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根据是【收敛定理】 也称【狄里克雷收敛定理】 定理结论是【在f(x)的连续点x处，级数收敛到f(x)； 在f(x)的间断点x处，级数收敛到（f(x+0)+f(x-0)）/2， 即f(x)在间断点处的左右极限的平均值推荐于 2017-12-09查看全部2个回答高中方程例题_提高2020高考热点_抓住高考"考点"值得一看的高中相关信息推荐高中方程例题提高_ 选清北学霸讲解，紧扣考点，一句点拨胜过做题一百，高中方程例题效率快高中方程例题提高 没课都有相似题，每题都有提分点study.ewhbx.com广告 高中三角函数练习题-高中九科全套重难点知识汇总资料下载高中三角函数练习题，内容涵盖语文/数学/英语/政治/历史/地理/物理/化学/生物各门学科;各类知识点/试卷/习题/视频应有尽有，作文，听力，阅读专项突破umeng100.com广告 — 你看完啦，以下内容更有趣 —高中数学函数题，提高高中生成绩的方法高中数学函数题，从高一到高三初期，我儿子就一直特别努力，可是成绩就是没提高，高中数学函数题，试过了这个方法，他的成绩真的提高了广告2020-09-18傅里叶级数收敛定理在第一类间断点有说：傅里叶级数收敛于1/2[f(x-0)+f(x+0)] ，为什么？这个属于狄利克雷条件 如果不是数学专业的，是不要求证的，考试也不会涉及到你，只需要背下来，结论就可以了 因为这个证明是涉及到非常多东西的证明定理所需要的篇幅非常大，如果感兴趣的话，可以自己在网上搜索狄利克雷条件的证明 所以说，不需要知道为什么，只需要记住结论就可以了1,912浏览2019-04-18高等数学，傅里叶收敛定理的内容是什么？定理（收敛定理，狄利克雷（Dirichlet）充分条件）设f(x)是周期为2π的周期函数，如果它满足： ①在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点； ②在一个周期内至多只有有限个极值点； 那么f(x)的傅里叶级数收敛，并且 当x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x)； 当x是f(x)的第一类间断点时，级数收敛于(1/2)*[f(x-)+f(x+)]； 收敛定理告诉我们：只要函数在[-π，π]上至多有有限个第一类间断点，并且不作无限次振动，函数的傅里叶级数在连续点处就收敛于该点的函数值，在间断点处收敛于该点的左极限与右极限的算术平均值。 可见，函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低得多。56赞·2,665浏览2019-06-07高数。。 如果一个函数满足了收敛定理，可以展开成傅里叶级数，那这个傅里叶级数是不是原函数的和函数？和函数？没这个说法哈，傅里叶级数是对周其函数的扩展1赞·784浏览f(x)的傅里叶级数的和函数为什么可以写成f(x)?如题，红笔划线处？根据是【收敛定理】 也称【狄里克雷收敛定理】 定理结论是【在f(x)的连续点x处，级数收敛到f(x)； 在f(x)的间断点x处，级数收敛到（f(x+0)+f(x-0)）/2， 即f(x)在间断点处的左右极限的平均值。 只要按照定理结论【在f(x)的连续点x处，级数收敛到f(x)；在f(x)的间断点x处，级数收敛到（f(x+0)+f(x-0)）/2】就是正确的。 【函数】是一个概念；【级数】是另一个概念。 现在有一个【函数】f(x)，在一定条件下用一定的方法可以得到对应于这个函数的一个傅立叶【级数】。作为一个级数，它有是否收敛的问题，有收敛于谁、即和函数是谁的问题。狄里克雷收敛定理回答了这个问题。1赞·455浏览2019-09-27傅里叶级数有关狄利克雷收敛定理的问题第一个问题，bn可以从零开始，但是b1等于零。 第二个问题，你把函数周期延拓一下，画图看下。你就发现一个周期的终点也对应另一个周期的起点。如果是x-0，x+0,不就等于在周期中间取值吗？那就不是中点了。3赞·1,015浏览2019-10-25双鸭山 高中数学函数，在家上辅导，成绩提升没烦恼值得一看的高中数学相关信息推荐掌门1对1高中数学函数，5层筛选全国优秀教师，紧扣各地教材，中小学全科在线辅导，1对1制定个性化教程，免费测评课，准确判断您孩子的学习水平上海掌小门教育科技..广告 高中函数知识点总结_高中高考提分经验分享jy13.qianlin7.cn广告 真心喜欢一个女生是什么感觉？1、总是忍不住想找ta聊天，抱着手机偷偷傻笑。你或许是一个不太爱说话的人，可是自从遇见了他，你开始想138条回答·3,180人在看生姜洗发水哪个牌子好？我属于头发细软，容易出油，而且换季的时候会出现掉发的情况，朋友向我推荐过许多洗发水，其中露华浓生姜洗27条回答·8,423人在看“数学王子”高斯：他的成果如果全部发表，能让数学进步100年李宗盛有一句话我非常赞同：任何一个领域站在顶峰的，靠的都是天赋，你不需要找，他就站在那里，闪闪发光。“数学王子”高斯就是这样的一个人。数学界有这样一句话叫，这个世界上数学界分为两类：其他数学家与高斯。48,031人在看·107赞东南大学怎么样?东南大学不是三本，而是国家重点大学，985、211的高校。之所以江苏三百多分那是因为总分值不一样，接570条回答·165,711人在看宇宙尺度下的波函数；动物同性性行为或有进化益处｜一周科技速览目 录 1. 宇宙尺度下的波函数 2. 美国人信任科学家胜过法官和议员 3. 喝到一起的人更容易过到一起？ 4. “消失”30年的中子星找到了！ 5. 动物同性性行为或有进化益处？ 6.10,323人在看·60赞保时捷718为什么便宜？有什么缺点么？保时捷718要比其他同系品牌的车便宜一点。因为保时捷718推出时所用的时间比较短，制作技术并没有多么21条回答·22,090人在看困扰数学界300年的五次方程难题，被仅21岁的伽罗瓦成功解决从我们上小学开始，我们就已经接触方程，什么是方程呢？方程是指含有未知数的等式。是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，如x+9=7，这个就属于方程，方程这个词来源于中国清代6,045人在看·47赞该不该为了孩子复婚？北京家理律师TA获得超过3791个认可关注20,453播放成龙电影《十二生肖》评价如何？一部“如果始终热爱成龙的粉丝，可以去瞅瞅”的电影。据说是成龙的第101部电影，但是却没有创造票房与口11条回答·568人在看怎么评价星爷开拍功夫2？说到《功夫》，大家都是知道的，这是周星驰早期的作品，也是一部经典之作，而在近期，周星驰接下《功夫2》19条回答·1,252人在看正在加载评论
在数论中，狄利克雷定理说明对于任意互质的`正整数a,d，有无限多个质数的形式如a+nd，其中n为正整数，即在等差数列a+d,a+2d,a+3d,...中有无限多个质数——有无限个质数模d同余a。
概念 ：形如 的级数，其中 都是常数，称为三角级数。
三角函数系的正交性 ：三角函数系 中任意不同的两个函数的乘积在区间 上的积分等于零。
概念 ：如果 是周期为 的周期函数，且能展开成上述三角级数，当 积分都存在，这时它们定出的系数 叫做函数 的傅里叶系数，带入所得的三角级数叫做函数 的傅里叶级数。
收敛定理，狄利克雷充分条件 ：设 是周期为 的周期函数，如果它满足：
那么 的傅里叶级数收敛，并且当 是 的连续点时，级数收敛于 ；当 是 的间断点时，级数收敛于 。
周期延拓 ：把一个定义域为有限区间的函数拓展为周期函数，按这种方式拓广函数的定义域的过程称为周期延拓。
