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2017大学数学论文范文
由于特殊函数是数学分析中的一种重要工具，因此特殊函数的学习及应用非常重要。但是特殊函数往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。下面是我整理的关于几类特殊函数的性质及应用的数学论文范文，欢迎大家阅读。
几类特殊函数的性质及应用
【摘要】本文将对数学分析中特殊函数，诸如伽玛函数、贝塔函数贝塞尔函数等超几何数列函数，具有特殊的性质和特点，在现实中得到大量的运用的函数。本文主要以简单介绍以上三种特殊函数性质，及其在其它领域的应用，诸如利用特殊函数求积分，利用特殊函数解相关物理学问题。本文首先以回顾学习几类常见特殊函数概念、性质，从而加深读者理解，然后以相关实例进行具体分析，从而达到灵活应用的目的。
【关键词】特殊函数;性质;应用;伽马函数;贝塔函数;贝塞尔函数;积分
1.引言
特殊函数是指一些具有特定性质的函数，一般有约定俗成的名称和记号，例如伽玛函数、贝塔函数、贝塞尔函数等。它们在数学分析、泛函分析、物理研究、工程应用中有着举足轻重的地位。许多特殊函数是微分方程的解或基本函数的积分，因此积分表中常常会出现特殊函数，特殊函数的定义中也经常会出现积分。传统上对特殊函数的分析主要基于对其的数值展开基础上。随着电子计算的发展，这个领域内开创了新的研究方法。
由于特殊函数是数学分析中的一种重要工具，因此特殊函数的学习及应用非常重要。本文归纳出特殊函数性质、利用特殊函数在求积分运算中的应用、特殊函数在物理学科方面的应用，利用Matlab软件画出一些特殊函数的图形，主要包含内容有：定义性质学习，作积分运算，物理知识中的应用，并结合具体例题进行了详细的探究和证明。
特殊函数定义及性质证明
特殊函数学习是数学分析的一大难点,又是一大重点,求特殊函数包含很多知识点,有很多技巧,教学中可引导学生以探究学习的方式进行归纳、总结;一方面可提高学生求函数极限的技能、技巧;另一方面也可培养学生的观察、分析、归类的能力,对学生的学习、思考习惯,很有益处。
特殊函数性质学习及其相关计算，由于题型多变，方法多样，技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。解决这个问题的途径主要在于熟练掌握特殊函数的特性和一些基本方法。下面结合具体例题来探究特殊函数相关性质及应用。
2.伽马函数的性质及应用
2.1.1伽马函数的定义：
伽马函数通常定义是：这个定义只适用于的区域，因为这是积分在t=0处收敛的条件。已知函数的定义域是区间，下面讨论Г函数的两个性质。
2.1.2Г函数在区间连续。
事实上，已知假积分与无穷积分都收敛，则无穷积分在区间一致收敛。而被积函数在区间D连续。Г函数在区间连续。于是，Г函数在点z连续。因为z是区间任意一点，所以Г函数在区间连续。
2.1.3，伽马函数的递推公式
此关系可由原定义式换部积分法证明如下：
这说明在z为正整数n时，就是阶乘。
由公式(4)看出是一半纯函数，在有限区域内的奇点都是一阶极点，极点为z=0,-1,-2,...,-n,....
2.1.4用Г函数求积分
2.2贝塔函数的性质及应用
2.2.1贝塔函数的定义：
函数称为B函数(贝塔函数)。
已知的定义域是区域，下面讨论的三个性质：
贝塔函数的性质
2.2.2对称性：=。事实上，设有
2.2.3递推公式：，有事实上，由分部积分公式，，有
即
由对称性，
特别地，逐次应用递推公式，有
而，即
当时，有
此公式表明，尽管B函数与Г函数的定义在形式上没有关系，但它们之间却有着内在的联系。这个公式可推广为
2.2.4
由上式得以下几个简单公式：
2.2.5用贝塔函数求积分
例2.2.1
解：设有
(因是偶函数)
例2.2.2贝塔函数在重积分中的应用
计算，其中是由及这三条直线所围成的闭区域，
解：作变换且这个变换将区域映照成正方形：。于是
通过在计算过程中使用函数，使得用一般方法求原函数较难的问题得以轻松解决。
2.3贝塞尔函数的性质及应用
2.3.1贝塞尔函数的定义
贝塞尔函数：二阶系数线性常微分方程称为λ阶的贝塞尔方程，其中y是x的未知函数，λ是任一实数。
2.3.2贝塞尔函数的'递推公式
在式(5)、(6)中消去则得式3，消去则得式4
特别，当n为整数时，由式(3)和(4)得：
以此类推，可知当n为正整数时，可由和表示。
又因为
以此类推，可知也可用和表示。所以当n为整数时，和都可由和表示。
2.3.3为半奇数贝塞尔函数是初等函数
证：由Г函数的性质知
由递推公式知
一般，有
其中表示n个算符的连续作用，例如
由以上关系可见，半奇数阶的贝塞尔函数(n为正整数)都是初等函数。
2.3.4贝塞尔函数在物理学科的应用：
频谱有限函数新的快速收敛的取样定理，.根据具体问题，利用卷积的方法还可以调节收敛速度，达到预期效果，并且计算亦不太复杂。由一个函数的离散取样值重建该函数的取样定理是通信技术中必不可少的工具，令
称为的Fourier变换。它的逆变换是
若存在一个正数b，当是b频谱有限的。对于此类函数，只要取样间隔，则有离散取样值(这里z表示一切整数：0,)可以重建函数，
这就是Shannon取样定理。Shannon取样定理中的母函数是
由于Shannon取样定理收敛速度不够快，若当这时允许的最大取样间隔特征函数Fourier变换：
以下取样方法把贝塞尔函数引进取样定理，其特点是收敛速度快，且可根据实际问题调节收敛速度，这样就可以由不太多的取样值较为精确地确定函数。
首先建立取样定理
设：
其中是零阶贝塞尔函数。构造函数：
令
经计算：
利用分部积分法，并考虑到所以的Fourier变换。
通过函数卷积法，可加快收敛速度，使依据具体问题，适当选取N，以达到预期效果，此种可调节的取样定理，计算量没有增加很多。取：
类似地
经计算：
经计算得：
则有：设是的Fourier变换，
记则由离散取样值
因为，故该取样定理收敛速度加快是不言而喻的，通过比较得，计算量并没有加大，而且N可控制收敛速度。
例2.4，利用
引理：当
当
因为不能用初等函数表示，所以在求定积分的值时，牛顿-莱布尼茨公式不能使用，故使用如下计算公式
首先证明函数满足狄利克雷充分条件，在区间上傅立叶级数展开式为：
(1)
其中
函数的幂级数展开式为：
则关于幂级数展开式为： (2)
由引理及(2)可得
(3)
由阶修正贝塞尔函数
其中函数，且当为正整数时，取，则(3)可化为
(4)
通过(1)(4)比较系数得
又由被积函数为偶函数，所以
公式得证。
3.结束语
本文是关于特殊函数性质学习及其相关计算的探讨，通过对特殊函数性质的学习及其相关计算的归纳可以更好的掌握特殊函数在日常学习中遇到相关交叉学科时应用，并且针对不同的实例能够应用不同的特殊函数相关性质进行证明、计算，从而更加简洁，更加合理的利用特殊函数求解相关问题。有些特殊函数的应用不是固定的，它可以通过不止一种方法来证明和计算，解题时应通过观察题目结构和类型，选用一种最简捷的方法来解题。
