数学教学内在地包含理解，促进学生的理解是数学教学努力追求的目标。然而，在教学实践中，理解常常为“知识至上”所遮蔽，以讲解、练习、训练为主要特征的传递取向的教学尽管能帮助学生记忆事实、规则和原理，甚至也教授一些简单的应用，但这并不意味着学生真正理解了所学的知识。事实上，知识作为人类理解世界的结果，是事物意义的表征。如果只凭记忆事实和操作性程序，就很难把握知识的结构及其所表征的意义。教学的目的性与教师创造的学习环境和所提供的活动、经验是密切相关的，为理解而设计教学旨在帮助学生“学会学习”，使学习成为不断增长个体的实践能力和社会化过程。
“理解”在教学目标中的地位和作用
在我国的教学目标体系中，理解从属于知识技能目标。如，《数学课程标准》将知识技能目标划分为了解、理解、掌握、灵活运用四个层级，其中，“理解”是用来刻画知识技能目标的一个水平。尽管在布卢姆的教育目标分类学中没有明确地提出“理解”水平，但处于认知目标第二水平的“领会”相当于“理解”。随着对教育目标分类研究的深入，安德森等人对布卢姆的认知目标的“一维”体系进行了修正，提出了认知目标的“二维”模型。其主要特征是把认知目标分为两个维度个是“知识”，另一个是“认知过程”。在布卢姆的认知目标分类体系中，“知识”是最低的认知水平。与其不同，安德森将“知识”按照从具体到抽象分为四类：事实性知识、概念性知识、程序性知识和元认知知识；将认知过程从低到高分为六个水平：记忆、理解、运用、分析、评价、创造。在“理解”水平上，安德森进一步区分了包含解释、举例、分类、总结、推断、比较、说明七个子类。在这里，“理解”是从属于认知过程维度的，与其他五个水平一起构成了认知维度的连续统一体。如果教学目标旨在促进迁移，那么，所涉及的认知过程就是从“理解”到“创造”，“理解”处于实现迁移目标的基础性位置，“是中小学和大学强调的以迁移为基础的教育目标中的最大的一个类目”。
安德森的认知目标分类体现了现代教育理论所强调的培养学生的理解和创造力的特点。在现代教学理论中，“理解”被看成是一种获得意义、灵活思考与行动的能力，是在概念、事实和方法之间作联系的思想。如，全美数学教师协会把“原则与标准”所描述的数学教育的愿景建立在学生必须理解地学数学的基础上，指出“理解”是学校数学的学习原则，特别是“概念性理解对那些某个领域的‘专家’的知识和行为是相当重要的”。在安德森的认知目标分类模型中，“理解”不仅描述一个独立的认知水平，而且是具有关联性价值的认知目标。一方面，知识的获得和运用，是以理解为基础。学生的理解通常出现在将新知识整合进原有图式或认知框架中的时候，理解概念性知识是能够运用程序性知识的前提条件，而程序性能力则是概念理解能力的伴生物。另一方面，记忆、分析、评价与创造目标的实现，也离不开理解的参与。安德森指出，理解、分析、评价这三个认知过程是相互联系的，而且经常重复用于完成认知任务。尽管分析、评价可能被视为独立的目标，但把它们考虑为理解的延伸或者分析、评价、创造的准备，在教育上可能更为合理。就理解与创造的关系而言，安德森认为理解与创造是一个相互渗透的认知过程：创造是从理解任务的问题表征开始的，当深刻的理解已经成为一种建构或领悟的行为时，其中就包含创造这一认知过程，而超越基本理解的深刻理解也需要与创造有关的认知活动。但是，在教学实践中我们却看到另外一种现象，学生经常脱离文本的语境、情境，在没有理解的基础上自由发挥、异想天开。虽然创造需要学生的发散性思维，但这并非不受学习任务或情境限制的自由创造。这种脱离理解的“创造”与其说是创造，不如说是臆造，对培养学生的真正创造力是不利的，甚至可能是危险的。以上分析表明，“理解”构成认知目标的核心和基础。在教学实践中，以“理解”为取向，围绕“理解”组织教学有助于教学目标的全面达成。
