行列式的几何意义论文开题报告

行列式的一个自然的源起是n维平行体的体积。行列式的定义和n维平行体的体积有着本质上的关联。 在一个二维平面上，两个向量X =(a, c)和X' =(b, d)的行列式是： 比如说，两个向量X =(2, 1)和X' =(3, 4)的行列式是： ·经计算可知，当系数是实数时，行列式表示的是向量X和X'形成的平行四边形的有向面积，并有如下性质：·行列式为零当且仅当两个向量共线（线性相关），这时平行四边形退化成一条直线。 ·如果以逆时针方向为正向的话，有向面积的意义是：平行四边形面积为正当且仅当以原点为不动点将X逆时针“转到”X'处时，扫过的地方在平行四边形里，否则的话面积就是负的。如右图中，X和X'所构成的平行四边形的面积就是正的。 ·行列式是一个双线性映射。也就是说， ，并且 。 其几何意义是：以同一个向量v作为一条边的两个平行四边形的面积之和，等于它们各自另一边的向量u和u'加起来后的向量：u + u'和v所构成的平行四边形的面积，如左图中所示。 在三维的有向空间中，三个三维向量的行列式是： 比如说，三个向量 (2, 1, 5)、(6, 0, 8)和 (3, 2, 4)的行列式是： 当系数是实数时，行列式表示X、X′和X″三个向量形成的平行六面体的有向体积，也叫做这三个向量的混合积。同样的，可以观察到如下性质：·行列式为零当且仅当三个向量共线或者共面（三者线性相关），这时平行六面体退化为平面图形，体积为零。 ·三维空间中有向体积的定义要比二维空间中复杂，一般是根据右手定则来约定。比如右图中(u,v,w)所形成的平行六面体的体积是正的，而(u,w,v)所形成的平行六面体的体积是负的。这个定义和行列式的计算并不矛盾，因为行列式中向量的坐标都是在取好坐标系后才决定的，而坐标系的三个方向一般也是按照右手规则来设定的。如果计算开始时坐标系的定向反过来的话，有向体积的定义也要跟着反过来，这样行列式才能代表有向体积。 ·这时行列式是一个“三线性映射”，也就是说，对第一个向量有 ，对第二、第三个向量也是如此。其几何意义和二维时基本相同，是指当生成两个平行六面体的每组三个向量中如果有两个是重合的，比如分别是：(u,v,w)和(u',v,w)，那么它们的体积之总和等于将u和u'加起来后的向量u + u'和v,w所形成的平行六面体的体积，如右图所示。 设E是一个一般的n维的有向欧几里得空间。一个线性变换把一个向量线性地变为另一个向量。比如说，在三维空间中，向量(x,y,z)被映射到向量(x',y',z')： 其中a、b、c是系数。如右图，正方体（可以看作原来的一组基形成的）经线性变换后可以变成一个普通的平行六面体，或变成一个平行四边形（没有体积）。这两种情况表示了两种不同的线性变换，行列式可以将其很好地分辨出来（为零或不为零）。更详细地说，行列式表示的是线性变换前后平行六面体的体积的变化系数。如果设左边的正方体体积是一，那么中间的平行六面体的（有向）体积就是线性变换的行列式的值，右边的平行四边形体积为零，因为线性变换的行列式为零。这里我们混淆了线性变换的行列式和向量组的行列式，但两者是一样的，因为我们在对一组基作变换。

每行（列）空间系对应点与原点围成四面体体积六倍，即对应六面体体积

一个行列式可以通过拆分某一个列向量得到两个行列式的和。三阶行列式则代表三个向量组成的平行六面体的有向体积。

当行列式的有两行或者两列元素相同，它对应的空间平行六面体的两条邻边重合，相当于将三维空间中六面体压成了高度为0的二维平面。

代数余子式

行列式某元素的余子式：行列式划去该元素所在的行与列的各元素,剩下的元素按原样排列,得到的新行列式。

行列式某元素的代数余子式：行列式某元素的余子式与该元素对应的正负符号的乘积。

即行列式可以按某一行或某一列展开成元素与其对应的代数余子式的乘积之和。

概括说来有两个解释：

一个解释是行列式就是行列式中的行或列向量所构成的超平行多面体的有向面积或有向体积；

另一个解释是矩阵A的行列式detA就是线性变换A下的图形面积或体积的伸缩因子。

这两个几何解释一个是静态的体积概念，一个是动态的变换比例概念。但具有相同的几何本质，因为矩阵A表示的（矩阵向量所构成的）几何图形相对于单位矩阵E的所表示的单位面积或体积（即正方形或正方体或超立方体的容积等于1）的几何图形而言，伸缩因子本身就是矩阵矩阵A表示的几何图形的面积或体积，也就是矩阵A的行列式。