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对虚数存在意义的两次认知早在一周前，便写了以论复数中虚数部分存在性为题的一篇论文，由于时间较为紧张，不得要领，颇为浅薄，甚至有很多不科学的漏洞。之前对虚数域的认识，完全在于一个虚字。因为对于复变产生的意义，书中是这样给出的：由于解代数方程的需要，人们引出了复数。复数的出现，使得基本运算中的开方运算不再存在无解情况，n此多项式也不再存在增根，这为人类在某些逻辑领域的运算提供了帮助。为了说明两次认知所进行的探索，以下便是我在之前的论文中所论述的部分内容（这一部分是在我认为虚数是完全虚构的认知下的论述）：“复数的集合——复平面是一个二维平面，但却并非我们所在的三维世界中的任何一个二维平面。可以说复平面在现实世界中完全找不到具体的一一对应，是一个纯粹缔造出来的二维平面。对这种想法的抽象性我颇为好奇，故希望找到正解。而就在最近我通过一个论坛的争论弄清了两个概念：数学与科学。结论为：数学不是科学。数学不属于科学的范畴，是一种逻辑学，作为工具的学科；而科学则是理论的集合。哪怕是假命题如地心说，也是科学。而区别一个学科是否是科学的，则需要另一门学科作为其判定依据：证伪学。最终令我信服秉洁说的一个理论是：可被证明或证伪的属于科学；而数学，是不可被证伪的。这一定程度上说明了数学是一门形而上学的学科，甚至包括几何学在内。而在数学当中，在我看来复数领域的形而上学兴则更加突出。曾见过有人在论述形而上学时拿虚数和量子理论作为例证。我也曾一度认为量子理论中无观察者的不可知的事物量子状态可以用虚数来表示。当然现在看来，这是一种很浅薄的想法。就好比将著名的佯谬——薛定谔的猫的生死与否映射到复数域上。我高中时曾对此作过一个很粗浅而缺乏科学性的类似性形而上学的证明，若将猫的生死，即铀的衰变与否映射到复数域上，那么为了对应铀的衰变概率分布的均匀，不妨将其对应到一队共轭复数上。当观察者出现，猫的生死被确定，不确定性即消失，那么其映射的复数的不存在性也应该消失，即将复数反映到实数域上，相应的运算即取模，可知共轭复数的模是相等的，这与确定后猫的生死的不同是矛盾的。当然，这种简单的推理本身便不甚科学。但结论应为正解：不确定不等于不存在，二者不可相互映射。这至少说明了数学领域外的学科中，复数的存在有可能是孤立的。世界观的完全形而上学化是不现实的。”以上。在这篇想法很幼稚的论文完成后，感到自己对复平面及虚数的存在意义并没有做任何深入的知识性的理解，仅为一些个人想法，颇觉不妥。为了更加准确而科学地对这个问题进行深入的认知，我查阅了一些相关资料。首先，虚数的发展历史是这样的：Pt 1.16世纪意大利米兰学者卡当（1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家。给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（1596—1650），他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。数系中发现一颗新星——虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数。德国数学家菜不尼茨（1664—1716）在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。瑞士数学大师欧拉（1707—1783）说；“一切形如 ，的数字都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们纯属虚幻。”然而，真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，最终占有自己的一席之地。法国数学家达兰贝尔（1717—1783）在1747年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是 的形式（a、b都是实数）。法国数学家棣莫佛（1667—1754）在1730年发现著名的探莫佛定理。欧拉在1748年发现了有名的关系式 ，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i来表示一1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位。挪威的测量学家成塞尔（1745—1818）在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视。德国数学家高斯（1777—1855）在1806年公布了虚数的图象表示法。象这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“高斯平面”。高斯在1831年，用实数组（a，b）代表复数a＋bi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数—一对应，扩展为平面上的点与复数—一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间—一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了。Pt 2.“虚数”是人类在发展数学上的解题技术时，以人为定义方式发明的一种虚拟的数，在现实生活中不存在，在实务的商用数学中也用不着。“复数”可以解决一些物理数学上的问题，解题到最后经过转化所得到的实数解，才有物理上的意义，带有虚数的复数届时没有意义的。至此，虚数在物理学中不存在的理论在我的认识中仍然是正确的。至到看到时间的空间矢量代数法则：时间有空间的方向性，它能做矢量代数。过去我们做代数运算时，虚数就是时间。多普勒效应是证明四维时间存在的实验基础之一。虚数是的确不存在于三维世界中的，但却被定义为第四维的时间。虚数时间只是用数学呈现的方法，是一种处理方式。就像RCL电路我们也用虚数去处理相角关系，但电感本身并不是虚的。这是人为的定义，但这也在一定意义上揭示了虚数有可能存在的某些物理特征。之后我又得到了物理学中有关快子的概念：快子是理论上预言的粒子。它具有超过光速的局部速度（瞬时速度）。它的质量是虚数，但能量和动量是实数。有人认为这种粒子无法检测，但实际未必如此。影子和光斑的例子就说明超过光速的东西也是可以观测到的。目前尚无快子存在的实验证据，绝大多数人怀疑它们的存在。有人声称在测氚的贝塔衰变放出的中微子质量的实验中有证据表明这些中微子是快子。