二、“为理解而教”的含义
在教育实践中，数学教学有不同的取向。无论是“为知识而教”还是“为理解而教”，对数学知识及其性质的认识是制约教学实践选择的一个关键因素。正如著名数学家托姆和数学教育家赫尔胥曾经指出的：问题不在于什么是最好的教学方法，而是数学究竟是什么？如果我们不正视关于什么是数学的本质的问题，关于教学的争论就不可能得到解决。这一看法清楚地指明了对数学的本质的认识构成了数学教学实践的哲学基础。从最一般的意义上说，数学知识作为人类众多知识形式中的一种，是人类在理解世界的活动中建构并借以表征世界意义的方式。数学知识所表征的是事物的结构、关系、变化，以及人类理解世界的独特的思维方式。然而，数学的形式化特征遮蔽了数学知识的原初意义，于是，数学教学常常专注于知识的形式运演，忽视对知识意义的理解。学生“掌握”了知识，却不知道知识来自哪里，也不知道知识向何处去。“为知识而教”把丰富的、多样化的数学活动简化为机械地、形式化地记忆和训练，忽视了知识教学作为发展学生理解世界方法的重要目的。“为理解而教”基于“知识”与“认知活动”的连续性假设，通过创设基于现实世界的真实性任务，引导学生在自主探究、合作与交流中积极地建构知识与意义，进而对各种现象做出解释，使客观的世界成为意义的世界。
从教的角度来说，“为理解而教”关注知识的建构与意义的生成。知识本身具有无限丰富的意义，通过解释或应用显现出来。但是，在日常教学中，我们所教的常常是知识而忽略了知识的意义。例如，乘法作为知识定义了一种运算，学生记住了有理数乘法法则，并且能正确地进行有理数乘法计算，但却不能利用有理数乘法解释“翻转茶杯”这一日常现象。事实上，“翻转茶杯”可以借助于乘法概念给出数学上的解释，解释“翻转茶杯”的过程也就是赋予乘法的意义的过程。然而，知识的意义并不存在于教科书之中，而是通过学习者的实践性思维以及同他人的交流才得以建构。也就是说，学生掌握了书本上的知识并不意味着就理解了知识的意义，知识的意义产生于知识的建构过程以及知识与环境的相互作用。“为理解而教”通过设计实践活动、基于问题的学习、课题学习、基于项目的学习等与现实世界密切相关的真实性任务，激发学生参与以经验、理解和反思为特征的“做数学”活动。例如，对真实任务进行直观性操作，为真实任务建立一个数学模型，用符号、公式等语言准确地描述模型的意义或概念，在抽象的数学表述和直观、具体的事例之间进行适当的转换等，为学生理解知识的意义积累丰富的经验基础。教师则通过创设丰富的学习环境，帮助学生把经验和事实组织成概念体系，了解学生的需要并提供有效的表征及评价方式支持学生的理解。通过设计基于真实世界的理解性活动，“为理解而教”不仅使学生学会如何建构知识，而且使学生理解了知识的意义，正是在这一意义上，约翰?杜威指出：只有理解才是真正的学习。”
从学的角度看，“为理解而教”倡导一种以思维为核心的有意义学习。学习的方式制约并影响到学习的效果。以记忆和模仿为特征的机械学习所获得的是孤立的、离散的知识，缺乏生长和迁移能力，不能形成必要的认知策略和智慧技能。建立在“理解”基础上的学习是_种有意义学习。所谓有意义学习，是指学习者主动地参与知识建构、建立新旧知识的联系以及围绕某个主题进行“弹性实作”_“解释、证实、推断、联系和以一种超越知识与常规技能的方式进行应用”。例如，对于_个定义、公式或法则，如果学习者不仅理解了它的形式和意义，并使之成为已有认知结构的一部分，而且能够利用其进行有效地思维和行动，那么，这样的学习就是有意义学习。