以法国数学家 米歇尔·罗尔 命名的罗尔中值定理(英语:Rolle's theorem)是 微分学 中一条重要的定理,是三大 微分中值定理 之一,叙述如下: 如果函数f(x)满足: (1)、在闭区间[a, b]上连续(没有断点) (2)、在开区间[a, b]上可导(光滑的) (3)、f(a) = f(b) 则 (也就是说平行于X轴) 若是有给出了 可以优先考虑一下,用罗尔定理 步骤: (1)、构造函数f(x) (2)、验证3个条件 (3)、由罗尔定理可知, 思路:若是细腻一点,就可以看出下面那条是上面那条方程的的导数函数,即是: 。所以,最终也是让你证明是罗尔定理,最终得出结论从而证明出这题。 例题二 思路:我们可以看到,这个 又是连续又是可导,可以猜出这可能又是与罗尔定理有关的。但是呢这里的 ,又不符合的样子?别急,我可以把式子变为 .这样的话又符合了。最后按照一步步证明得,这是一个罗尔定理,最后证明得结果 拉格朗日中值定理 ,也简称 均值定理 ,是以法国数学家 约瑟夫·拉格朗日 命名,为 罗尔中值定理 的推广,同时也是 柯西中值定理 的特殊情形。拉格朗日中值定理也叫做 有限增量定理 。 如果 满足: 1、在 上 连续 ; 2、在 内 可微分 (可导);0 那么至少有一点 使下面 等式 成立 即是 步骤: 构造函数f(x) 验证2个条件 由拉尔定理可知,下结论,对结论式子变形 解法:我第一次看这种题型的时候也是一脸的懵逼的,不知如何下手。但是在仔细观察的话,可以发现,只要把 ,可以变形一下,然后再再把不不等式左右两边改变一下。最后就可以看出是一个拉格朗日中值定理函数,最后在进行运算 ,得出结果。思路:下看到这种题型,一定要瞬间明白这是要让你证明拉格朗日。按上一题的思路是一样的。 放出步骤: 构造函数f(x) 验证2个条件 由拉尔定理可知,下结论,对结论式子变形 令 显然可以看出 在区间 上连续, 在开区间 可导。所以这是一个符合拉格朗日的函数。 由拉格朗日定理可知, 使得 (现在从左边范围推出右边范围) 所以 所以 所以 思路:一看这题目,可以很明显的看出可能又是要拉格朗定理有关,只要我们变变形就可以了。这边不掩饰。 设函数 闭区间 内连续, ,则存在区间 至少存在一点,使得: (1)判定方法: (2)讨论单调性(单调区间)的步骤 ①、求定义域 ②、求出 和 不存在的点,讲定义域划分若干个子区间 ③、列表,根据 在子区间内的符号,确定单调性。 (1)极值的定义 ,则 为极大值点, 为极大值 ,则 为极小值点, 为极小值(2)极值的判定 ①、第一判定定理 注:极值点是单调性的分界点,左右两侧f’(x)必然是异号 ②、第二判定定理 (3)驻点 若是 ,则 为 的驻点 注意: 若是 为f(x)的极值点,则 或 不存在(5)求极值点和极值的步骤: ①、确定f(x)定义域 ②、求导 ,并求出 不存在的点 ③、列表 求函数 的单调区间和极值 解法:一般这种情况,都是都可以按照步骤来这样很简单都是可以求出来的,至于简单的运算,就不展开讲了。 步骤: ①、求出所以 ②、求出①中所有点的函数值和端点处的函数值 ③、 1、凹曲线:曲线上的任意点处的切线总位于曲线的下方 2、凸曲线:曲线上的任意点处的切线总位于曲线的上方1、凹凸性的分界点称为拐点,记作 。拐点左右两侧 必然异号. 2、若点 是曲线 (1)、求出定义域 (2)、求出 的点 (3)、列表,由 符号得出凹凸区间,凹凸区间的分界点即为拐点 思路:我们把它进行二次导以及找出定义域,最后令得出来的二阶导函数小于0,得出取值范围,再根据定义域得出最后的凸区间若 则称 的一条水平渐近线。 函数趋近于无穷大时,是否是常数,则称 是 (1)、构造函数f(x) (2)、求导判断单调性 (3)、大于最低点,小于最高点思路:按我们大标题来说,我们应该用单调性来证明不等式根的存在性。这里我们首先构造出一个函数,然后再求导得出他们的单调性最后在证明例子成立所以有 因为 所以 所以 所以 又因为 所以 所以 (1)、利用零点或罗尔定理证明至少有一个根 (2)、求导判断函数单调性,得唯一根思路:我们先用罗尔定理或者零点定理证明至少有一个跟,然后在求导,得出单调性以及无不存在点得唯一根。已知函数 ,试问方程 在区间(0, +∞)有多少个实根思路:这一个题目有点意思啊,我们可以按步骤一步步来,但是我们用零点定理来证明只至少有一个根时,考虑到定义域时 ,不是闭区间,所以要用 来代替f(0), f(∞)(1)、构造函数 (2)、求导验证 (3)、