这很让人怀疑，但不能完全排除这种可能。快子虽未被科学界认可，但至少已经人类已将虚数应用到物理学中。其一旦被证明，虚数不存在物理意义的观点即被打破。这无疑是人类对虚数存在意义的两次深入的探索！下面这段话我认为很客观而积极的展现了虚数的现实意义：“代数学的主要任务就是对这个问题给出尽可能多的答案。通过引入虚数，那些‘没有意义”的根式就根本不成其为一个问题。可是在历史上虚数的存在性及它的意义曾经引起一场激烈的论战。虚数被讥笑为‘数的鬼魂’，一些象笛卡尔这样的大数学也拒绝承认它。这场争论一直要到一八零零年左右几何解释虚数成功后才慢慢平静下来。对实用主义者而言，虚数当然是一个计算的工具，只要它有用就行了，但对于严肃的数学家来说却并非如此。高斯就曾经说过，关键不在于应用，而在于如果歧视这些虚量，整个分析学就会失去大量的美和灵活性。为什么认为“歧视虚数”就不美呢？我想这是由于数学中第二个关于美的法则在起作用：对称性法则。当我们把虚数和实数认为是同样真实，只是分别属于一个统一的复平面的横轴和竖轴时，所有的代数方程的解对于实数和虚数而言就具有了一种对称性。而任何人为的‘歧视’都将打破这种对称。”通过课程的学习，我们可以了解到，复数可以应用的现实中的数学建模，其在很多运算中都有者不可思议的性质和规律。复数的引入为人们解决实数域和物理科学提供了许多新的途径，打开了很多原本无法畅通的道路，无论是神奇的留数，还是保角映射，都为人类在解决非复领域上的问题提供了全新的思路与方便。虚数，无论其客观存在与否，都是美丽的！我的一点见解，你再整理下啊，我也要写复变的论文，但我还要写积分变换的
4．1．3复变函数项级数定义4．3设{fn（z）}（n＝1， 2， …）为一复变函数列，其中各项均在复数域D上有定义，称表达式∑∞〖〗n＝1fn（z）＝f1（z）＋f2（z）＋…＋fn（z）＋…（4．2）为复变函数项级数．该级数的前n项和Sn（z）＝f1（z）＋f2（z）＋…＋fn（z）为级数的部分和．若z0为D上的固定点，limn→∞Sn（z）＝S（z0），则称复变函数项级数（4.2）在z0点收敛，z0称为级数∑∞〖〗n＝1fn（z）的一个收敛点，收敛点的集合称为级数∑∞〖〗n＝1fn（z）的收敛域．若级数∑∞〖〗n＝1fn（z）在z0点发散，则称z0为级数∑∞〖〗n＝1fn（z）的发散点，发散点的集合称为级数∑∞〖〗n＝1fn（z）的发散域．若对D内的任意点z，都有limn→∞Sn（z）＝S（z），则称级数∑∞〖〗n＝1fn（z）在D内处处收敛．并称S（z）为级数的和函数．下面我们重点讨论一类特别的解析函数项级数——幂级数，它是复变函数项级数中最简单的情形．4．2幂级数〖〗在复变函数项级数的定义中，若取fn（z）＝an（z－z0）n或fn（z）＝anzn（n＝1， 2， …），就得到函数项级数的特殊情形∑∞〖〗n＝0an（z－z0）n＝a0＋a1（z－z0）＋a2（z－z0）2＋…＋an（z－z0）n＋… （4．3）或∑∞〖〗n＝0anzn＝a0＋a1z＋a2z2＋…＋anzn＋…（4．4）形如（4.3）或（4.4）的级数称为幂级数，其中，a0， a1， …， an， …和z0均为复常数．在级数（4．3）中，令z－z0＝ξ，则化为式（4．4）的形式，称级数（4．4）为幂级数的标准形式，式（4．3）称为幂级数的一般形式．为方便，今后我们以幂级数的标准形式（4．4）为主来讨论，相关结论可平行推广到幂级数的一般形式（4．3）．4．2．1幂级数的收敛性关于幂级数收敛问题，我们先介绍下面的定理．定理4．5（Abel定理）若幂级数∑∞〖〗n＝0anzn在z＝z0（≠0）处收敛，则此级数在｜z｜＜｜z0｜内绝对收敛（即∑∞〖〗n＝0｜anzn｜收敛）；若在z＝z0处发散，则在｜z｜＞｜z0｜内级数发散．证若∑∞〖〗n＝0anzn在z＝z0（≠0）处收敛，即级数∑∞〖〗n ＝ 0anzn0收敛，所以limn→∞anzn0＝0因而，存在常数M＞0使得对所有的n，有｜anzn0｜＜M当｜z｜＜｜z0｜时，｜anzn｜＝｜anz0｜z〖〗z0n＜Mz〖〗z0n，而级数∑∞〖〗n＝0z〖〗z0n收敛，所以，∑∞〖〗n＝0anzn绝对收敛．若∑∞〖〗n＝0anzn在z＝z0（≠0）发散，假设存在一点z1，使得当｜z1｜＞｜z0｜时，∑∞〖〗n ＝ 0anzn1收敛．则由上面讨论可知，∑∞〖〗n ＝ 0anzn0收敛，与已知∑∞〖〗n ＝ 0anzn0发散矛盾！因此，∑∞〖〗n＝0anzn在｜z｜＞｜z0｜发散．由Abel定理，我们可以确定幂级数的收敛范围，对于一个幂级数来说，它的收敛情况有以下三种情形：（1） 对所有正实数z＝x， ∑∞〖〗n＝0anxn都收敛，由Abel定理，∑∞〖〗n＝0anzn在复平面上处处绝对收敛；（2） 对所有的正实数x，∑∞〖〗n＝0anxn（x≠0）发散，由Abel定理，∑∞〖〗n＝0anzn在复平面内除原点z＝0外处处发散；（3） 既存在使级数收敛的正实数x1＞0，也存在使级数发散的正实数x2＞0，即z＝x1时级数∑∞〖〗n ＝ 0anxn1收敛，z＝x2时级数∑∞〖〗n ＝ 0anxn2发散．由Abel定理，∑∞〖〗n＝0anzn在｜z｜≤x1内，级数绝对收敛，在｜z｜≥x2内级数发散．在情形（3）中，可以证明，一定存在一个有限的正数R，使得幂级数∑∞〖〗n＝0anzn在圆｜z｜＜R内绝对收敛，在｜z｜＞R时发散，则称R为幂级数的收敛半径，称｜z｜＜R为幂级数的收敛圆．约定在第一种情形，R＝∞；第二种情形，R＝0．而对于幂级数∑∞〖〗n＝0an（z－z0）n，收敛圆是以z0为圆心，R为半径的圆：｜z－z0｜＜R．至于在收敛圆的圆周｜z｜＝R（或｜z－z0｜＝R）上，∑∞〖〗n＝0anzn或∑∞〖〗n＝0an（z－z0）n的收敛性较难判断，可视具体情况而定．关于幂级数收敛半径的求法，同实函数的幂级数类似，可以用比值法和根植法．定理4．6（ 幂级数收敛半径的求法）设幂级数∑∞〖〗n＝0anzn，若下列条件之一成立：（1） （比值法）limn→∞an＋1〖〗an＝L；（2） （根值法）limn→∞n〖〗｜an｜＝L.则幂级数∑∞〖〗n=0anzn的收敛半径R＝1〖〗L．证明从略.当L＝0时，R＝∞；当L＝∞时，R＝0．例4．4求下列幂级数的收敛半径：（1） ∑∞〖〗n＝1zn〖〗n3（讨论圆周上情形）；（2） ∑∞〖〗n＝1（z－1）n〖〗n（讨论z＝0， 2的情形）；（3） ∑∞〖〗n＝0（cosin）zn．解（1）因为limn→∞an＋1〖〗an＝limn→∞1〖〗（n＋1）3〖〗1〖〗n3＝limn→∞n〖〗n＋13＝1或者limn→∞n 〖〗｜an｜＝limn→∞n〖〗1〖〗n3＝limn→∞1〖〗n〖〗n3＝1所以，收敛半径R＝1，从而级数的收敛圆为｜z｜＜1．由于在圆周｜z｜＝1，级数∑∞〖〗n＝1zn〖〗n3＝∑∞〖〗n＝11〖〗n3收敛（p级数，p＝3＞1），所以，级数在圆周｜z｜＝1上也收敛．