三角函数的最值问题研究论文

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。 三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。 基本初等内容：正弦 余弦 正切 余切 正割 余割

三角函数最值是中学数学的一个重要内容,加强这一内容的教学有助于学生进一步掌握已经学过的三角知识,沟通三角,代数,几何之间的联系,培养学生的思维能力.本文介绍三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法.一,利用三角函数的有界性利用三角函数的有界性如|sinx|≤1,|cosx|≤1来求三角函数的最值.[例1]a,b是不相等的正数.求y=的最大值和最小值.解:y是正值,故使y2达到最大(或最小)的x值也使y达到最大(或最小).y2=acos2x+bsin2x+2·+asin2x+bcos2x=a+b+∵a≠b,(a-b)2>0,0≤sin22x≤1∴当sin2x=±1时,即x=(k∈Z)时,y有最大值;当sinx=0时,即x=(k∈Z)时,y有最小值+.二,利用三角函数的增减性如果f(x)在[α,β]上是增函数,则f(x)在[α,β]上有最大值f(β),最小值f(α);如果f(x)在[α,β]上是减函数,则f(x)在[α,β]上有最大值f(α),最小值f(β).[例2]在0≤x≤条件下,求y=cos2x-sinxcosx-3sin2x的最大值和最小值.解:利用二倍角余弦公式的变形公式,有y=-2sin2x-3·=2(cos2x-sin2x)-1=2(cos2xcos-sin2xsin)-1=2cos(2x+)-1∵0≤x≤,≤2x+≤cos(2x+)在[0,)上是减函数故当x=0时有最大值当x=时有最小值-1cos(2x+)在[,]上是增函数故当x=时,有最小值-1当x=时,有最大值-综上所述,当x=0时,ymax=1当x=时,ymin=-2-1三,换元法利用变量代换,我们可把三角函数最值问题化成代数函数最值问题求解.[例3]求f(x)=sin4x+2sin3xcosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x+cos4x的最大值和最小值.解:f(x)=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x+2sinxcosx(sin2x+cos2x)+sin2xcos2x=1+2sinxcosx-sin2xcos2x令t=sin2x∴-≤t≤①f(t)=1+2t-t2=-(t-1)2+2②在①的范围内求②的最值当t=,即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)max=当t=-,即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)min=-附:求三角函数最值时应注意的问题三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之一,也是会考,高考必考内容,在求解中欲达到准确,迅速,除熟练掌握三角公式外,还应注意以下几点:一,注意sinx,cosx自身的范围[例1]求函数y=cos2x-3sinx的最大值.解:y=cos2x-3sinx=-sin2x-3sinx+1=-(sinx+)2+∵-1≤sinx≤1,∴当sinx=-1时,ymax=3说明:解此题易忽视sinx∈[-1,1]这一范围,认为sinx=-时,y有最大值,造成误解.二,注意条件中角的范围[例2]已知|x|≤,求函数y=cos2x+sinx的最小值.解:y=-sin2x+sinx+1=-(sinx-)2+∵-≤x≤∴-≤sinx≤∴当sinx=-时ymin=-(--)2+=说明:解此题注意了条件|x|≤,使本题正确求解,否则认为sinx=-1时y有最小值,产生误解.三,注意题中字母(参数)的讨论[例3]求函数y=sin2x+acosx+a-(0≤x≤)的最大值.解:∵y=1-cos2x+acosx+a-=-(cosx-)2++a-∴当0≤a≤2时,cosx=,ymax=+a-当a>2时,cosx=1,ymax=a-当a<0时,cosx=0,ymax=a-说明:解此题注意到参数a的变化情形,并就其变化讨论求解,否则认为cosx=时,y有最大值会产生误解.四,注意代换后参数的等价性[例4]已知y=2sinθcosθ+sinθ-cosθ(0≤θ≤π),求y的最大值,最小值.解:设t=sinθ-cosθ=sin(θ-)∴2sinθcosθ=1-t2∴y=-t2+t+1=-(t-)2+又∵t=sin(θ-),0≤θ≤π∴-≤θ-≤∴-1≤t≤当t=时,ymax=当t=-1时,ymin=-1说明:此题在代换中,据θ范围,确定了参数t∈[-1,],从而正确求解,若忽视这一点,会发生t=时有最大值而无最小值的结论.型的函数特点是含有正余弦函数,并且是一次式.解决此类问题的指导思想是把正,余弦函数转化为只有一种三角函数.应用课本中现成的公式即可:y=sin(x+φ),其中tanφ=.例1.当-≤x≤时,函数f(x)=sinx+cosx的(D)A,最大值是1,最小值是-1B,最大值是1,最小值是-C,最大值是2,最小值是-2D,最大值是2,最小值是-1分析:解析式可化为f(x)=2sin(x+),再根据x的范围来解即可.型的函数特点是含有sinx,cosx的二次式,处理方式是降幂,再化为型1的形式来解.例2.求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并求出y取最小值时的x的集合.解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=2+sin(2x+)当sin(2x+)=-1时,y取最小值2-,此时x的集合{x|x=kπ-π,k∈Z}.型的函数特点是含有sinx,cosx,并且其中一个是二次,处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数,再应用换元法,转化成二次函数来求解.例3.求函数y=cos2x-2asinx-a(a为常数)的最大值M.解:y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2+1-a,令sinx=t,则y=-(t+a)2+a2+1-a,(-1≤t≤1)(1)若-a1时,在t=-1时,取最大值M=a.(2)若-1≤-a≤1,即-1≤a≤1时,在t=-a时,取最大值M=a2+1-a.(3)若-a>1,即a0,y2=4cos4sin2=2·cos2·cos2·2sin2所以0注:本题的角和函数很难统一,并且还会出现次数太高的问题.6.含有sinx与cosx的和与积型的函数式.其特点是含有或经过化简整理后出现sinx+cosx与sinxcosx的式子,处理方式是应用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx进行转化,变成二次函数的问题.例6.求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值.解:令sinx+cosx=t(-≤t≤),则1+2sinxcosx=t2,所以2sinxcosx=t2-1,所以y=t2-1+t=(t+)2-,根据二次函数的图象,解出y的最大值是1+.相信通过这一归纳整理,大家对有关三角函数最值的问题就不会陌生了.并且好多其它的求最值的问题可以通过代换转化成三角求最值的问题.希望同学们在做有关的问题时结合上面的知识.

