分类讨论是指当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要对研究对象按某个标准进行分类，然后逐类讨论，最后综合各类结果得到整个问题的答案。像这种先分类，再讨论，把问题“分而治之，各个击破”的解决问题的思想就是分类讨论思想。它实际上也是一种化难为易、化繁为简的解题策略和方法。 分类讨论思想作为一种基本的数学思想，在学生基础知识的获得、基本技能的形成、数学素养的提高、思维能力的发展、创新意识和实践能力的培养等方面有着非常重要的作用。在近年来的全国各地中考数学卷中，以分类讨论思想为考查目标的试题所占比重很高，但是这类试题的得分率较低。对这类试题，考生稍不留神就会因“考虑不周”而漏解。原因主要是教师在教学中（尤其是在初三总复习阶段）存在着如下问题：关注知识的生成多，对思想方法的渗透少；侧重就题论题多，思想方法提炼少；注重知识系统多，思想方法的归纳少。那么，如何来解决这一问题呢？以下，笔者结合教学实践谈谈如何在初三复习教学中培养学生的分类讨论思想这一问题。 一、根据学生解题的认知局限，培养学生分类讨论的意识 皮亚杰认为：学习是建构内部心理表征的过程，学习者并不是把知识从外部“搬”到记忆中，而是以已有的经验为基础，通过与外部环境的相互作用来建构新的图式。进入初三复习阶段，学生已接触过分类讨论的问题，但在具体解题过程中仍存在着不会分类讨论、分类讨论意识不强等认知局限。因此，教学要遵循循序渐进、适时渗透、逐步深化的原则，使学生逐步养成分类讨论的意识。 （一）在充分展示思维的过程中培养 在遇到分类讨论问题时，教师要从学生的已有经验入手，引导学生用自己的语言说出解决问题的过程与策略，给足学生说话的机会，鼓励学生积极地说、大胆地说，充分暴露他们的思维过程。这样就能了解学生在分类讨论上存在的不足与缺陷，从而有针对性地渗透分类讨论思想。 例1 一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为 。 这一题目有两个答案，分别是“70°，55°，55°”和“70°，70°，40°”，但是很多学生往往只能想到其中一个答案。这时，就是引导学生说说自己的解题思路，找出其在分类讨论上的不足，让学生认识到“当一个问题遇到不确定因素时，往往需要对此种对象进行分类，只有这样才能避免漏解”。 （二）在引导学生自我探究中培养 初三阶段的教学要根据学生的年龄特征、认识水平和知识结构，让学生在数学学习的过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括等自我探究，逐步培养其分类讨论的思想。 例2 若P1（x1，y1），P2（x2，y2）是反比例函数y=K/X（k>0）图像上的点，且x1>x2，则y1与y2的大小关系为 。 这样的题目www.dylw.net 第一论文网，先要让学生自己审题，并通过构造图形解决问题。大部分学生会由于“负数小于正数”的习惯思维，把x1取在x轴的正半轴上，把x2取在x轴的负半轴上，从而得到y1>y2。此时，教师要提醒学生再理解x1>x2这个条件，有学生会发现点所在的位置具有不确定性，即x1，x2所对应的点可以都在x轴的正半轴上，也可以都在x轴的负半轴上，还可以一个在负半轴、一个在正半轴上。所以，此题要对自变量的取值进行分类讨论。 在教学中引导学生自己审题，就能有效避免遗漏现象，同时在无形之中培养学生的分类讨论意识。 二、遵循学生的认知规律，让学生掌握分类讨论的正确方法 数学教学不只是教知识，更重要的是教会学生思维。俗语说“授之以鱼，不如授之以渔”。因此，在实施分类讨论的教学过程中，教师应遵循学生的认知规律，根据学生的认知规律开展教学活动，关注知识的生成、发展过程，并在此基础上让学生掌握合理的分类方法。 （一）确定分类对象 当题目中隐含着相等关系或不等关系时，我们往往需要将能确定的数量关系作为分类对象。 例3 6月1日起，某超市开始有偿提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为1元、2元和3元。这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3千克、5千克和8千克。6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20千克散装大米，他们选购的3只环保购物袋至少应付给超市多少元。 这样的题目，“选购的3只环保购物袋”中的数量3是确定的，可以将其作为分类对象。