因此，所给级数的收敛范围为｜z｜≤1．（2） 由于limn→∞an＋1〖〗an＝limn→∞1〖〗（n＋1）〖〗1〖〗n＝limn→∞n〖〗n＋1＝1，故收敛半径R＝1，从而它的收敛圆为｜z－1｜＜1．在圆周｜z－1｜＝1上，当z＝0时，原级数成为∑∞〖〗n＝1（－1）n1〖〗n（交错级数），所以收敛；当z＝2时，原级数为∑∞〖〗n＝11〖〗n，发散．表明在收敛圆周上，既有收敛点又有发散点．（3） 由于an＝cosin＝1〖〗2（en－e－n），所以limn→∞an＋1〖〗an＝limn→∞en＋1－e－（n＋1）〖〗en－e－n＝limn→∞en（e－e－2n－1）〖〗en（1－e－2n）＝e故收敛半径为R＝1〖〗e．例4．5求幂级数∑∞〖〗n＝1（－1）n1＋sin1〖〗n－n2zn的收敛半径．解因为limn→∞n〖〗（－1）n1＋sin1〖〗n－n2＝limn→∞1＋sin1〖〗n－n＝limn→∞1＋sin1〖〗n1〖〗sin1〖〗n－sin1〖〗n〖〗1〖〗n＝e－1故所求收敛半径为R＝e．例4．6求幂级数∑∞〖〗n＝1（－i）n－1（2n－1）〖〗2nz2n－1的收敛半径．解记fn（z）＝（－i）n－1（2n－1）〖〗2nz2n－1，则limn→∞fn＋1（z）〖〗 fn（z）＝limn→∞（2n＋1）2n｜z｜2n＋1〖〗（2n－1）2n＋1｜z｜2n－1＝1〖〗2｜z｜2当1〖〗2｜z｜2＜1时，即｜z｜＜2时，幂级数绝对收敛；当1〖〗2｜z｜2＞1时，即｜z｜＞2时，幂级数发散．所以，该幂级数的收敛半径为R＝2．4．2．2幂级数的运算和性质和实函数的幂级数类似，复变函数的幂级数也可以进行加、减、乘等运算．设幂级数∑∞〖〗n＝0anzn＝S1（z）， ∑∞〖〗n＝0bnzn＝S2（z），收敛半径分别为R1、 R2，则∑∞〖〗n＝1anzn±∑∞〖〗n＝1bnzn＝∑∞〖〗n＝0（an±bn）zn＝S1（z）±S2（z），｜z｜＜R（4．5）∑∞〖〗n＝1anzn∑∞〖〗n＝1bnzn＝∑∞〖〗 n＝0（anb0＋an－1b1＋…＋a0bn）zn＝S1（z）S2（z）， ｜z｜＜R（4．6）其中，R＝min（R1，R2）．复变函数的幂级数还可以进行复合运算．设h（z）在D内解析，且｜h（z）｜＜R， z∈D，则f（h（z））在D内解析，且f（h（z））＝∑∞〖〗n＝0anhn（z）， z∈D．在f（z）的幂级数展开中，可以用z的一个函数h（z）去代换展开式中的z，这在后面解析函数的级数展开中经常用到．幂级数∑∞〖〗n＝oanzn在其收敛圆｜z｜＜R内，还具有如下性质：（1） 它的和函数S（z）＝∑∞〖〗n＝0anzn在｜z｜＜R内解析；（2） 在收敛圆内幂级数可逐项求导，即S′（z）＝∑∞〖〗n＝1nanzn－1， ｜z｜＜R；（4．7）（3）在收敛圆内幂级数可逐项积分，即∫CS（z）dz＝∑∞〖〗n＝0∫Canzndz＝∑∞〖〗n＝0an〖〗n＋1zn＋1，（4．8）｜z｜＜R，C 为｜z｜＜R内的简单曲线．
幂级数的收敛性质：幂级数收敛的判别方法：∑x^（2n+1）/（2n+1），收敛半径R=lima/a=lim[2(n+1)+1]/(2n+1)=lim(2n+3)/(2n+1)=1。当x=1时，幂级数变为∑1/(2n+1)。>∑1/[2(n+1)]=(1/2)∑1/(n+1)。后者发散，则级数发散；当x=-1时，幂级数变为-∑1/(2n+1)。因∑1/(2n+1)发散，则级数发散。故收敛域是x∈(-1，1)。即x∈(-1，1)时收敛，x∈(-∞，-1]∪[1，+∞)时发散。建议：用比较判别法判断级数的收敛性时，通常构造另一级数。根据另一级数判断所求级数的敛散性。
2017大学数学论文范文
由于特殊函数是数学分析中的一种重要工具，因此特殊函数的学习及应用非常重要。但是特殊函数往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。下面是我整理的关于几类特殊函数的性质及应用的数学论文范文，欢迎大家阅读。
几类特殊函数的性质及应用
【摘要】本文将对数学分析中特殊函数，诸如伽玛函数、贝塔函数贝塞尔函数等超几何数列函数，具有特殊的性质和特点，在现实中得到大量的运用的函数。本文主要以简单介绍以上三种特殊函数性质，及其在其它领域的应用，诸如利用特殊函数求积分，利用特殊函数解相关物理学问题。本文首先以回顾学习几类常见特殊函数概念、性质，从而加深读者理解，然后以相关实例进行具体分析，从而达到灵活应用的目的。
【关键词】特殊函数;性质;应用;伽马函数;贝塔函数;贝塞尔函数;积分
1.引言
特殊函数是指一些具有特定性质的函数，一般有约定俗成的名称和记号，例如伽玛函数、贝塔函数、贝塞尔函数等。它们在数学分析、泛函分析、物理研究、工程应用中有着举足轻重的地位。许多特殊函数是微分方程的解或基本函数的积分，因此积分表中常常会出现特殊函数，特殊函数的定义中也经常会出现积分。传统上对特殊函数的分析主要基于对其的数值展开基础上。随着电子计算的发展，这个领域内开创了新的研究方法。
由于特殊函数是数学分析中的一种重要工具，因此特殊函数的学习及应用非常重要。本文归纳出特殊函数性质、利用特殊函数在求积分运算中的应用、特殊函数在物理学科方面的应用，利用Matlab软件画出一些特殊函数的图形，主要包含内容有：定义性质学习，作积分运算，物理知识中的应用，并结合具体例题进行了详细的探究和证明。
特殊函数定义及性质证明
特殊函数学习是数学分析的一大难点,又是一大重点,求特殊函数包含很多知识点,有很多技巧,教学中可引导学生以探究学习的方式进行归纳、总结;一方面可提高学生求函数极限的技能、技巧;另一方面也可培养学生的观察、分析、归类的能力,对学生的学习、思考习惯,很有益处。
特殊函数性质学习及其相关计算，由于题型多变，方法多样，技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。解决这个问题的途径主要在于熟练掌握特殊函数的特性和一些基本方法。下面结合具体例题来探究特殊函数相关性质及应用。
2.伽马函数的性质及应用
2.1.1伽马函数的定义：
伽马函数通常定义是：这个定义只适用于的区域，因为这是积分在t=0处收敛的条件。已知函数的定义域是区间，下面讨论Г函数的两个性质。
2.1.2Г函数在区间连续。
事实上，已知假积分与无穷积分都收敛，则无穷积分在区间一致收敛。而被积函数在区间D连续。Г函数在区间连续。于是，Г函数在点z连续。因为z是区间任意一点，所以Г函数在区间连续。
2.1.3，伽马函数的递推公式
此关系可由原定义式换部积分法证明如下：
这说明在z为正整数n时，就是阶乘。
由公式(4)看出是一半纯函数，在有限区域内的奇点都是一阶极点，极点为z=0,-1,-2,...,-n,....