正弦级数 ：奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数。 余弦级数 ：偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数。
奇（偶）延拓 ：设函数 定义在区间 上并且满足收敛定理的条件，我们在开区间 内补充函数 的定义，得到定义在 上的函数 ，使它在 上成为奇（偶）函数。按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇（偶）延拓。
对周期为 的周期函数做变量代换 得到以下定理：
定理 ：设周期为 的周期函数 满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为 其中
法国数学家、物理学家傅立叶，1768年3月21日生于欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。另有同名空想社会主义思想家傅立叶。其他贡献有：最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法和实根个数的判别法等。 傅立叶变换的基本思想首先由傅立叶提出，所以以其名字来命名以示纪念。 从现代数学的眼光来看，傅立叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。 傅立叶变换属于调和分析的内容。“分析”，就是"条分缕析"。通过对函数的" 条分缕析"来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看，"分析主义"和"还原主义"，就是通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子，而原子不过数百种而已，相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。 在数学领域，也是这样，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是，现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质,使得它如此的好用和有用，让人不得不感叹造物的神奇： 1. 傅立叶变换是线性算子，若赋予适当的范数,它还是酉算子； 2. 傅立叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似； 3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的傅立叶求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； 4. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段； 5. 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT)). 正是由于上述的良好性质,傅立叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
傅里叶级数Fourier series一种特殊的三角级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯 - 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。
傅立叶级数总结傅立叶(Fourier, Jean Baptiste Joseph, 1768-1830)法国数学家,物理学家.1768年3月21日生于欧塞尔, 1830年5月16日卒于巴黎.9岁父母双亡,被当地教堂收养 .12岁由一主教送入地方军事学校读书.17岁(1785)回乡教数学,1794到巴黎,成为高等师范学校的首批学员, 次年到巴黎综合工科学校执教.1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书,1801年回国后任伊泽尔 省地方长官.1817年当选为科学院院士,1822年任该院终身秘书,后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委 员会主席.主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论.1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文,推导 出著名的热传导方程,并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示 ,从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数.1822 年在代表作《热的分析理论》中解决了热在非均匀加热的 固体中分布传播问题,成为分析学在物理中应用的最早例证之一,对19世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响 .傅立叶级数(即三角级数),傅立叶分析等理论均由此创始.其它贡献有:最早使用定积分符号,改进了代数方 程符号法则的证法和实根个数的判别法等. 欧拉的故事1707年4月15日,莱昂哈德·欧拉诞生在瑞士巴塞尔城的近郊.父亲是位基督教的教长,喜爱数学,是欧拉的启蒙老师.欧拉幼年聪明好学他父亲希望他"子承父业",但欧拉却不热衷于宗教.1720年,13岁的欧拉进入了巴塞尔大学,学习神学,医学,东方语言.由于他非常勤奋,显露出很高的才能,受到该大学著名数学家约翰·伯努利教授的赏识.伯努利教授决定单独教他数学,这样一来,欧拉同约翰·伯努利的两个儿子尼古拉·伯努利和丹尼尔·伯努利结成了好朋友.这里要特别说明的是,伯努利家族是个数学家庭,祖孙四代共出了十位数学家.欧拉16岁大学毕业,获得硕士学位.在伯努利家庭的影响下,欧拉决心以数学为终生的事业.他18岁开始发表论文,十九岁发表了关于船桅的论文,荣获巴黎科学院奖金.以后,他几乎连年获奖,奖金成了他的的固定收入.欧拉大学毕业后,经丹尼尔·伯努利的推荐,应沙皇叶卡特琳娜一世女王之约,来到俄国的首都彼得堡.在他十六岁时担任了彼得堡科学院的数学教授.在沙皇时代,生活条件较差,加上欧拉夜以继日的工作,研究,终于在1735年,得了眼病,导致右眼失明.1741年,欧拉因普鲁士国王的邀请到柏林科学院供职兼任物理数学所所长.1759年,欧拉成为柏林科学院的领导人.1741～1766年这四分之一世纪间,欧拉精神虽不是十分愉快,但他正值壮年黄金时代,为柏林与圣彼保这两个科学院提交了几百篇论文.特别是,他成功地将数学应用于各种实际科学与技术领域,为普鲁士王国解决了大量社会实际问题.欧拉59岁时,因沙皇女王叶卡特琳娜二世诚恳地聘请,欧拉重回彼得堡.在一次研究计算慧星轨道的新方法时,旧病复发,导致仅有的左眼失明.灾难接踵而至,1771年彼得堡一场大火,次欧拉的藏书及大量研究成果都化为灰烬.接二连的打击,并没有使欧拉丧失斗志,他发誓要把损失夺回来.眼睛看不见,他就口述,由他儿子记录,继续写作.欧拉凭着他惊人的记忆力和心算能力,一直没有间断研究,时间长达十七年之久.