三角函数最值是中学数学的一个重要内容,加强这一内容的教学有助于学生进一步掌握已经学过的三角知识,沟通三角,代数,几何之间的联系,培养学生的思维能力. 本文介绍三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法. 一,利用三角函数的有界性 利用三角函数的有界性如|sinx|≤1,|cosx|≤1来求三角函数的最值. [例1]a,b是不相等的正数. 求y=的最大值和最小值. 解:y是正值,故使y2达到最大(或最小)的x值也使y达到最大(或最小). y2=acos2x+bsin2x+2·+asin2x+bcos2x =a+b+ ∵a≠b,(a-b)2>0,0≤sin22x≤1 ∴当sin2x=±1时,即x=(k∈Z)时,y有最大值; 当sinx=0时,即x= (k∈Z)时,y有最小值+. 二,利用三角函数的增减性 如果f(x)在[α,β]上是增函数,则f(x)在[α,β]上有最大值f(β),最小值f(α);如果f(x)在[α,β]上是减函数,则f(x)在[α,β]上有最大值f(α),最小值f(β). [例2]在0≤x≤条件下,求y=cos2x-sinxcosx-3sin2x的最大值和最小值. 解:利用二倍角余弦公式的变形公式,有 y=-2sin2x-3·=2(cos2x-sin2x)-1 =2 (cos2xcos-sin2xsin)-1 =2cos(2x+)-1 ∵0≤x≤,≤2x+≤ cos(2x+)在[0,)上是减函数 故当x=0时有最大值 当x=时有最小值-1 cos(2x+)在[,]上是增函数 故当x=时,有最小值-1 当x=时,有最大值- 综上所述,当x=0时,ymax=1 当x=时,ymin=-2-1 三,换元法 利用变量代换,我们可把三角函数最值问题化成代数函数最值问题求解. [例3]求f(x)=sin4x+2sin3xcosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x+cos4x的最大值和最小值. 解:f(x)=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x+2sinxcosx(sin2x+cos2x)+sin2xcos2x =1+2sinxcosx-sin2xcos2x 令t=sin2x ∴-≤t≤ ① f(t)=1+2t-t2=-(t-1)2+2 ② 在①的范围内求②的最值 当t=,即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)max= 当t=-,即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)min=- 附:求三角函数最值时应注意的问题 三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之一,也是会考,高考必考内容,在求解中欲达到准确,迅速,除熟练掌握三角公式外,还应注意以下几点: 一,注意sinx,cosx自身的范围 [例1]求函数y=cos2x-3sinx的最大值. 解:y=cos2x-3sinx=-sin2x-3sinx+1=-(sinx+)2+ ∵-1≤sinx≤1, ∴当sinx=-1时,ymax=3 说明:解此题易忽视sinx∈[-1,1]这一范围,认为sinx=-时,y有最大值,造成误解. 二,注意条件中角的范围 [例2]已知|x|≤,求函数y=cos2x+sinx的最小值. 解:y=-sin2x+sinx+1=-(sinx-)2+ ∵-≤x≤ ∴-≤sinx≤ ∴当sinx=-时 ymin=-(--)2+= 说明:解此题注意了条件|x|≤,使本题正确求解,否则认为sinx=-1时y有最小值,产生误解. 三,注意题中字母(参数)的讨论 [例3]求函数y=sin2x+acosx+a-(0≤x≤)的最大值. 解:∵y=1-cos2x+acosx+a-=-(cosx-)2++a- ∴当0≤a≤2时,cosx=,ymax=+a- 当a>2时,cosx=1,ymax=a- 当a<0时,cosx=0,ymax=a- 说明:解此题注意到参数a的变化情形,并就其变化讨论求解,否则认为cosx=时,y有最大值会产生误解. 