根据Dupuit假设,可以建立有关潜水含水层中地下水流的方程。潜水面是个自由面,相对压强p=0。因此,对整个含水层来说,可以不考虑水的压缩性。
先考虑一维问题。取平行于xoz平面的单位宽度进行研究。在渗流场内取一土体(图1—33)。它的上界面是潜水面,下界面为隔水底板,左右为二个相距△x的垂直断面。引起小土体内水量变化的因素,除从上断面流入的流量 和下断面流出的流量 外,还有由大气降水入渗补给或由潜水蒸发构成的垂向的水量交换。设单位时间、单位面积上垂向补给含水层的水量为W(入渗补给或其它人工补给取正值,蒸发等取负值)。
图1—33潜水的非稳定运动
在△t时间内,从上游流入和由下游流出的水量差,根据Dupuit假设为:
地下水动力学(第二版)
在△t时间内,垂直方向的补给量为W△x△t。因此,△t时间内小土体中水量总的变化为:
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小土体内水量的变化必然会引起潜水面的升降。设潜水面变化的速率为 ,则在△t时间内,由于潜水面变化而引起的小土体内水体积的增量为:
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当潜水面上升时μ为饱和差,下降时为给水度,此时忽略了水和固体骨架弹性贮存的变化。
由于假设水是不可压缩的,根据连续性原理,这两个增量应相等,即:
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将(1—88)式代入上式,得:
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上式为有入渗补给的潜水含水层中地下水非稳定运动的基本方程(沿x方向的一维运动),通常称为Boussinesq方程。在二维运动情况下,可用类似方法导出相应的方程为:
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当隔水层水平时,上式中h=H。对于非均质含水层,Boussinesq方程有如下形式:
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Boussinesq方程是研究潜水运动的基本微分方程。方程中的含水层厚度h也是个未知数,因此,它是一个二阶非线性偏微分方程。除某些个别情况能找到几个特解外,一般没有解析解。为了求解,往往近似地把它转化为线性方程后求解。目前广泛采用的是数值法。
应注意,推导方程时应用了Dupuit假设,忽略了弹性贮存;取的小土体是一个包括整个含水层厚度在内的土柱,与推导承压水非稳定运动方程时取的无限小的单元体不同。因此,应用Boussinesq方程得到的H(x,y,t)只代表该点整个含水层厚度上平均水头的近似值,不能用它来计算同一垂直剖面上不同点的水头变化。对某些无压渗流问题,如排水沟降低地下水位及土坝渗流等是不适用的,应采用不用Dupuit假设的一般形式的方程:
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对各向异性介质,如把坐标轴取得与各向异性的主方向一致,则有:
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对无压渗流来说,它的弹性释水与潜水面下降疏干出来的水量相比,是微不足道的。因此,有时干脆把(1—96)和(1—97)式的右端项以零代替,认为无压渗流区内水头应满足方程:
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或
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注意,这时相当于假设固体骨架是不可压缩的,μs=0,同时一开始曾假设忽略水的压缩性,即ρ=常数,故右端项为零。
这些方程与承压含水层中水头应满足的方程没有什么不同。方程右端采用的是贮水率μs而不是给水度或饱和差μ。其原因是为了计算渗流区内任一点的水头,必须从渗流区内部取一个无限小的单元体来考虑。对这样的单元体来说,因位于渗流区内部,考虑其贮存量的变化时只能是弹性释水而不是疏干排水,因而推导出的无压水非稳定运动方程和承压水非稳定运动方程就没有什么不同了。在这种情况下,地下水非稳定流动的特征则由边界条件反映。如潜水面升降所引起的水量变化可以作为边界条件来处理。因为潜水面是渗流区的上部边界,潜水面升降所引起的水量变化可以作为一种补给水源(水位上升时取负值),用第二类边界条件来处理,其具体处理方法将在本章定解条件一节中予以阐述。方程(1—96)或(1—97)与以后将要谈到的潜水面应满足的边界条件结合起来,便可求解一般的无压渗流问题(当然,还要结合反映渗流区具体情况的其它定解条件)。
对潜水位变化很小的情况,和承压水流一样,可以看成是稳定运动。潜水稳定运动的方程式,当不存在入渗和蒸发时,由(1—95)和(1—94)式,令右端项为零,得:
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在有些文献中,把(1—74)式和(1—95)式写成一个统一的表达式
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其中,
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z为含水层底板标高。
思考题:
人们发现,历年来强调的K、T在评价我国东部平原区区域性地下水资源中意义不大,反而以往不怎么受到重视的入渗补给却有重要作用,人们能取用的主要是这一部分垂向补给的水量,为什么?