新一轮基础教育数学课程改革体现了数学教育价值观和行为方式的深层次变革。但从课程实施反馈情况来看，在一些实验区，课程改革在某种程度上仍停留在追求机械变革或花样翻新的层面，强调生成性而忽视预设性，强调形式而忽视实质，强调探宄学习而忽视接受学习，缺乏深层次思维方式的变革。究其根本，除了受师资水平的限制外，缺乏有效教学机制的引领是一重要原因。基于“问题解决”的数学教学设计为开展有效的数学教学提供了一条基本思路。
一基于问题解决”的数学教学设计理念
自20世纪80年代以来，“问题解决”作为一种新的教育理念，被广泛应用于数学教育领域。波利亚(GourgePolya)是让“问题解决”走进教学领域的有力倡导者。1980年美国数学教师协会在《关于行动的议程》（AnAgendaofAction)中提出，“必须把问题解决作为学校数学教育的核心”。此后，世界各国纷纷响应，都把提高学生的问题解决能力作为数学教育的目标之一。问题解决在数学教学中的应用特点可归纳为：第一，让学生通过问题解决的实践活动来组织学习，基于问题解决的数学学习是以能力为本位的，而不是以知识为本位的；第二，通过问题解决尤其是具有实践意义的问题的解决，让学生充分认识学习的意义，并逐步树立起学习的信心；第三，强调问题解决过程本身的价值，重视数学的内在逻辑过程、学习者的经验和体验；第四，坚持学校教育的最终目标在于提高学生的问题解决能力，强调以学生的学习为中心，让学生主动参与，学会数学地思考，发展数学创造性思维能力。
教学设计是根据教学对象和教学内容，确定合适的教学起点和终点，将教学诸要素有序、优化地安排，形成教学方案的过程。教学设计必须确定教学目标，组织教学内容，优化教学过程，把握教师和学生的特点及经验，评价和调控教学质量等。将“问题解决”引入数学教学，将学生的学习置于复杂的问题情境中，可以有效地激发和调动学生的学习动机。同时，要以整体、综合的方式组织课程内容，以加强问题解决学习的系统性和内在逻辑性，提高问题解决的整合效益，通过解决问题让学生理解和掌握数学问题背后的知识及相关知识之间的内在联系，促进学生知识、技能和能力的有效迁移；改变传统教学设计中教学目标重视客观性忽视行为化和可操作性、教学过程重视单向传递忽视生成性和选择性、教学评价重视学生的知识掌握而忽视其发展的弊病，让学生学会数学地思考和解决问题，获得灵活的数学知识和高层次的问题解决能力，增强自主学习、终生学习的意识和能力。
1“问题解决”是数学教学设计的逻辑起点
强调以问题为导向，基于“问题解决”进行数学教学设计。通过呈现真实情景中的实际问题，激发学生的问题意识，鼓励学生积极探索问题解决的方法。问题解决是数学教学设计的起点和归宿，数学教学过程实质是学生在问题解决中认知能力和问题解决能力不断提升的过程。
2数学教学的核心是培养学生的数学问题解决能力基于问题解决的数学教学力图改变传统教学重知识传递、学生学习重知识获取、学科知识界限分明等弊端，强调有效教学和学生有意义的学习，重视培养学生综合运用知识解决实际问题的能力，围绕培养学生的问题解决能力开展数学教学活动。
3问题解决认知过程体现课程的综合性和行为化
基于问题解决的教学设计重视课程内容的整合和知识的问题化处理，强调通过问题启动学习过程，激活学生原有的知识经验，活化数学知识。问题解决的过程是学生综合运用各种知识，进行策略、方法选择和取舍的行为化过程，问题解决中认知的整合和归纳过程也是生成具有综合性特点的数学课程过程。
4问题解决过程是主体主动认知的过程
传统数学教学中的问题通常是既定的、客观的、抽象的，难以激发学生解决问题的内部动力。基于问题解决的数学教学力图通过开放性问题情境和问题解决过程的设计，激发学生的好奇心、求知欲。问题解决过程的可选择性和生成性，为学生创造了广阔的思维空间，学生的主体意识和创新意识得到不断强化。
5教师是问题解决活动的引导者和促进者
基于问题解决的数学教学强调让学生承担起学习的主要责任。教师通过设计开放性问题情境，引导学生围绕问题展开探宄学习活动，利用师生共建的合作交流、多维互动的课堂教学交互平台促进学生学习活动的深入开展。
二基于‘问题解决”的数学教学设计原则
1整体性和结构化
围绕课程目标对现有课程资源进行有效开发和重组，以整体的、综合的思维方式组织课程内容，重视知识体系的内在联系和多重关系，以优化学生认知结构，求得知识和能力的整合效应和有效迁移；充分考虑课程的层次性和结构化，促进学生学习活动诸方面的内在联系、相互协调和整体发展。
