斐波那契数列毕业论文好写么

黄金分割漫谈 分已知线段为两部分，使其中一部分是全线段与另一部分的比例中项，这就是在中学几何课本中提到的黄金分割问题。若C为线段AB的满足条件的分点，则可求得AC 约为 。这个分割在课本上被称作黄金分割，我们有时也可说是将线段分成中末比、中外比或外内比。若用G来表示它，G 被称为黄金比或黄金分割数。黄金分割、黄金分割数都被冠以“黄金”二字，说明了它们的重要性与应用上的广泛性，同时也为它们平添了几分神秘的色彩。著名天文学家开普勒称黄金分割是“几何学中的一大宝藏”，就让我们揭开它的神秘面纱，共同来开采一下这座宝藏吧！ 寻踪探迹话名称由来 最早对中末比有所了解的大约可追溯到毕达哥拉斯学派。该学派对正五边形、正十边形都很熟悉，并且把“五角星”作为成员联络标记，而这些图形的作法与中末比是密切联系的。如果相信毕达哥拉斯熟知正五边形与五角星的作图，那么可以推知他已掌握了中末比。古希腊著名的数学家、天文学家欧多克索斯最早对中末比做了系统的研究，他在深入探究五角星性质时，曾惊叹道：“中末比到底在这儿出现了！”对中末比的严格论述最早见于欧几里德的《几何原本》。到中世纪以后，中末比被披上更神秘的外衣，渐渐笼上了一层神秘的色彩。 文艺复兴时期，中末比问题引起了人们广泛的注意。1509年，意大利文艺复兴重要人物之一帕乔里出版《神圣的比例》一书。书中系统介绍了古希腊中外比，并称其为神圣比例。他认为世间一切事物都须服从这一神圣比例的法则。开普勒称中末比为“比例分割”，他写道：“毕达哥拉斯定理和中末比是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉。”他是把黄金之喻给了毕达哥拉斯定理，而用珠玉来形容了中末比。最早正式在书中使用黄金分割这个名称的是欧姆（以欧姆定律闻名的.欧姆之弟）。在他1835年出版的第二版《纯粹初等数学》一书中首次使用了这一名称。到19 世纪以后，这一名称才逐渐通行起来，成为现在人们所熟知的名称。 挂一漏万谈奇妙性质 黄金分割数G有着许多有趣的性质。最引人注目的是它与斐波那契数列的关系。 斐波那契是中世纪著名的学者。他在《算盘书》一书中提出了一道有趣的“兔子生殖问题”，由此引出了一个奇妙数列： 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…… 规律是：从第三项开始每一项是前两项之和。后人称为斐波那契数列。它与黄金分割会有什么关系呢？ 让我们计算一下斐波那契数列中每前一项与后一项之比，就会发现这个比值竟与黄金分割数G越来越接近，完全可以作为G的一阶、二阶……N阶近似。多么奇妙啊！其实可以证明这些比值正是以G作为它们的极限。 中外比与斐波那契数列的这种内在联系，为它大添了光彩，也使它具有了一种特殊的神秘感与迷人的魅力，使后来的许多数学家为之倾倒。 抛砖引玉粗说影响及应用 黄金分割无论是在理论上，还是实际生活中都有着极其广泛而又非常简单的应用，从而也在历史上产生了巨大的影响。古代，中末比主要是作为作图的方法而使用。到文艺复兴时期它又重新引起了当时人们的极大兴趣与注意，并产生了广泛的影响，得到了多方面的应用。如在绘画、雕塑方面，画家、雕塑家都希望从数学比例上解决最完美的形体，它的各部分的相互关系问题，以此作为科学的艺术理论用来指导艺术创造，来体现理想事物的完美结构。著名画家达芬奇在《论绘画》一书中就相信：“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上，各特征必须同时作用，才能产生使观众如醉如痴的和谐比例。”在这一时期，艺术家们自觉地被黄金分割的魅力所诱惑而使数学研究与艺术创作紧密地结合起来，并对后来形式美学与实验美学产生了巨大影响。 十九世纪，德国美学家蔡辛提出黄金分割原理且对黄金分割问题进行理论阐述，并认为黄金分割是解开自然美和艺术美奥秘的关键。他用数学比例方法研究美学，启发了后人。德国哲学家、美学家、心理学家费希纳进行了实验美学的尝试，把黄金分割原理建立在广泛的心理学测试基础上，将美学研究与自然科学研究结合在一起，引起广泛的注意。直到本世纪50年代，实验美学的研究还十分活跃。直到最近，黄金分割原理仍然是一个充满了神奇之谜的科学美学问题。如在晶体学的准晶体结构研究领域中，黄金分割问题重新引起了物理学家和数学家们的兴趣。 它的实际应用，也有很多。最广为人道的例子是优选学中的黄金分割法，它是美国的基弗于1953年首先提出的。从1970年开始在我国推广并取得了很大的成绩。优选法的另一种方法――分数法，是取G的分数近似值，在实际中同样有着广泛应用。 