2.1.4用Г函数求积分
2.2贝塔函数的性质及应用
2.2.1贝塔函数的定义：
函数称为B函数(贝塔函数)。
已知的定义域是区域，下面讨论的三个性质：
贝塔函数的性质
2.2.2对称性：=。事实上，设有
2.2.3递推公式：，有事实上，由分部积分公式，，有
即
由对称性，
特别地，逐次应用递推公式，有
而，即
当时，有
此公式表明，尽管B函数与Г函数的定义在形式上没有关系，但它们之间却有着内在的联系。这个公式可推广为
2.2.4
由上式得以下几个简单公式：
2.2.5用贝塔函数求积分
例2.2.1
解：设有
(因是偶函数)
例2.2.2贝塔函数在重积分中的应用
计算，其中是由及这三条直线所围成的闭区域，
解：作变换且这个变换将区域映照成正方形：。于是
通过在计算过程中使用函数，使得用一般方法求原函数较难的问题得以轻松解决。
2.3贝塞尔函数的性质及应用
2.3.1贝塞尔函数的定义
贝塞尔函数：二阶系数线性常微分方程称为λ阶的贝塞尔方程，其中y是x的未知函数，λ是任一实数。
2.3.2贝塞尔函数的'递推公式
在式(5)、(6)中消去则得式3，消去则得式4
特别，当n为整数时，由式(3)和(4)得：
以此类推，可知当n为正整数时，可由和表示。
又因为
以此类推，可知也可用和表示。所以当n为整数时，和都可由和表示。
2.3.3为半奇数贝塞尔函数是初等函数
证：由Г函数的性质知
由递推公式知
一般，有
其中表示n个算符的连续作用，例如
由以上关系可见，半奇数阶的贝塞尔函数(n为正整数)都是初等函数。
2.3.4贝塞尔函数在物理学科的应用：
频谱有限函数新的快速收敛的取样定理，.根据具体问题，利用卷积的方法还可以调节收敛速度，达到预期效果，并且计算亦不太复杂。由一个函数的离散取样值重建该函数的取样定理是通信技术中必不可少的工具，令
称为的Fourier变换。它的逆变换是
若存在一个正数b，当是b频谱有限的。对于此类函数，只要取样间隔，则有离散取样值(这里z表示一切整数：0,)可以重建函数，
这就是Shannon取样定理。Shannon取样定理中的母函数是
由于Shannon取样定理收敛速度不够快，若当这时允许的最大取样间隔特征函数Fourier变换：
以下取样方法把贝塞尔函数引进取样定理，其特点是收敛速度快，且可根据实际问题调节收敛速度，这样就可以由不太多的取样值较为精确地确定函数。
首先建立取样定理
设：
其中是零阶贝塞尔函数。构造函数：
令
经计算：
利用分部积分法，并考虑到所以的Fourier变换。
通过函数卷积法，可加快收敛速度，使依据具体问题，适当选取N，以达到预期效果，此种可调节的取样定理，计算量没有增加很多。取：
类似地
经计算：
经计算得：
则有：设是的Fourier变换，
记则由离散取样值
因为，故该取样定理收敛速度加快是不言而喻的，通过比较得，计算量并没有加大，而且N可控制收敛速度。
例2.4，利用
引理：当
当
因为不能用初等函数表示，所以在求定积分的值时，牛顿-莱布尼茨公式不能使用，故使用如下计算公式
首先证明函数满足狄利克雷充分条件，在区间上傅立叶级数展开式为：
(1)
其中
函数的幂级数展开式为：
则关于幂级数展开式为： (2)
由引理及(2)可得
(3)
由阶修正贝塞尔函数
其中函数，且当为正整数时，取，则(3)可化为
(4)
通过(1)(4)比较系数得
又由被积函数为偶函数，所以
公式得证。
3.结束语
本文是关于特殊函数性质学习及其相关计算的探讨，通过对特殊函数性质的学习及其相关计算的归纳可以更好的掌握特殊函数在日常学习中遇到相关交叉学科时应用，并且针对不同的实例能够应用不同的特殊函数相关性质进行证明、计算，从而更加简洁，更加合理的利用特殊函数求解相关问题。有些特殊函数的应用不是固定的，它可以通过不止一种方法来证明和计算，解题时应通过观察题目结构和类型，选用一种最简捷的方法来解题。
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幂级数，2113是数学分析当中重要概念之一，5261是指在级数的每一项均为与级数项序号4102n相对应的以常1653数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。设是定义在某区间I上的函数列，则表达式(1)称为定义在区间I上函数项级数。如果式（1）上的各项都是定义在区间上的幂函数，函数项级数(2)称作幂级数，其中为常数，称为幂级数的系数。扩展资料：幂函数的性质：一、当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：1、当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增。2、当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增。3、当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。4、当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。二、当α为分数时，α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：1、当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增。2、当α>0，分母为奇数时，若分子为偶数，函数在第一象限内单调递增，在第二象限单调递减；若分子为奇数，函数在第一、三象限各象限内单调递增。3、当α<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减。4、当α<0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。三、当α>1时，幂函数图形下凹（竖抛）；当0<α<1时，幂函数图形上凸（横抛）。参考资料来源：百度百科-幂级数
技师论文答辩要领与技巧
怎样参加技师论文答辩