欧拉对数学的贡献是巨大的.1748年在瑞士洛桑出版了《无穷小分析引论》,这是第一部沟通微积分与初等数学的分析学著作.1755年发表了《微分学原理》,1768年～1774年发表了《积分学原理》,这对牛顿和莱布尼茨的微积分与傅立叶级数理论的发展起了巨大的推动作用.1774年发表了《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》一书,使变分法作为一个新的数学分支诞生了.欧拉还是复变函数论的先驱者.他在数论研究上也卓有功绩的.如著名的哥德巴赫猜想,就是他在1742年与哥德巴赫的通讯中,引深生发提出来的.1770年失明后欧拉,口述写了《代数学完整引论》,成为欧洲几代人的教科书.欧拉在概率论,微分几何,代数拓扑学等方面都有重大贡献,欧拉在初等数学的算术,代数,几何,三角学上的创见与成就更是比比皆是,不胜枚举.根据已经出版的欧拉书信与手稿集来看,其中数学所占的比例为40%,位居首位.从这些手稿中可以发现,欧拉成就最鲜明的特点是:他把数学研究之手伸入自然与社会的深层.他不仅是杰出的数学家,而且是理论联系实际的巨匠.他着眼实践,在社会与科学需要的推动下从事数学研究,反过来,又用数学理论促进各门自然科学的发展.还有一点值得一提的是,欧拉对数学符号的创立及推广的贡献.比如用 e 表示自然对数的底,用 i 表示,用 f(x) 作为函数的符号,π虽不是欧拉首先提出的,但是在欧拉倡导下推广普及的.同时,欧拉非常重视人才,奖掖后生.法国著名的数学家拉格朗日就是在欧拉的提拔之下,一举成名.瑞士的埃米尔·费尔曼是这样评价欧拉的:欧拉不仅是历史上最有成就的数学家,而且也是历来最博学的人之一……其声望而言,堪与伽利略,牛顿和爱因斯坦齐名.傅立叶级数最初应用在天文学中,这是由于太阳系的行星运动是周期性,欧拉于1729年解行星问题时就得出了这方面的一些结果,到1829年狄里赫莱第一次论证了傅立叶级数收敛的充分条件.一,问题的提出非正弦周期函数:矩形波不同频率正弦波逐个叠加二,三角级数及三角函数系的正交性正弦函数是一种常见的而简单的函数,例如描述简谐振动的函数y=Asin(t+)就是一个以为周期的正弦函数.其中y表示动点的位置,t表示时间,A为振幅,为角频率,为初相.在实际问题中,除了正弦函数外,还回遇到非正弦函数,它们反映了叫复杂的周期运动.例如电子技术中常用的周期为的矩形波.具体的说将周期为T的周期函数用一系列以T为周期的正弦函数组成的级数来表示,记为(1)其中都是常数.将周期函数按上述方式展开,它的物理意义是很明显的,这就是把一个比较复杂的周期运动看成许多不同运动 的叠加,为了 以后讨论方便起见,我们将正弦函数按三角公式变形得并令则(1)式右端的级数就可以写成(2)一般的,型如(2)的式的级数叫三角级数,其中都是常数.如同讨论幂级数是一样,我们必须讨论三角级数(2)的收敛问题,以及给定周期为2的周期函数如何把 它展开成三角级数(2)为此,我们首先介绍三角函数系的正交性.所谓三角函数系(3)在区间上正交,就是指在三角函数系(3)中任何不同的两个函数的乘积在区间上的积分等于零,即以上等式,都可以通过计算定积分来验证,现将第四式验证如下利用三角学中积化合差的公式当kn时,有其余不证.在三角函数系(3)中,两个相同函数的乘积在区间上的积分不等于零,即三,函数展开成傅立叶级数1.若以为周期的函数可展为三角函数,即, (4)我们假设上式可以逐项积分.先求,对上式从到逐项积分:根据三角函数(3)的正交性,等式右除第一项,其余都为零,所以于是得其次求用乘(4)式两端,再从到逐项积分,我们得到根据三角函数系(3)的正交性等式右端除k=n的一项处,其余各项均为零,所以于是得如果(5)式的积分都存在,这时它们的系数叫函数的傅立叶系数,将这些系数代入(4)式右,所得的三角级数叫做傅立叶级数.2.(Diriclilet收敛定理) 设是周期为的周期函数,如果它满足:⑴ 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点⑵ 在一个周期内至多只有有限个极值点,则的傅立叶级数收敛,且当是的连续点时,级数收敛于;当是的间断点时,级数收敛于Diriclilet收敛定理的证明:贝塞尔不等式设函数在区间上是连续的或至多有有限个第一类间断点.而是任意一个"n次"三角多项式,式中是常数.现在要来确定这些常数,使得平方平均偏差为最小.为此目的,我们先计算这个偏差的显表达式,因为容易得到其中是函数f(x)的傅立叶系数.而积分其中右端第二个积分中的被积函数是下面这些形式的函数的线性组合由于三角函数的正交性,它们在区间上的积分都为零,故得于是就有若在等式的右端同时加减如下的和则它又可以写成由此可见,当最后和式的各项为零时,即当时,为最小由于,于是推知这就是著名的贝塞尔不等式由于收敛级数的通项当n无限增大时趋近于零即以为周期的函数的Fourier级数的部分和将Euler-Fourier公式带入上式当时,由三角函数的积化和差公式,有而当时,若将右端理解位的极限,则等式依然成立.因此,上式对任意都是正确的.这样,就把部分和转化为积分形式,这个积分称为Dirichlet积分,是研究Fourier级数敛散性的重要工具.将积分区间分成和,稍加整理,就得到了Dirichlet积分的惯用形式.由前面的三角函数关系式,有,因此,对任意给定的函数,有,这样,若记则的Fourier级数是否收敛于某个就等价于极限是否存在且等于零.推论1(局部性原理) 可积且绝对可积函数f(x)的Fourier级数在x处是否收敛只与f(x)在区间上的性质有关,这里是一个任意小的正常数.证 由于对任意的,在可积且绝对可积,由Riemann引理,因此,若将的积分区间分成和两部分,则由积分和极限的性质,当时的敛散性显然只与有关,而这个积分只涉及f(x)在区间上的性质.推论2 设函数在区间可积,则成立由以上推论告诉我们,如果能找到适当的,使得对于充分小的定数,有,则f(x)Fourier级数必定收敛于这个在绝对可积,就可以由Riemann引理导出上面的结果.例1 已知,求⑴ 设的周期为,将展开为傅立叶级数;⑵ 证明解 ⑴从而有 ⑵ 令,有令,有注:利用周期函数的定积分性质,有3,正弦级数和余弦级数当为奇函数时,是奇函数,是偶函数,故(5)即知奇函数的傅立叶级数是含有正弦项的正弦级数(6)当为偶函数时,是偶函数是奇函数故(7)即知偶函数的 傅立叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数(8)例2 将函数分别展开成正弦级数和余弦级数.解 先求正弦级数.为此对函数进行奇延拓.按公式(5)有将求得的代入(6)得在端点及处级数的和显然为零,它不代表原来函数的值再求余弦级数.为此对进行偶延拓.按公式(7)有将所求得的代入余弦级数(8)得4.若的周期为,则有,其中 (只需作变量代换,由2可得)5.当为奇函数时,,其中当为偶函数时,,其中6.当定义在上时要先对进行奇偶延拓,再周期延拓可将展开成正弦级数或余弦级数.小结:函数展为傅立叶级数的问题本来是由分解周期函数为谐波引出的,对非周期函数,甚至只是定义在上的函数,当它在上满足狄氏条件时,它的傅立叶级数在上收敛,而且由于其各项都有周期,故在上都收敛,其和函数是上的以为周期的函数.在之外与一般是不同的.但是,如果把定义在上的函数按周期延拓到数轴所有点上去,得到一个以为周期的新的函数,并且仍用表示这个新的函数,那么在整个数轴上就应有展开式:,若是的连续点,上式左边即是.傅立叶级数,作为一种函数的解析表达式,消除了初等函数和用几个式子联合分段表达的函数之间的界限——他们都融合成为一类无穷多项表达式了.这里,第一次用一个正交函数系中的函数作为函数项级数的项去表达一个函数,把函数在一个完备的正交函数系中进行分解是近代数学中一项很有意义的发展.