2预设性与生成性
预设性对课程的实施起定向、导航作用，它可以避免学习活动的形式化和严重偏离目标的现象；如果预设性太强，也会出现教师“牵着”学生走的现象。课程的生成性要求为学生提供可选择的内容以及多层次、多类型的数学活动，以满足学生对不同学习内容和学习过程的需要，展示个体的思维特点及创造力。预设性通常体现在问题解决的目标规划和宏观定向方面，选择性和生成性则发生在具体问题的认知解决过程中。
3探宄性和有效性
以“问题”为起点，以“探宄”为过程，追求数学学习的有效性。探宄是指教师不把构成教学目标的有关概念和认知策略直接告诉学生，而是创造一种适宜的认知合作环境，让学生通过探索发现有利于开展这种探索的学科内容要素和认知策略。[2]问题解决能够有效地激发学生的内在学习动机，培养其独立自主意识和创新精神。需要注意的是，必须纠正教学中过度追求重复人类发现过程而使学习效率低下甚至严重偏离教学目标的现象，注重教学活动的绩效，追求有效教学。
4主导性和主体性
遵循“教师主导、学生主体”的教学原则，一方面，教师要通过对课程资源的有效整合进行教学设计；另一方面，要让学生从问题入手自主处理信息，通过相互讨论和自我反省获得知识。教师要进行预先的教学设计和具体的学习指导。同时，充分发挥小组学习共同体的作用，让学生共同承担起责任和任务，建立多边多向的交流和合作共建关系，满足学生自主学习和有差异学习的需要，使每一位学生都能参与到学习过程中来。只有发挥学生的自主性，教师的主导与促进作用才能真正落实到位。
三基于问题解决”的数学教学设计解析
课程内容的整合和重构是优化教学设计的前提和基础，恰当地处理教学设计与学习认知过程各要素间的相互关系是实现有效教学的基本保障。
1基于‘问题解决”的数学课程内容设计思路
传统的数学课程采用“切块式”处理方式，造成了数学内容系统的“支离破碎”以及学科内部结构松散和思想方法间的疏离，降低了认知结构的迁移力。一味地强调从解决实际问题出发组织课程内容，也容易导致“问题本位”产生新的学科知识结构边缘化现象，使学生获得的知识具有随机性和零散性特点。强调课程内容的整合与重组，使问题解决具有更强的统摄性和相关性，可以多层次、多侧面地建立起相关知识的广泛联系。显然，学生在主动探索和发现过程中建立起来的知识结构，与传统课程以“客观真理呈现”和通过教师传授的相比，具有明显的结构延展张力。
一种得到普遍肯定的思路是，从“垂直组织”和“水平组织”两个维度进行课程建构和系统组织。“垂直组织”是指将课程要素按纵向的发展序列组织。由于数学课程内容与学生的身心具有内在的逻辑发展顺序，因此课程有垂直组织的必要。课程垂直组织通常具有“顺序性”和“连续性”的特征，可以根据课程内部逻辑结构的紧密程度把关联度较高的内容整合在一个“课题”内学习，在“顺序性”上体现主题内部逻辑发展顺序的纵向、深入提升，在“连续性”上体现顺序提升过程中阶段性的重复，符合传统课程编制的“螺旋”上升原则。“水平组织”是指将课程要素按横向的发展关系组织。课程本是一个整体，为了让学生更有效地认知，在具体实施时可以根据课程的逻辑关系和学习经验对课程内容进行划分并实现及时整合。学习的过程不仅是垂直提升的过程，也是横向整合的过程。为此，必须加强“课题”间的横向联系以及它们与相关课程资源的整合。课程的垂直组织和水平组织，可以使课堂教学内容更多地以序性知识和策略知识表现出来，它注重数学课程知识的内在逻辑序、教学设计的知识呈现序、学生心理发展序和认知发展序的一致与和谐发展，是“知识逻辑”、“认知逻辑”、“教学逻辑”与“学习逻辑”的统一。
对于一个经验不够丰富的教师来讲，如果完全打破现有学科知识的系统性，彻底进行课程重构，是不现实和难以操作的。为此，必须保持原有学科知识的系统性与对课程内容进行重组之间的张力和平衡，基于整体课程与知识结构的系统性来组织课题学习内容和进行问题设计，使各课题中所包含的概念、原理等能多次地相互链接和交叉重叠。一方面，如果某一课题学习所容纳的课程目标是有限或不够突出的，就必须在另外的课题学习中得到补充和巩固；另一方面，要使知识学习体现在知识的应用之中，使知识通过课程中的许多问题被学生反复经历，以便学生灵活地建构与应用知识。把学生置于各种各样的彼此相互联系的问题解决过程中，从多个角度反复经历概念并应用思维技能，从而促进其深刻学习。课题学习的实践操作过程由一系列相互联系、渐次加深的课题链构成，课题教学的基本程式是：开放性问题一经验材料的数学组织一问题解决的策略与方法一逻辑化过程一数学应用一反思与强化。