真真假假道神秘传说 由于中末比具有各种独特的性质，随着它的影响越来越大，也就有了越来越多的关于它的传说。这些传说虚虚实实，令人扑朔迷离难辨真伪，但却一直为人们所津津乐道，广为流传。 有人研究得出黄金分割是人和动植物形态的一个结构原则。于是有了以下各种说法： 人体自身美，即人体最优美的身段遵循着G这个黄金分割比。据说在人们并未认识黄金分割之前制造的美的物品竟都恰好与黄金律暗合。如著名的爱神维纳斯与女神雅典纳的雕像下身与全身之比近于G。 据说芭蕾舞艺术的魅力也离不开G。芭蕾演员起舞时踮起脚尖，是为了展现符合G的身段比例的最优美的艺术形象。 在自然界中，G也是美的重要规律。据说特别令人心旷神怡的花，凭借的是G这个美的密码。 另外我们知道现在各国的国旗上，凡是“星”几乎无例外都画成五角星，据说就是因为五角星中多处暗含了G这个美的密码，从而使这个图形赏心悦目。 还据说报幕员处于黄金分割点处的位置时，会给观众留下一个美的印象。甚至有人说演奏弦乐器时，把“千斤”放在琴弦的黄金分割点获得的音色更优美和谐。 还有一种流行极广的说法是：黄金矩形（即两边的比等于G的矩形）比用任何其他比值作边的矩形都要美观。1876年，费希纳曾为此作过大规模的试验。结果表明喜欢黄金矩形的人数占全体的三分之一，在各种矩形中得票最多。 诸如此类的传说恐怕还有很多。一句话：哪里有G，哪里就有了美。黄金分割数G成了宇宙的美神！

递推公式斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：显然这是一个线性递推数列。通项公式(如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。)注：此时 通项公式推导方法一：利用特征方程（线性代数解法）线性递推数列的特征方程为： 解得 ， .则 ∵ ∴ 解得 方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法）设常数 ， .使得则 ， 时，有……联立以上n-2个式子，得：∵ ，上式可化简得：那么……（这是一个以 为首项、以 为末项、 为公比的等比数列的各项的和）。， 的解为则方法三：待定系数法构造等比数列2（初等代数解法）已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求数列{an}的通项公式。解 ：设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。得α+β=1。αβ=-1。构造方程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。所以。an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。由式1，式2，可得。an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。方法四：母函数法。对于斐波那契数列{a(n)}，有a(1)=a(2)=1,a(n)=a(n-1)+a(n-2)(n>2时)令S(x)=a(1)x+a(2)x^2+……+a(n)x^n+……。那么有S(x)*(1-x-x^2)=a(1)x+[a(2)-a(1)]x^2+……+[a(n)-a(n-1)-a(n-2)]x^n+……=x.因此S(x)=x/(1-x-x^2).不难证明1-x-x^2=-[x+(1+√5)/2][x+(1-√5)/2]=[1-(1-√5)/2*x][1-(1+√5)/2*x].因此S(x)=(1/√5)*{x/[1-(1+√5)/2*x]-x/[1-(1-√5)/2*x]}.再利用展开式1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+……+x^n+……于是就可以得S(x)=b(1)x+b(2)x^2+……+b(n)x^n+……其中b(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}.因此可以得到a(n)=b(n)==(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

