数学教学的一个重要任务是提高学生的解题能力。实际上，老师们在教解题上花费了大量的时间，但是效果总是不那么如意。因此，怎样培养学生的解题能力是一个不可忽视的话题。老师们都知道要培养学生的解题能力，然而许多教师老是在激发学生的解题兴趣上做文章，这无可厚非。不过，不论有无兴趣，作为学生，总归要养成一定的解题能力。因此，笔者认为，以下三点，应该才是培养学生解题能力的重要手段。 一、展示教师自身的解题过程 学生形成解题能力是从模仿解题开始的。模仿到一定程度后，方有自己的解题感觉。因此，教师的示范作用就显得非常重要。然而，在学生眼里，教师解题总是有如神来之笔，一下笔，题目的方法就出来了。学生对此除了羡慕外，剩下的感觉就是突兀。 正如波利亚所说的，教师要告诉学生“是怎样想到这个解法的？”“是什么促使你这样想、这样做的？”也就是说，教师要向学生展示自己的解题过程，这样学生才有模仿的可能。 19世纪末，德国有位天才的数学家叫闵可夫斯基，他曾是爱因斯坦的老师。一天，闵可夫斯基刚走进教室，一名学生就递给他一张纸条，上面写着：“如果把地图上有共同边界的国家涂成不同颜色，那么只需要四种颜色就足够了，您能解释其中的道理吗？” 闵可夫斯基微微一笑，对学生们说：“这个问题叫四色问题，是一个著名的数学难题。其实，它之所以一直没有得到解决，仅仅是由于没有第一流的数学家来解决它。” 为证明纸条上写的不是一道大餐，而是小菜一碟，闵可夫斯基决定“当堂掌勺”，问题就会变成定理…… 下课铃响了，可“菜”还是生的。一连好几天，他都挂了黑板。后来有一天，闵可夫斯基走进教室时，忽然雷声大作，他借此自嘲道：“哎，上帝在责备我狂妄自大呢，我解决不了这个问题。” 尽管闵可夫斯基没有解答出问题，然而，他的解题方式和思维，在学生头脑中留存了一辈子。 对于现今的教师来说，尽管无法做到闵可夫斯基那样，但我们可以通过一连串的问句进行质疑启发，向学生展示解题的思维活动过程。 例1 若函数y=f（x）（x∈R）的图像关于直线x=a与x=b（a≠b）都对称，求证：y=f（x）是周期函数且2（b-a）是它的一个周期。 教师可设置一组问句启发引导： ①本题的条件是什么？条件中的关键词语是什么？ ②本题的结论是什么？问题解决的落脚点在哪里？落脚点有何表达形式？ ③条件可进行怎样的转化？转化后的条件与结论有怎样的距离？缩短距离的方法是什么？（探索解题思路） 至此，本题的解题思路基本畅通，但思维活动没有结束，否则，真可谓“进宝山而空返”了。待学生整理完解题过程后，教师可继续设问： ④本题使用了哪些知识点及思想方法？ ⑤由本题可产生哪些猜想？怎样证明猜想？ 同学们兴趣盎然，积极讨论，最后师生共同归纳出相并列的两命题： （1）函数y=f（x）（x∈R）的图像关于点（a，c）和（b，c）（b≠a）成中心对称，则y=f（x）为周期函数，且2（b-a）是它的一个周期； （2）若函数y=f（x）（x∈R）的图像关于直线x=b对称及关于点（a，c）（b≠a）成中心对称，则f（x）是周期函数且4（a-b）是它的一个周期。 通过对本题的探索研究，学生不但对函数的对称性、周期性有了深刻的理解，而且通过解决问题的思维过程的展示，有效地训练了思维能力，提高了学生发现问题、分析问题并解决问题的能力。 二、帮助学生反思解题的结论 一类数学问题，其解法往往是有规律可循的。要想减轻学生负担，让学生从题海中解脱出来，必须教会学生从解题中及时归纳总结基本的解题规律，以达到举一反三、触类旁通的目的。教学中，教师应经常启发、引导学生在解题后反思这类数学问题的基本解题规律，对方法进行归类。这对提高解题能力尤其重要。 例2 已知f（x）=kx3-x2+■kx-16在R上单调递增，则k的取值范围是（ ）。 A. k>1 B. k≥1 C. |k|>1 D. |k|≥1 错解： f ′（x）=3kx2-2x+■k，依题意，对一切x ∈R，f ′（x）>0，选A。 正解：依题意，对一切x∈R，f ′（x）≥0，应选B。 我们知道，对一切x∈R，f ′（x）>0是f（x）在R上单调递增的充分不必要条件。该题中，f（x）在R上单调递增的充要条件是：对一切x∈R，f ′（x）≥0。值得提醒的是，并不是对一切函数f（x），f（x）在R上单调递增的充要条件都是：对一切x∈R，f ′（x）≥0。f ′（x）=0所对应的情形应特别加以考虑。这些解题的小规律，通过解题后的反思，学生可以透过问题表层，充分挖掘其内在因素，掌握问题元素间的深层关系，优化自身知识结构。 三、帮助学生积累解题技巧 学生的解题能力自然包含会解难题的能力。一些难度中上的题目，一般需要一些处理过程才可应用书本的有关知识解决。也就是说，一些问题有其特殊的解题技巧，学生若不理解并熟记一些解题技巧，即使概念定理、公式学得再熟，也难以用得上。这些技巧需要教师帮助学生归纳提炼。 例3 数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2■）an +sin2■，n=1，2，3，…。 （1）求a3，a4，并求数列{an}的通项公式。 （2）设bn=■，Sn=b1+b2+…+bn，证明：当n≥6时，Sn-2<■。 解：因为a1=1，a2=2，所以a3=（1+cos2■）a1+sin2■ =a1+1=2，a4=（1+cos2？仔）a2+sin2？仔=2a2=4。 一般地，当n = 2 k - 1（k∈N*）时， a 2k+1 =1+cos2■a2 k - 1+sin2■？仔=a2 k - 1+1，即a2 k + 1- a2k-1=1。 所以数列{a2k-1}是首项为1，公差为1的等差数列，于是有a2k-1=k。 当n = 2 k（k∈N *）时，a2k+2 =（ 1 + cos2■） a2k + sin2■=2a2k。 所以数列{a2k}是首项为2，公比为2的等比数列，于是有a2k=2k。 故数列{an}的通项公式为 an=■，n=2k-1，（k∈N*）■，n=2k。（k∈N*） 对于这道题，由解题过程可知，如果不知道n=2k -1（k∈N*）时，a2k+1=1+cos2■a2k-1+sin2■？仔 =a2k-1+1，即a2k+1-a2k-1=1这个处理技巧，那么将难以 解答。 实际上，许多数学难题都是由于有好的技巧才能顺利解决。比如，当年欧几里得证明素数有无限多个，采用的就是反面假设的处理技巧。■是无理数的证明，更是堪称经典。这些技巧，学生有必要掌握，才能在解题时做到得心应手，进而真正提高解题能力。 （作者单位：常德市朗州高级中学）