傅里叶级数展开的实际意义：傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：1) 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2) 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3) 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;4) 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。参考链接：傅里叶级数展开的实际意义_百度文库
摘要 ： 信息时代的高新技术推动了传统产业的迅速发展，在机械工业自动化中出现了一些运动控制新技术：全闭环交流伺服驱动技术、直线电机驱动技术、可编程计算机控制器、运动控制卡等。本文主要分析和综述了这些新技术的基本原理、特点以及应用现状等。 关键词：伺服驱动技术，直线电机，可编程计算机控制器，运动控制 1 引言 信息时代的高新技术流向传统产业，引起后者的深刻变革。作为传统产业之一的机械工业，在这场新技术革命冲击下，产品结构和生产系统结构都发生了质的跃变，微电子技术、微计算机技术的高速发展使信息、智能与机械装置和动力设备相结合，促使机械工业开始了一场大规模的机电一体化技术革命。 随着计算机技术、电子电力技术和传感器技术的发展，各先进国家的机电一体化产品层出不穷。机床、汽车、仪表、家用电器、轻工机械、纺织机械、包装机械、印刷机械、冶金机械、化工机械以及工业机器人、智能机器人等许多门类产品每年都有新的进展。机电一体化技术已越来越受到各方面的关注，它在改善人民生活、提高工作效率、节约能源、降低材料消耗、增强企业竞争力等方面起着极大的作用。 在机电一体化技术迅速发展的同时，运动控制技术作为其关键组成部分，也得到前所未有的大发展，国内外各个厂家相继推出运动控制的新技术、新产品。本文主要介绍了全闭环交流伺服驱动技术（Full Closed AC Servo）、直线电机驱动技术（Linear Motor Driving）、可编程序计算机控制器（Programmable Computer Controller，PCC）和运动控制卡（Motion Controlling Board）等几项具有代表性的新技术。2 全闭环交流伺服驱动技术 在一些定位精度或动态响应要求比较高的机电一体化产品中，交流伺服系统的应用越来越广泛，其中数字式交流伺服系统更符合数字化控制模式的潮流，而且调试、使用十分简单，因而被受青睐。这种伺服系统的驱动器采用了先进的数字信号处理器（Digital Signal Processor, DSP），可以对电机轴后端部的光电编码器进行位置采样，在驱动器和电机之间构成位置和速度的闭环控制系统，并充分发挥DSP的高速运算能力，自动完成整个伺服系统的增益调节，甚至可以跟踪负载变化，实时调节系统增益；有的驱动器还具有快速傅立叶变换（FFT）的功能，测算出设备的机械共振点，并通过陷波滤波方式消除机械共振。 一般情况下，这种数字式交流伺服系统大多工作在半闭环的控制方式，即伺服电机上的编码器反馈既作速度环，也作位置环。这种控制方式对于传动链上的间隙及误差不能克服或补偿。为了获得更高的控制精度，应在最终的运动部分安装高精度的检测元件（如：光栅尺、光电编码器等），即实现全闭环控制。比较传统的全闭环控制方法是：伺服系统只接受速度指令，完成速度环的控制，位置环的控制由上位控制器来完成（大多数全闭环的机床数控系统就是这样）。这样大大增加了上位控制器的难度，也限制了伺服系统的推广。目前，国外已出现了一种更完善、可以实现更高精度的全闭环数字式伺服系统 ， 使得高精度自动化设备的实现更为容易。其控制原理如图1所示。该系统克服了上述半闭环控制系统的缺陷，伺服驱动器可以直接采样装在最后一级机械运动部件上的位置反馈元件(如光栅尺、磁栅尺、旋转编码器等)，作为位置环，而电机上的编码器反馈此时仅作为速度环。这样伺服系统就可以消除机械传动上存在的间隙（如齿轮间隙、丝杠间隙等），补偿机械传动件的制造误差（如丝杠螺距误差等），实现真正的全闭环位置控制功能，获得较高的定位精度。而且这种全闭环控制均由伺服驱动器来完成，无需增加上位控制器的负担，因而越来越多的行业在其自动化设备的改造和研制中，开始采用这种伺服系统。 3 直线电机驱动技术 直线电机在机床进给伺服系统中的应用，近几年来已在世界机床行业得到重视，并在西欧工业发达地区掀起"直线电机热"。 在机床进给系统中，采用直线电动机直接驱动与原旋转电机传动的最大区别是取消了从电机到工作台（拖板）之间的机械传动环节，把机床进给传动链的长度缩短为零，因而这种传动方式又被称为"零传动"。正是由于这种"零传动"方式，带来了原旋转电机驱动方式无法达到的性能指标和优点。 1. 高速响应 由于系统中直接取消了一些响应时间常数较大的机械传动件（如丝杠等），使整个闭环控制系统动态响应性能大大提高，反应异常灵敏快捷。 2. 精度 直线驱动系统取消了由于丝杠等机械机构产生的传动间隙和误差，减少了插补运动时因传动系统滞后带来的跟踪误差。通过直线位置检测反馈控制，即可大大提高机床的定位精度。 3. 动刚度高 由于"直接驱动"，避免了启动、变速和换向时因中间传动环节的弹性变形、摩擦磨损和反向间隙造成的运动滞后现象，同时也提高了其传动刚度。 4. 速度快、加减速过程短 由于直线电动机最早主要用于磁悬浮列车（时速可达500Km/h），所以用在机床进给驱动中，要满足其超高速切削的最大进个速度（要求达60～100M/min或更高）当然是没有问题的。也由于上述"零传动"的高速响应性，使其加减速过程大大缩短。以实现起动时瞬间达到高速，高速运行时又能瞬间准停。可获得较高的加速度，一般可达2～10g（g=9.8m/s2），而滚珠丝杠传动的最大加速度一般只有0.1～0.5g。5. 行程长度不受限制 在导轨上通过串联直线电机，就可以无限延长其行程长度。 6. 运动动安静、噪音低 由于取消了传动丝杠等部件的机械摩擦，且导轨又可采用滚动导轨或磁垫悬浮导轨（无机械接触），其运动时噪音将大大降低。 7. 效率高 由于无中间传动环节，消除了机械摩擦时的能量损耗，传动效率大大提高。 直线传动电机的发展也越来越快，在运动控制行业中倍受重视。在国外工业运动控制相对发达的国家已开始推广使用相应的产品，其中美国科尔摩根公司（Kollmorgen）的 PLATINNM DDL系列直线电机和SERVOSTAR CD系列数字伺服放大器构成一种典型的直线永磁伺服系统，它能提供很高的动态响应速度和加速度、极高的刚度、较高的定位精度和平滑的无差运动；德国西门子公司、日本三井精机公司、台湾上银科技公司等也开始在其产品中应用直线电机。4 可编程计算机控制器技术 自20世纪60年代末美国第一台可编程序控制器（Programming Logical Controller，PLC）问世以来，PLC控制技术已走过了30年的发展历程，尤其是随着近代计算机技术和微电子技术的发展，它已在软硬件技术方面远远走出了当初的"顺序控制"的雏形阶段。可编程计算机控制器（PCC）就是代表这一发展趋势的新一代可编程控制器。 与传统的PLC相比较，PCC最大的特点在于它类似于大型计算机的分时多任务操作系统和多样化的应用软件的设计。传统的PLC大多采用单任务的时钟扫描或监控程序来处理程序本身的逻辑运算指令和外部的I/O通道的状态采集与刷新。这样处理方式直接导致了PLC的"控制速度"依赖于应用程序的大小，这一结果无疑是同I/O通道中高实时性的控制要求相违背的。PCC的系统软件完美地解决了这一问题，它采用分时多任务机制构筑其应用软件的运行平台，这样应用程序的运行周期则与程序长短无关，而是由操作系统的循环周期决定。由此，它将应用程序的扫描周期同外部的控制周期区别开来，满足了实时控制的要求。当然，这种控制周期可以在CPU运算能力允许的前提下，按照用户的实际要求，任意修改。 基于这样的操作系统，PCC的应用程序由多任务模块构成，给工程项目应用软件的开发带来很大的便利。因为这样可以方便地按照控制项目中各部分不同的功能要求，如运动控制、数据采集、报警、PID调节运算、通信控制等，分别编制出控制程序模块（任务），这些模块既独立运行，数据间又保持一定的相互关联，这些模块经过分步骤的独立编制和调试之后，可一同下载至PCC的CPU中，在多任务操作系统的调度管理下并行运行，共同实现项目的控制要求。 PCC在工业控制中强大的功能优势，体现了可编程控制器与工业控制计算机及DCS（分布式工业控制系统）技术互相融合的发展潮流，虽然这还是一项较为年轻的技术，但在其越来越多的应用领域中，它正日益显示出不可低估的发展潜力。5 运动控制卡 运动控制卡是一种基于工业PC机 、 用于各种运动控制场合（包括位移、速度、加速度等）的上位控制单元。它的出现主要是因为：（1）为了满足新型数控系统的标准化、柔性、开放性等要求；（2）在各种工业设备（如包装机械、印刷机械等）、国防装备（如跟踪定位系统等）、智能医疗装置等设备的自动化控制系统研制和改造中，急需一个运动控制模块的硬件平台；（3）PC机在各种工业现场的广泛应用，也促使配备相应的控制卡以充分发挥PC机的强大功能。 运动控制卡通常采用专业运动控制芯片或高速DSP作为运动控制核心，大多用于控制步进电机或伺服电机。一般地 ， 运动控制卡与PC机构成主从式控制结构：PC机负责人机交互界面的管理和控制系统的实时监控等方面的工作 （ 例如键盘和鼠标的管理、系统状态的显示、运动轨迹规划、控制指令的发送、外部信号的监控等等）；控制卡完成运动控制的所有细节（包括脉冲和方向信号的输出、自动升降速的处理、原点和限位等信号的检测等等）。运动控制卡都配有开放的函数库供用户在DOS或Windows系统平台下自行开发、构造所需的控制系统。因而这种结构开放的运动控制卡能够广泛地应用于制造业中设备自动化的各个领域。 这种运动控制模式在国外自动化设备的控制系统中比较流行，运动控制卡也形成了一个独立的专门行业，具有代表性的产品有美国的PMAC、PARKER等运动控制卡。在国内相应的产品也已出现，如成都步进机电有限公司的DMC300系列卡已成功地应用于数控打孔机、汽车部件性能试验台等多种自动化设备上。6 结束语 计算机技术和微电子技术的快速发展，推动着工业运动控制技术不断进步，出现了诸如全闭环交流伺服驱动系统、直线电机驱动技术、可编程计算机控制器、运动控制卡等许多先进的实用技术，为开发和制造工业自动化设备提供了高效率的手段。这也必将促使我国的机电一体化技术水平不断提高。
随着社会的进步,工业的发展,我国机械制造业得到了巨大的发展。下文是我为大家整理的关于机械设计方面毕业论文例文参考的内容，欢迎大家阅读参考!
浅析大型机械驾驶室减振设计
摘要：本文概述了工程机械减振技术的发展概况，并以大型机械的驾驶室减振设计为背景，探讨了发动机悬置设计的基本原则，并对发动机减振的布置的力学特性进行分析，最后提出了以驾驶室模态试验为基础来检验现有类型的驾驶室的结构弱点检验和构件加强的方法。
关键词：机械 驾驶室 减振设计
1、概述
工程机械在水利工程、道路施工、矿山等场合得到大量的使用，其性能的可靠性直接影响到工程建设的正常开展。这类机械的设计时通常采用静态设计，设计理念上更多的是考虑机械的强度、耐久性等和机械的工作性质直接相关因素。但从实际使用情况来看，国产的大型工程机械普遍存在着施工过程中振动过大的问题，这将间接影响设备的抗疲劳特性和操作人员的舒适性和操作的稳定性。
由于工程机械的工作环境恶劣，车体结构的振动问题更加明显，直接影响到驾驶员的舒适性和驾驶的安全性。因此对于大型工程机械而言，控制车体振动尤其是驾驶室的振动，寻求有效的减震设计方法，对于提高驾驶员的舒适度和车体驾驶室构件的疲劳寿命都是有重要意义的。大型工程机械的振动控制问题是个非常复杂的问题，本文将这一问题缩小到驾驶室的减振设计上，主要通过发动机悬置位置的优化设计，以及基于模态分析和被动隔振理论来降低驾驶室的振动效应。
早期的汽车发动机减振方法是利用硫化橡胶，但硫化橡胶在耐油和耐高温方面表现不够理想。20世纪40年代设计出了液压悬置装置来降低发动机的振幅，并取得了较好的使用效果。但液压悬置减振装置在高频激励下会出现动态硬化的问题，已经逐渐不适应汽车发动机减振的要求。
上述几类减振方式都属于被动减振技术，在此基础上，随着发动机减振技术的进步，半主动减振技术开始应用到发动机减振中，这类减振技术的代表作是半主动控制式液压悬置装置，这类减振技术的应用最为广泛。尽管后来又出现了由被动减振器、激振器等所构成的主动减振技术，这一技术能够较好的实现降噪性能，但结构非常复杂，在恶劣工作环境下的工程车辆较少使用。
在工程车辆驾驶室的舒适度设计方面，主要所依据的是动态舒适性理论，用以评价驾驶人员在驾驶室振动的条件下对主观舒适程度。从驾驶员所承受的振动来源来看，主要是受发动机的周期性振动和来自于路面的随机激励。其传递机理较为复杂，跟发动机、驾驶室、座椅等的减振都有关系。因此为便于分析，本文中只针对驾驶室的减振问题展开研究。
2、大型工程机械驾驶室的减振设计
如前文所述，驾驶室的振源激励主要来自于路面和发动机及其传动机构。来自于路面的振源激励具有很大的随机性，要进行理论分析非常困难。加之在需要使用大型工程机械的场合机械的运动速度一般都较慢，随之产生的路面激振频率较低。因此相比之下，大型机械的发动机在运行时一直都处在高速运转状态，由此产生的激振频率很高，也更容易导致构件的疲劳损坏，实践证明发动机及其附件的疲劳损坏主要是由发动机周期激振力产生的交变应力引起的。从物理背景来看，工程机械的驾驶室所受到的振动激励主要来从车架传递到台架，驾驶室的振动行为属于被动响应。为了便于分析，将驾驶室的隔振系统进行简化，以单自由度弹簧阻尼系统来对驾驶室受到振动激励过程进行分析。
2.1发动机的悬置设计
发动机在工作过程中的振动原因主要是不平衡力和力矩，这类振动不仅会引起车架的的振动，也会形成较强烈的噪声，不仅会影响到构件的使用寿命也会影响驾驶员的舒适度。要缓解发动机振动所造成的负面影响，采用悬置的设计方式是比较有效的途径，其实现方式是在动力总成和车架之间加入弹性支承元件。悬置设计方式的理论基础是发动机解耦理论，通过解除发动机六个自由度解耦，改变发动机的支撑位置，从而实现发动机自由度间振动耦合的解除。
此外，需要配合使用解除耦合后的各自由度方向的刚度与相应的阻尼系数，但应注意在解耦之后振动最强的自由度方向的共振控制，可应用主动隔振理论来确定减震器的刚度和阻尼系数。采用合适的刚度和阻尼系数的目的在于控制发动机悬置系统的减振区域。
具体到悬置设计的细节方面，主要是确定发动机支撑的数目和相应的布置位置。在考虑发动机动力总成悬置系统的支撑数目时，考虑的因素包括承重量和激振力两大类。在设计时通常都会依据车辆类型的不同选择三点或者四点支撑方式。对于大型机械而言，在实践中一般都会采用四点支撑的方式，本文中作为算例的发动机属于某型重型挖掘机的发动机。因此采用经典的四点支撑。其支撑位置选择在飞轮端和风扇端，上述两个位置分别设置两个对称的支撑点，采用支撑对称的目的在于后期解耦方便。从布置的方式上看，主要有平置、汇聚和斜置三种典型布置方式，具体采用哪种方式取决于发动机周围附属配件的布局方式以及车架所能提供的空间有关。本文中不重点讨论减振支撑的布置方式，因此仍然采用平置式的减振布置方式。
2.2悬置系统的动力学分析
为减少研究成本，在支撑的材料上选用橡胶减振器。由前节所述，由于采用的是四个平置式的橡胶减震器，因此可以在进行力学分析时将其简化为三个互相垂直的弹簧阻尼系统，从而可以构建一个发动机主动隔振的力学模型。
2.3驾驶室模态试验
在上述基本力学分析的基础上，进一步采用驾驶室模态试验的方法来检验整个驾驶室的减振效果，其目的在于掌握驾驶室的动态特性和找出驾驶室结构上的薄弱部位，同时以试验为基础还可以调整驾驶室减震器的系数匹配，减小驾驶室的整体振动响应。在试验时以快速傅里叶变换为以及，测量激振力和振动响应之间的关系，从而得到二者之间的传递函数，而模态分析的目的是通过实现来实现传递函数的曲线拟合和确定结构的模态参数。本试验中采用LMS模态测试分析软件，驾驶室所受的激振用力锤激振器来模拟。
在试验时用力锤敲击驾驶室从而制造出1-200HZ脉冲信号。通过记录下在不同激振频率下驾驶室结构的反应来确定驾驶室各个构件的强度，以及应该避免的激振频率。在得到这些基础数据后可为后续的驾驶室减振设计的选择悬置系统的减振区域的临界值，使得驾驶室所有构件的固有频率都能够位于减振器的减振区域内，从而起到抑制驾驶室结构的振动响应。
参考文献
[1]司爱国.轮式装载机行驶稳定系统开发与研究[D].北京：北京科技大学硕士学位论文.
[2]王敏.轻卡动力总成悬置系统的隔振性能[D].合肥：合肥工业大学硕士学位论文.
浅谈机械的可靠性设计
【摘要】本文主要叙述机械可靠性设计的一些基本内容，在此基础上进一步的分析了机械可靠性的优化设计，以及重点的分析了机械可靠性设计的稳健设计，希望能够对我国的机械可靠性设计发展有所帮助。
【关键词】机械可靠性设计;发展沿革;优化设计;稳健设计
引言：20世纪40年代的时候出现了可靠性设计思想，这种思想主要是将安全度作为主题所研究的可靠性理论，这项技术出现后在理论学术界以及实际工程界都有了很大的关注度，相关的理论以及方式也是不断的出现。比如：M onte C arlo 模拟法 、矩方法和以矩方法为基础的可靠性理论、响应面法、支持向量机法 、最大熵方法、随机有限元法和非概率分析方法等这些理论设计到了静强设计、疲劳强度设计、有限寿命设计的各个方面，对于结构系统、机构系统、震动系统等有这可靠性的研究。
1.机械可靠性设计的概述
在产品质量中可靠性是其最为主要的指标以及最重要的技术指标，工程界对于这一点也是越来越重视。在产品的设计、研制、装配、调试等各个环节中可靠性都有着一定的关联性，所以说在概率统计理论的基础上要加大其的推广认识，这样对于原本传统的相关问题能够很好的解决点，同时将产品质量提升上去而且使得产品成本有所降低。经过多年的发展，可靠性技术的不断发展，使得机械可靠性以及设计方式出现了很好的种类，但是就具体的实质来说，大致的分为数学模型法以及物流原因方式两种。
数学模型法就是通过某种实验数据所得概率统计为基础，逐渐的划分为两点，第一点为时间范畴中所涉及的量是可靠性质的，也是就是说因为依据某种规律在时间变动下，疲劳寿命以及耗损失都是在一定的范围之内的;第二种为，将某种偶然因素所发生结果所表现的可靠性，主要是因为不定期所出现的偶然因素所波动的，都是通过概率可靠性对于随机事件计算的，也会发展为两个方面：第一种是对模型法或者相关扩展方式，这样的方式主要是对于产品实效原因产生与产品上应力大于产品本身的强度，所以说应力概率是低于可靠度强度的，第二种为随即过程中或者是随机场不超出规定水准的概率。
2.可靠性优化设计
2.1可靠性优化设计的基本理论
无论是什么样的机械产品，在最开始的方案构建到后期的生产制造实施，都是需要经过一个设计过程的，但是现在计算不断发展，新的知识、新的材料、新的手工艺、新的会计不断的出现，使得机械产品日益在完善，这就是所谓的知识成就了技术、技术成就了产品时间。使得研究的时间越来越短，但是结构确实越来越复杂，这样的情况下顾客对于产品功能、性能、质量、或者是相关服务都有着很大的要求。
这样的趋势下，对于设计整个过程要加大进度，设计周期要缩短。同时需要注意的是，对于设计是不是能够完善来说，产品的力学性能或者是使用价值、制造成本都是有着一定行的影响的，但是对于产品企业的工作质量或者是仅仅效果也是有着相对影响的，所以说，如何将设计质量提升上去，设计理论怎么发展下去，设计技术怎么做到更好，设计过程怎么才能加快嫉妒，都是现在机械设计中所研究的重要问题。
60年代的时候是机械优化设计发展最为迅速的时候，将数学规划以及计算机技术这两种结合在一起。所谓的数学规划理念在现在已经是不断的成熟起来，计算机技术也是高速的发展和广泛的使用中，在工程设计中为最普遍使用优化设计提供相关理论以及方式。
