯地通过计算圆内接多边形边长的话，得到这一结果，需要算到圆内接正12288边形，才能得到这样精确度的值。祖冲之是否还使用了其它的巧妙办法来简化计算呢？这已经不得而知，因为记载其研究成果的著作《缀术》早已失传了。这在中国数学发展史上是一件极令人痛惜的事。 中国发行的祖冲之纪念邮票 祖冲之的这一研究成果享有世界声誉：巴黎"发现宫"科学博物馆的墙壁上著文介绍了祖冲之求得的圆周率，莫斯科大学礼堂的走廊上镶嵌有祖冲之的大理石塑像，月球上有以祖冲之命名的环形山…… 对于祖冲之的关于圆周率的第二点贡献，即他选用两个简单的分数尤其是用密率来近似地表示 π 这一点，通常人们不会太注意。然而，实际上，后者在数学上有更重要的意义。 密率与 π 的近似程度很好，但形式上却很简单，并且很优美，只用到了数字1、3、5。数学史家梁宗巨教授验证出：分母小于16604的一切分数中，没有比密率更接近 π 的分数。在国外，祖冲之死后一千多年，西方人才获得这一结果。 可见，密率的提出是一件很不简单的事情。人们自然要追究他是采用什么办法得到这一结果的呢？他是用什么办法把圆周率从小数表示的近似值化为近似分数的呢？这一问题历来为数学史家所关注。由于文献的失传，祖冲之的求法已不为人知。后人对此进行了各种猜测。 让我们先看看国外历史上的工作，希望能够提供出一些信息。 1573年，德国人奥托得出这一结果。他是用阿基米德成果22／7与托勒密的结果377／120用类似于加成法"合成"的：(377-22) / (120-7) = 355/113。 1585年，荷兰人安托尼兹用阿基米德的方法先求得：333/106 ＜ π ＜ 377/120，用两者作为 π 的母近似值，分子、分母各取平均，通过加成法获得结果：3 ((15+17)/(106+120) = 355/113。 两个虽都得出了祖冲之密率，但使用方法都为偶合，无理由可言。 在日本，十七世纪关孝和重要著作《括要算法》卷四中求圆周率时创立零约术，其实质就是用加成法来求近似分数的方法。他以3、4作为母近似值，连续加成六次得到祖冲之约率，加成一百十二次得到密率。其学生对这种按部就班的笨办法作了改进，提出从相邻的不足、过剩近似值就近加成的办法，（实际上就是我们前面已经提到的加成法）这样从3、4出发，六次加成到约率，第七次出现25／8，就近与其紧邻的22／7加成，得47／15，依次类推，只要加成23次就得到密率。 钱宗琮先生在《中国算学史》（1931年）中提出祖冲之采用了我们前面提到的由何承天首创的"调日法"或称加权加成法。他设想了祖冲之求密率的过程：以徽率157／50，约率22／7为母近似值，并计算加成权数x=9，于是 (157 + 22×，9) / (50+7×9) = 355/113，一举得到密率。钱先生说："冲之在承天后，用其术以造密率，亦意中事耳。" 另一种推测是：使用连分数法。 由于求二自然数的最大公约数的更相减损术远在《九章算术》成书时代已流行，所以借助这一工具求近似分数应该是比较自然的。于是有人提出祖冲之可能是在求得盈 二数之后，再使用这个工具，将3.14159265表示成连分数，得到其渐近分数：3，22／7，333／106，355／113，102573／32650… 最后，取精确度很高但分子分母都较小的355／113作为圆周率的近似值。至于上面圆周率渐近分数的具体求法，这里略掉了。你不妨利用我们前面介绍的方法自己求求看。英国李约瑟博士持这一观点。他在《中国科学技术史》卷三第19章几何编中论祖冲之的密率说："密率的分数是一个连分数渐近数，因此是一个非凡的成就。" 我国再回过头来看一下国外所取得的成果。 1150年，印度数学家婆什迦罗第二计算出 π= 3927/1250 = 3.1416。1424年，中亚细亚地区的天文学家、数学家卡西著《圆周论》，计算了3×228＝805,306,368边内接与外切正多边形的周长，求出 π 值，他的结果是： π＝3.14159265358979325 有十七位准确数字。这是国外第一次打破祖冲之的记录。 16世纪的法国数学家韦达利用阿基米德的方法计算 π 近似值，用 6×216正边形，推算出精确到9位小数的 π 值。他所采用的仍然是阿基米德的方法，但韦达却拥有比阿基米德更先进的工具：十进位置制。17世纪初，德国人鲁道夫用了几乎一生的时间钻研这个问题。