换言之，有意义学习是一种以激发思维参与的活动。无论是建构知识，还是弹性实作，都离不开学习者观察、实验、猜想、验证、抽象、分析、推理、判断等思维的参与。思维参与是有意义学习得以发生的心理基础，在教学实践中，有意义学习提倡个性化的参与和多样化的学习与表征方式。学习者可以根据自身思维方式的特点，选择独立思考、自主探究、协作学习等不同的参与方式；可以操作实物、图形、符号等直观性地表征，也可以运用模型化语言进行抽象的演绎。不同的学习方式之间并不存在优劣之分，只有认知方式和发展水平的差异。另外，有意义学习极为重视课堂中的讨论和交流，因为讨论和交流不仅能促使学习者认识到知识间的关联和重组，而且有助于提高有意义学习的水平。
从教学目标的角度看，“为理解而教”把“学会数学地思维”作为教与学的主要目标。所谓数学地思维，就是从数学的角度观察、思考和处理种种现象、问题。数学是理解世界的结果，从数学中最简单的数与形，到现代数学中的许多概念、分支，都是数学家在理解世界的过程中抽象或建立起来的。面对纷繁复杂的现实世界，数学能够用极其简约的概念来描述和刻画社会经济生活中的各种现象、关系和变化，帮助人们更好地理解生活、做出理性的决策。数学地思维已经成为人们应对日常生活的一种基本能力、现代社会每位公民所应具备的基本素养。作为学校教育的一门课程，数学教学承担诸多的任务。但是，与掌握_些具体的知识、技能相比，教会学生数学地思维也许是数学教学更为基本的价值诉求。课程专家泰勒曾经指出，学习_门学科的价值不是体现在“对将来在该学科从事高深研究的学生提供什么样的基础教学”，而是体现在“对那些不打算成为该学科领域专家的学生的教育能做出什么贡献、对外行或一般公民有何贡献”上。学会数学地思维体现了学校数学所能给予学生的最一般的教育价值，也是衡量学生是否具有数学素养的主要尺标。“为理解而教”把现实世界作为数学教学的平台，引导学生从观察现实生活中的现象开始，让学生经历从现实世界上升到数学世界、从数学世界回归到现实世界的过程，在现实世界与数学世界的交替和反复中，为学生学会数学地思维奠定必要的基础。
三、“为理解而教”的设计框架
1.创设理解的情境
情境认知理论认为，知识是情境化的，参与实践促成了学习和理解。为此，在为理解而设计教学时，我们必须摒弃知识作为独立实体的观念，认真思考知识、情境和学习者活动三者之间的关系，将知识需求恰当地置于学习者需求和社会需求之中，通过设计一种“支架式知识整合”情境，使数学的学习与学生的生活、先前的经验形成_定的相关性。创设理解的情境就是为学生创设特定范围的行为或经验，也就是为学生创设基于个体实践的意图、行动和反思互动的场域，以确保置身于其中的学生能够相互影响、自觉地思维和行动。首先，创设理解的情境必须明确学生需要理解什么，学生理解的行为发生的真实情境是什么。从理解取向的教学来看，教学的目标已经从单纯地传递知识转变为使学生进入可能需要使用这些知识和技能的真实世界。就此而言，理解的情境必须涵盖学生在真实世界中将会遇到的大多数认知需求，知识建构的真实情境是不能被简化的。其次，选择生成性问题是创设理解的情境的关键。学生的理解通常与问题有关，生成性问题通常是取材于现实世界的真实任务，具有极大的潜在动机资源，易于转变为对学生具有自我参照意义的、乐于参与的理解性活动。另外，一个生成性问题通常包含丰富的内容和技能，能够为学生的理解提供基本的概念框架，促进学生的认知水平从低层次向高层次的跃迁，学生从中学到的不仅包括对当前情境的体验和理解，还能学到适应环境、处理和深入思考问题的方法。再次，理解的情境还应该能够通过改变当前的任务来重组认知情境，以便构成多维的、非线性的“认知弹性超文本”，为学生提供_个围绕知识集群进行组织的探索环境。认知弹性超文本可以在学生的最近发展区中提供模型、高级思维的机会和对元认知的引导，学生可以根据自己的学习需要随时访问文档中的超链接，并进行动态编辑或重新组合，不断重构情境敏感的知识集群，通过多种方式建构知识和赋予意义，使其对发生变化的情境领域做出适宜的反应。