黄金分割律及其视觉传达设计的应用 江南大学 彭心勤PENG Xinqin摘 要：本文通过对黄金分割律的系统分析和研究，探讨了黄金分割的美感原理及些许设计法则，揭示了黄金分割律对于视觉传达设计的科学作用。 对黄金分割律在设计中的应用，多出现于建筑设计中，如米斯·凡·德洛（Ludwig Mies Van der Rohe，1886-1969）的别墅，勒·柯布西耶（Le Corbusier，1887-1965）的朗香教堂（La chapella de Ronchamp）等。在产品设计中，有米斯·凡·德洛的巴塞罗那椅（Barcelona Chair）、阿尔多·罗西（Aldo Rossi）设计的正圆锥壶等。而明确提出这一概念运用的是20世纪中期的法国建筑师勒·柯布西耶，他发现黄金比具有数列的性质。并将其与人体尺寸相结合，提出黄金基准尺方案，并视之为现代建筑美的尺度。而下文主要就黄金分割及其在视觉传达设计中应用做些许探究。一．黄金分割律的由来早在埃及人造金字塔时，就已潜在的应用了黄金分割律。公元前6世纪，古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras，公元前580-500年)在一个偶然的机会被一铁匠铺悦耳的打铁声所吸引，结果发现了铁砧和铁锤的大小比例近乎于1∶。回家后，让其学生分割一木棒，结果分割出一玄妙的比例：即用C点分割木棒AB，整段AB与长段BC之比，等于长段BC与短段AC之比，接着又发现，把AC放在BC之上，也得出同样的比例。后来后人发现，这一比例可无穷的分割下去，而他们的比例竟都近乎于1∶。这可能就是人类明确发现“黄金分割”最早的记载。二．黄金分割的比例和构成黄金分割是指一条直线（或矩形）被分割成两个不同的部分，分割点（或线）将较大的部分与较小的部分分割成一定的比例（如图1 ）。具体的比例公式是：AC/BC=AB/AC（AC为长边，BC为短边），其比值约为∶1或1∶。这个比例是如何计算出来的呢？假设AB＝1，AC的长度为a，BC的长度即为1-a。如此便可得到：a2+a-1=0，计算出a的确切数值为…它还有以下两种形式及变化： Èý£®黄金分割律的美感探究首先，表现在它的形式美感上。19世纪后期，德国的心理学家古斯塔夫·费希纳（Gustav fechner）做了一个实验，其实验测量各种矩形人造物，其结果，他发现大部分人更喜爱边长比例接近于黄金分割律的矩形，这从一个侧面说明了黄金比例图形具有一符合人体标准的视觉愉悦性。其次，不乏生理与心理原因。1、生理原因科学研究表明，人的双眼视域是两个不同心的圆所围成的总区域，如若以一眼的正视时的中心作为一分割点去分割整个双眼视域的长，得出的正是一黄金分割的比例。所以，这个视域正是视觉感觉舒适的区域，这也可能正是黄金分割律美感的生理缘由。深层去追溯，可以用哲学家荣格所说的集体无意识的概念去解释和溯源：因为黄金分割律可能暗合人类的一种先天视觉识别能力的积淀。就是说，在大自然长期发展过程中，由于人类周围的环境，各种各样的动物和植物的形式和式样，他们都蕴含了这一形式比例的生物规律，这一规律长期作用着人类的视觉系统，因而大自然在潜移默化中业已决定了人类的这种“黄金”视觉愉悦性（例如，花和叶的器官是由于其螺旋上升式生长，从而保证了叶与叶之间不会重合，下面的叶片正好在从上面叶片间漏下阳光的空隙地方，这是采光面积最大的排列方式。也因而，沿对数螺旋按圆的黄金分割盘旋而生，是叶片排列的最优良选择。辐射对称的花及螺旋排列的果，它们在数学上也符合黄金分割的规律。这应该是一种进化论的“自然选择”吧。）。其实，人类其本身的大部分形体比例也是符合黄金分割律的比例分割的。古希腊哲学家普罗泰格拉曾说“人是万物的尺度”就隐含了人是自然界这种规律的造物。2、黄金比例美感的心理原因众所周知，平衡是大自然的一种规律和状态。在物理学中，据热力学推导出的一定律是：世间一切物理运动都可以被看作是趋向平衡的活动。同时，在心理学领域，格式塔心理学家们也得出：每一个心理活动领域都趋向于一种最简单、最平衡和最规则的组织形态①。所以，阿恩海姆推导弗洛伊德的观点，得出一结论：平衡是任何自我实现者所要达到的最终目标，也是他所要完成一切任务、解决一切问题的最终归宿。而黄金分割这一比例恰恰是达到人类视觉平衡和心理平衡的一最佳比例。这可能就是其能获美感的深层心理原因。ËÄ£®黄金分割律与设计在设计中，无论是古埃及的金字塔、古希腊的帕特农神殿、印度泰姬陵、法国巴黎圣母院还是中国故宫，中国的秦砖、汉瓦当都暗合黄金分割律。其实，现今我们周围的世界，小到火柴盒、信封、邮票，大到一些工业产品、建筑房屋，都有黄金分割在其中的应用和体现。在而今的视觉传达设计中，已有很多设计门类巧妙的应用了黄金分割，取得了很好的效果。例如一些校徽类标志设计的模型： 标志整体造型为圆形，由内外两个圆组成，内外圆比例为：1，接近黄金分割比例，符合美学效果。