他也将新的十进制与早的阿基米德方法结合起来，但他不是从正六边形开始并将其边数翻番的，他是从正方形开始的，一直推导出了有262条边的正多边形，约4,610,000,000,000,000,000边形！这样，算出小数35位。为了记念他的这一非凡成果，在德国圆周率 π 被称为"鲁道夫数"。但是，用几何方法求其值，计算量很大，这样算下去，穷数学家一生也改进不了多少。到鲁道夫可以说已经登峰造极，古典方法已引导数学家们走得很远，再向前推进，必须在方法上有所突破。 17世纪出现了数学分析，这锐利的工具使得许多初等数学束手无策的问题迎刃而解。 π 的计算历史也随之进入了一个新的阶段。 分析法时期 这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难计算，利用无穷级数或无穷连乘积来算 π 。 1593年，韦达给出 这一不寻常的公式是 π 的最早分析表达式。甚至在今天，这个公式的优美也会令我们赞叹不已。它表明仅仅借助数字2，通过一系列的加、乘、除和开平方就可算出 π 值。 接着有多种表达式出现。如沃利斯1650年给出： 1706年，梅钦建立了一个重要的公式，现以他的名字命名： 再利用分析中的级数展开，他算到小数后100位。 这样的方法远比可怜的鲁道夫用大半生时间才抠出的35位小数的方法简便得多。显然，级数方法宣告了古典方法的过时。此后，对于圆周率的计算像马拉松式竞赛，纪录一个接着一个： 1844年，达塞利用公式： 算到200位。 19世纪以后，类似的公式不断涌现， π 的位数也迅速增长。1873年，谢克斯利用梅钦的一系列方法，级数公式将 π 算到小数后707位。为了得到这项空前的纪录，他花费了二十年的时间。他死后，人们将这凝聚着他毕生心血的数值，铭刻在他的墓碑上，以颂扬他顽强的意志和坚韧不拔的毅力。于是在他的墓碑上留下了他一生心血的结晶： π 的小数点后707位数值。这一惊人的结果成为此后74年的标准。此后半个世纪，人们对他的计算结果深信不疑，或者说即便怀疑也没有办法来检查它是否正确。以致于在1937年巴黎博览会发现馆的天井里，依然显赫地刻着他求出的 π 值。 又过了若干年，数学家弗格森对他的计算结果产生了怀疑，其疑问基于如下猜想：在 π 的数值中，尽管各数字排列没有规律可循，但是各数码出现的机会应该相同。当他对谢克斯的结果进行统计时，发现各数字出现次数过于参差不齐。于是怀疑有误。他使用了当时所能找到的最先进的计算工具，从1944年5月到1945年5月，算了整整一年。1946年，弗格森发现第528位是错的（应为4，误为5）。谢克斯的值中足足有一百多位全都报了销，这把可怜的谢克斯和他的十五年浪费了的光阴全部一笔勾销了。 对此，有人曾嘲笑他说：数学史在记录了诸如阿基米德、费马等人的著作之余，也将会挤出那么一、二行的篇幅来记述1873年前谢克斯曾把 π 计算到小数707位这件事。这样，他也许会觉得自己的生命没有虚度。如果确实是这样的话，他的目的达到了。 人们对这些在地球的各个角落里作出不懈努力的人感到不可理解，这可能是正常的。但是，对此做出的嘲笑却是过于残忍了。人的能力是不同的，我们无法要求每个人都成为费马、高斯那样的人物。但成为不了伟大的数学家，并不意味着我们就不能为这个社会做出自己有限的贡献。人各有其长，作为一个精力充沛的计算者，谢克斯愿意献出一生的大部分时光从事这项工作而别无报酬，并最终为世上的知识宝库添了一小块砖加了一个块瓦。对此我们不应为他的不懈努力而感染并从中得到一些启发与教育吗？ 1948年1月弗格森和伦奇两人共同发表有808位正确小数的 π 。这是人工计算 π 的最高记录。 计算机时期 1946年，世界第一台计算机ENIAC制造成功，标志着人类历史迈入了电脑时代。电脑的出现导致了计算方面的根本革命。1949年，ENIAC根据梅钦公式计算到2035（一说是2037）位小数，包括准备和整理时间在内仅用了70小时。计算机的发展一日千里，其记录也就被频频打破。 ENIAC：一个时代的开始 1973年，有人就把圆周率算到了小数点后100万位，并将结果印成一本二百页厚的书，可谓世界上最枯燥无味的书了。1989年突破10亿大关，1995年10月超过64亿位。1999年9月30日，《文摘报》报道，日本东京大学教授金田康正已求到2061.5843亿位的小数值。如果将这些数字打印在A4大小的复印纸上，令每页印2万位数字，那么，这些纸摞起来将高达五六百米。