技师考评时，每位考生都必须提交一篇“论文或技术总结”’，对技术工人撰写论文的要求是：将自己在生产实践中经历的一个或几个技术问题总结出来，说明自己是如何解决的，并运用专业知识分析为什么要这样做，这样做的效果怎样，写出对生产有指导和有参考价值的文章。论文是考生对实践经验的验证、对其掌握专业技术知识的程度和运用能力的全面考核，而这种理论指导实践的了作方法是高层次技术人员必用的技术手段。通过撰写的实践与训练，考生的综合素质和能力都会得到全面的提高，所以，论文是评定技师资格的重要内容。技师考评的论文考核要经过“撰写”和“答辩”两个方面，论文答辩是技师考评工作中不可缺少的部分。但是，在技师考评中，经常遇到这样的考生：重视论文的撰写，而忽视论文的答辩，他们一旦把文章写出来，交出去，就以为大功告成，可以松口气按他们的话说：“辛苦了好几个月，现在交了论文，我得好好休息一下了„”，甚至毫无准备的到了考场，这种对论文答辩重要性认识不足，导致行动上的不重视、不认真的态度，注定前功尽弃，考评失败。因为，论文撰写仅仅是完成论文考评的一半工作量，还有一半(甚至还占一半多些)的工作量，就是论文答辩。一般论文评分标准是：撰写论文的成绩占42%。论文答辩的成绩占45%、其他占13%，从中可看出论文答辩在技师考评中所占位置的重要性。所以，考生在完成论文撰写后，还必须重视论文的答辩，应该继续再接再厉，认真投入到答辩的工作中去，因为若答辩不能通过，则技师的考评也有可能通不过，这就造成前功尽弃的后果，准备得越充分，答辩的成功率才会越高，才能达到预期的效果。
论文答辩的特点
答辩是辩论的一种形式。按答辩的方式分：有竞赛式、对话式和问答式3种，技师的论文答辩一般采用问答式辩论，简称答辩。技师论文答辩的“答”是回答，是技师申请者对考评员提出的问题作明确扼要的回答;“辩”是辩析，是技师申请者对疑问或重点问题进行分析或分析性辩解。
答辩必定由双方组成，并已是面对面的接触。答辩的一方是考评员，另一方是考生。考评员就论文提出问题，考生除陈述论文的要点外，要当面回答考评员所提出的问题，即有问有答，还可开展必要的、简明扼要的讨论，这全过程就叫论文答辩。
技术工人参加的论文答辩有以下3个特点：
一.不平等性
论文答辩组成的双方，在人数、地位等方面是不同的，提出问题的一方，可由多名高级考评员组成，答辩中始终处于主导的、审查的地位，最后还要对考生作出全面的评价和给予成绩;参加答辩的另一方是考生，只有一个人，始终处于被动的、被审查的地位上，答辩双方在知识、经验、资历、业绩、素质等方面都是相当悬殊的。
二.答辩双方均需要做好准备
考评员根据“论文”本身和论文涉及到的内容，事先拟定8—10个问题，对考生是保密的，到答辩时才亮出来，让考生作出回答。因此，在答辩前，考生应根据自己所写的论文，做广泛的技术准备：继续学习。弄清搞懂论文所涉及的专业知识、摸拟考评员可能提出的问题、准备答案等。
三.答辩的方式是以“问答为主，辩论为辅”
技术工人的论文答辩原则上是由考评员提出问题，考生作出回答，在一问一答的过程中进行，当出现考生与考评员观点不同时：若分歧属于技术关键问题，在时间又允许的情况可进行必要的辩论，一般应会后辅导或交换意见。
技师论文答辩的准备
答辩前，考生准备的充分与否，是保证论文质量、效果的关键，故考生在提交论文之后，千万不要有松一口气的思想，而应再接再厉、抓紧时间积极准备答辩。在内容上应比论文更广泛一些，在层次上应比论文更深刻些，考评员有可能问及的问题，都要做好充分的准备。一般来说，准备工作有以下几方面的内容：
一.熟读论文
掌握论文的论点、论据和技术关键;弄懂弄通论文中所使用的技术术语、符号、公式、曲线的确切含义;反复推敲论文中是否有模糊不清、自相矛盾或用词不当的地方等，若发现有上述问题，就要做好补充、修正、解释的.准备工作。通读论文多遍，熟悉论文中的重要内容，大概在哪几页，要心中有数，这样，回答问题需要寻找依据时，翻阅论文，能尽快找到所需要的内容，避免一页一页翻看，不但心里慌乱又延误时间。
二.围绕论文所涉及的内容，准备以下几方面的材料(最好写出要点)：
(1)我为什么要选择这一题目，它在生产中的作用是什么?
(2)我的主要经验是什么?
(3)我这样做的理论根据是什么?
(4)论文中的技术关键、论点、论据是什么?
(5)我的技术经验解决了什么问题，其作用何在?
(6)论文中还有哪些问题尚待解决和技术前景怎样?
(7)其他。
以上所涉及问题，应根据具体情况做必要的材料准备，不一定面面俱到，但有备无患，做到胸有成竹，避免临场慌乱。
三.充分准备好答辩中的第一道程序。
1.写出“论文报告”的发言提纲。
用10分钟宣讲“论文报告”，其内容包括论文的题目，介绍为什么选择该题目、论文的要点，也即按“提出问题、分析问题、解决问题”等三方面做精练的口头叙述。论文的全面归纳总结，也可以是最精彩之处、创新之处。
2.材料准备。
事先准备好进场应携带的资料和“论文报告”所用的有关材料，加必要的挂图、表格、相片等，也可事先用白纸写好论文的标题、主要目录等，答辩开始前，可以挂在黑板或墙上，这样可以：
(1)使考生在口述时，有一依据，避免慌乱。
(2)加深考评员对你的论文的了解，同时争取让考评员对你有一种“准备充分”的印象分。
3.预讲互听：
要做到作“论文报告”时准确、流畅，既不要超过规定的时问，也不要仅用3—5分钟，放弃介绍论文的机会。建议在答辩前，自己预讲或同行间互讲数遍，这样的练习，一则便于自己计算把握时间，二则锻炼自己的表达能力，且能在预讲中，发现不足，征求意见，及时纠正，做到心中有数，争取以最佳状态上场。
论文答辩要领与技巧
考生要想顺利通过答辩，并在答辩时，真正发挥出自己的技术水平，除了在答辩前做好上述准备外，还需要了解、掌握答辩的要领和答辩的技巧，才能减少失误，达到预想的效果。
一.携带必要的资料
(一)携带论文与参考资料。
参加答辩时，一般应携带论文全文和主要资料，以备临时查阅。答辩时虽然不能依赖这些资料，但带上这些资料，当遇上一时记不起来时，稍微翻阅一下有关资料，帮助你恢复记忆，就可以避免答不上来的慌乱和尴尬。
(二)携带笔记本与笔。
供记录考评员所提出的问题和记录有价值的意见之用。通过记录，不仅可以减缓紧张心情，而且还可以边记边思考，回答问题时就会更有把握。
但所携带的东西，应尽量精简，并摆好顺序或编上号码，避免资料带多，慌张之中，反而找不到所需材料，就适得其反了。
(三)携带必要的挂队图表、照片等，以及粘贴用的图钉或双面胶纸。
(四)若需幻灯机、投影仪等演示设备，事先向鉴定所提出，给予准备。
二.按发言提纲宣讲论文，不要照论文全文宣读
一般3000字的文章要15分钟左右才能念完，这与规定所给的10分钟论文报告时间，肯定超时;而且照本宣读，太平铺直叙，不会吸引人。按发言提纲宣讲，重点突出，不用赶时间，便于掌握进度，同时还能顾及到语调、板书和挂图的_____配合使用。
三.从容答辩
论文答辩是为了取得技师资格的一次严肃而有意义的考核，是对考生在撰写过程中所做工作的一次审查，考生经过了较长时间的撰写、查阅资料、深入研究、反复修改，理应对自己的论文所涉及的问题，已相当熟悉和了解;在答辩前又做了充分的准备，应该是胸有成竹，大可不必紧张，消除紧张的心理很重要，因为过度的紧张，会使本来可以回答的问题也回答不出来了，只有精神适当放松，从容镇定，思路才会畅通、敏捷，答辩时才能有良好的表现。