2基于‘问题解决”数学教学设计中的几个同构关系
(1)预设目标与认知目标同构
教学目标不仅对教师的教学起定向导航作用，而且对学生的学习起监控和调节作用，确立恰当的教学目标是教学设计的首要任务。教学目标由问题呈现，教学过程有赖于问题启动，学生的认知过程伴随着渐次递进的问题而展开，所有问题构成的问题系列所统摄的认知领域直接指向学生的认知目标。学生在问题解决的过程中提升问题意识，获得灵活的知识、技能和良好的情感体验，发展创造性思维能力和问题解决能力，实现多维教学目标的生成和发展。
(2)知识呈现序与认知序同构
教学设计中的知识呈现过程，既要考虑知识产生、形成和发展的顺序，又要考虑知识内在的逻辑顺序；学生的认知发展有内在的程序性和关联性，为此，教学设计既要考虑学生的认知基础和认知经验，又要符合学生的认知规律。教学过程设计应坚持“知识呈现序”，即：知识一问题一问题间的逻辑关系一知识结构一课程目标；问题解决的认知过程要注意实现“问题解决认知序”即：问题一策略选择一关联知识的综合运用一反思一认知结构一学习目标。教学设计要重视知识的问题化处理、问题间的关联关系以及问题解决的知识化转化，问题认知解决过程要突出问题意识、策略取舍与系统反思。知识呈现序和问题解决认知序的一致性是教学设计的首要原则。
(3)预设思维空间与认知空间同构
教学设计的关键在于恰当地引导学生主动思维、独立思维。要促进学生思维发展就应当培养学生的问题意识和问题解决能力。思维源于问题，问题启动思维。创设良好的问题情境与有效的问题解决过程是活跃学生数学思维的最佳方式和途径。教学设计的思维空间取决于问题开放程度的高低，取决于开放性问题情境和问题解决的探宄学习过程的设计，有赖于教师的教学设计能力和水平及其对学生认知基础和经验的把握。
(4)问题解决过程与应用过程同构
基于“问题解决”的数学教学设计为解决课程内容与具体问题解决之间的脱节弊端找到了一种可行方案，它使数学学习过程与具体问题的解决过程相统一，为全面实现数学课程目标提供了一种动态、融合的机制。在问题解决过程中，目标、内容、过程、环境都力求促成真实情境的问题解决，使学习过程与实际运用知识过程相统一，为学生提供了大量的应用知识机会。
(5)情意设置与情感体验同构
现代数学教学理论认为，有意义的学习发生在与学习者的认知和知识背景紧密联系的教学情境中。问题情境的设置为提高学生的学习动力，促进其思维取向和方法抉择提供了广阔的平台。问题的表述和呈现方式中的情意设置，使学生在问题解决过程中不同程度地体验到这种情意过程。情感、态度等非认知因素也伴随着学生发现问题和解决问题的成功体验而不断得到有效强化和提升，学生主动学习的愿望和能力得到不断加强。
(6)预设探宄的真实性与认知探宄的模拟性同构真实问题情境中的探宄学习，通常与学生的生活经验相关联，能够唤起学生主动学习的动机。值得注意的是，并非所有的探宄都有必要和有益。一方面，在知识的生成发端，没有太多逻辑性可言，缺乏探宄的必要性；另一方面，认知由直觉上升到理性的过程，是一个知识逐渐与外在实体相分离的过程，当上升到结构严谨的高度逻辑化、公理化层次时，真实的探宄就过于冗长、复杂。在这种情形下，追求经历过程的探宄就不现实。问题解决的认知探宄过程，在很多情况下并不像科学发明发现一样，对问题提出多种解释和寻找多种途径，其本质上是一种模拟，“指学生以获取知识、领悟科学的思想观念以及科学家们研宄自然所用的方法而进行的各种活动”。教学设计需要寻求真实性与模拟性之间的平衡，追求探宄学习的效益、效率和效果。
诚然，教学设计中一个不容忽视的问题是使预设性、选择性和生成性取得和谐与平衡。问题解决需要预设性目标的引领，需要教师对学习活动作必要的调节、监控，为学生问题解决提供可选择的内容及多层次、多类型的数学活动，以满足学生对不同学习内容和方式的需要，体现课程的选择性和生成性。因此，教学设计需要在教学过程中维持弹性思维空间的动态发展，使课程学习因预设性而获得高效益，因选择性和生成性而充满创造力。
李红婷，*
（临沂师范学院，山东临沂276005;西南大学，重庆北碚400715）