2.设计理解性活动
理解性活动是学习者主动参与的、以思维为核心的有意义学习活动。在理解取向的教学中，学生参与的理解性活动_般包括实物操作、符号操作和形式化运演三种类型。实物操作是指学生利用具体可触摸的模型来进行的思维活动。实物操作可以帮助学生理解数学对象、创新解决问题的工具、减少学生做数学的焦虑。特别是对抽象思维发展水平较低的学生来说，实物操作是他们形成经验性理解不可缺少的环节。符号操作是指利用_些特殊的符号、图形、图像来进行的思维活动，属于一种半直观、半抽象的思维表征活动，它使得思维活动的对象从具体实物逐步过渡到形象、抽象的符号，象征着学生在理解层次上的跃迁。形式化运演是指学生利用数学上的相关概念来进行的思维活动。形式化运演借助于抽象、类比、归纳、联想等手段建立数学模型，并对模型加以演绎以获得相关的结果。其中，实物操作和符号操作具有一定的直观性、形象性，为学生的理解提供丰富的“感觉映象”。形式化运演是抽象层次上的思维操作，建立在直观性操作活动之上的反省抽象是形式化运演的经验基础。为了能够向学生提供这种具体的、可操作的理解性活动，在教学设计时需要注意：第_，理解性活动的主体指向是“在社会和物质情境脉络中参与认知活动的个人”，而不是“在头脑中进行认知的个人”。在理解取向的教学中，学生的理解不是以某种认知表征来准确地匹配客观知识或事实的过程，而是个体主动参与知识建构的实践活动。社会和物质情境脉络为学生的参与提供了真实的、逼真的情境，学生在观察、概念工具的应用以及问题解决的过程中，才能逐步形成数学地理解世界的能力。第二，设计的理解性活动应赋予学生探究的所有权。课堂上学生探究的所有权表现在：选择参与的方式、重新定义问题、发表自己的观点、对他人的观点进行批判性反思等。理解其实是_种极具个性化的行为，它不依赖于“普遍的原则”。允许学生选择符合其认知方式和发展水平的参与方式，可以最大限度地促进所有学生在原有认知水平上的提高。第三，设计的理解性活动应支持有效合作学习小组的形成。有证据表明，小组在学习任务方面的表现胜过个体，而且，合作有助于提高小组中个体的理解水平。当前，以学习者共同体、概念学习交流和知识建构共同体为特征的协作学习方式在提高学习者行为表现方面得到普遍认同。因此，设计富有成效的小组合作是帮助学生参与高质量讨论与共享理解的重要方式。
3.建构互动的平台
社会建构主义认为，学习发生在社会情境中，依赖共同体与其他成员的互动。课堂是为学生参与“学习共同体”而组织的，课堂中的互动是理解取向教学的基本特质。然而，课堂观察表明，由于缺少有效的课堂互动引导机制，以至于互动只集中于少数学生之间，多数学生被排除在互动之外，成为互动的“旁观者”。建构互动的平台能够为学生提供“合法的边缘性参与”，支持学生在共同体中的对话与协作，共享知识与观点，使学习成为师生共同的责任。