四,注意代换后参数的等价性 [例4]已知y=2sinθcosθ+sinθ-cosθ(0≤θ≤π),求y的最大值,最小值. 解:设t=sinθ-cosθ=sin(θ-) ∴2sinθcosθ=1-t2 ∴y=-t2+t+1=-(t-)2+ 又∵t=sin(θ-),0≤θ≤π ∴-≤θ-≤ ∴-1≤t≤ 当t=时,ymax= 当t=-1时,ymin=-1 说明:此题在代换中,据θ范围,确定了参数t∈[-1,],从而正确求解,若忽视这一点,会发生t=时有最大值而无最小值的结论. 型的函数 特点是含有正余弦函数,并且是一次式.解决此类问题的指导思想是把正,余弦函数转化为只有一种三角函数.应用课本中现成的公式即可:y=sin(x+φ),其中tanφ=. 例1.当-≤x≤时,函数f(x)=sinx+cosx的( D ) A,最大值是1,最小值是-1 B,最大值是1,最小值是- C,最大值是2,最小值是-2 D,最大值是2,最小值是-1 分析:解析式可化为f(x)=2sin(x+),再根据x的范围来解即可. 型的函数 特点是含有sinx, cosx的二次式,处理方式是降幂,再化为型1的形式来解. 例2.求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并求出y取最小值时的x的集合. 解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x =(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x =1+sin2x+1+cos2x =2+sin(2x+) 当sin(2x+)=-1时,y取最小值2-,此时x的集合{x|x=kπ-π, k∈Z}. 型的函数 特点是含有sinx, cosx,并且其中一个是二次,处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数,再应用换元法,转化成二次函数来求解. 例3.求函数y=cos2x-2asinx-a(a为常数)的最大值M. 解:y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2+1-a, 令sinx=t,则y=-(t+a)2+a2+1-a, (-1≤t≤1) (1) 若-a1时, 在t=-1时,取最大值M=a. (2) 若-1≤-a≤1,即-1≤a≤1时,在t=-a时,取最大值M=a2+1-a. (3) 若-a>1,即a0, y2=4cos4sin2 =2·cos2·cos2·2sin2 所以0 注:本题的角和函数很难统一,并且还会出现次数太高的问题. 6.含有sinx与cosx的和与积型的函数式. 其特点是含有或经过化简整理后出现sinx+cosx与sinxcosx的式子,处理方式是应用 (sinx+cosx)2=1+2sinxcosx 进行转化,变成二次函数的问题. 例6.求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值. 解:令sinx+cosx=t (-≤t≤),则1+2sinxcosx=t2,所以2sinxcosx=t2-1, 所以y=t2-1+t=(t+)2-, 根据二次函数的图象,解出y的最大值是1+. 相信通过这一归纳整理,大家对有关三角函数最值的问题就不会陌生了.并且好多其它的求最值的问题可以通过代换转化成三角求最值的问题.

1、配方法

观察三角函数表达式，首先通过三角的恒等变换，得到一个关于sinx或者cosx的二次函数结构式，再利用二次函数的性质求最值。

2、换元法

对于表达式中同时出现sinx±cosx，sinx∙cosx，需要运用(sinx±cosx)2=1±2sinxcosx的关系式，采用换元的方式转化为二次函数求最值，不过在换元的过程中务必保证旧的变量和新的变量的范围一致。

3、利用三角函数的有界性

在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。

4、数形结合

由于(sinx+cosx)²=1，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得。

5、利用基本不等式法

利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区。