插值法对比研究论文

一、含义不同：

两者都是通过给定n+1个互异的插值节点，求一条n次代数曲线近似地表示待插值的函曲线，这就叫做代数插值；Lagrange插值代数和Newton法插值都属于代数插值的范畴。

Lagrange插值和Newton法插值的结果和余项都是一致的，因为都是利用n次多项式插值，所以一致。

二、计算不同：

Lagrange插值法是通过构造n+1个n次基本多项式，线性组合而得到的。而Newton法插值是通过求各阶差商，递推得到的一个f（x）=f（x0）+（x-x0）f［x0，x1］+（x-x0）（x-x1）f［x0，x1，x2］+（x-x0）（x-x（n-1））f［x0，x1，xn］这样的公式，代进去就可以得到。

牛顿插值法的特点在于：

每增加一个点，不会导致之前的重新计算，只需要算和新增点有关的就可以。

假设已知n+1n+1个点相对多项式函数ff的值为：（x0，f（x0）），（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），（xn，f（xn）），求此多项式函数f。

先从求满足两个点（x0，f（x0）），（x1，f（x1））的函数f1（x）说起：

假设f1（x）=f（x0）+b1（x−x0）f1（x）=f（x0）+b1（x−x0），增加一个点，（x0，f（x0）），（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），求满足这三个点的函数f2（x）：

假设f2（x）=f1（x）+b2（x−x0）（x−x1）

以上内容参考：百度百科-牛顿插值法

三种插值方法的比较如下：

（1）拉格朗日插值评述

拉格朗日插值法无谓就是利用已知的个插值节点及其所在节点处的函数值，在每个插值节点处构造相应的插值基函数，再根据特定的线性关系将这个插值基函数进行线性组合，即得拉格朗日插值函数。

用几何的语言来描述这种方法就是将有限个点通过一条光滑的且与高度契合的次数不超过的函数来表示，其方法简洁明了，但是拉格朗日插值多项式在实际应用的过程中也暴露了本身存在的问题。如果对数据点的个数进行增加，那么原来我们所得的拉格朗日插值函数就毫无用处，必须从基函数构造重新开始整个过程。

在实际应用中节点的增减是特别普遍常见的，面临这种情况拉格朗日插值法就难免会面临较大的局限性，不仅会浪费时间，也会造成先前劳动力的浪费，这样就会极大的抑制大机器的生产，更加体现不出函数插值法的优化作用。

（2）牛顿插值评述

牛顿插值很好地解决了上述拉格朗日插值中的局限，即当增加节点时已得成果无法被利用的问题。牛顿插值法仅需在已有的多项式的基础上添加一项即可，这就很好的解决了上述拉格朗日插值方法所遇到的当增加节点时已得成果全部作废无法被继续使用的问题。

在日常实际问题解决过程中，利用有限个插值节点所构造的插值函数可能并不能达到我们所要求的插值精度。对于这个问题如果我们仅从增加插值节点个数这一方面来入手很可能会起到相反的作用。

（3）埃尔米特插值评述

通过对前面拉格朗日插值法和牛顿插值法的分析，我们可以很明显的观察到这两种插值方法的构造仅仅与插值节点以及插值节点处的函数值有关，并没有涉及到其它约束条件。但是如果插值条件不仅含有对节点处的函数值的约束，而且还增加对节点处的导数的限制，解决这一类问题的方法就要利用埃尔米特插值多项式。

对比上述拉格朗日插值方法和牛顿插值方法，埃尔米特插值具有较高的精度可以应用的领域更加宽泛，更加适应于实际问题的解决，所以在现实生活中也就凸现出高度的灵活性和适应性。

GIS空间插值方法如下：

1、IDW

IDW是一种常用而简便的空间插值方法，它以插值点与样本点间的距离为权重进行加权平均，离插值点越近的样本点赋予的权重越大。 设平面上分布一系列离散点，已知其坐标和值为Xi，Yi, Zi （i =1，2，…，n）通过距离加权值求z点值。

IDW通过对邻近区域的每个采样点值平均运算获得内插单元。这一方法要求离散点均匀分布，并且密度程度足以满足在分析中反映局部表面变化。

2、克里金插值

克里金法（Kriging）是依据协方差函数对随机过程/随机场进行空间建模和预测（插值）的回归算法。

在特定的随机过程，例如固有平稳过程中，克里金法能够给出最优线性无偏估计（Best Linear Unbiased Prediction, BLUP），因此在地统计学中也被称为空间最优无偏估计器（spatial BLUP）。

对克里金法的研究可以追溯至二十世纪60年代，其算法原型被称为普通克里金（Ordinary Kriging, OK），常见的改进算法包括泛克里金（Universal Kriging, UK）、协同克里金（Co-Kriging, CK）和析取克里金（Disjunctive Kriging, DK）；克里金法能够与其它模型组成混合算法。

3、Natural Neighbour法

原理是构建voronoi多边形，也就是泰森多边形。首先将所有的空间点构建成voronoi多边形，然后将待求点也构建一个voronoi多边形，这样就与圆多边形有很多相交的地方，根据每一块的面积按比例设置权重，这样就能够求得待求点的值了。个人感觉这种空间插值方法没有实际的意义来支持。

4、样条函数插值spline

在数学学科数值分析中，样条是一种特殊的函数，由多项式分段定义。样条的英语单词spline来源于可变形的样条工具，那是一种在造船和工程制图时用来画出光滑形状的工具。在中国大陆，早期曾经被称做“齿函数”。后来因为工程学术语中“放样”一词而得名。

在插值问题中，样条插值通常比多项式插值好用。用低阶的样条插值能产生和高阶的多项式插值类似的效果，并且可以避免被称为龙格现象的数值不稳定的出现。并且低阶的样条插值还具有“保凸”的重要性质。

5、Topo to Raster

这种方法是用于各种矢量数据的，特别是可以处理等高线数据。

6、Trend

根据已知x序列的值和y序列的值，构造线性回归直线方程，然后根据构造好的直线方程，计算x值序列对应的y值序列。TREND函数和FORECAST函数计算的结果一样，但是计算过程完全不同。