建构互动的平台就是为学生提供参与对话、讨论、交流、观点表达等的信息交换媒介。从本质上看，课堂中的互动是以学生为主体的教学要素围绕目标的实现而进行的信息交互作用，是“在学习集体的人际关系之中产生认知活动的竞技状态”。但是，课堂互动能否有效地开展，既取决于课堂情境的性质，也包含对交互媒介的选择和运用。当前，以计算机为中介的交互媒介在维持信息在不同认知主体之间即时、顺畅地流动扮演着越来越重要的角色。在时间上，学生可以就某个问题同时在线交流，教师的在线指导有可能实现大班教学情境下的“因材施教”。在空间上，互动从课堂延伸到了课外，甚至能够把身处异地的专家聚集在同一个社区里，创造出一个以对话为基础的、智力丰富的学习环境。在利用以计算机为中介的交互媒介建构互动平台时，应注意以下几个方面：第一，把建构互动的平台与创设学习环境有机地结合在一起。信息技术基础影响到媒介如何支持、限制或加强学习环境，不同的媒介可以被用来以不同的方式支持学习。如存在认知负荷限制时，网络技术可以控制信息的速度和将信息分成组块；相反，在认为个体协商很重要时，它可以支持以学习者为导向的对网络资源的获取，支持对各种观点加以操作。第二，发挥互动平台的信息交流与深化理解的双重功能。信息技术工具为学生提供了增强和拓展认知能力的机会，学生能够使用具体的方法对其思维进行表征，并使他们的推理过程可视化且得到验证。如在微型世界中使用的几何画板和互动物理，允许学生建构模型和对象，然后为验证参数而对模型或对象进行操作。第三，建构互动的平台应根据教学目标和对象选择适当的媒介和方式。作为课堂交互媒介的黑板、投影仪、书面作业等传统工具即使在网络媒介甚为发达的今天仍然具有不可替代的作用，其简单、直接的交互方式仍然不失为建构互动平台的备择工具之一。
4.提供表现性评价
评价是教学不可或缺的一部分。对于理解取向的教学来说，评价尤为重要。在不断趋向理解目标的进程中，学生可能会遇到各种各样的疑难或困境。而且，在许多情境下，学生的理解通常并非绝对正确或错误之物，而是介于正确或错误之间的具有不同程度的连续体。通过对学生在理解活动中的各种行为进行表现性评价，为学生提供及时反馈，引领、拓展和深化当前的理解。例如，指出学生理解活动中存在的问题，可以改进理解行为并使理解精确化，或者，揭示理解结果的适应范围或限制条件，为学生指明进一步理解或努力的方向。这就是说，表现性评价不是理解完成之后的终结行为，而是理解过程的一个基本方面，“是_个进行之中的、嵌入的过程。”就其实质而言，表现性评价为学生的理解提供了一种程序上的和元认知的“脚手架”：通过揭示理解过程中的优势和不足，生成新问题、子目标和子问题，帮助学生不断重组他们的思维，发展多种理解策略和自我调节程序来规划和接近目标。在理解取向的教学中，表现性评价的一种主要方式是通过提问引导学生把他们当前对问题的理解表现出来。“理解是一种表现，而不是一种心智状态。”为了促进学生的理解，提问应有针对性，但不是就问题本身，而应当在元认知水平上进行，如可以问“你是如何得到这个结论的？”“你的策略还有需要改进的吗？”而不是问“你的结论是什么？”等之类的问题。此外，表现性评价应采取灵活多样的方式：直接针对学生个体行为表现给予即时性评价；通过提供包含各种理解材料或“标准的”评定包，引导学生进行自我参照评价；通过设计表现性任务，综合评价学生的理解行为、思维技能、理解的深刻性和创造性；等等。但无论何种方式，评价的目的都是为了改进理解的进程、激励学生的学习。与通常的评价标准不同，表现性评价不仅仅关注一些“共同的标准”，更重视学生在真实的理解情境中的行为和表现，包括独特的见解、错误的观点、误解等。评价的重点从关注理解结果的“对错”转向理解过程中的思维过程分析，把学生当前的理解与他独特的目的或过去的经验，而不是共同的规范或标准相联系。换言之，表现性评价不完全依赖于外部评价，而是把外部标准和基于个体经验的“内部标准”相结合，通过建立理解的“自我参照标准”，从而达到评价促进学生发展的目的。
徐兆洋
(江南大学人文学院，江苏无锡214122)
