矩阵和行列式毕业论文

虽然19世纪行列式和矩阵引起了大家的注意，但它们与其说是数学上的改革，不如说是语言上的改革。不像向量和导数等创立新领域的概念，矩阵和行列式是对已有概念的速记表达式，不提供方程或变换以外的内容。它们是非常有用的数学工具，一是作为紧凑的表达式，二是矩阵在学习群论一般定理中有启发作用。 行列式出现在解线性方程组中，然后是消元法、坐标变换、多重积分中的变数替换、解行星运动的微分方程组、将三个或多个变数的二次型及二次型束（一个束为A+λB，其中A、B为指定型，λ是参数）化简成标准型。19世纪直接继承了克莱姆、贝祖、范德蒙、拉格朗日和拉普拉斯的工作。 1815年柯西把行列式这个词（高斯用来指二次型 的判别式）用在18世纪出现的行列式中，并把元素排成方阵，采用双重足标记法。例如一个三阶行列式写为（1841年Cayley引入两条竖线） 同时柯西给出了行列式第一个系统的、近乎现代的处理。主要结果之一是行列式的乘法定理。拉格朗日已经对三阶行列式给出了这一定理，但他行列式的行是一个四面体的顶点坐标，是一种未推广的特殊情形。按柯西的说法（用现代记号表示），一般定理是 ，|a||b|代表n阶行列式，而 ，意思是第i行第j列的项是|a|的第i行和|b|的第j列对应元素的乘积之和。1812年比内(Jacques Philippe Marie Binet,1786-1856)曾叙述这一定理，但没有进行满意的证明。柯西改进了拉普拉斯行列式展开定理，并给了一个证明。 1825年舍克(Heinrich Ferdinand Scherk,1798-1885)给出了几个行列式新性质。他建立了只有一行（或列）不同的两个行列式相加的规则和一常数乘行列式的规则。他说当一个方阵的某一行是另两行或其它几行的线性组合时，其行列式为0，以及三角行列式（主对角线以上或以下的所有元素是0）的值是主对角线上元素的乘积。 西尔维斯特（James Joseph Sylvester,1814-1897)持续搞行列式理论，虽然他在剑桥数学会考成绩优异，但因为是犹太人，被禁止在剑桥任教。1841-1845他在弗吉尼亚大学任教，后来回到伦敦，1845-1855担任书记官和律师。之后在英格兰当老师到1871年，经过一些活动后到霍普金斯当教授，1876年起演讲不变量理论，他开创了美国的纯数学研究，创办了《美国数学杂志》。1884年(70岁)回到英格兰成为牛津教授（这次真的是莫欺少年穷了） 西尔维斯特是个活泼、敏感、兴奋、热情甚至易激动的人，他引入了很多新术语，开玩笑地把自己比作亚当（亚当曾给野兽和花起名字），虽然他涉及力学和不变量理论等领域，但他没有系统而彻底地作出理论。他频繁地作出猜想，其中不乏出色的，但也有很多错的。他的主要贡献是组合的思想以及从较具体的发展中进行抽象。 西尔维斯特的重要成就之一是改进了从一个n次和m次的多项式中消去x的方法，称为析配法(dialytic method)，比如为消去方程 中的x，形成五阶行列式 ，该行列式为0是两个方程有公共根的充要条件。 1841年雅可比首次给出当行列式元素是t的函数时其导数公式。设aij是t的函数，Aij是aij的余子式，D是行列式，则 这个'表示对t的微商。 行列式还用于多重积分的变数替换，1832-1833雅可比找到一些特殊结果。后来1839年卡特兰(Eugene Charles Catalan,1814-1894)给出了一些今天常用的结果，如二重积分 在变数替换x=f(u,v),y=g(u,v)下成为 这里G(u,v)=F(x(u,v),y(u,v)),其中的行列式称为x,y关于u,v的雅可比行列式或函数行列式。 雅可比对函数行列式专门写了一篇重要文章，在文中他考虑n个函数u1,u2,...,un，每个函数都是x1,x2,...,xn的函数，他问什么时候能从这n个函数消去xi使ui用一个方程联系起来，如果不可能则称函数ui是无关的。答案是，如果ui关于xi的雅可比行列式是0，则函数不是无关的，反之若函数不是无关的，则行列式值为0。他还给出雅可比行列式的乘积定理，如果ui是yi的函数，而yi是xi的函数，则ui关于xi的雅可比行列式是ui关于yi的雅可比行列式和yi关于xi的雅可比行列式的乘积、