来自最新的报道：金田康正利用一台超级计算机，计算出圆周率小数点后一兆二千四百一十一亿位数，改写了他本人两年前创造的纪录。据悉，金田教授与日立制作所的员工合作，利用目前计算能力居世界第二十六位的超级计算机，使用新的计算方法，耗时四百多个小时，才计算出新的数位，比他一九九九年九月计算出的小数点后二千六百一十一位提高了六倍。圆周率小数点后第一兆位数是二，第一兆二千四百一十一亿位数为五。如果一秒钟读一位数，大约四万年后才能读完。 不过，现在打破记录，不管推进到多少位，也不会令人感到特别的惊奇了。实际上，把 π 的数值算得过分精确，应用意义并不大。现代科技领域使用的 π 值，有十几位已经足够。如果用鲁道夫的35位小数的 π 值计算一个能把太阳系包围起来的圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。我们还可以引美国天文学家西蒙·纽克姆的话来说明这种计算的实用价值： "十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内，三十位小数便能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨的一个量。" 那么为什么数学家们还象登山运动员那样，奋力向上攀登，一直求下去而不是停止对 π 的探索呢？为什么其小数值有如此的魅力呢？ 这其中大概免不了有人类的好奇心与领先于人的心态作怪，但除此之外，还有许多其它原因。 奔腾与圆周率之间的奇妙关系…… 1、它现在可以被人们用来测试或检验超级计算机的各项性能，特别是运算速度与计算过程的稳定性。这对计算机本身的改进至关重要。就在几年前，当Intel公司推出奔腾（Pentium）时，发现它有一点小问题，这问题正是通过运行 π 的计算而找到的。这正是超高精度的 π 计算直到今天仍然有重要意义的原因之一。 2、 计算的方法和思路可以引发新的概念和思想。虽然计算机的计算速度超出任何人的想象，但毕竟还需要由数学家去编制程序，指导计算机正确运算。实际上，确切地说，当我们把 π 的计算历史划分出一个电子计算机时期时，这并非意味着计算方法上的改进，而只是计算工具有了一个大飞跃而已。因而如何改进计算技术，研究出更好的计算公式，使公式收敛得更快、能极快地达到较大的精确度仍是数学家们面对的一个重要课题。在这方面，本世纪印度天才数学家拉马努扬得出了一些很好的结果。他发现了许多能够迅速而精确地计算 π 近似值的公式。他的见解开通了更有效地计算 π 近似值的思路。现在计算机计算 π 值的公式就是由他得到的。至于这位极富传奇色彩的数学家的故事，在这本小书中我们不想多做介绍了。不过，我希望大家能够明白 π 的故事讲述的是人类的胜利，而不是机器的胜利。 3、还有一个关于 π 的计算的问题是：我们能否无限地继续算下去？答案是：不行！根据朱达偌夫斯基的估计，我们最多算1077位。虽然，现在我们离这一极限还相差很远很远，但这毕竟是一个界限。为了不受这一界限的约束，就需要从计算理论上有新的突破。前面我们所提到的计算，不管用什么公式都必须从头算起，一旦前面的某一位出错，后面的数值完全没有意义。还记得令人遗憾的谢克斯吗？他就是历史上最惨痛的教训。 4、于是，有人想能否计算时不从头开始，而是从半截开始呢？这一根本性的想法就是寻找并行算法公式。1996年，圆周率的并行算法公式终于找到，但这是一个16进位的公式，这样很容易得出的1000亿位的数值，只不过是16进位的。是否有10进位的并行计算公式，仍是未来数学的一大难题。 5、作为一个无穷数列，数学家感兴趣的把 π 展开到上亿位，能够提供充足的数据来验证人们所提出的某些理论问题，可以发现许多迷人的性质。如，在 π 的十进展开中，10个数字，哪些比较稀，哪些比较密？ π 的数字展开中某些数字出现的频率会比另一些高吗？或许它们并非完全随意？这样的想法并非是无聊之举。只有那些思想敏锐的人才会问这种貌似简单，许多人司空见惯但却不屑发问的问题。 6、数学家弗格森最早有过这种猜想：在 π 的数值式中各数码出现的概率相同。正是他的这个猜想为发现和纠正向克斯计算 π 值的错误立下了汗马功劳。然而，猜想并不等于现实。弗格森想验证它，却无能为力。后人也想验证它，也是苦于已知的 π 值的位数太少。甚至当位数太少时，人们有理由对猜想的正确性做出怀疑。如，数字0的出现机会在开始时就非常少。前50位中只有1个0，第一次出现在32位上。可是，这种现象随着数据的增多，很快就改变了：100位以内有8个0；200位以内有19个0；……1000万位以内有999，440个0；……60亿位以内有599，963，005个0，几乎占1／10。 其他数字又如何呢？结果显示，每一个都差不多是1／10，有的多一点，有的少一点。虽然有些偏差，但都在1／10000之内。 7、人们还想知道： π 的数字展开真的没有一定的模式吗？我们希望能够在十进制展开式中通过研究数字的统计分布，寻找任何可能的模型――如果存在这种模型的话，迄今为止尚未发现有这种模型。同时我们还想了解： π 的展开式中含有无穷的样式变化吗？或者说，是否任何形式的数字排列都会出现呢？著名数学家希尔伯特在没有发表的笔记本中曾提出下面的问题： π 的十进展开中是否有10个9连在一起？以现在算到的60亿位数字来看，已经出现：连续6个9连在一起。希尔伯特的问题答案似乎应该是肯定的，看来任何数字的排列都应该出现，只是什么时候出现而已。但这还需要更多 π 的数位的计算才能提供切实的证据。 8、在这方面，还有如下的统计结果：在60亿数字中已出现连在一起的8个8；9个7；10个6；小数点后第710150位与3204765位开始，均连续出现了七个3；小数点52638位起连续出现了14142135这八个数字，这恰是的前八位；小数点后第2747956位起，出现了有趣的数列876543210，遗憾的是前面缺个9；还有更有趣的数列123456789也出现了。 如果继续算下去，看来各种类型的数字列组合可能都会出现。 拾零： π 的其它计算方法 在1777年出版的《或然性算术实验》一书中，蒲丰提出了用实验方法计算 π 。这个实验方法的操作很简单：找一根粗细均匀，长度为 d 的细针，并在一张白纸上画上一组间距为 l 的平行线（方便起见，常取 l = d/2），然后一次又一次地将小针任意投掷在白纸上。这样反复地投多次，数数针与任意平行线相交的次数，于是就可以得到 π 的近似值。因为蒲丰本人证明了针与任意平行线相交的概率为 p = 2l/πd 。利用这一公式，可以用概率方法得到圆周率的近似值。在一次实验中，他选取 l = d/2 ，然后投针2212次，其中针与平行线相交704次，这样求得圆周率的近似值为 2212/704 = 3.142。当实验中投的次数相当多时，就可以得到 π 的更精确的值。 1850年，一位叫沃尔夫的人在投掷5000多次后，得到 π 的近似值为3.1596。目前宣称用这种方法得到最好结果的是意大利人拉兹瑞尼。在1901年，他重复这项实验，作了3408次投针，求得 π 的近似值为3.1415929，这个结果是如此准确，以致于很多人怀疑其实验的真伪。如美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L·巴杰就对此提出过有力的质疑。 不过，蒲丰实验的重要性并非是为了求得比其它方法更精确的 π 值。蒲丰投针问题的重要性在于它是第一个用几何形式表达概率问题的例子。计算 π 的这一方法，不但因其新颖，奇妙而让人叫绝，而且它开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河，是用偶然性方法去解决确定性计算的前导。 在用概率方法计算 π 值中还要提到的是：R·查特在1904年发现，两个随意写出的数中，互素的概率为6／π2。1995年4月英国《自然》杂志刊登文章，介绍英国伯明翰市阿斯顿大学计算机科学与应用数学系的罗伯特·马修斯，如何利用夜空中亮星的分布来计算圆周率。马修斯从100颗最亮的星星中随意选取一对又一对进行分析，计算它们位置之间的角距。他检查了100万对因子，据此求得 π 的值约为3.12772。这个值与真值相对误差不超过5％。 通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现 π ，这充分显示了数学方法的奇异美。 π 竟然与这么些表面看来风马牛不相及的试验，沟通在一起，这的确使人惊讶不已。 四色猜想 世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不?/div>

宇宙发展的必然，0后面接着1，然后是2和3……如果世界没有发展到2和3，那么0和1只叫有和没有，更早期，只有0，在这里，我们都没有诞生