数学小论文:
“最短距离”问题 的变式(讨论)
题型:
如图,要在河边修建一个水泵站,分别向张庄、李庄送水,修在河边什么地方,可使所用的水管最短?(请通过你所学的知识找出这个地点的位置)
解答:如图
D为所求的点
变式一:当提灌站修在C处时,向张庄A、李庄B供水,所用水管最短,为3千米。已知BC的长为千米,你能在下图中找出张庄A的位置吗?
变式二:如图,
张庄A、李庄B位河的两侧,河宽50米,现要在河上架一座与河岸垂直的桥,桥架在什么位置,从张庄过桥到李庄所经过的路线最近。
解析:将张庄A沿与河岸垂直的方向下移50米到A',连结A'B交对岸于点C,过C作L的垂线交L'于点D,则桥应架在线段CD的位置上,就使从张庄A经过桥到李庄B所经过的路线最近。
变式三:
如图,
点A、B位于直线L同侧,定长为a的线段MN在直线L上滑动,请问当MN滑到何处时,折线AMNB长度最短?请简要说明。
变式四:已知张村A、李庄B到河边的距离分别为AC=3KM和BD=7KM且CD=10KM。
(1)水泵站应建在什么地方,可使所用的水管最短?请在图中找出水泵站P1的位置;(2)如果要求水泵站到张村A、李庄B的距离相等,则水泵站应建在什么地方?请在图中找出水泵站P2的位置,并求出水泵站P2到C的距离。(3)写出P1和P2之间的距离,不必说明理由。
其它:如图,
在平面直角坐标系xOy中,△ABC三个顶点的坐标分别为 A(-6,0)、B(6,0)、C(O,√3),
延长AC到点D,使CD= AC/2,
过点D作DE∥AB交 BC的延长线于点E.
(1)求D点的坐标;
(2)作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,若过B点的直线y=kx+b
将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式;
(2)设G为y轴上一点,
点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发,先沿y轴到达G点,再沿GA到达A点,
若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍,
试确定G点的位置,使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。
(要求:简述确定G点位置的方法,但不要求证明)
解析: “确定G点的位置,使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短”转化为点G到A的距离加G到(2)中直线的距离和最小是“饮马问题”的变式运用;发现(2)中直线与x轴夹角为60°很关键.
参考: