概念的教学举足轻重，可以说理解概念是一切数学活动的基础. 李邦河院士曾说：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧. 技巧不足道也！”然而，当前数学教师以解题教学代替概念教学的现象十分普遍，大量解题带来了学习的高效性，而其隐蔽的缺失常常被人们所忽略. 基于这样的考虑，杜宾斯基等人建立了APOS理论——一个可以促进我们有效教学的数学教学理论. 从20世纪90年代起，APOS理论就被介绍到我国的数学教育界，它是为数不多的依据数学学科特点而建立的教学理论.
一、“APOS理论”概述
APOS理论的出发点：任何一个数学教育理论应该致力于“学生是如何学习的”以及“什么样的教学计划可以帮助这种学习的理解”，而不仅仅是陈述一些事实. APOS理论是美国数学家、教育家杜宾斯基于1991年提出的，其由英文Action（操作）、Process（过程）、Object（对象）、Scheme（图式）的第一个字母组合而成，该理论认为数学概念的学习需要经历四个阶段（以函数概念为例）.
第一阶段——操作或活动（action）阶段，所谓操作是指个体对于感知到的对象进行转换，这个对象实质上是一种外部刺激. 目的是为“过程阶段”提供感性素材和反省对象. “操作”能重现知识的发生发展过程，加深学生对知识的理解，培养学生的数学探究能力和抽象概括能力.
第二阶段——过程（process）阶段，当“操作”经过多次重复而被个体熟悉后，物理操作就可以内化为一种叫做“过程”的心理操作，此时对概念的学习就可以不再依赖具体的数学活动，而是在头脑中实施这个过程. “过程阶段”是学生对感性认识的处理、组织、顿悟，是思维飞跃的关键，通常也是概念学习的难点与关键.
第三阶段——对象（object）阶段，当个体能把这个“过程”作为一个整体进行操作和转换的时候，这个过程就变成了他的一种心理“对象”. 这时，个体可以操控对象去实施各种相关的数学运算；需要的时候，也可以具体再现对象所包含的过程步骤. “对象”在某一个层次和更高一级层次之间起着一种枢纽作用：既是概括的结果，又是新的概括的起点.
第四阶段——图式（scheme）阶段，个体对活动、过程、对象以及他原有的相关方面的图式进行相应的整合产生出新的图式结构，从而可运用于问题解决情境. 一个数学概念的“图式”是由相应的活动、过程、对象以及相关的图式所组成的认知框架，其作用和特点就是决定某些刺激是否属于这个图式，从而就会做出不同的反应.
APOS 理论将数学概念的建立分为活动—过程—对象—概念（图式）四个阶段（见图1）， 数学概念的教学最终目标是让学生达到“图示”阶段，从数学学习的心理角度分析，四个阶段的划分是合理的，反应了学生学习数学概念过程中真实的思维活动，其中“活动”阶段是理解概念的一个必要条件，给出素材时必须符合学生的最近发展区，保证材料的适度性和有效性. 如学习二面角时可以让学生观察门的开合与墙面位置的变化；“程序阶段”是学生对“活动”进行思考，经历思维的内化、压缩过程，学生在头脑中对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质；并且，有时候“过程”与“图示”的划分并不是那么明显；“对象阶段”是通过前面的抽象认识到了概念本质，对其赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个具体的对象，在以后的学习中为对象进行新的活动；最后进入“图式阶段”，要求能够区分、评价此概念与彼概念， 这时概念以一种完整的心理图式储存于大脑当中，其中包括具体的实例、抽象的过程、完整的定义及与其他概念的区分与联系等等.
下面笔者结合一次市级公开课比赛某位选手的设计片段来说明如何在教学中运用APOS理论. 所选内容是人教版《数学》选修2-2中的“数学归纳法”第一课时.
二、“APOS理论”实践
1. 活动阶段——创设情境，思考问题
课堂开始，从古老课本封面的一处破损说起：
12+22+32+…+n2=■Δ（n+1）（2n+1），
让学生猜测Δ可能是什么，由此引出一系列的探究.
探究1：人工探索.
由学生来算n=1，2，3，4，5，6，7，8的这8个函数值并验算是否满足上述猜想.
探究2：智能探索.
结合程序语言，给出如下框图.
探究3：可行性.
由学生来讨论智能探索是否可行.
设计意图：由学生熟悉的三个连续探究引入本节课，符合学生的认知规律，看似没有给出数学归纳法，实质上已经让学生从潜意识中接触到了数学归纳法的适用范围，这种探究式的教学可以让学生亲临数学归纳法的形成过程，切实感受数学归纳法的必要性与必须性，加深对概念的理解. 并且由一次次的探究收获中慢慢接触数学归纳法的关键，在首次接触中显得尤为重要.