再如一些名片设计： 都符合黄金分割的比例，其中第二个名片还进行了二度分割，具有很强的形式美感。同样，在包装设计中，也有体现： 在此牙膏盒包装的构图上，¡°黄金分割¡±线§和§¡¯把图案和¡°洁诺¡±字体一分为二；星形高光亮点正好处在§¡¯上；牙膏状的图案上的圆形犹如一个放大镜让你看透牙膏的原子结构¡°亮白粒子¡±；五分之一高度的灰色条放于底部，加强了图案整体的稳重。从视觉的舒适程度，黄金分割是其最佳位置。 在海报设计中，上述三个海报，分别是扬·奇科尔德的《构成主义》、《职业摄影》海报和马克思·比尔的《形式艺术》海报（较黑辅助线是后加上的黄金分割线）②。这两人都是平面设计的杰出作者，他们在海报作品中巧妙的运用黄金分割律，创造出了不同凡响的艺术风格。综上所述，正是由于黄金分割律有着深厚的哲理及生理、心理蕴意，且符合一种似乎天生的自然法则，所以得到了很多领域的应用。我们除挖掘出它意义的理论内涵外，更要不断开拓其应用领域。用它来指导设计，使其在视觉传达领域得到更为广阔的运用。当然，如若要确实的用好它，还要考虑到中国传统文化中"月满则亏，水满自溢"的道理，从而灵活、巧妙地应用它。以便使我们的设计在符合人的视觉审美心理的同时，更好地发挥黄金分割律在视觉传达设计中的作用是一个充满无穷魔力的神秘数字，最早是由2 500年前的毕达哥拉斯学派发现，后来被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割”，故最初是因其比例在造型艺术上的悦目而得名的。15世纪末期，法兰西教会的传教士路卡·巴乔里发现：金字塔之所以能屹立数千年不倒，主要与其高度和其基座长度的比例有关，这个比例就是5∶8，与极其接近。有感于这个神秘比值的奥妙及价值，他将黄金分割又称为“黄金比律”，后人简称“黄金比”、“黄金律”和“中外比”。奇妙的黄金分割日常生活中我们会看到，书籍、国旗、桌面、电视屏幕等物品都很协调，其主要原因就是它们的长宽比例符合黄金分割。另外我们还发现，世界上的许多建筑都可以找到黄金分割的影子。无论是古埃及的金字塔还是古希腊的帕特农神殿，不论是印度的泰姬陵还是法国的巴黎圣母院，尽管这些建筑风格各异，但在总体构图的设计方面，却都有意无意地运用了黄金分割法则。在动物和昆虫中也是这样，像犬、马、狮、虎、蝴蝶等看上去形体都很优美，其原因也是它们的比例大体上接近黄金分割。在我们人类中也是一样，凡是看上去体态优美的人，其身体各部分的比例也与黄金比率相近。古希腊人认为，健康的人体是最完美的，而健康的人体中一定存在着各种优美、和谐的比例关系。晚会上的报幕员，一般都不会站在舞台的正中间，而是站在舞台一侧的处，这样看起来，才会显得更加和谐、悦目。黄金分割在人体及植物中的体现黄金分割不但在艺术和美学的表现形式上让人赏心悦目，在我们人体和其他许多生物上也处处体现。人体从头顶到肚脐部位与人体之比接近；肚脐到咽喉与肚脐到头顶之比也接近；从脑前向后延伸至下顶叶处，是大脑处理数学思维、三维形象和空间关系的关键部位，而此处也正好接近；臀宽与躯干的长度之比、上肢与下肢的长度之比、下肢与全身的长度之比、肩关节与肘关节的长度之比、肘关节与腕关节的长度之比、膝关节与踝关节的长度之比以及心脏与胸腔之比、眼睛与脸部之比，也都奇妙地遵循着神秘的黄金比律。又有人发现，人体的很多重要穴位以及健康、疾病、生长发育等都与黄金分割有关，就连医学和养生也与有着千丝万缕的联系。如人体头顶至后脑的处是百会穴；下颌到头顶的处是天目穴；手指到手腕的处是劳宫穴；脚后跟到脚趾的处是涌泉穴；从脚底到头顶的处是丹田穴……又比如，人的正常体温是37℃左右，但在外界温度是23℃时会感到最舒适。在这个环境中，人体的生理功能、生活节奏及新陈代谢水平也都处于最佳状态，而23与37的比率也接近。组成人体最多的物质是水，它占成年人体重的60%～70%，其比值与黄金分割率十分相似。而最神秘的巧合是我们生命中的DNA了，它的每个双螺旋结构中都包含有黄金分割，因为每个螺旋结构都是由长34埃与宽21埃之比组成，而它们的比率为，非常接近黄金分割比的。在许多植物中，它们所生长的形状一般都接近黄金分割的比例。在植物的茎干上，两个相邻的叶片夹角一般都是137°30′，而这个角度恰好又是圆的黄金分割比。研究发现，这种夹角对植物的通风和采光效果最佳。另外在向日葵上，也包含有许多黄金比例的结构和原理。在向日葵花盘上的瓜籽布局通常为左21条和右13条的两种螺旋，而13与21的比值正好与黄金分割的比值非常接近。通过计算得知，向日葵籽的螺旋排列可在最小的面积上得到最大的数量。