四.精神集中、态度端正
(一)听清问题后再作回答
考评员在提出问题时，考生要聚精会神地听取考评员所提出的问题，必要时，可以将所提出的问题记在笔记本上，边记边考虑考评员所提问题的中心与要点是什么，这样就能准确回答问题，切忌未听清楚，就匆忙回答。
(二)弄懂题意后再作回答
如果对考评员所提问题没有理解清楚，不要贸然回答，可以请考评员再复述一遍;如果对问题中有些概念不大理解，可以请考评员作些解释或者把自己对问题的理解说出来，并问清考评员是不是这个意思，等得到肯定的答复后，再作回答，只有这样，才有可能避免答非所问，答到要点上。
(三)精神集中、排除杂念答辩时要精力集中，不可分神，切忌察颜观色考评员态度和揣摩考评员心理的不良现象。
五.回答问题要简明扼要、充满自信、语言流畅、声音清晰
在弄清考评员所提问题的确切含义后，要在短时间内作出反应，用肯定自信的语气、流畅的语言回答问题，切忌左支右吾、模棱两可、缺乏自信和吞吞吐吐。回答问题要：
(1)中心突出，不要东拉西拉，使人听后不得要领。
(2)力求准确、实在，留有余地，不可找高，也不要把话说“死”。
(3)吐字清晰、声音适中、层次分明。
六.谦虚谨慎、实事求是
有时考评员对考生所作的回答，不太满意，也会进一步提出疑问，以求了解考_____生是否切
实搞清和掌握这个问题，遇到这种情况，可以这样处理。
(1)有把握的，考生可以申明理由进行答辩;
(2)不大有把握的，可以以谦虚口吻试着回答，能回答多少就回答多少，即使讲得不很确切，也不要紧张，只要回答的内容与所提问题有关联，考评员会引导和启发你进人正题的;
(3)没有把握的，可以用实话实说的口吻作答，或者说：“我还没注意到这个问题，回去后一定好好学习，搞懂它。”考评员会因为你的诚恳给予谅解，也可能换一个问题再给予你回答的机会，因为，答辩会上考生对考评员提出的某个问题回答不上来是很常见的，故不心惊慌，还要保持冷静头脑，争取答好其他问题。在某一问题回答不出的情况下，要防止两种逆反状态的出现：
①不要强词夺理，进行狡辩。因为考评员是本行业的专家，有相当的理论知识和丰富的实践经验，对这个问题是有准备而提出的，是经过慎重考虑，甚至经过专门研究后提出的，故抱有侥幸心理，进行强辩，企图蒙混过关是不可能的，强词夺理反而给考评员造成印象不好的副作用，这就得不偿失了。
②也不要自我放弃。轻意丧失了信心，拒绝回答，考评员想帮助你进入状态也是难有成效了，因为一切外因是通过内因起作用，故不到最后一个问题，千万不要放弃，当然，若一问三不知，所有问题回答不上来，那就不正常了。
七.虚心学习，文明礼貌
论文答辩实质也是技术交流的过程，是考生与考评员面对面接触的难得机会，考生应当把它看成是向前辈、专家学习、请求指导、讨教问题的好机会，因此，在答辩过程中，考生应当尊重考评员：
(1)注意仪容：穿戴、言行、举止要讲文明，有礼貌。
(2)语言谦虚：
尤其在考评员提出问题难于回答或与考评员观点不同时，要注意分寸，采用委婉的语言、请教的口吻，用旁说、暗示的办法说出自己的看法，使自己的观点让考评员接受，这样，考评员不仅不会为难你，相反会认为你有主见，技术功底扎实。(3)礼貌退场：
答辩结束时，无论自己答辩情况如何，无论考评员提出什么意见，都应从容地、有礼貌地退场。可以用这样的语言表达：“谢谢指导”、“感谢提醒”、“经过您的指点，我对XX问题更清晰了”。因为这是对考评员起码的尊重，也反映了考生本人为人处事的修养与素质。
八.答辩后，及时总结经验与教训
答辩离场后，不要将精力放在打听考评情况或打分多少上，因为违反考评纪律，会被取消考评资格;正确的做法应该是趁热打铁，认真总结论文撰写与论文答辩的经验教训：
(1)通过论文撰写与论文答辩的实践，在专业技术知识的掌握与充实上有哪些提高。
(2)通过论文撰写与论文答辩的实践，自己学习和掌握了哪些开展技术工作的方法，在提出问题。发现问题、分析问题、解决问题上取得哪些经验。
(3)通过论文撰写与论文答辩实践，在综合素质能力上有哪些提高。
(4)通过论文撰写与论文答辩实践，自己还存在哪些问题和不足之处，今后的努力方向怎样。
不论考评结果怎样，考评后，考生都应根据考评员提出的问题和意见，继续修改自己的论文，力求向纵深方向发展，使自己在知识上、能力上再有所提高，做好论文撰写与论文答辩的经验总结，将会终身受益。
所谓论文答辩，首先是围绕论文展开的，比如：针对你的论文中的具体问题，问你为什么要这样做？论文中可能某些问题阐述不够彻底的时候，可能会问你具体参数或依据……之类的问题。还可能将论文拓展开，问一些相关的、或类似的其他问题，考察你的知识面。也有可能问一些看起来跟论文不相干的，但属于数控技师应该掌握的知识。 正确的应对措施是：首先要对自己的论文熟记于心，论文阐述了一个什么问题，引用了哪些理论。论文通过了哪些试验或生产验证。别人看了论文是否能彻底明白这个问题，你的论文能不能指导别人解决问题。别人还可能提出什么样的问题。这些都要有心理准备，要能对答如流。再根据国家职业技能鉴定《数控技师》的相关要求充实巩固自己的知识技能。
有关教师副高级职称答辩技巧如下:
1.带上自己的论文、资料和笔记本。注意开场白、 结束语的礼仪。坦然镇定, 声音要大而准确, 使在场的所有人都能听到。听取答辩小组成员的提问, 精神要高度集中,同时， 将提问的问题记在本上。
2.回答问题要具体注意:讲普通话, 用词准确,讲究逻辑, 吐词清楚，声音洪亮, 抑扬顿挫,助以手势说明问题;力求对答如流, 形成互动，给人留下良好的印象。
答辩的方法答辩之前, 各评审服务机构均应遵照人事局的要求, 根据自己的专业特点, 本着公正、公平、科学、 准确的原则，在广泛听取专家意见的基础上,制定出答辩评议量化考核标准和答辩评议方法。
申报人注意事项: 1、答辩前20-30分钟申报人可拿到答辩题并在候答 室准备。 要保持安静，要关闭手机，禁止与他人交谈， 禁止离开候答室。在候答时可查阅自备的资料，可做摘要。
2、申报人在工作人员引导下进入答辩室。答辩时申报人要围绕主题，简洁、清楚的回 答，可参阅所做摘要。 要注意专家提示及追加的问题。 不要与专家过分寒暄，无需握手和交换名片， 不要与专家谈论与答辩无关的话题。 答辩时间为20-30分钟，答辩结束后将答辩题交给工作人员。
南阳市的副高职称讲课答辩定于2021年1月23日、24日在南阳市五中举行,我所报学科为小学数学是在...南阳市的副高职称讲课答辩定于2021年1月23日、24日在南阳市五中举行,我所报学科为小学数学是在...南阳市的副高职称讲课答辩定于2021年1月23日、24日在南阳市五中举行,我所报学科为小学数学是在...