2. 过程阶段——层层递进，诱发思维
在上述探究的基础上，学生明白上述办法都不可行，因此接下来在上述“活动阶段”的基础上继续思考和提炼，这个提炼的过程也许对于学生来说会很抽象，很痛苦，但是却是必不可少的，这个过程需要老师的正确点拨和引导，经历了这个过程，学生就会对数学归纳法的基础及依据得到深刻的理解.
问题1：你会证明12+22+32+…+n2=■n（n+1）·（2n+1），n∈{1，2，…8}吗？
问题2：证明等式12+22+32+…+n2=■n（n+1）·（2n+1）的最大障碍是什么？
由此疑问：直面无限，我们真的束手无策？接下来通过类比数列中的等差、等比数列完成探究4.
探究4：
由上述表格得到探究收获5：类比数列中处理无限的方法，可以得到一种全新的、巧妙的证明方法.
例：尝试证明：12+22+32+…+n2=■n（n+1）（2n+1）. 设计意图： 通过上述几
个问题及探究，已经明确给出了数学归纳法的过程，教师以等差、等比数列对应为学生的“最近发展区”，抽象得出证明一个命题成立的过程. 这正是一种类比推理的思想和建构的过程. 通过对一个具体问题的深入研究，得到了一种新的数学概念，也得到了数学归纳法的本质.
3. 对象阶段——明确概念，活学活用
在上述基础上，进一步思考.
问题3：新的证明方法适合于哪种题型？
问题4：能总结出新的证明方法的解题步骤吗？
由此给出了本节课的课题：数学归纳法，以及很自然地给出了数学归纳法的步骤.
问题5：能用数学归纳法来解析多米诺骨牌游戏吗？
追问：能证明等式1×2+2×3+3×4+…+
n（n+1）=■n（n+1）（n+2）吗？
设计意图：在上面“活动阶段”和“过程阶段”的基础上，通过抽象的概况，给出了数学归纳法的适用范围及明确的步骤，并且及时对关键性步骤、易错知识点进行点拨，使学生成功地完成了质的飞跃.
4. 图示阶段——错误辨析，思维升华
（1） 与数学归纳法有关的美丽误会. 给出著名的费马质数：已知代数式2p-1，当p是质数时，2p-1是质数. 直到费马去世后67年，著名的数学家欧拉才证明了这个命题的错误性.
（2） 有人声称证明了“所有的奇数都是2 的倍数”.
最后进行了课堂小结，提出3个单词——why， where， what结束了此次公开课.
设计意图：在学生已经掌握数学归纳法本质及步骤的情况下，给出反例辨析. 第一个反例缺递推，第二个反例缺基础，由此进一步让学生理解两个步骤缺一不可. 最后的三个单词进一步帮助学生进行反思：为什么要用数学归纳法？什么时候用数学归纳法？怎么用数学归纳法？整堂课如行云流水一般地把APOS理论运用进去，通过对一个具体题目的层层研究，得到了本节课的主题.
三、APOS建构理论的教学反思
对于数学概念教学，最怕只停留在概念教学的表面，必须层层深入挖掘概念的内涵和外延，最终将其上升到抽象层面，达到图式架构的阶段. 在概念教学运用APOS 理论时，实质上是新课标中“以学生为主体”的理念在课堂探究中的体现，有助于学生从本质上理解概念. 笔者有以下几点心得体会.
1. 选用合适的情境
概念的形成，需要通过合理的现实情境去挖掘、发现和总结，需要活动让学生亲身感知问题，也需要学生积极展开思考，从现实情境中去发现数学. 但是，概念教学也不能仅仅停留于活动（操作）层面，最终达到图式架构才是学习的最终目标.
2. 让学生经历数学概念的形成过程
APOS理论强调学生的学习是一个主动建构的过程， 每个学生都是一个主体，都有自己的思维意识，如果没有学生的主动参与、自行建构， 即使教师讲得天花乱坠， 也只能是“对牛弹琴”，学生只记住概念本身，并没有领会概念的实质，起不到良好的作用.
3. APOS的应用范围
APOS 理论不仅用于概念建构、认知、反思再螺旋式上升，也可以用于更多的数学教学. 对应一个新的理论，我们要努力学习的同时，也要用创新、灵活的思想来看待他，使之更好地为我们优化教学设计，把握教学过程服务，更好地为学生认识数学思想服务.
