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求方程实根的一种迭代方法

2016-04-07 11:37 来源:学术参考网 作者:未知

  关于求方程实根的具有大范围收敛的迭代方法,近年来受到广泛的重视,出现了许多有 意义的成果.但在这些方法中,有的需要计算函数的二阶导数,有的对函数的性质要求 高.本文给出了一个不需要计算函数二阶导数的迭代公式,它对函数性质要求低,并论证了 该公式的大范围收敛性及收敛速度?最后给出了数值例子?


  1 迭代公式的建立


  设 /(a) 6 cz[_ajb]


  由台劳展开式得:


  /(?r) = f{x~ ) + f (x~ ) (x - X7 ) +- x~ )2/2,a <i < b(1)


  或/(工)=f{Xn ) + /,- x广)+ 尸(f+)(?r - X; )2/2,a < c+< 6


  其中,6 (?6),且< xt,令:


  giCr) = ) + f (x^)(j: - x;f ) + D+ (x - xtY/2(3)


  g*2(x) - f{x~ ) + /; {x; ) (x - x;) + D~ (x - x~ y/2(4)


  \ 一 M± f (xt) > 0 ,


  其中,Z)士I广(6士)|,比较(1),(4)和(2),(3)式有:


  [M±/(xr) < 0


  当/?)>0时, 当{fix) - gx(x) ^ 0(5)


  \f(x) - g2(x) ^ 0/Cr?) <0 时,


  (6)


  {/(x) - ^i(^) < 0,(7)


  I/O) - g2{x) < 0(8)


  因此,用方程幻U) = 0大于xt的根作为/Or) = 0大于W的最小根的近似值,用方


  收稿日期:1992-10-09程a(x> = 0小于■r;'的根?r>"+i作为/(x) = 0小于工:的最大根的近似值.由一元二次方 程求根方法可得:


  x:+i = xt + 2f(.xt)/[- /'?) + (sign/(x.+ )> VA.+ ](9)


  x~+l = x~ + 2/(x7 )/[- f (.x~ ) - (sign/Cr;)) VaF](10)


  其中,△?士 =[尸 U,士)]2 - 2/U?士 )D士 _


  2 M±的确定


  定理l设/u) e ^0,6],且满足条件:


  (1)/(a)/(6)<0;


  (2)尸(x)在|>,6]上不变号;


  (3)尸(工)#0,:c 6 [a,6].


  则 I 尸(0丨 <2 丨一尸(6) + 尸(a)|/|5 -a|,<x*


  其中,5=min{a- (b - a)/(a)/[/(A) -/(a)] ,a -/(a)//(a)} .x* 为/(x)在U,6)上 的零点.


  证明由台劳展开式得:


  f(x') = f(a) + f(a)U' - a)+尸-a)2/2 = 0,<x*


  /(a) = /U*)+/,(7)(a-^>),


  则尸(f) =一 2[/(?) + 尸(a)]/(z* - a)(11)


  由文献[4]可知,/(x)在[a,6]上有四种不同情况,但只需对其中的一种情况证明即可 .故设在定理的条件下,函数/U)在卩,6]上有下列性质:


  (1)/(a)> 0, /(? < 0;


  (2)尸(x)<0,x€ 0,6],即/'U)单调下降;


  (3)尸(6)<尸(<2) < 0.


  设 a = a ~ (b - a)/(a)/[/(6) - /(a)],即 a = a + /(a) {b - a)/[/(a) - /(6)].


  由于0 < /(a)/[/(a) - /(A)] < 1,所以a < ? < 6.由于fix)在0,A]上是单调下降的,


  所以只需证/(?) <0即可得《<Z.


  令 p、x) = /⑷ + [/(*) - /(a)](x - a)Kb 一 a),显然《 是 p{x)的零点?


  由插值法可得:


  fix') = /(a) + [/(6) - /(a)](x - a)/(b - a)


  + /"(f)(x - a)(x - b)/2, a<ii <ib 则 /U) -/?Cr)=尸(f)U - a)(x - 6)/2,/(?) = fX?) (a - a) (a - b)/2 > 0.


  故有 a <?<:?:?.