高级教师职称评选论文答辩文本要求一、提要部分（A4纸） 题目 （3号黑体（居中）） 作者单位 姓名 （4号宋体（居中）） 摘要（500字左右，摘要内容：1、论点或研究的问题，或研究的现象，或研究的事件；2、论据，即主要理论、或事例、或策略、或途径、或方式、或方法、或经验、或建议、或对策；3、论述，即论文论证的思路、或结构、或过程 关键词 （5号宋体（分散对齐）） 参考文献 （小5号宋体（分散对齐）） 发表、获奖（5号宋体（分散对齐）） 二、原文部分（A4纸） 格式： 题目 3号黑体（居中） 4号宋体（居中） 作者单位 姓名 5号宋体（分散对齐） 正文 正文标号按一、二、三……，1、2、3……，（1）（2）（3）……，①②③……。
毕业论文答辩是一种有组织、有准备、有计划、有鉴定的比较正规的审查论文的重要形式。为了搞好毕业论文答辩，在举行答辩会前，校方、答辩委员会、答辩者(撰写毕业论文的作者)三方都要作好充分的准备。在答辩会上，考官要极力找出来在论文中所表现的水平是真是假。而学生不仅要证明自己的论点是对的，而且还要证明老师是错的。
培养学生良好的学习习惯 学习习惯对学生的学习有直接的影响，良好学习习惯是促进学生取得较好学习成绩的重要因素。结合数学教学，培养良好的习惯，包括哪些内容呢？在教学过程中，要注意培养学生认真、严格、刻苦钻研的学习态度
论文答辩一般会问的问题如下：
1、自己为什么选择这个课题？
2、研究这个课题的意义和目的是什么？
3、全文的基本框架、基本结构是如何安排的？
4、全文的各部分之间逻辑关系如何？
5、在研究本课题的过程中，发现了那些不同见解?对这些不同的意见，自己是怎样逐步认识的?又是如何处理的？
6、论文虽未论及，但与其较密切相关的问题还有哪些？
7、还有哪些问题自己还没有搞清楚，在论文中论述得不够透彻？
8、写作论文时立论的主要依据是什么？
答辩技巧
学生首先要介绍一下论文的概要，这就是所谓“自述报告”，须强调一点的是“自述”而不是“自读”。这里重要的技巧是必须注意不能照本宣读，把报告变成了“读书”。“照本宣读”是第一大忌。这一部分的内容可包括写作动机、缘由、研究方向、选题比较、研究范围、围绕这一论题的最新研究成果、自己在论文中的新见解、新的理解或新的突破。做到概括简要，言简意赅。
不能占用过多时间，一般以十分钟为限。所谓“削繁去冗留清被，画到无时是熟时”，就是说，尽量做到词约旨丰，一语中的。要突出重点，把自己的最大收获、最深体会、最精华与最富特色的部分表述出来。在答辩时，学生要注意仪态与风度，这是进入人们感受渠道的第一信号。如果答辩者能在最初的两分种内以良好的仪态和风度体现出良好的形象，就有了一个良好的开端。
毕业答辩常见问题一：你选择这个论文题材的原因是什么？我们可以结合个人的实际情况以及论文写作两个方面来进行表述，保证语言清晰，逻辑合理。例如这样回答：“因为平常自身比较喜欢这方面的内容、时常关注该研究领域的相关事宜，结合了当前政治新闻和发展趋势，受导师课题影响，参与相关研究课题等。这一部分容易加分但是也容易减分，为了表现出自身的特点和优势，所以我们应该将这一部分内容表述清楚到位。毕业答辩常见问题二：论文的研究背景是什么？这个问题与第一个问题有异曲同工之妙，同学们也可以按照第一个问题的答案来进行回答。毕业答辩常见问题三：论文的核心观点是什么或者这么问”论文的主题是什么“？这是答辩听审老师最常见的问的问题，而且答案很简单。用自己的话高度概括论文的核心，尽可能全面、准确、简洁的表达出来，不少于3句，不超过5句。毕业答辩常见问题四：本篇论文采用了哪些研究方法？首先明确指出所用的研究方法，然后结合具体内容进行讲述，也就是举例说明。毕业答辩常见问题五：你所研究问题是采用什么方法解决的，使用了什么解决方案？这个问题应该结合实际情况来进行说明，如果有具体的结论或方法的学生，可以分点解释说明。毕业答辩常见问题六：论文在哪些方面有哪些创新？这时，老师们想知道你的论文和别人的有什么不同，有什么亮点，建议同学们举例说明，分点作答，这样显得逻辑清晰、调理清楚，而且这个问题答辩老师一般都会问到，所以同学们要做好准备。最后学术堂总结：在答辩的时候一定要迅速回应。如果是你不知道问题，你可以向老师请教，千万不要出现冷场的情况，那样你的导师会很尴尬的。答辩时一定要谦虚，虽然你的论文完成得十分出色，但是这些成果暂时的、是没有获得认可结论。