国家能源以及相关资源的是否被合理使用都受到了产品最佳、最可靠性的问题影响，通过使用最佳或者是最可靠性设计能够得到小体积、轻质量、节能材料的产品，同时这样产品有着一定的可靠性，机械产品所进行优化设计的主要目标就是根据一定的预期点或者是安全需要，通过一种最优化的形式将产品展示处理，在进行设计的同时需要将各种载荷随机性考虑到位，同时不能忽略的是结构参数的随机性，这两点对于产品都有着一定性能的影响。
所谓的可靠性优化设计是指质量、成本、可靠度这三方面的，将产品的总体可靠度进行一定的性能约束优化，将所出现的问题合理安全性的相结合，这样也是在结构布局或者是产品质量有保证情况，使得产品有了最大化的可靠度。
2.2近年来可靠性优化设计发展
最近的30年内，机械设计领域中，因为科技的融入使得现代化设计方式以及相关的科学方式不断的出现，在可靠性设计或者是优化设计方面一定有着很高的水准，但是就单方面来说，无论是可靠性设计或者是优化设计，都不能很好的将其所具备的巨大潜力展示出来。一点是因为可靠性设计和优化设计是不相同的，在机械产品经过可靠性设计之后，不能将其工作性能或者是参数达到最为优秀的一点，还有一点是因为优化设计所包含的不是可靠性设计，机械产品要是在不可靠性情况下所进行的优化设计，不能保证产品在一定的条件下或者是时间内，能够将所规定的功能很好的完成，有的时候也许会出现一定的事故，这样直接都有着经济损失。
除此之外，因为机械产品有着很多的设计参数，要是对于多个设计参数进行确定的时候，单纯的可靠性设计就不是这样有地位了，所以在进行可靠性优化设计研究的前提下，要将机械产品可靠性要求先保证，同时保证所运行的环境是最佳的工作性能以及参数，将可靠性或者是优化性设计很好的结合在一起，然后在发展研究设计，才能得出最为优秀的设计方式。
2.2关于可靠性的稳健设计
产品质量是企业赢得用户的关键因素 。任何一种产品，它的总体质量一般可分为用户质量if't-部质量)和技术质量(内部质量)。前者是指用户所能感受到、见到、触到或听到的体现产品优劣的一些质量特性 ;后者是指产品在优良的设计和制造质量下达到理想功能 的稳健性。稳健设计作为一种低成本和高质量的设计思想和方法，对产 品性能、质量和成本综合考虑，选择出最佳设计，不仅可以提高产品的质量，而且可以降低成本。在机械产 品设计中，正确地应用稳健设计的理论与方法可以使产品在制造和使用中，或是在规定的寿命期 问内当设计因素发生微小变化时都能保证产品质量的稳定 。
结束语：总而言之，对于机械的可靠性设计而言，设计人员应该根据实际，做出最优的设计，只有这样的设计才能将可靠性或者是优化设计巨大潜力发挥出来，将两点所具有的优势已近特长全部发挥出来，才能达到产品最佳以及最可靠点，这样的设计有着最为先进和最实用的设计特点，才能最好的达到预定的目标，和保证在设计中的机械产品的质量以及经济效益。
【参考文献】
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太天真了？？这样就可以要到论文了？
1）用 M-判别法可判；2）先求导，再求和，……。
4．1．3复变函数项级数定义4．3设{fn（z）}（n＝1， 2， …）为一复变函数列，其中各项均在复数域D上有定义，称表达式∑∞〖〗n＝1fn（z）＝f1（z）＋f2（z）＋…＋fn（z）＋…（4．2）为复变函数项级数．该级数的前n项和Sn（z）＝f1（z）＋f2（z）＋…＋fn（z）为级数的部分和．若z0为D上的固定点，limn→∞Sn（z）＝S（z0），则称复变函数项级数（4.2）在z0点收敛，z0称为级数∑∞〖〗n＝1fn（z）的一个收敛点，收敛点的集合称为级数∑∞〖〗n＝1fn（z）的收敛域．若级数∑∞〖〗n＝1fn（z）在z0点发散，则称z0为级数∑∞〖〗n＝1fn（z）的发散点，发散点的集合称为级数∑∞〖〗n＝1fn（z）的发散域．若对D内的任意点z，都有limn→∞Sn（z）＝S（z），则称级数∑∞〖〗n＝1fn（z）在D内处处收敛．并称S（z）为级数的和函数．下面我们重点讨论一类特别的解析函数项级数——幂级数，它是复变函数项级数中最简单的情形．4．2幂级数〖〗在复变函数项级数的定义中，若取fn（z）＝an（z－z0）n或fn（z）＝anzn（n＝1， 2， …），就得到函数项级数的特殊情形∑∞〖〗n＝0an（z－z0）n＝a0＋a1（z－z0）＋a2（z－z0）2＋…＋an（z－z0）n＋… （4．3）或∑∞〖〗n＝0anzn＝a0＋a1z＋a2z2＋…＋anzn＋…（4．4）形如（4.3）或（4.4）的级数称为幂级数，其中，a0， a1， …， an， …和z0均为复常数．在级数（4．3）中，令z－z0＝ξ，则化为式（4．4）的形式，称级数（4．4）为幂级数的标准形式，式（4．3）称为幂级数的一般形式．为方便，今后我们以幂级数的标准形式（4．4）为主来讨论，相关结论可平行推广到幂级数的一般形式（4．3）．4．2．1幂级数的收敛性关于幂级数收敛问题，我们先介绍下面的定理．定理4．5（Abel定理）若幂级数∑∞〖〗n＝0anzn在z＝z0（≠0）处收敛，则此级数在｜z｜＜｜z0｜内绝对收敛（即∑∞〖〗n＝0｜anzn｜收敛）；若在z＝z0处发散，则在｜z｜＞｜z0｜内级数发散．证若∑∞〖〗n＝0anzn在z＝z0（≠0）处收敛，即级数∑∞〖〗n ＝ 0anzn0收敛，所以limn→∞anzn0＝0因而，存在常数M＞0使得对所有的n，有｜anzn0｜＜M当｜z｜＜｜z0｜时，｜anzn｜＝｜anz0｜z〖〗z0n＜Mz〖〗z0n，而级数∑∞〖〗n＝0z〖〗z0n收敛，所以，∑∞〖〗n＝0anzn绝对收敛．若∑∞〖〗n＝0anzn在z＝z0（≠0）发散，假设存在一点z1，使得当｜z1｜＞｜z0｜时，∑∞〖〗n ＝ 0anzn1收敛．则由上面讨论可知，∑∞〖〗n ＝ 0anzn0收敛，与已知∑∞〖〗n ＝ 0anzn0发散矛盾！因此，∑∞〖〗n＝0anzn在｜z｜＞｜z0｜发散．由Abel定理，我们可以确定幂级数的收敛范围，对于一个幂级数来说，它的收敛情况有以下三种情形：（1） 对所有正实数z＝x， ∑∞〖〗n＝0anxn都收敛，由Abel定理，∑∞〖〗n＝0anzn在复平面上处处绝对收敛；（2） 对所有的正实数x，∑∞〖〗n＝0anxn（x≠0）发散，由Abel定理，∑∞〖〗n＝0anzn在复平面内除原点z＝0外处处发散；（3） 既存在使级数收敛的正实数x1＞0，也存在使级数发散的正实数x2＞0，即z＝x1时级数∑∞〖〗n ＝ 0anxn1收敛，z＝x2时级数∑∞〖〗n ＝ 0anxn2发散．由Abel定理，∑∞〖〗n＝0anzn在｜z｜≤x1内，级数绝对收敛，在｜z｜≥x2内级数发散．