行列式是特殊的矩阵，N*N矩阵，N*M可以不同，矩阵可以进行乘法，行列式不可以

你好，叫你写小结，就是归纳整理学习到的知识点行列式小结一、行列式定义 行列式归根结底就是一个数值，只不过它是由一大堆数字经过一种特殊运算规则而得出的数而已。当然这堆数排列成相当规范的n行n列的数表形式了。所以我们可以把行列式当成一个数值来进行加减乘除等运算。 举个例子：比如说电视机（看做一个行列式），是由很多个小的元件（行列式中的元素）构成的，经过元件的相互作用、联系最终成为一台电视机（行列式）。 那么这n*n个数字是按照什么规则进行运算的呢？ 行列式是不同行、不同列的所有可能元素乘积的代数和（共有n!项）。（这里面的代数和，表示每个乘积项是带有正负号的，而正负号的确定要根据行列标的逆序数来判断！） 对于行列式的这个概念，仅仅是给出了行列式的一种通用定义，它能用来求特殊行列式（比如三角行列式、对角行列式等）的值和做一些证明，而真正要来求行列式的值，需要依据行列式的性质和展开法则。 二、行列式性质 行列式的那几条性质其实也很容易记忆。 1、行列式转置值不变。这条性质说明行列式行、列等价，凡是对行成立的，对列也成立。 2、互换两行（列），行列式变号。 3、两行（列）相等，则行列式为0。 4、数乘行列式等于该数与行列式某一行（列）所有元素相乘！ 5、两行（列）成比例，则行列式为0。 6、行列式加法运算：某一行（列）每个元素都可以看成两项的和的话，可以将行列式展开成两个同阶行列式的和。 7、某行（列）同乘一个数加到另外一行（列）上，行列式值不变。 这7条性质往往组合使用来求行列式的值。尤其第7条性质，一定要会熟练运用来将一个行列式化为三角行列式（既要会对行使用，也要会对列使用），最好能自己多做点练习。 三、行列式行（列）展开法则 行列式的行（列）展开法则其实是一种降阶求行列式值的方法。 行列式的行（列）展开法则一定注意一点，即一定是某行（列）每个元素同乘以自己对应的代数余子式。（即我一直强调的：要配套。） 如果是某行（列）每个元素同乘以另外一行（列）对应位置的代数余子式则值为零。（即：不配套。）矩阵小结初等矩阵的概念是随着矩阵初等变换的定义而来的。初等变换有三类： 1、位置变换：矩阵的两行（列）位置交换； 2、数乘变换：数k乘以矩阵某行（列）的每个元素； 3、消元变换：矩阵的某行（列）元素同乘以数k，然后加到另外一行（列）上。初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换后所得的矩阵。则根据三类初等变换，可以得到三种不同的初等矩阵。 1、交换阵E(i,j)：单位矩阵第i行与第j行位置交换而得； 2、数乘阵E(i(k))：数k乘以单位矩阵第i行的每个元素（其实就是主对角线的1变成k）； 3、消元阵E(ij(k))：单位矩阵的第i行元素乘以数k，然后加到第j行上。其上的三种初等矩阵均可看成是单位矩阵的列经过初等变换而得。初等矩阵的模样其实我们可以尝试写一个3阶或者4阶的单位矩阵，然后进行初等变换来加深一下印象。 首先：初等矩阵都可逆，其次，初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作逆变换）。最关键的问题是：初等矩阵能用来做什么？当我们用初等矩阵左乘一个矩阵A的时候，我们发现矩阵A发生变化而成为矩阵B，而这种变化恰好是一个单位矩阵变成该初等矩阵所产生的变化。具体来说： 左乘的情况： 1、E(i,j)A=B，则矩阵A第i行与第j行位置交换而得到矩阵B； 2、E(i(k))A=B，则矩阵A的第i行的元素乘以数k而得到矩阵B； 3、E(ij(k))A=B，则矩阵A的第i行元素乘以数k，然后加到第j行上而得到矩阵B。结论1：用初等矩阵左乘一个矩阵A，相当于对矩阵A做了一次相应的行的初等变换。 右乘的情况： 4、AE(i,j)=B，则矩阵A第i列与第j列位置交换而得到矩阵B； 5、AE(i(k))=B，则矩阵A的第i列的元素乘以数k而得到矩阵B； 6、AE(ij(k))=B，则矩阵A的第i列元素乘以数k，然后加到第j列上而得到矩阵B。结论2：用初等矩阵右乘一个矩阵A，相当于对矩阵A做了一次相应的列的初等变换。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 请注意并理解结论1和结论2中的“相应”两字。 初等矩阵为由单位矩阵E经过一次初等变换（三种）而来，我们可以把初等矩阵看成是施加到单位矩阵E上的一个变换。 若某初等矩阵左（右）乘矩阵A，则初等矩阵会将原先施加到单位矩阵E上的变换，按照同种形式施加到矩阵A之上。或者说，我们想对矩阵A做变换，但是不是直接对矩阵A去做处理，而是通过一种间接方式去实现。