数学概念和工具之一。由m×n个数aij(i=1,…,m;j=1,…,n)排成i行j列数表:(1) 称为一个m×n矩阵,简记为A=(aij)mn。若m=n,也称 A 是一个n阶矩(方)阵 。两个矩阵仅当行 、列数分别相等且对应元素相等时称为相等。若aij取自数域 F,则称A为F上的矩阵。对调A的行列所得n×m矩阵A′称为A的转置。若 A=A′,则称 A为对称矩阵。矩阵最基本、最重要的运算有:①加法:A=(aij)mn,B=(bij)mn,称(aij+bij)mn为A 与B之和,记作A+B;②数乘:A=(aij)mn,k∈ F,称(kaij)为 k 与A之积,记作kA;③乘法:A=(aij)ms,B=(bij)Sn,记cij=aisbis+aisbij,称C=(cij)mn为A与B之积,记作AB ,矩阵的运算满足一些熟知的运算律:加法,乘法结合律;加法交换律;乘法对加法的分配律;以及数乘与加法,乘法间满足 k(A+B)=kA+kB,(k+l)A=kA+lA,(kl)A=k(lA),k(AB)=(kA)B等。称:(2) 为零矩阵和单位矩阵,它们在矩阵运算中的作用与数0,1在数的运算中的作用相同。但矩阵的乘法不满足交换律和消去律,例如,(3) 可逆矩阵是一类重要的矩阵:设A是n阶矩阵,若存在B,使AB=BA=I,则称A是可逆矩阵,B称为A的逆,记作A-1。由n阶矩阵A的元素aij排成的n阶行列式D=|ai j|n。称为 A 的行列式,记作|A|。若A可逆,则A-1=,这里:(4) 称为A的伴随方阵,Aij1bD中aij的代数余子式(见行列式)。 矩阵的行初等变换是:①交换矩阵的两行;②用一个非零数乘矩阵的某一行;③用一个数乘矩阵的某一行后加到另一行上,类似的有矩阵的列初等变换,对矩阵A施行行(列)初等变换相当于用以下类型初等矩阵左(右)乘A,(5) 初等矩阵都是可逆矩阵,且(6) 矩阵A中非零子式的最大阶数称为它的秩,记作秩(A)。零矩阵的秩为 0。秩是刻画矩阵的一个重要概念 ,其几何意义是矩阵行空间的维数,在初等变换下不改变。n阶矩阵A可逆秩(A)=n|A|≠0。 设P、Q是可逆矩阵,若B=PAQ,则称B与A等价 ;若 B=P-1AP,则称B与A相似;若B=P′AP,则称B与A合同。矩阵的等价、相似、合同都有自反性、对称性、传递性,因而都是等价关系。B与A等价秩(A)=秩(B)。若 B与A相似,则B与A有相同的特征多项式,因而有相同的特征值 矩阵的初等变换有着广泛的应用,如用来解线性方程组;求可逆矩阵之逆;解某些矩阵方程等等。 在许多问题的研究中,可将所讨论的问题通过其矩阵表示归为矩阵问题的研究,因此矩阵是一个重要的工具。例如,解线性方程组归为对增广矩阵做行的初等变换;若 σ是 n维空间Υ上的线性变换,α1,α2…,αn是V的基 ,σ 关于基αi的矩阵为A,则σ能否化为对角矩阵(即当i≠j时aij都等于零的矩阵)问题归为A 能否与对角矩阵相似的问题 ;二次型f(x1……xn)=(x1……xn)A(x1…xn)′ 是否存在变量可逆代换使f只含平方项,归为 A 是否合同于对角矩阵的问题。 中国《九章算术》方程章中所说“方程”就是矩阵,“方程术”就是高斯消去法,尽管用矩阵形式解方程组已相当成熟,比欧洲至少早1500年,但没有建立独立的矩阵理论。19世纪中期(1850年前后),行列式的发展提供了矩阵发展的条件,矩阵理论得到迅速发展;同研究线性变换下的不变量相结合,A.凯莱对矩阵论作了开创性的研究,他首先定义了矩阵,并对矩阵进行独立研究,讨论了矩阵的运算,特殊类型的矩阵,给出了凯莱-哈密顿定理,并对3阶方阵进行了验证。以后C.若尔当和.弗罗贝尼乌斯进一步进行了深入的研究。这个时期的结果多数反映在目前线性代数的教科书中。随着各学科的发展,矩阵的研究也日益广泛深入,矩阵的元素早已不限于数,矩阵的阶数也由有限发展到无限,对矩阵函数的讨论使矩阵从矩阵代数走向矩阵分析。