在情形（3）中，可以证明，一定存在一个有限的正数R，使得幂级数∑∞〖〗n＝0anzn在圆｜z｜＜R内绝对收敛，在｜z｜＞R时发散，则称R为幂级数的收敛半径，称｜z｜＜R为幂级数的收敛圆．约定在第一种情形，R＝∞；第二种情形，R＝0．而对于幂级数∑∞〖〗n＝0an（z－z0）n，收敛圆是以z0为圆心，R为半径的圆：｜z－z0｜＜R．至于在收敛圆的圆周｜z｜＝R（或｜z－z0｜＝R）上，∑∞〖〗n＝0anzn或∑∞〖〗n＝0an（z－z0）n的收敛性较难判断，可视具体情况而定．关于幂级数收敛半径的求法，同实函数的幂级数类似，可以用比值法和根植法．定理4．6（ 幂级数收敛半径的求法）设幂级数∑∞〖〗n＝0anzn，若下列条件之一成立：（1） （比值法）limn→∞an＋1〖〗an＝L；（2） （根值法）limn→∞n〖〗｜an｜＝L.则幂级数∑∞〖〗n=0anzn的收敛半径R＝1〖〗L．证明从略.当L＝0时，R＝∞；当L＝∞时，R＝0．例4．4求下列幂级数的收敛半径：（1） ∑∞〖〗n＝1zn〖〗n3（讨论圆周上情形）；（2） ∑∞〖〗n＝1（z－1）n〖〗n（讨论z＝0， 2的情形）；（3） ∑∞〖〗n＝0（cosin）zn．解（1）因为limn→∞an＋1〖〗an＝limn→∞1〖〗（n＋1）3〖〗1〖〗n3＝limn→∞n〖〗n＋13＝1或者limn→∞n 〖〗｜an｜＝limn→∞n〖〗1〖〗n3＝limn→∞1〖〗n〖〗n3＝1所以，收敛半径R＝1，从而级数的收敛圆为｜z｜＜1．由于在圆周｜z｜＝1，级数∑∞〖〗n＝1zn〖〗n3＝∑∞〖〗n＝11〖〗n3收敛（p级数，p＝3＞1），所以，级数在圆周｜z｜＝1上也收敛．因此，所给级数的收敛范围为｜z｜≤1．（2） 由于limn→∞an＋1〖〗an＝limn→∞1〖〗（n＋1）〖〗1〖〗n＝limn→∞n〖〗n＋1＝1，故收敛半径R＝1，从而它的收敛圆为｜z－1｜＜1．在圆周｜z－1｜＝1上，当z＝0时，原级数成为∑∞〖〗n＝1（－1）n1〖〗n（交错级数），所以收敛；当z＝2时，原级数为∑∞〖〗n＝11〖〗n，发散．表明在收敛圆周上，既有收敛点又有发散点．（3） 由于an＝cosin＝1〖〗2（en－e－n），所以limn→∞an＋1〖〗an＝limn→∞en＋1－e－（n＋1）〖〗en－e－n＝limn→∞en（e－e－2n－1）〖〗en（1－e－2n）＝e故收敛半径为R＝1〖〗e．例4．5求幂级数∑∞〖〗n＝1（－1）n1＋sin1〖〗n－n2zn的收敛半径．解因为limn→∞n〖〗（－1）n1＋sin1〖〗n－n2＝limn→∞1＋sin1〖〗n－n＝limn→∞1＋sin1〖〗n1〖〗sin1〖〗n－sin1〖〗n〖〗1〖〗n＝e－1故所求收敛半径为R＝e．例4．6求幂级数∑∞〖〗n＝1（－i）n－1（2n－1）〖〗2nz2n－1的收敛半径．解记fn（z）＝（－i）n－1（2n－1）〖〗2nz2n－1，则limn→∞fn＋1（z）〖〗 fn（z）＝limn→∞（2n＋1）2n｜z｜2n＋1〖〗（2n－1）2n＋1｜z｜2n－1＝1〖〗2｜z｜2当1〖〗2｜z｜2＜1时，即｜z｜＜2时，幂级数绝对收敛；当1〖〗2｜z｜2＞1时，即｜z｜＞2时，幂级数发散．所以，该幂级数的收敛半径为R＝2．4．2．2幂级数的运算和性质和实函数的幂级数类似，复变函数的幂级数也可以进行加、减、乘等运算．设幂级数∑∞〖〗n＝0anzn＝S1（z）， ∑∞〖〗n＝0bnzn＝S2（z），收敛半径分别为R1、 R2，则∑∞〖〗n＝1anzn±∑∞〖〗n＝1bnzn＝∑∞〖〗n＝0（an±bn）zn＝S1（z）±S2（z），｜z｜＜R（4．5）∑∞〖〗n＝1anzn∑∞〖〗n＝1bnzn＝∑∞〖〗 n＝0（anb0＋an－1b1＋…＋a0bn）zn＝S1（z）S2（z）， ｜z｜＜R（4．6）其中，R＝min（R1，R2）．复变函数的幂级数还可以进行复合运算．设h（z）在D内解析，且｜h（z）｜＜R， z∈D，则f（h（z））在D内解析，且f（h（z））＝∑∞〖〗n＝0anhn（z）， z∈D．在f（z）的幂级数展开中，可以用z的一个函数h（z）去代换展开式中的z，这在后面解析函数的级数展开中经常用到．幂级数∑∞〖〗n＝oanzn在其收敛圆｜z｜＜R内，还具有如下性质：（1） 它的和函数S（z）＝∑∞〖〗n＝0anzn在｜z｜＜R内解析；（2） 在收敛圆内幂级数可逐项求导，即S′（z）＝∑∞〖〗n＝1nanzn－1， ｜z｜＜R；（4．7）（3）在收敛圆内幂级数可逐项积分，即∫CS（z）dz＝∑∞〖〗n＝0∫Canzndz＝∑∞〖〗n＝0an〖〗n＋1zn＋1，（4．8）｜z｜＜R，C 为｜z｜＜R内的简单曲线．
线性卷积的性质：符合结合律、交换律、分配律。
卷积公式如下：
卷积积分公式是（f *g）∧（x）=(x)·(x)，卷积是分析数学中一种重要的运算。设f（x）， g（x）是R1上的两个可积函数，作积分，可以证明，关于几乎所有的x∈（－∞，∞） ，上述积分是存在的。
这样，随着x的不同取值 ，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为f与g的卷积，记为h（x）=（f *g）（x）。容易验证，（f *g）（x）=（g *f）（x），并且（f *g）（x）仍为可积函数。
简介：
卷积与傅里叶变换有着密切的关系，以(x) ，(x)表示L1（R）1中f和g的傅里叶变换，那么有如下的关系成立：（f *g）∧（x）=(x)·(x)，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换。这个关系，使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。
由卷积得到的函数（f *g）（x），一般要比f，g都光滑。特别当g为具有紧支集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积（f *g）（x）也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数 ， 都可以简单地构造出一列逼近于f 的光滑函数列fs（x），这种方法称为函数的光滑化或正则化。
这是完全两个东西：卷积是一种运算方式，针对线性时不变系统。最基础的应用就是：在时域中，一个输入，卷积上单位冲激响应，就可以得到输出。傅立叶变换的主要作用就是让函数在时域和频域可以相互转化。最显而易见的应用就是：当输入函数和单位冲激响应函数都被转化为频域函数后，两个频域函数直接做乘法（相对于上面说的时域函数的卷积），就可以得到输出的频域函数。最后再反变换回时域，就可以得到输出的时域函数。