  令I? = a -/(?)//'(a),则由台劳展开式得:


  P = a- [/U*> +f(S)(a~ r-)]//(a)


  =a + f (f)(a:* - a)//'(a、_,a c ^ x*


  由于 /' (f) < f (a) < 0,所以 f (a) > 1.故有 f .因此,取S = min{a,仍,必有 a<x<x*.另一方面,由于尸(6)</'(7)</'G)<0,故 I -/^幻+尸^糾彡丨 一/'(7) + /'(a) I,将上述结论代入(11)式可得:


  I尸(f)| <2丨-fib) + fia)\f\x~a)\


  用类似方法可证明其它三种情况.证毕


  「1/2, x.± - x^Lj >1/2


  如果令± _ ± ± _ ±且假设/(x)在上满足定


  L 工》-工典-1,工《 -工*-1 ^ 1/Z,


  理1的条件?则取


  X: + K,/(工广)/(工:+K) > 0


  x. = ^ min{x: - ht f{xt)/[/? + O - /(x广)],


  xt - /(X: )/尸{xt)},f{xt )/(工广 + O < 0


  工;+ K ,fix: )/(x; + /i; ) > 0


  x~ = - max{x~ -+ A; ) -/Cr:)],


  x; - fix~ )/尸(x; )},fix: )fix~ + ^; ) < 0


  f2[[/(xr)/(x^ - xiOl - I f ixf ) I]/(x^ - x^) yfixf )f(x^ + > 0


  [2 \ - f (工? + ht) + f (j:? ) |/|xt\ff{xf )/(x? + /i? ) < 0


  由定理1可知:丨尸(OKM、


  3 敛速估计


  \


  引理设/U) e c20,6],且/u)在|>,6]上只有两个实单零点X*和f,(X* < f ).若 X* <x. < xt < x' ' ,xf+i 由(9),(10)式确定.则有 (1)^?+! ^ xf ; (2)x广 < xt'+i <x"' , x7 > x~+1 > x'.


  证明 因为:c* <x7 <x.+<f,所以/?)<和/(x?+)在(:《:?,f )上不变号.不 妨设 /(d) > 0.


  (1)若^,则由(9),(10)式导出/(d)= 0,这与/Crf) > 0矛盾,故有xi古


  亡?


  (2)显然有X,++1> 成立.若工二,则由条件可知:/?+1)<0,即/(xr+1) - g:(x^+1) = /(x^-j-i) < 0.这与(5)式矛盾,故有 x:+1 <x"'.


  同理可证明(> ^;+1 > X*.证毕


  定理2设/U) 6 -(幻,且/(^)的所有实单零点按顺序排列为:rr <x; < ????则对 满足条件fixt、^ 0的任意给定的实数过,有


  (1)若彳位于/U)的任意两个相邻实单零点工:和x/+1之间,即工:<x0- < x0+ < ,.则由(9)( (10))式所产生的迭代序列( {< })将单调递增(递减)地收敛于


  工*+1(工:)?


  (2)若x0_ <工0+ <:/ (x0+> x0~>x**),/6= 1,2,…….则由(9)( (10))式所产生的迭 代序列U.+ }({(})将单调递增(递减)地收敛于/U)最靠近(x0-)的一个实根.而


  另一序列ur}(un)将发散到一oo(+co). 证明(1)的证明 由引理知,由(9)((10))式所产生的迭代序列{<})是单 调有界序列.故必有一实数二),使得limi (Iimx7 = x ).同时注意


  M-?oooo


  到存在有限的极限值-/(x?) 土(Sign/(x?)) ^/A^)


  由(9),(10)式可得:


  f{x±) = lim/(x* ) = limCxr+i -工?士)(一 /,Cr?士)士(sign/(x?士)\! A? )/2 = 0


  ?-*oo>~>o


  由条件可知: >2:+=:1:/+1, = X;.


  (2)的证明 由条件知,对于序列} ( ? })有4 > Xf >…(x?+ < xt <……), 该序列没有下(上)界.否则,与/(X)的所有实单零点x/ a = 1,2,…)均位于X。- ? )的一 侧的假设矛盾,故有limx7 =- codimx: =+ ?=).另一方面,同(1)中所证的那样,序列


  H _ oo?-? oo


  ur}({x;}>必收敛于/u)最靠近的那个实单零点.证毕 定理3 设/U) G C2CR),贝I]由(9),(10)式所产生的迭代序列 }对/Or)的实单零 点具有二阶敛速? 证明设1=*^-々,贫O)如(3),(4)式,S[I


  贫(工)=/(工?) + f {xn){x - + D(x - xny/2 则 fix、- gix) = [/"(f) - D](x - x,)2/2,g{x* )=+[?) - fr(S)~]e?2/2*


  由于是貧Cr) = 0的根,所以有:


  gixm ) = g(x* ) -= g, (7)(x* - x?+1)


  =C/'UJ + ?K7 - xdk十” rj g)


  由上面两式可得:


  e…/V == [D -广(?)]/2[尸(^) + D(rj - xj]


  故有e?了x/C = LD-尸Cr* )]/2尸(x*)? - oo


  即(9),(10)式具有二阶敛速?证毕


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