与之类似，如当题目中出现等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、平行四边形、梯形、等腰梯形等图形的一些边长或角时，我们往往将能确定的线段或角作为分类对象；又如对运动型问题www.dylw.net 第一论文网，我们往往将点、线运动到不同的位置作为分类对象，或将两个图形在运动过程中重合部分不同形状的图形作为分类对象。 （二）选择分类标准 确定分类对象是分类的前提。当分类对象确定时，我们就要开始选择分类标准。分类标准的确立是最关键的，它直接影响问题解决的成败。我们要根据问题的条件、结论及所涉及的概念、公式、性质、定理、图形位置等，寻找分类标准的“着眼点”。如在例3中，当“3只环保购物袋”确定为分类对象后，我们就可选择分类标准：3只都是1元、2元或3元；2只1元1只2元；2只1元1只3元；2只2元1只1元；2只2元1只3元；2只3元1只1元；2只3元1只2元；1元、2元、3元各1只。 （三）做到不重不漏 确定分类对象、选择好分类标准后，就可以逐类进行求解或证明，得出各类中问题的结论。这需要密切关注所分的类别及题目的条件、结论和所涉及的概念、定理、图形位置，等等，并进行合理严密的推理或求解，得出各类中的准确结果，做到不重不漏。这是分类讨论的具体实施过程，相对来说比较简单，但也不可掉以轻心，否则会前功尽弃。 例4 一副三角板按图1所示叠放在一起，若固定△AOB，将△ACD绕着公共顶点A，按顺时针方向旋转α度（0<α<180），当△ACD的一边与△AOB的某一边平行时，相应的旋转角的值是 很多学生拿到此题，不经过分析，就立即拿出一副三角板按图示方法进行旋转，结果得出的答案既有遗漏的也有错的。相反，有的学生就会边审题边分析：一方面注意到角的范围；另一方面注意到题中出现“与某一边平行”具有不确定性，需分类。在此基础上再借助一副三角板放在桌面上进行操作。 三、进行专题性、系统性训练，提升学生分类讨论的能力 分类思想不像一般数学知识那样通过几节课的教学就可掌握。我们要在了解学生已初步形成分类思想，并基本掌握分类讨论方法的基础上，再加强专题性、系统性的训练，从而使学生在巩固深化知识中不断提升分类讨论的能力。 （一）借助不确定字词句，捕捉题中隐含的分类信息 很多题目往往在字里行间隐含了分类讨论的信息，其中不确定的字词句是佐证，教师需要引导学生学会解读与捕捉。 1. 隐含点出现不同位置 隐含点出现不同位置的情况如：（1）点A在x轴上（点A可能在x轴的正半轴上，也可能在x轴的负半轴上或在原点）；（2）抛物线与x轴有公共点（可能一或两个公共点）；（3）是否存在点P，使以点A、B、P为顶点的三角形与△AOB相似（意味着对应顶点不确定）；等等。 2.隐含线出现不同位置 隐含线出现不同位置的情况如：（1）直线平移多少厘米时能与⊙O相切（可能会出现两次相切）；（2）等腰三角形一腰上的高线与另一腰所夹的角为40°（等腰锐角三角形或等腰钝角三角形）；（3）函数y=ax2-ax+3x+1的图像与x轴有且只有一个交点，求的值（题中只说函数，不能确定是何种函数，据解析式可知，该函数可分为一次函数和二次函数两种情况）；等等。 3.隐含图形出现不同位置 隐含图形出现不同位置的情况如：（1）要使⊙A与静止的⊙B相切，那么⊙A由图示位置需向右平移几个单位（意味着外切到内切再到内切最后到外切）；（2）矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成两部分的面积比为1∶4（意味着矩形在滑动过程中被x轴分成上下两部分的面积比为1∶4或4∶1）；等等。 （二）借助圆规，找到数形结合的分类捷径 涉及画两线段相等或画直角，借助圆规来解决，可以使问题迎刃而解。 例5 在平面直角坐标系中，已知点A（-4，0），B（2，0），若点C在一次函数y=-1/2x+2的图像上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有几个，并求其坐标。 此题中，点A，B，C都有可能为直角的顶点，当点A，B为直角顶点时易求得点C的坐标，当点C为直角顶点时，求www.dylw.net 第一论文网点C的坐标需借助圆规并利用“直径所对的圆周角是直角”画圆，若圆与一次函数的图像有交点就存在点C，若无交点就不存在点C。 （三）借助动手操作，减少分类讨论的难度 运动型问题、折叠问题，在运动、折叠的过程中会产生不同形状的图形，情形较复杂，需要进行分类讨论。而要寻找出不同形状的图形，需要较强的空间想象力，学生往往对不同形状的图形找不完整。此时，学生若剪一个与题中全等的图形，进行平移或旋转或折叠等符合题意的操作，就能很大程度地避免漏解，同时对分类讨论问题的解决更有把握与信心，进而激发对分类讨论问题的兴趣。
